5.2　二次函数的图像和性质（5课时，含答案） 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.2　二次函数的图像和性质
第1课时　二次函数y=ax2的图像及其画法
1. 　
若二次函数y=ax2的图像经过点P(-2,4),则该图像必经过 (　　)
A. 点(2,4) B. 点(-2,-4) C. 点(-4,2) D. 点(4,-2)
2. 若二次函数y=ax2的图像与一次函数y=-3x的图像交于点A(3,m),则a、m的值分别为 (　　)
A. -1、9 B. -1、-9 C. 1、9 D. 1、-9
第3题
3. 在同一平面直角坐标系中,函数y=x2、y=x2、y=3x2的图像如图所示.其中图像①对应的函数表达式为　　　　,图像②对应的函数表达式为　　　　,图像③对应的函数表达式为　　　　.
4. 已知点P(1,a)在函数y=-5x2的图像上,则与点P关于y轴对称的点P1的坐标是　　　　,它　　　　(填“在”或“不在”)函数y=-5x2的图像上;与点P关于原点对称的点P2的坐标是　　　　,它　　　　(填“在”或“不在”)函数y=-5x2的图像上.
5. 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=3x2和y=-3x2的图像.
6. 已知函数y=若y=2,则x的值为 (　　)
A. B. - C. 2 D. 或-或2
7. (2023·苏州工业园区期中)如图,O为坐标原点,边长为1的正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,将正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转75°,使点B落在某抛物线上,则该抛物线对应的函数表达式为 (　　)
第7题
A. y=x2 B. y=-x2
C. y=-x2 D. y=-3x2
8. 如图,四个二次函数的图像对应的函数表达式分别为① y=ax2;② y=bx2;③ y=cx2;④ y=dx2.判断a、b、c、d的大小关系为　　　　　　(用“>”连接).
　　　　　　　　
9. 如图,☉O的半径为1,C1是函数y=x2的图像,C2是函数y=-x2的图像,则阴影部分的面积是　　　　.
10. 如图,菱形OABC的顶点O、A、C均在抛物线y=x2上,其中O为坐标原点,对角线OB在y轴上,且OB=2,则菱形OABC的面积为　　　　.
11. 在同一平面直角坐标系中,画出函数y=x2和y=-x2的图像,并尽可能多地指出两个图像间的共同点、不同点.
12. 如图,抛物线y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3相交于点A(1,b).求:
(1) a、b的值;
(2) 另一个交点B的坐标;
(3) 连接OA、OB,求△AOB的面积.
第12题
第2课时　二次函数y=ax2的图像特征及其性质
1. 　
已知二次函数y=(a-1)x2,当x>0时,y随x的增大而增大,则实数a的取值范围是 (　　)
A. a>0 B. a>1 C. a≠1 D. a<1
2. 已知a≠0,则在同一平面直角坐标系中,函数y=ax与y=ax2的图像可能是 (　　)
3. 函数y=-x2的图像开口　　　　,对称轴为　　　　,顶点坐标为　　　　.
4. 已知函数y=-4x2,当x>0时,y随x的增大而　　　　;当x<0时,y随x的增大而　　　　;当x=0时,y取得最　　　　值,为　　　　.
5. 已知抛物线y=ax2与直线y=3x-11都经过点P(1,b).
(1) 求a、b的值;
(2) 指出该抛物线的顶点坐标和对称轴;
(3) 当x在什么范围内时,二次函数y=(a-k2)x2(k为常数)中的y随x的增大而增大
6. 已知二次函数y=(a2+2a-3)x2有最小值,且它的图像经过点(1,3a+3),则a的值为 (　　)
A. -3或2 B. 3 C. -2 D. -2或3
7. 二次函数y=ax2与一次函数y=ax+a在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是 (　　)
8. 对于二次函数y=ax2,已知当x由1增加到2时,函数值减少6,则常数a的值是　　　　.
9. (1) (2023·高新区期中)已知二次函数y=(m+1)的图像开口向下,则m的值为　　　　.
(2) 对于抛物线y=k,当k=　　　　时,抛物线有最低点;当k=　　　　时,抛物线有最高点.
10. 若直线y=m(m为常数)与分段函数y=的图像有三个不同的交点,则常数m的取值范围是　　　　　.
11. (2023·日照改编)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,4)在抛物线y=ax2上,过点A作y轴的垂线,交抛物线于另一点B,点C、D在线段AB上,分别过点C、D作x轴的垂线,交抛物线于E、F两点.当四边形CDFE为正方形时,求线段CD的长.
第11题
12. 如图,二次函数图像的顶点在原点,且点(2,1)在二次函数的图像上,过点F(0,1)作x轴的平行线,交二次函数的图像于M、N两点.
(1) 求二次函数的表达式;
(2) P为平面内一点,当△PMN是等边三角形时,求点P的坐标.
第12题
第3课时　二次函数y=ax2+k与y=a(x+h)2的图像和性质
1. 　
把抛物线y=x2向左平移3个单位长度,平移后抛物线对应的函数表达式为 (　　)
A. y=x2-3 B. y=x2+3 C. y=(x+3)2 D. y=(x-3)2
2. 关于函数y=-2(x-m)2,下列说法不正确的是 (　　)
A. 图像的开口向下 B. 图像的对称轴是直线x=m
C. 最大值为0 D. 图像与y轴不相交
3. 函数y=ax+2与y=x2+a(a≠0)的图像在同一平面直角坐标系中可能是 (　　)
4. 函数y=-(x+2)2的图像是一条　　　　,它的开口　　　　,对称轴是　　　　　　,顶点坐标是　　　　.
5. 在函数y=(x-1)2中,当x>1时,y随x的增大而　　　　;当x=　　　　时,y取得最　　　　值,为　　　　.
6. 已知二次函数y=ax2-k,当x=0时,y取得最大值,为2,且此函数的图像经过点(1,-3).
(1) 求此函数的表达式.
(2) 当x在什么范围内时,y随x的增大而增大
(3) 怎样平移该抛物线,可得到二次函数y=ax2的图像
7. (2023·南充)若点P(m,n)在抛物线y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线y=a(x+1)2上的是 (　　)
A. (m,n+1) B. (m+1,n) C. (m,n-1) D. (m-1,n)
8. 函数y=与y=-kx2+k(k≠0)的图像在同一平面直角坐标系中可能是 (　　)
9. (2024·赤峰)如图,正方形ABCD的顶点A、C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A、C两点的横坐标分别为m、n(m>n>0),下列结论正确的是 (　　)
第9题
A. m+n=1
B. m-n=1
C. m=1
D. =1
10. 已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤5时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为 (　　)
A. 3或4 B. 1或6 C. 1或3 D. 4或6
11. 如果一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该二次函数图像的顶点,那么k的值为　　　　,a的值为　　　　,c的值为　　　　.
12. 已知二次函数的图像经过点P(2,2),顶点为O(0,0).将该图像向右平移,当它再次经过点P时,所得抛物线对应的函数表达式为　　　　　　.
13. 已知抛物线y=(x-a)2的对称轴为直线x=1.
(1) 求a的值;
(2) 若点M(x1,y1)、N(x2,y2)都在此抛物线上,且-1(3) 设直线y=m(m>0)与抛物线y=(x-a)2交于点A、B,与抛物线y=3(x-1)2交于点C、D,则的值为　　　　.
第14题14. 抛物线y=x2+1具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0,2)
的距离与到x轴的距离始终相等.如图,点M的坐标为(,3),P是抛
物线y=x2+1上一个动点,则△PMF的周长的最小值为　　　　.
第4课时　二次函数y=a(x+h)2+k的图像和性质
1. 　
二次函数y=-(x+1)2-3的图像的顶点坐标是 (　　)
A. (1,3) B. (1,-3) C. (-1,3) D. (-1,-3)
2. (2024·苏州期末)关于二次函数y=(x-2)2+3,下列说法正确的是 (　　)
A. 函数图像开口向下 B. 函数图像与y轴的交点坐标为(0,3)
C. 函数图像的对称轴为直线x=2 D. 当x>2时,y随x的增大而减小
3. (2023·广西)将抛物线y=x2先向右平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为　　　　　　　　.
4. (2023·常熟期中)二次函数y=-2(x-1)2+10的最　　　　值是　　　　,它的图像的对称轴是　　　　　　.
5. 将抛物线y=ax2+2沿x轴平移后所得的新抛物线的顶点的横坐标为-3,且新抛物线经过点(-1,-2).
(1) 求a的值;
(2) 在平面直角坐标系中,大致画出这条新抛物线;
(3) 若新抛物线上的点A(m,y1)、B(n,y2)都在对称轴的同一侧,且m6. 已知抛物线y=a(x-h)2+k与x轴有两个交点A(-1,0)、B(3,0),抛物线y=a(x-h-m)2+k与x轴的一个交点是(4,0),则m的值是 (　　)
A. 5 B. -1 C. 5或1 D. -5或-1
7. (2024·凉山)抛物线y=(x-1)2+c经过(-2,y1)、(0,y2)、三点,则y1、y2、y3的大小关系正确的是 (　　)
A. y1>y2>y3 B. y2>y3>y1
C. y3>y1>y2 D. y1>y3>y2
第8题
8. 二次函数y=(x+m)2+n的图像如图所示,则一次函数y=mx+n的图像经过第　　　　象限.
9. 有下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:① 该函数的图像与函数y=-x2的图像形状相同;② 该函数的图像一定经过点(0,1);③ 当x>0时,y随x的增大而减小;④ 该函数的图像的顶点在函数y=x2+1的图像上.其中,一定正确的是　　　　(填序号).
10. (1) (2023·牡丹江)将抛物线y=(x+3)2向下平移1个单位长度,再向右平移　　　　个单位长度后,得到的新抛物线经过原点;
(2) (2023·太仓期中)在平面直角坐标系中,把抛物线y=-3(x+2)2-1沿y轴翻折所得新抛物线对应的函数表达式为　　　　　　　　.
11. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=a(x+1)2-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与x轴交于点H.
(1) 求a的值及点A、B的坐标;
(2) 连接AD、DC、CB,求四边形ABCD的面积.
第11题
12. 将抛物线y=-x2平移后得到的新抛物线如图所示,它的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为A(-1,0),另一个交点为B,与y轴的交点为C.
(1) 求平移后得到的新抛物线对应的函数表达式.
(2) 若N为新抛物线上一点,连接BC、NC,且BC⊥NC,则点N的坐标为　　　　.
(3) P是新抛物线上一点,Q是一次函数y=x+的图像上一点.若四边形OAPQ为平行四边形,则这样的点P、Q是否存在 若存在,分别求出点P、Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第12题
第5课时　二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1. 　
(2023·苏州工业园区期中)关于抛物线y=-x2+x+2,下列结论正确的是 (　　)
A. 抛物线开口向上 B. 当x<1时,y随x的增大而减小
C. 抛物线的对称轴是直线x= D. 函数y=-x2+x+2的最大值为2
2. (2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移2个单位长度后,所得新抛物线对应的函数表达式为 (　　)
A. y=(x+1)2-3 B. y=(x+1)2-2 C. y=(x-1)2-3 D. y=(x-1)2-2
3. (2023·河南)二次函数y=ax2+bx的图像如图所示,则一次函数y=x+b的图像一定不经过 (　　)
第3题
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 抛物线y=-3x2+12x-6的对称轴为　　　　,最大值为　　　　.
5. 在平面直角坐标系中,将抛物线y=-x2+2mx-2m(m>1)沿y轴向上平移1个单位长度,则平移后得到的抛物线的顶点一定在第　　　　象限.
6. 在平面直角坐标系中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.
(1) 若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴.
(2) 已知点(-1,y1)、(2,y2)、(4,y3)在该抛物线上.如果mn<0,那么y1、y2、y3的大小关系为　　　　　　　　(用“<”连接).
7. (2023·成都)如图,二次函数y=ax2+x-6的图像与x轴交于A(-3,0)、B两点,下列说法正确的是 (　　)
第7题
A. 抛物线的对称轴为直线x=1
B. 抛物线的顶点坐标为
C. A、B两点之间的距离为5
D. 当x<-1时,y随x的增大而增大
8. (2023·昆山期中)若A(-2,y1)、B(1,y2)、C(,y3)是二次函数y=ax2-ax+c(a、c是常数,且a<0)的图像上的三个点,则y1、y2、y3的大小关系是 (　　)
A. y2>y1>y3 B. y1>y2>y3 C. y3>y1>y2 D. y2>y3>y1
9. 已知抛物线y=ax2+kx+h(a>0),通过配方可以将其化成顶点式为　　　　　　　　　.　
第10题
10. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,其与x轴的一个交点坐标为(3,0),对称轴为直线x=1,则当y<0时,x的取值范围是　　　　　　.
11. (2024·聊城)在平面直角坐标系中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图像上,记该二次函数图像的对称轴为直线x=m.
(1) 求m的值.
(2) 若点Q(m,-4)在函数y=ax2+bx-3的图像上,将该二次函数的图像向上平移5个单位长度,得到新的二次函数图像.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.
12. (2023·常熟期末改编)如图,抛物线y=-x2+2mx+2m+1(m是常数,且m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,其对称轴与线段BC交于点E,与x轴交于点F.
(1) ∠OBC=　　　　°;
(2) 设h=OC-DE,请写出h关于m的函数表达式,并求出h的最大值.
第12题
5.2　二次函数的图像和性质
第1课时　二次函数y=ax2的图像及其画法
1. A　2. B　3. y=3x2　y=x2　y=x2　4. (-1,-5)　在　(-1,5)　不在
5. 如图所示
6. C　7. B　8. a>b>d>c　9.
10. 2　解析:连接AC.根据菱形的性质,得点A、C的纵坐标均为1.当y=1时,得x2=1,解得x1=,x2=-.∴ AC=2.∴ 菱形OABC的面积为×2×2=2.
11. 如图所示　答案不唯一,如共同点:两个图像都是抛物线,且关于y轴对称,顶点在原点上;不同点:一个图像开口向上,顶点在最低点,一个图像开口向下,顶点在最高点
12. (1) 根据题意,得b=2×1-3=-1.∴ 点A的坐标为(1,-1).把A(1,-1)代入y=ax2(a≠0),得-1=a×12,解得a=-1.∴ a=-1,b=-1　(2) 由(1),得抛物线对应的函数表达式为y=-x2.令-x2=2x-3,解得x1=1,x2=-3.当x=-3时,y=-1×(-3)2=-9.∴ 另一个交点B的坐标是(-3,-9)　(3) 设直线y=2x-3与y轴交于点C,令x=0,则y=-3,即点C的坐标为(0,-3).∴ OC=3.由A(1,-1)、B(-3,-9),得点A、B到y轴的距离分别是1、3,∴ S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×3+×3×3=6
第2课时　二次函数y=ax2的图像特征及其性质
1. B　2. C　3. 向下　y轴　(0,0)　4. 减小　增大　大　0
5. (1) ∵ 直线y=3x-11经过点P(1,b),∴ b=3×1-11=-8,即点P的坐标为(1,-8).∵ 抛物线y=ax2经过点P(1,-8),∴ -8=a×12,解得 a=-8.∴ a=-8,b=-8　(2) 抛物线y=-8x2的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴　(3) ∵ a=-8,∴ a-k2=-8-k2<0.∴ 当x<0时,二次函数y=(a-k2)x2中的y随x的增大而增大
6. B　7. D　8. -2　9. (1) -　(2) 5　-2
10. 011. 把A(2,4)代入y=ax2中,得4=4a,解得a=1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x2.设点C的横坐标为m(m>0),则易得CD=CE=2m.∴ 点E的坐标为(m,4-2m).∵ 点E在抛物线y=x2上,∴ m2=4-2m,即m2+2m-4=0,解得m1=-1-(不合题意,舍去),m2=-1+.∴ CD=2m=-2+2
12. (1) ∵ 二次函数图像的顶点在原点,∴ 可设二次函数的表达式为y=ax2.将(2,1)代入函数表达式,得a=.∴ 二次函数的表达式为y=x2　(2) 将y=1代入y=x2,得x=±2.∴ 点M、N的坐标分别为(-2,1)、(2,1),此时MN=2-(-2)=4.∵ △PMN是等边三角形,∴ 点P在y轴上,且PM=4.∴ PF==2.∵ 点F的坐标为(0,1),∴ 点P的坐标为(0,1+2)或(0,1-2)
第3课时　二次函数y=ax2+k与y=a(x+h)2的
图像和性质
1. C　2. D　3. C　4. 抛物线　向下　直线x=-2　(-2,0)　5. 增大　1　小　0
6. (1) ∵ 当x=0时,y取得最大值,为2,∴ -k=2,解得k=-2.∴ y=ax2+2.∵ 此函数的图像经过点(1,-3),∴ -3=a×12+2.∴ a=-5.∴ 此函数的表达式为y=-5x2+2　(2) ∵ 此二次函数的图像开口向下,对称轴为y轴,∴ 当x<0时,y随x的增大而增大　(3) 将该抛物线y=-5x2+2沿y轴向下平移2个单位长度,得到的新抛物线对应的函数表达式为y=-5x2
7. D　8. B
9. B　解析:如图,分别过点A、C作y轴的垂线,垂足分别为M、N.由题意,得点A的坐标为(m,-m2+4),点C的坐标为(n,-n2+4),则AM=m,MO=-m2+4,CN=n,NO=-n2+4.∴ MN=NO-MO=m2-n2.易证△CDN≌△DAM,得CN=DM=n,DN=AM=m.∴ MN=DN+DM=m+n.∴ m2-n2=m+n,即(m+n)(m-n)=m+n.∵ m>n>0,∴ m+n≠0.∴ m-n=1.
10. B　解析:若h<2,则当x=2时,y取得最大值-1,∴ -(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(不合题意,舍去).若2≤h≤5,则当x=h时,y取得最大值0,不合题意,舍去;若h>5,则当x=5时,y取得最大值-1.∴ -(5-h)2=-1,解得h3=6,h4=4(不合题意,舍去).综上所述,h的值为1或6.
11. -2　-2　4　12. y=(x-4)2
13. (1) a=1　(2) y1>y2　理由:由(1),可知y=(x-1)2.∵ 抛物线的开口向上,∴ 当x>1时,y随x的增大而增大;当x<1时,y随x的增大而减小.∵ -1y2.
(3) 　解析:由(x-1)2=m,解得x1=1+,x2=1-.∴ AB=x1-x2=2.由3(x-1)2=m,解得x3=1-,x4=1+.∴ CD=x4-x3=.∴ ==.
14. 5　解析:过点P作PM'⊥x轴于点M'.由题意,得PM'=PF.当点M、P、M'共线时,MP+FP的值最小,最小值为MM'=3,此时△PMF的周长最小.∵ 易知MF==2,∴ △PMF的周长的最小值为MM'+MF=3+2=5.
第4课时　二次函数y=a(x+h)2+k的
图像和性质
1. D　2. C　3. y=(x-3)2+4　4. 大　10　直线x=1
5. (1) 根据题意,可设新抛物线对应的函数表达式为y=a(x+3)2+2.∵ 新抛物线经过点(-1,-2),∴ -2=a×(-1+3)2+2,解得a=-1　(2) 如图所示　(3) 由(1),知新抛物线对应的函数表达式为y=-(x+3)2+2,∴ 当A、B两点都在对称轴的左侧时,y1y2
6. C
7. D　解析:由y=(x-1)2+c,得抛物线开口向上,对称轴是直线x=1.∴ 当x<1时,y随x的增大而减小.∵ 点关于直线x=1的对称点是,且-2<-<0<1,∴ y1>y3>y2.
8. 二、三、四　9. ①②④　10. (1) 2或4　(2) y=-3(x-2)2-1
11. (1) ∵ 抛物线y=a(x+1)2-3与y轴交于点C0,-,∴ -=a-3,解得a=.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=(x+1)2-3.令y=0,则(x+1)2-3=0,解得x1=2,x2=-4.∵ 点A在点B的左侧,∴ 点A的坐标为(-4,0),点B的坐标为(2,0)　(2) 根据题意,得D(-1,-3)、H(-1,0).∵ A(-4,0)、B(2,0)、C,∴ OA=4,OB=2,OC=,OH=1,DH=3.∴ AH=OA-OH=3.∴ S四边形ABCD=S△ADH+S梯形OCDH+S△BOC=×3×3+××1+×2×=10
12. (1) 根据题意,可设平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+k.把A(-1,0)代入,得0=-(-1-1)2+k,解得k=4.∴ 平移后得到的新抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3
(2) (1,4)　解析:由题意,易知满足条件的点N有且只有一个,且在第一象限.过点N作NH⊥y轴,垂足为H.在y=-x2+2x+3中,令x=0,则y=3,即点C的坐标为(0,3).∴ OC=3.令y=0,则0=-x2+2x+3,解得x1=3,x2=-1.∵ 点A的坐标为(-1,0),∴ 点B的坐标为(3,0).∴ OB=3.∴ OC=OB.∴ △OBC为等腰直角三角形.∴ ∠OCB=45°.∵ BC⊥NC,∴ ∠NCB=90°.∴ 易得∠NCH=45°.∵ NH⊥y轴,∴ △HCN为等腰直角三角形.∴ NH=CH.∴ HO=OC+CH=3+CH=3+NH.∴ 设点N的坐标为(a,3+a).∵ 点N在新抛物线y=-x2+2x+3上,∴ 3+a=-a2+2a+3,解得a1=0(不合题意,舍去),a2=1.∴ 3+a=4.∴ 点N的坐标为(1,4).
(3) 存在　∵ 四边形OAPQ为平行四边形,∴ PQ=OA=1,且PQ∥OA.设点P的坐标为(t,-t2+2t+3),则点Q的坐标为(t+1,-t2+2t+3).把点Q的坐标代入y=x+,得-t2+2t+3=(t+1)+.整理,得2t2-t=0,解得t1=0,t2=.当t=0时,-t2+2t+3=3;当t=时,-t2+2t+3=.∴ P1(0,3)、Q1(1,3)或P2、Q2
第5课时　二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
1. C　2. A　3. D　4. 直线x=2　6　5. 一
6. (1) ∵ m=3,n=15,∴ 点(1,3)、(3,15)在抛物线上.将(1,3)、(3,15)代入y=ax2+bx(a>0),得解得∴ y=x2+2x=(x+1)2-1.∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1　(2) y27. C　8. D　9. y=a+　10. x<-1或x>3
11. (1) ∵ 点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图像上,∴ 4a+2b-3=-3,即b=-2a.∴ 二次函数的表达式为y=ax2-2ax-3.∵ -=1,∴ 该二次函数图像的对称轴为直线x=1.∴ m=1　(2) ∵ 点Q(1,-4)在函数y=ax2-2ax-3的图像上,∴ a-2a-3=-4,解得a=1.∴ 二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.将它的图像向上平移5个单位长度,得到的新二次函数图像对应的函数表达式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.∵ 0≤x≤4,∴ 当x=1时,函数取得最小值,为1,当x=4时,函数取得最大值,为(4-1)2+1=10.∴ 新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11
12. (1) 45　解析:把y=0代入y=-x2+2mx+2m+1,得-x2+2mx+2m+1=0,解得x1=-1,x2=2m+1.∵ m>0,∴ 2m+1>0.∴ x2>x1.∵ 点A在点B的左侧,∴ 点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(2m+1,0).∴ OB=2m+1.把x=0代入y=-x2+2mx+2m+1,得y=2m+1,∴ 点C的坐标为(0,2m+1).∴ OC=2m+1.∴ OB=OC.∵ ∠BOC=90°,∴ △OBC为等腰直角三角形.∴ ∠OBC=45°.
(2) ∵ -=m,∴ 抛物线的对称轴为直线x=m.把x=m代入y=-x2+2mx+2m+1,得y=-m2+2m2+2m+1=m2+2m+1,∴ 点D的坐标为(m,m2+2m+1).设直线BC对应的函数表达式为y=kx+b.把B(2m+1,0)、C(0,2m+1)代入,得解得∴ 直线BC对应的函数表达式为y=-x+2m+1.把x=m代入,得y=-m+2m+1=m+1,∴ 点E的坐标为(m,m+1).∴ DE=m2+2m+1-m-1=m2+m.∵ h=OC-DE,∴ h=2m+1-(m2+m)=-m2+m+1=-+.∵ -1<0,∴ 当m=时,h取得最大值,为