5.3　用待定系数法确定二次函数表达式（含答案） 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.3　用待定系数法确定二次函数表达式
1. 一个二次函数的图像如图所示,则它所对应的函数表达式为 (　　)
第1题
A. y=2x2-4x
B. y=-x(x-2)
C. y=-(x-1)2+2
D. y=-2x2+4x
2. 已知一个二次函数的图像开口向上,顶点坐标为(0,-1),则这个二次函数的表达式可以为　　　　　　　(只需写一个).
3. 已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上的两点,则该抛物线的顶点坐标是　　　　.
4. 将抛物线y=(x-3)2-2向左平移n(n是正整数)个单位长度后经过点A(2,2),则n的值为　　　　.
5. 根据下列条件,分别求抛物线对应的函数表达式.
(1) 抛物线的顶点坐标为(1,4),且经过点(0,3).
(2) (2024·张家港期末)抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A(-1,0)、B(3,0).
(3) 当x>-4时,y随x的增大而减小;当x<-4时,y随x的增大而增大.函数的最大值为30,且抛物线经过点(0,-2).
6. 设函数y=a(x-h)2+k(a、h、k是实数,a≠0),当x=1时,y=1;当x=8时,y=8.下列结论正确的是 (　　)
A. 若h=4,则a<0 B. 若h=5,则a>0 C. 若h=6,则a<0 D. 若h=7,则a>0
7. 若抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2,设P为这条抛物线的顶点,则点P关于x轴对称的点的坐标为　　　　.
第9题
8. (2024·苏州)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像过点A(0,m)、B(1,-m)、C(2,n)、D(3,-m),其中m、n为常数,则的值为　　　　.
9. 如图,抛物线y=-x2+2x+c与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于点A、B,且OA=OB,则抛物线对应的函数表达式为　　　　　　　　.
10. (2023·上海)在平面直角坐标系中,已知直线y=x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C在线段AB上(不与点A、B重合),以C为顶点的抛物线M:y=ax2+bx+c经过点B.
(1) 求b、c的值.
(2) 平移抛物线M至N,点C、B分别平移至点P、D,连接CD,且CD∥x轴.若点P在x轴上,且新抛物线过点B,则抛物线N对应的函数表达式为　　　　　　　　　　　.
11. 如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3).P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式.
(2) 当点P位于x轴的下方时,求△ABP面积的最大值.
(3) 设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)的最高点与最低点的纵坐标之差为h.
① 求h关于m的函数表达式,并写出自变量m的取值范围;
② 当h=9时,△BCP的面积为　　　　.
第11题
5.3　用待定系数法确定二次函数表达式
1. D　2. 答案不唯一,如y=2x2-1　3. (1,4)　4. 3
5. (1) 根据题意,可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-1)2+4.∵ 抛物线经过点(0,3),∴ 3=a+4,解得a=-1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4　(2) 把A(-1,0)、B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3　(3) 根据题意,得顶点坐标为(-4,30),则可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x+4)2+30.∵ 抛物线经过点(0,-2),∴ -2=16a+30,解得a=-2.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-2(x+4)2+30
6. C　解析:把“当x=1时,y=1;当x=8时,y=8”代入函数表达式,得∴ a(8-h)2-a(1-h)2=7,即a(9-2h)=1.分别把选项中h的值代入上式,求出a的值,即能判断a的符号.
7. (2,4)　解析:由“抛物线与x轴的两个交点间的距离为4,对称轴为直线x=2”,得抛物线与x轴的两个交点坐标为(0,0)、(4,0).将(0,0)、(4,0)代入y=x2+bx+c,可得b=-4,c=0.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x=(x-2)2-4.∴ 点P的坐标为(2,-4).∴ 点P关于x轴对称的点的坐标是(2,4).
8. -　解析:将A(0,m)、B(1,-m)、D(3,-m)分别代入y=ax2+bx+c(a≠0),得∴ ∴ y=mx2-mx+m.把C(2,n)代入y=mx2-mx+m,得n=m×22-m×2+m,∴ n=-m.∴ ==-.
9. y=-x2+2x+3　解析:∵ 抛物线y=-x2+2x+c与y轴正半轴交于点B,∴ 点B的坐标为(0,c).∴ OA=OB=c,即点A的坐标为(c,0).把(c,0)代入y=-x2+2x+c,得0=-c2+2c+c,解得c1=3,c2=0(不合题意,舍去).∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3.
10. (1) 在y=x+6中,令x=0,则y=6;令y=0,则x=-8.∴ A(-8,0)、B(0,6).设Cm,m+6,则抛物线M可表示为y=a(x-m)2+m+6.∵ 抛物线M经过点B,∴ am2+m+6=6,且m≠0.∴ am=-,即 m=-.将m=-代入y=a(x-m)2+m+6,整理,得y=ax2+x+6,∴ b=,c=6
(2) y=(x-4)2或y=(x+4)2　解析:设P(p,0)、Cm,m+6.∵ CD∥x轴,点P在x轴上,点C、B分别平移至点P、D,∴ 点B、C向下平移的距离相同.∴ m+6=6-m+6,解得m=-4.由(1),可知m=-,∴ a=.此时抛物线N对应的函数表达式为y=(x-p)2.将B(0,6)代入,得p=±4.∴ 抛物线N对应的函数表达式为y=(x-4)2或y=(x+4)2.
11. (1) 把C(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得k=-4,∴ 此抛物线对应的函数表达式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3　(2) 在y=x2-2x-3中,令y=0,则x=-1或x=3.∴ 易得A(-1,0)、B(3,0).∴ AB=4.∵ P为抛物线上一点,横坐标为m,m>0,点P位于x轴的下方,∴ 点P的坐标为(m,m2-2m-3),02时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.综上所述,h=
② 6　解析:当h=9时,若-m2+2m=9,即m2-2m+9=0,此时b2-4ac=(-2)2-4×1×9=-32<0,无解;若m2-2m+1=9,则m1=4,m2=-2(不合题意,舍去),此时点P的坐标为(4,5).∵ B(3,0)、C(0,-3),∴ S△BCP=×8×4-×5×1-×(4+1)×3=6.