5.4　二次函数与一元二次方程（2课时，含答案） 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

5.4　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程的关系
1. 　
抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数为 (　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. (2023·宁波)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0),下列说法正确的是 (　　)
A. 点(1,2)在该函数的图像上
B. 当a=1且-1≤x≤3时,0≤y≤8
C. 该函数的图像与x轴一定有交点
D. 当a>0时,该函数图像的对称轴一定在直线x=的左侧
3. (1) (2024·长春)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点,则c的取值范围是　　　　;
(2) (2024·苏州期末)二次函数y=ax2-2ax-3a(a为常数,且a<0)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),则点A的坐标为　　　　.
4. 已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表:
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
给出下列结论:① 抛物线y=ax2+bx+c的开口向下;② 当x<3时,y随x的增大而增大;③ 关于x的方程ax2+bx+c=0的根为x=0和x=2;④ 当y>0时,x的取值范围是05. 已知函数y=mx2+3mx+m-1的图像与坐标轴恰有两个公共点,则实数m的值为　　　　.
6. 下列各函数的图像与x轴是否有公共点 如果有,请求出公共点的坐标.
(1) y=x2-4x+4;(2) y=5x2+4x+2;(3) y=-x2+x+3.
7. 若函数y=x2-2x+b的图像与坐标轴有三个公共点,则b的取值范围是 (　　)
A. b<1且b≠0 B. b>1 C. 08. (2023·河北)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图像与x轴都有两个交点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图像的对称轴之间的距离为(　　)
A. 2 B. m2 C. 4 D. 2m2
9. (2023·巴中)规定:如果两个函数的图像关于y轴对称,那么称这两个函数互为“Y函数”.若函数y=x2+(k-1)x+k-3的图像与x轴只有一个交点,则它的“Y函数”的图像与x轴的交点坐标为　　　　　　.
10. 在平面直角坐标系中,已知A(-1,m)和B(5,m)是抛物线y=x2+bx+1上的两点,将抛物线y=x2+bx+1向上平移n(n是正整数)个单位长度,使平移后的图像与x轴没有交点,则n的最小值为　　　　.
11. (2023·苏州工业园区期中改编)已知二次函数y=ax2+(2a+1)x+2(a<0).
(1) 求证:该二次函数的图像与x轴有两个交点;
(2) 当该二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数时,求a的值及该二次函数的表达式,并画出该二次函数的图像[不用列表,只要求用其与x轴的两个交点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的交点C及其顶点D,在如图所示的平面直角坐标系中画出该二次函数的大致图像,同时标出点A、B、C、D的位置].
第11题
12. (2024·通辽)如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点C、D,抛物线y=-(x-2)2+k(k为常数)经过点D且交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧).
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 若P为抛物线的顶点,连接AD、DP、CP.求四边形ACPD的面积.
第12题
第2课时　利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值
1. 二次函数y=x2+3x-5的自变量x与函数y的部分对应值如下表:
x 1 1.1 1.2 1.3 1.4
y -1 -0.49 0.04 0.59 1.16
那么方程x2+3x-5=0的一个根的近似值是 (　　)
A. x≈1 B. x≈1.1 C. x≈1.2 D. x≈1.3
2. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像的对称轴为直线x=-1,与y轴交于点(0,1),与x轴有两个不同的交点,其中一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间.设x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两个根,且x1A. -3C. -1第3题
3. (2024·泰安)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像,该函数图像的对称轴是直线x=1,图像与y轴交点的纵坐标是2.有下列结论:① 2a+b=0;② 关于x的方程ax2+bx+c=0一定有一个根在-2和-1之间;③ 关于x的方程ax2+bx+c-=0一定有两个不相等的实数根;④ b-a<2.其中,正确的个数是 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若二次函数y=a(x+m)2+b(a、m、b均为常数,a≠0)的图像与x轴的两个交点坐标分别是(-2,0)和(1,0),则关于x的方程a(x+m+2)2+b=0的解是　　　　　　　.
5. 利用二次函数的图像求一元二次方程2x2-6x+3=0的近似解(精确到0.1).
6. 若二次函数y=ax2-2ax+c的图像经过点(-2,0),则关于x的方程ax2-2ax+c=0的根为 (　　)
A. x1=-4,x2=-2 B. x1=2,x2=4
C. x1=-2,x2=4 D. x1=-4,x2=2
7. 抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1A. 2≤t<11 B. t≥2
C. 68. (2023·高新区期中)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数y的部分对应值如下表:
x … -4 -3 -2 -1 0 …
y … 3 -2 -5 -6 -5 …
则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的解是　　　　　　.
第9题
9. (2024·齐齐哈尔)如图,二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图像与x轴交于点(-1,0)、(x1,0),其中20;② a-b=-2;③ 当x>1时,y随x的增大而减小;④ 关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)的另一个根是x=-;⑤ b的取值范围是110. 二次函数y=x2+x的图像如图所示.
(1) 根据方程的根与函数图像和x轴的交点之间的关系,将方程x2+x=1的根在图上近似地表示出来(描点),并观察图像,写出方程x2+x=1的根的近似值(精确到0.1);
(2) 在同一平面直角坐标系中画出一次函数y=x+的图像,观察图像,写出自变量x的取值在什么范围内时,一次函数的值小于二次函数的值;
(3) P是坐标平面上的一点,并在网格的格点上,请选择一种适当的平移方法,使平移后二次函数图像的顶点落在点P处,写出平移后二次函数图像对应的函数表达式,并判断点P是否在函数y=x+的图像上,请说明理由.
第10题
5.4　二次函数与一元二次方程
第1课时　二次函数与一元二次方程的关系
1. C　2. C　3. (1) c>　(2) (-1,0)　4. ③　5. 1或-
6. (1) 与x轴有且只有一个公共点,其坐标为(2,0)　(2) 与x轴没有公共点　(3) 与x轴有两个公共点,其坐标分别为(-2,0)、(8,0)
7. A　8. A　9. (3,0)或(4,0)　10. 4
11. (1) y=ax2+(2a+1)x+2=(x+2)(ax+1),且a<0.令y=0,得x1=-2,x2=-.∵ a<0,∴ ->0,即-≠-2.∴ 二次函数的图像与x轴的交点坐标为(-2,0)、,即该二次函数的图像与x轴有两个交点　(2) ∵ 该二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标均为整数,且a为负整数,∴ 易得a=-1.∴ 该二次函数的图像与x轴的两个交点A、B的坐标分别为(-2,0)、(1,0),此时该二次函数的表达式为y=-x2-x+2=+.∴ 其图像的顶点D的坐标为.令x=0,则y=2,即该二次函数的图像与y轴的交点C的坐标为(0,2).函数图像如图所示
12. (1) 在y=-x+3中,令x=0,则y=3.∴ D(0,3).∴ OD=3.∵ 抛物线y=-(x-2)2+k经过点D(0,3),∴ 3=-×(0-2)2+k,解得k=4.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x-2)2+4　(2) 连接OP.在y=-x+3中,令y=0,则x=2.∴ C(2,0).∴ OC=2.在y=-(x-2)2+4中,令y=0,则0=-(x-2)2+4,解得x=6或x=-2.∴ A(-2,0).∴ OA=2.由y=-(x-2)2+4,可得抛物线的顶点P的坐标为(2,4),即点P到x轴与y轴的距离分别为4和2.∴ S四边形ACPD=S△AOD+S△POD+S△POC=×2×3+×3×2+×2×4=3+3+4=10
第2课时　利用函数图像求一元二次方程的
根或根的近似值
1. C　2. A　3. B　4. x1=-4,x2=-1
5. 如图所示　x1≈2.4,x2≈0.6
6. C
7. A　解析:先由对称轴求出b=-2,再将“方程x2+bx+3-t=0在-18. x1=-4,x2=2　9. ②③④⑤
10. (1) 如图所示　方程x2+x=1的根的近似值为x1≈-1.6,x2≈0.6　(2) 如图所示　由图像,可知当x<-1.5或x>1时,一次函数的值小于二次函数的值　(3) 由y=x2+x=-,得抛物线y=x2+x的顶点坐标为.由题图,可知点P的坐标为(-1,1).平移方法不唯一,如将二次函数y=x2+x的图像先向上平移个单位长度,再向左平移个单位长度,可使平移后二次函数图像的顶点落在点P处.平移后二次函数图像对应的函数表达式为y=(x+1)2+1,即y=x2+2x+2　点P在函数y=x+的图像上　理由:在y=x+中,令x=-1,得y=×(-1)+=1.∴ 点P(-1,1)在函数y=x+的图像上.