5.5　用二次函数解决问题（2课时，含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

5.5　用二次函数解决问题
第1课时　利用二次函数解决实际问题中的最值问题
1. 　
公路上行驶的汽车急刹车时,刹车距离s(m)与时间t(s)的函数表达式为s=16t-4t2,当遇到紧急情况刹车时,后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的最小安全距离为 (　　)
A. 13m B. 14m C. 15m D. 16m
2. (2024·天津)从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的函数表达式为h=30t-5t2(0≤t≤6).有下列结论:① 小球从抛出到落地需要6s;② 小球运动中的高度可以是30m;③ 小球运动2s时的高度小于运动5s时的高度.其中,正确的个数是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3. (2024·吴江二模)某商店销售A、B两款商品,利润(单位:元)分别为y1=-x2+23x和y2=4x,其中,x为销量(单位:袋).若本周销售两款商品一共20袋,则能获得的最大利润为　　　　元.
4. (2024·滨州)春节期间,全国各影院上映多部影片,某影院每天运营成本为2000元,该影院每天售出的电影票数量y(张)与售价x(元/张)之间满足一次函数关系y=-4x+324(30≤x≤80,且x是整数).
(1) 设该影院每天的利润(利润=票房收入-运营成本)为w元,求w与x之间的函数表达式.
(2) 该影院将电影票的售价定为多少时,每天获利最大 最大利润是多少
第5题
5. (2024·昆山期末改编)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=2cm,点P在边AC上,且从点A向点C移动,点Q在边CB上,且从点C向点B移动.若点P、Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,两点同时停止移动,连接PQ,则线段PQ的长最小为 (　　)
A. 20cm B. 18cm C. 2cm D. 3cm
6. (2024·遂宁改编)某民俗旅游村为满足游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆.当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天的收费每提高20元,则相应地减少10张床位租出.若每张床位每天的收费以20元为单位提高,为使租出的床位少且总租金高,则每张床位每天最合适的收费是 (　　)
A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 180元
第7题
7. 如图,在边长为6cm的正方形ABCD中,点E、F、G、H分别从点A、B、C、D同时出发,均以1cm/s的速度向点B、C、D、A匀速运动.当点E到达点B时,四个点同时停止运动.在运动过程中,当运动时间为　　　　s时,四边形EFGH的面积最小,最小面积是　　　　cm2.
8. (2024·昆山一模)某公司销售一批产品,进价为每件50元,经市场调研,发现售价为每件60元时,可销售800件,售价每件每提高1元,销售量将减少25件.公司规定:售价每件不超过70元.
(1) 若公司要在这次销售中获得利润10800元,则这批产品的售价每件应提高多少元
(2) 若公司要在这次销售中获得最大利润,则这批产品的售价每件应定为多少元
9. (2024·通辽改编)如图,在足够大的空地上有一段长为am的旧墙MN,某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN.矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100m的木栏.
(1) 若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450m2,求所利用的旧墙AD的长;
(2) 求矩形菜园ABCD的最大面积.
第9题
第2课时　利用二次函数解决生活中的抛物线形问题
第1题
1. 如图,某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成,其拱状图形为抛物线的一部分,栅栏的跨径AB之间,按相同间隔0.2m用5根立柱加固,拱高OC为0.36m,则立柱EF的长为 (　　)
A. 0.4m B. 0.16m C. 0.2m D. 0.24m
2. 某单向通行的隧道的横截面是抛物线的一部分,且抛物线对应的函数表达式为y=-x2+.一辆车高3m,宽4m,该车　　　　通过隧道(填“能”或“不能”).
3. (2023·苏州工业园区期中改编)某广场要建一个圆形喷水池,计划在池中心位置竖直安装一顶部带有喷水头的水管,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心的水平距离也为3m,那么水管的设计高度应为　　　　m.
4. (2024·兰州)在校园科技节期间,科普员为同学们进行了水火箭的发射表演,某型号水火箭发射后的运动路线可以看成是一条抛物线.为了解水火箭的相关性能,同学们进一步展开研究.建立如图所示的平面直角坐标系.水火箭发射后落在水平地面上的点A处.科普员提供了该型号水火箭与地面成一定角度时,从发射到着陆过程中,水火箭距离地面OA的竖直高度y(m)与离发射点O的水平距离x(m)的几组数据如下表:
水平距离x/m 0 3 4 10 15 20 22 27
竖直高度y/m 0 3.24 4.16 8 9 8 7.04 3.24
(1) 根据上表,请确定抛物线对应的函数表达式;
(2) 请计算当水火箭飞行至离发射点O的水平距离为5m时,水火箭距离地面的竖直高度.
第4题
第5题
5. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的函数关系如图所示.给出下列结论:① 小球在空中经过的路程是40m;② 小球被抛出3s后,速度越来越快;③ 小球被抛出3s时速度为0m/s;④ 当h=30时,t=1.5.其中,正确的是 (　　)
A. ①④ B. ①② C. ②③④ D. ②③
第6题
6. (2024·广西)如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点P处)的高度OP是m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM=　　　　m.
7. (2024·陕西)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索L1与缆索L2均呈抛物线形,桥塔AO与桥塔BC均垂直于桥面,如图,以O为原点,以直线FF'为x轴,以桥塔AO所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.若缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,桥塔AO与桥塔BC之间的距离OC=100m,AO=BC=17m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计).
(1) 求缆索L1所在抛物线对应的函数表达式;
(2) 点E在缆索L2上,EF⊥FF',且EF=2.6m,FO第7题
8. (2023·温州)一次足球训练中,小明从球门正前方8m的点A处射门,球射向球门的路线呈抛物线形.当球飞行的水平距离为6m时,球达到最高点,此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m,现以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.
(1) 求抛物线对应的函数表达式,并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素);
(2) 对本次训练进行分析,若射门路线的形状、最大高度均保持不变,则当时他应该带球向正后方移动多少米射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处
第8题
5.5　用二次函数解决问题
第1课时　利用二次函数解决实际问题中的
最值问题
1. D　2. C　3. 170
4. (1) 由题意,得w=x(-4x+324)-2000=-4x2+324x-2000　(2) w=-4x2+324x-2000=-4+4561.∵ 30≤x≤80,且x是整数,∴ 当x=40或41时,w取得最大值,此时w=4560.∴ 该影院将电影票的售价定为40元/张或41元/张时,每天获利最大,最大利润是4560元
5. C　6. C　7. 3　18
8. 设公司在这次销售中获得利润W元,售价每件提高x(x≥0)元.根据题意,得W=(60+x-50)(800-25x).整理,得W=-25x2+550x+8000.∵ 售价每件不超过70元,∴ 60+x≤70,解得x≤10.∴ 0≤x≤10.(1) 令W=10800,则10800=-25x2+550x+8000,即x2-22x+112=0,解得x1=8,x2=14(不合题意,舍去).∴ 这批产品的售价每件应提高8元　(2) W=-25x2+550x+8000=-25(x-11)2+11025.∵ -25<0,对称轴为直线x=11,∴ 当x<11时,y随x的增大而增大.∵ 0≤x≤10,∴ 当x=10时,W取得最大值,此时售价每件应定为60+10=70(元).∴ 公司要在这次销售中获得最大利润,这批产品的售价每件应定为70元
9. (1) 设AB=xm,则AD=(100-2x)m.根据题意,得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45.当x=5时,100-2x=90,90>20,不合题意,舍去;当x=45时,100-2x=10,10<20,满足题意.∴ 所利用的旧墙AD的长为10m　(2) 设AD=ym,则AB=m,0第2课时　利用二次函数解决生活中的
抛物线形问题
1. C　2. 不能　3. 2.25
4. (1) 根据表格中的两组数据(10,8)、(20,8),得(10+20)÷2=15,∴ 抛物线的对称轴是直线x=15.∴ 抛物线的顶点坐标为(15,9).设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-15)2+9.∵ 抛物线过点(10,8),∴ 25a+9=8,解得a=-.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x-15)2+9,验证其余各组数据均符合　(2) 在y=-(x-15)2+9,令x=5,则y=-×(5-15)2+9=5.∴ 水火箭距离地面的竖直高度为5m
5. D　6.
7. (1) ∵ AO=17m,∴ A(0,17).∵ OC=100m,缆索L1的最低点P到FF'的距离PD=2m,BC=17m,∴ 易得抛物线L1的顶点P的坐标为(50,2).∴ 可设缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y=a(x-50)2+2.将A(0,17)代入,得2500a+2=17,解得a=.∴ 缆索L1所在抛物线对应的函数表达式为y=(x-50)2+2　(2) ∵ 缆索L1所在抛物线与缆索L2所在抛物线关于y轴对称,∴ 缆索L2所在抛物线对应的函数表达式为y=(x+50)2+2.令y=2.6,则2.6=(x+50)2+2,解得x1=-40或x2=-60.又∵ FO8. (1) ∵ 8-6=2(m),∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线对应的函数表达式为 y=a(x-2)2+3.把A(8,0)代入,得36a+3=0,解得a=-.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x-2)2+3.∵ 当x=0时,y=-×4+3=,>2.44,∴ 球不能射进球门　(2) 设小明带球向正后方移动mm,则移动后抛物线对应的函数表达式为y=-(x-2-m)2+3.把(0,2.25)代入,得2.25=-(0-2-m)2+3,解得 m1=-5(不合题意,舍去),m2=1.∴ 当时他应该带球向正后方移动1m射门,才能让足球经过点O正上方2.25m处