7.1　正　切 练习（2课时、含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

7.1　正　切
第1课时　正切的概念
1. 　
(2024·云南)在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则∠A的正切值为 (　　)
A. B. C. D.
2. 如图,A、B、C三点在正方形网格线的交点处.若将△ACB绕点A按逆时针方向旋转得到△AC'B',则tanB'的值为 (　　)
A. B. C. D.
　　　　　　　　　　　　
3. 如图,∠1的正切值为　　　　.
4. (2024·常州)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F.若AD=8,BE=10,则tan∠ABD的值为　　　　.
5. 如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,B为切点.若AB=8,tan∠BAC=,则BC的长为　　　　.
6. (2023·北京)如图,在 ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,BE=DF,AC=EF.
(1) 求证:四边形AECF是矩形;
(2) 若AE=BE,AB=2,tan∠ACB=,求BC的长.
第6题
7. 如图,一个斜坡长130m,坡顶离水平地面的距离为50m,则这个斜坡与水平地面所夹锐角的正切值为 (　　)
A. B. C. D.
　　　　　　　　　　　　
8. (2024·南充改编)如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成.在正方形ABCD中,AB=10.若tan∠ADF=,则EF的长为　　　　.
9. (2023·连云港)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,AC=4,OE=2,则tan∠EDO的值为　　　　.
10. 如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC中两条边的长,Rt△ABC中最小的角为∠A,那么tanA的值为　　　　　　.
11. (2024·长沙)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E在边BC上,满足∠CEO=∠COE.若AB=6,BC=8,求tan∠CEO的值.
第11题
12. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC,D为AC的中点.求:
(1) tan∠BDC的值;
(2) tan∠ABD的值.
第12题
第2课时　正切的增减性及计算
1. 　
如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1.若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上,则tan∠ACB的值为 (　　)
A. B. C. 2 D. 3
　　　　　　　　　　　　　　
2. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是边BC上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD的值为 (　　)
A. 2 B. C. D.
3. (1) 用计算器计算:tan45.43°≈　　　　,tan55°43'≈　　　　(精确到0.01);
(2) 比较大小:-tan36°　　　　-tan63°(填“>”“<”或“=”).
4. 如图,点A在x轴的正半轴上,抛物线y=x2与一条平行于x轴的直线在第一象限内的交点为B.若tan∠AOB=2,则点B的坐标为　　　　.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,D是AC上一点,连接BD.若tanA=,tan∠ABD=,求CD的长.
第5题
第6题
6. 如图,E是矩形ABCD的对角线AC上一动点,正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上.若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值 (　　)
A. 等于 B. 等于
C. 等于 D. 无法确定
7. (2024·江西)将如图①所示的七巧板,拼成如图②所示的四边形ABCD,连接AC,则tan∠CAB的值为　　　　.
　　　　　　　　
8. (2024·泰安)如图,AB是☉O的直径,AH是☉O的切线,C为☉O上任意一点,D为的中点,连接BD交AC于点E,延长BD与AH相交于点F,连接AD.若DF=1,tanB=,则AE的长为　　　　.
9. 如图,在网格中,小正方形的边长都为1,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点O,则tan ∠AOD的值为　　　　.
10. (2024·北京)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB、CE交于点F,DF=FB,AF∥DC.
(1) 求证:四边形AFCD为平行四边形;
(2) 若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长.
第10题
11. (2023·宁夏)如图,AB是☉O的直径,直线DC是☉O的切线,切点为C,AE⊥DC,垂足为E,连接AC.
(1) 求证:AC平分∠BAE;
(2) 若AC=5,tan∠ACE=,求☉O的半径.
第11题
7.1　正　切
第1课时　正切的概念
1. C　2. B　3. 　4. 　5. 6
6. (1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC.∵ BE=DF,∴ AD-DF=BC-BE,即AF=EC.∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AC=EF,∴ 四边形AECF是矩形　(2) ∵ 四边形AECF是矩形,∴ ∠AEC=∠AEB=90°.∴ 在Rt△AEB中,AE2+BE2=AB2.∵ AE=BE,AB=2,∴ AE2+AE2=4.∴ AE==BE.∵ 在Rt△AEC中,tan∠ACB==,∴ EC=2AE=2.∴ BC=BE+EC=+2=3
7. C　8. 2　9. 　10. 或
11. 过点O作OH⊥BC于点H,则∠OHE=∠OHC=90°.∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠ABC=90°,OC=AC.∵ 在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,∴ 由勾股定理,得AC===10.∴ OC=5.∵ ∠CEO=∠COE,∴ CE=OC=5.∵ ∠ABC=∠OHC=90°,∠OCH=∠ACB,∴ △ABC∽△OHC.∴ ===2.∴ HC=BC=4,OH=AB=3.∴ EH=CE-HC=5-4=1.∴ 在Rt△OHE中,tan∠CEO===3
12. (1) ∵ D为AC的中点,∴ AC=2CD.∵ BC=AC,∴ BC=2CD.∵ ∠C=90°,∴ 在Rt△BCD中,tan∠BDC===2　(2) 过点D作DH⊥AB于点H,设DH=t(t>0).∵ ∠C=90°,BC=AC,∴ ∠A=∠ABC=45°.∴ 易知在Rt△ADH中,AH=DH=t.由勾股定理,得AD==t.∵ D为AC的中点,∴ AC=2AD=2t.∴ BC=AC=2t.∴ 在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB==4t.∴ BH=AB-AH=3t.∴ 在Rt△BHD中,tan∠ABD===
第2课时　正切的增减性及计算
1. C　2. A　3. (1) 1.02　1.47　(2) >　4. (2,4)
5. 过点D作DE⊥AB于点E.∵ 在Rt△ACB中,tanA==,BC=,∴ AC=2.∴ AB==5.∵ 在Rt△AED中,tanA==,∴ AE=2DE.∵ tan∠ABD==,∴ BE=3DE.∴ 2DE+3DE=5,解得DE=1.∴ AE=2.∴ AD==.∴ CD=AC-AD=
6. A　7. 　8.
9. 2　解析:过点B作BE∥CD,这里E是格点,连接AE,得Rt△AEB,此时tan∠ABE===2.由BE∥CD,得∠ABE=∠AOD,因此tan∠AOD=2.
10. (1) ∵ E是AB的中点,∴ AE=BE.∵ DF=BF,∴ EF是△ABD的中位线.∴ EF∥AD,即CF∥AD.∵ AF∥CD,∴ 四边形AFCD为平行四边形　(2) 由(1),知EF是△ABD的中位线,∴ AD=2EF=2.∵ ∠EFB=90°,tan∠FEB==3,∴ BF=3EF=3×1=3.∵ DF=FB,∴ DF=BF=3.∵ AD∥CE,∴ ∠ADF=∠EFB=90°.∴ AF==.∵ 四边形AFCD为平行四边形,∴ CD=AF=.∵ DF=BF,CE⊥BD,∴ BC=CD=
11. (1) 如图,连接OC.∵ 直线DC是☉O的切线,∴ OC⊥DC.∵ AE⊥DC,∴ OC∥AE.∴ ∠EAC=∠ACO.∵ OC=OA,∴ ∠ACO=∠OAC.∴ ∠EAC=∠OAC.∴ AC平分∠BAE
(2) 如图,连接BC.∵ AB是☉O的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ 在△ACB中,∠ABC+∠OAC=90°.∵ AE⊥DC,∴ 在△AEC中,∠EAC+∠ACE=90°.由(1),得∠EAC=∠OAC,∴ ∠ABC=∠ACE.∴ tan∠ABC=tan∠ACE=.∵ 在Rt△ACB中,tan∠ABC=,AC=5,∴ =,解得BC=.∴ 在Rt△ABC中,AB==.∴ ☉O的半径为AB=