第5章二次函数 素能测评 （含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

第5章二次函数 素能测评
一、 选择题(每小题3分,共24分)
第1题
1. 如图,直线l为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像的对称轴,则下列说法正确的是 (　　)
A. b恒大于0B. a、b同号
C. a、b异号 D. 以上说法都不对
2. 　　　　
已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表:
x … -4 -2 0 3 5 …
y … -24 -8 0 -3 -15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (　　)
A. 图像开口向上 B. 当x>0时,y随x增大而减小
C. 图像经过第二、三、四象限 D. 图像的对称轴是直线x=1
3. 在同一平面直角坐标系中,函数y=ax-b(a≠0)和y=-(c≠0)的图像大致如图所示,则函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像大致为 (　　)
　　　　
4. 如图,二次函数y=x2+bx+c的图像过点B(0,-2),它与函数y=-(x<0)的图像交于点A(m,4),则这个二次函数的表达式为 (　　)
A. y=x2-x-2 B. y=x2-x+2 C. y=x2+x-2 D. y=x2+x+2
5. 四名同学在研究函数y=x2+bx+c(b、c是常数)时,甲发现当x=1时,函数取得最小值;乙发现x=-1是方程x2+bx+c=0的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当x=2时,y=4.已知这四名同学中有且只有一名同学发现的结论是错误的,则该同学是 (　　)
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 抛物线y=ax2-a(a≠0)与直线y=kx交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.若x1+x2<0,则直线y=ax+k一定经过 (　　)
A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限
7. 已知抛物线对应的函数表达式为y=3(x-2)2+1.若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中对应的函数表达式为 (　　)
A. y=3(x+1)2+3 B. y=3(x-5)2+3
C. y=3(x-5)2-1 D. y=3(x+1)2-1
第8题
8. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,对称轴为直线x=-1.有下列结论:① >0;② am2+bm≤a-b(m为任意实数);③ 3a+c<1;④ 若M(x1,y)、N(x2,y)是抛物线上不同的两个点,则x1+x2≤-3.其中,正确的有 (　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
二、 填空题(每小题3分,共24分)
9. 已知边长为2的正方形,如果边长增加x,那么增加后正方形的面积S与x之间的函数表达式为S=　　　　　　　.
10. 一个二次函数y=ax2+bx+c的图像的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的表达式可以是　　　　　　.
11. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根是x=2,且抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,则该抛物线的顶点坐标是　　　　.
12. 已知二次函数y=x2-2x+1的图像向左平移2个单位长度得到抛物线C,点P(2,y1)、Q(3,y2)在抛物线C上,则y1　　　　y2(填“>”或“<”).
13. 如图,抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A、B、C,点B在y轴上,则ac的值为　　　　.
　　　　　　　　　　
14. 如图,我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.若A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点,抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3,AB为半圆的直径,则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　　　　.　
15. 如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始,沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始,沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合),连接PQ.如果P、Q两动点分别从点A、B同时出发,那么经过　　　　s,四边形APQC的面积最小.
16. 已知二次函数y=a(x+1)(x-3)的图像与x轴交于点A、B(点A在点B左侧),与y轴交于点C,则使△ABC为等腰三角形的a的值为　　　　　　　.
三、 解答题(共82分)
17. (5分)已知二次函数y=x2-4x+3.
(1) 在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图像;
(2) 当0≤x≤3时,y的取值范围是　　　　.
18. (5分)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为A(2,-1),且经过点B(4,3).
(1) 求a、b、c的值;
(2) 向上或向下平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),使得平移后的抛物线经过原点,则平移后的抛物线对应的函数表达式为　　　　　.
19. (6分)如图,经过原点的抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0).
(1) 求m的值和抛物线顶点M的坐标;
(2) 直线AM对应的函数表达式为　　　　　　　　.
第19题
20. (6分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴的交点为A(-3,0)、B(1,0).
(1) 求这个二次函数的表达式;
(2) 若该二次函数图像的顶点为D,求△ABD的面积.
21. (6分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A、B两点,交y轴于点C,且OA=2OC=8OB,P是第三象限内抛物线上的动点,连接PA、PC、AC.
(1) 求此抛物线对应的函数表达式;
(2) 若PC∥AB,求点P的坐标.
第21题
22. (8分)已知函数y=mx2+(2+m)x+m+1的图像与坐标轴恰有两个公共点,求实数m的值.
23. (8分)为了节省材料,某农场主利用围墙(围墙足够长)为一边,用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域,而且这三块矩形区域的面积相等.设BC的长为xm,矩形区域ABCD的面积为Sm2.
(1) 设BE的长为am,则AE=　　　　am.
(2) 当x为何值时,S取得最大值 求矩形区域ABCD的最大面积.
第23题
24. (8分)如图,二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴交于A(-2,0)、B(1,0)两点.
(1) 求b、c的值;
(2) 若点P在该二次函数的图像上,且△PAB的面积为6,求点P的坐标.
第24题
25. (10分)如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线C1:y=a(x-3)2+2 的一部分,淇淇恰在点B(0,c)处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线C2:y=-x2+x+c+1的一部分.
(1) 写出C1的最高点坐标,并求a、c的值;
(2) 若嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A的水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,求符合条件的n的整数值.
第25题
26. (10分)某商场以每件80元的价格购进一种商品,在一段时间内,销售量y(件)与销售价格x(元/件)之间是一次函数关系,其部分图像如图所示.
(1) 求这段时间内y与x之间的函数表达式.
(2) 在这段时间内,若销售价格不低于100元/件,且商场还要完成不少于220件的销售任务,当销售价格为多少时,商场获得的利润最大 最大利润是多少
第26题
27. (10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OA=2,OC=6,连接AC、BC.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为　　　　.
(3) 若E是第四象限内抛物线上的一动点,连接CE、BE,求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标.
(4) 若M是y轴上一动点,在平面直角坐标系中是否存在点N,使以A、C、M、N为顶点的四边形是菱形 若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
第27题
第5章素能测评
一、 1. C　2. D　3. D　4. A　5. B　6. D　7. C　8. B
二、 9. (x+2)2　10. 答案不唯一,如y=-x2+1　11. (2,3)　12. <　13. -2　14. 3+　15. 3
16. 或-或或-　解析:由y=a(x+1)·(x-3),可得A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3a).分以下三种情况讨论:① 若AC=BC,由于OA≠OB,故这种情况不存在;② 若AB=BC,则AB2=BC2=OB2+OC2,即42=32+(-3a)2,解得a=±;③ 若AB=AC,则AB2=AC2=OA2+OC2,即42=12+(-3a)2,解得a=±.综上所述,a的值为或-或或-.
三、 17. (1) 如图　(2) -1≤y≤3
18. (1) ∵ 抛物线的顶点为A(2,-1),∴ 设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)2-1.将B(4,3)代入y=a(x-2)2-1,得3=4a-1,解得a=1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=(x-2)2-1,即y=x2-4x+3.∴ a=1,b=-4,c=3
(2) y=x2-4x　解析:设平移后的抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x+3+k.∵ 平移后的抛物线经过原点(0,0),∴ 0=3+k,解得k=-3.∴ 平移后的抛物线对应的函数表达式为y=x2-4x.
19. (1) ∵ 抛物线y=2x2+mx与x轴交于另一点A(2,0),∴ 2×22+2m=0,解得m=-4.∴ y=2x2-4x=2(x-1)2-2.∴ 顶点M的坐标为(1,-2)　(2) y=2x-4
20. (1) ∵ 二次函数y=-x2+bx+c的图像经过A(-3,0)、B(1,0)两点,∴ 解得∴ 这个二次函数的表达式为y=-x2-2x+3　(2) ∵ y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴ 该二次函数图像的顶点D的坐标为(-1,4).∵ A(-3,0)、B(1,0),∴ AB=1-(-3)=4.∴ S△ABD=AB·yD=×4×4=8
21. (1) 在y=ax2+bx-2中,令x=0,得y=-2,即C(0,-2),∴ OC=2.∵ OA=2OC=8OB,∴ OA=4,OB=.∴ A(-4,0)、B.把 A(-4,0)、B代入y=ax2+bx-2,得解得∴ 此抛物线对应的函数表达式为y=x2+x-2　(2) ∵ -=-,∴ 抛物线y=x2+x-2的对称轴为直线x=-.当PC∥AB时,点P、C的纵坐标相同,根据函数图像的对称性,易得点P的坐标为
22. 当二次函数的图像过原点时,函数y=mx2+(2+m)x+m+1的图像与坐标轴恰有两个公共点,此时m≠0且m+1=0,解得m=-1;当二次函数的图像与x轴只有一个交点且与y轴也有一个交点时,m≠0且b2-4ac=(2+m)2-4m(m+1)=0,解得m=±;当m=0时,函数为y=2x+1,它的图像与坐标轴有两个公共点.综上所述,实数m的值为-1或±或0
23. (1) 2　解析:∵ 三块矩形区域的面积相等,∴ 矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍.∴ AE=2BE.∵ BE=am,∴ AE=HG=DF=2am.
(2) ∵ DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC=80m,∴ 易得8a+2x=80.∴ a=-x+10.∵ S矩形ABCD=AB·BC,∴ S=(2a+a)x=x=-x2+30x=-(x-20)2+300.∵ a=-x+10>0,∴ x<40.∴ 自变量x的取值范围是024. (1) 把A(-2,0)、B(1,0)代入y=-x2+bx+c,得解得∴ b的值为-1,c的值为2　(2) ∵ A(-2,0)、B(1,0),∴ AB=1-(-2)=3.由(1),知二次函数的表达式为y=-x2-x+2,设点P的坐标为(m,-m2-m+2),此时点P到x轴的距离为|yP|=|-m2-m+2|.∵ △PAB的面积为6,∴ S△PAB=AB·|yP|=×3×|-m2-m+2|=6.化简,得|m2+m-2|=4,即m2+m-2=-4(无解)或m2+m-2=4,解得m1=-3,m2=2.∴ 点P的坐标为(-3,-4)或(2,-4)
25. (1) ∵ 抛物线C1对应的函数表达式为y=a(x-3)2+2,∴ C1的最高点坐标为(3,2).∵ 点A(6,1)在抛物线C1:y=a(x-3)2+2上,∴ 1=a×(6-3)2+2,解得a=-.∴ 抛物线C1对应的函数表达式为y=-(x-3)2+2.当x=0时,y=-×(-3)2+2=1,即c=1　(2) ∵ 嘉嘉在x轴上方1m的高度上,且到点A(6,1)的水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包,设此时嘉嘉所处的位置在点A'处,∴ 点A'在点(5,1)与点(7,1)之间(包括这两点).当抛物线C2:y=-x2+x+1+1经过点(5,1)时,1=-×52+×5+1+1,解得n=;当经过点(7,1)时,1=-×72+×7+1+1,解得n=.∴ ≤n≤.∴ 符合条件的n的整数值为4和5
26. (1) 设这段时间内y与x之间的函数表达式为y=kx+b(k≠0).由题意,得其图像过点(100,300)、(120,200),∴ 解得∴ 这段时间内y与x之间的函数表达式为y=-5x+800　(2) 由题意,得解得100≤x≤116.设商场获得的利润为W元,则W=(x-80)(-5x+800)=-5x2+1200x-64000=-5(x-120)2+8000.又∵ -5<0,100≤x≤116,∴ 当x=116时,W取得最大值,最大值为7920.∴ 当销售价格为116元/件时,商场获得的利润最大,最大利润是7920元
27. (1) ∵ OA=2,OC=6,∴ A(-2,0)、C(0,-6).∵ 抛物线y=x2+bx+c经过点A、C,∴ 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x2-x-6　(2) 　(3) 过点E作EG⊥x轴于点G,交直线BC于点F.在y=x2-x-6中,令y=0,得x=3或x=-2.∴ B(3,0).又∵ C(0,-6),∴ 易得直线BC对应的函数表达式为y=2x-6.设点E的坐标为(t,t2-t-6),0