第5章二次函数 整合提升 （含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

第5章二次函数 整合提升
考点一　二次函数的图像和性质
1. 　
(2024·常熟期末)对抛物线y=-(x-2)2+5的描述,下列说法错误的是 (　　)
A. 开口向下 B. 对称轴为直线x=2
C. 函数的最小值为5 D. 当x<2时,y随x的增大而增大
2. (2023·陕西)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图像经过点(0,6),其对称轴在y轴的左侧,则该二次函数有 (　　)
A. 最大值5 B. 最大值 C. 最小值5 D. 最小值
3. (1) 抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是　　　　　　;
(2) (2024·滨州)将抛物线y=-x2先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,则平移后抛物线的顶点坐标为　　　　;
(3) 如图所示为二次函数y=x2+bx+c的图像,该函数的最小值是　　　　.
　　　　　
4. (2024·高新区二模)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,过点C作CD⊥y轴,交该图像于点D.若点B、D的坐标分别为(8,0)、(6,4),则△ABC的面积为　　　　.
5. (2024·苏州)如图,二次函数y=x2+bx+c的图像C1与开口向下的二次函数图像C2均过点A(-1,0)、B(3,0).
(1) 求图像C1对应的函数表达式.
(2) 若图像C2过点C(0,6),点P位于第一象限,且在图像C2上,直线l过点P且与x轴平行,与图像C2的另一个交点为Q(点Q在点P的左侧),直线l与图像C1的交点为M、N(点N在点M的左侧).当PQ=MP+QN时,求点P的坐标.
第5题
考点二　二次函数与一元二次方程
6. (2024·泸州)已知二次函数y=ax2+(2a-3)x+a-1(x是自变量)的图像经过第一、二、四象限,则实数a的取值范围是 (　　)
A. 1≤a< B. 0C. 07. (1) (2024·昆山期末)若抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则x1+x2的值为　　　　;
(2) 把二次函数y=x2+4x+m的图像先向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长度.如果平移后所得的抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m的取值范围是　　　　.
8. (2024·苏州工业园区一模)如图,二次函数y=-x2+(m-1)x+m(m>0)的图像与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,作点C关于对称轴的对称点D,连接BD、CD.若△BDC是等腰三角形,则m的值为　　　　　.
考点三　二次函数的应用
9. 一种工艺品的进价为每件100元,按标价每件135元售出,每天可售出100件.根据销售统计,这种工艺品每件每降价1元售出,每天可多售出4件.若要使每天获得的利润最大,则每件需降价 (　　)
A. 5元 B. 10元 C. 15元 D. 3600元
10. (2024·甘肃)如图①所示为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分,如图②所示为棚顶的竖直高度y(m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(m)近似满足函数关系y=-0.02x2+0.3x+1.6的图像,点B(6,2.68)在图像上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长CD=4m,高DE=1.8m的矩形,则可判定货车　　　　完全停到车棚内(填“能”或“不能”).
　　　
11. 如图,三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔的形状、大小完全相同.当水面刚好淹没小孔时,大孔的水面宽度为10m,孔顶离水面1.5m;当水位下降,大孔的水面宽度为14m时,单个小孔的水面宽度为4m.若大孔的水面宽度为20m,则单个小孔的水面宽度为　　　　m.
12. (2024·资阳)已知二次函数y=-x2+bx与y=x2-bx的图像均过点A(4,0)和坐标原点O,这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图像如图所示,P为线段OA的中点,过点P且与x轴不重合的直线与封闭图像交于B、C两点.给出下列结论:① b=2;② PB=PC;③ 以O、A、B、C为顶点的四边形可以为正方形;④ 若点B的横坐标为1,点Q在y轴上(Q、B、C三点不共线),则△BCQ周长的最小值为5+.其中,正确的个数是 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
　　　　　　　　　　
13. (2023·枣庄)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,对称轴是直线x=1.有下列结论:① abc<0;② 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有一个根大于2且小于3;③ 若(0,y1)、是抛物线上的两点,则y10;⑤ 对于任意实数m,都有m(am+b)≥a+b.其中,正确的个数是 (　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
14. (2023·苏州工业园区期中)已知二次函数y=ax2+2ax+b,当-5≤x≤-3时,y≥0;当-1≤x≤1时,y≤0,则b与a满足的关系式为 (　　)
A. b=-15a B. b=-3a C. b=a D. b=6a
15. 如图,抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1,则关于x的不等式+x2+1<0的解集是 (　　)
A. x>1 B. x<-1 C. 016. 若二次函数y=x2-2x-3的图像上有且只有三个点到x轴的距离等于m,则m的值为　　　　.
17. 对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是　　　　.
18. (2024·苏州期末)函数y1=x2+2x-3的图像与函数y2=-x+b的图像交于A、B两点.若AB=5,则当y1>y2时,自变量x的取值范围是　　　　.
19. (2024·大庆)“尔滨”火了,带动了黑龙江省的经济发展,农副产品也随之畅销全国.某村民在网上直播推销某种农副产品,在试销售的30天中,第x天(1≤x≤30且x为整数)的售价为y元/千克,当1≤x≤20时,y=kx+b;当20(1) k=　　　　,b=　　　　;
(2) 写出M与x之间的函数表达式;
(3) 在试销售的30天中,共有多少天的销售额超过500元
20. 如图,抛物线y=a(x+2)(x-6)与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,且=.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) P为抛物线的对称轴上一点,且在线段MN(含端点)上运动,Q(n,0)为x轴上一点,且PQ⊥PC,连接CQ.
① 求n的取值范围;
② 当n取最大值时,求点P到线段CQ的距离;
③ 当n取最大值时,将线段CQ向上平移 t个单位长度,使得线段CQ与抛物线有两个交点,则t的取值范围是　　　　.
第20题
第5章整合提升
1. C　2. D　3. (1) 直线x=1　(2) (1,2)　(3) -4
4. 20
5. (1) 将A(-1,0)、B(3,0)代入y=x2+bx+c,得解得∴ 图像C1对应的函数表达式为y=x2-2x-3　(2) 设图像C2对应的函数表达式为y=a(x+1)(x-3)(a<0).将点C(0,6)代入,得a=-2.∴ 图像C2对应的函数表达式为y=-2(x+1)(x-3),其对称轴为直线x==1.又∵ 图像C1的对称轴也为直线x=1,∴ 如图,作直线x=1,交直线l于点H.由二次函数图像的对称性,得QH=PH,MH=NH.∴ MH-PH=NH-QH,即MP=NQ.又∵ PQ=PH+QH,PQ=MP+QN,∴ PH=MP.设PH=t(06. A　7. (1) -3　(2) m>3
8. -4+2或　解析:由y=-x2+(m-1)x+m,易得A(-2,0)、B(2m,0)、C(0,m).根据二次函数的图像的对称性,易得D(2m-2,m).∴ BC2=4m2+m2=5m2,BD2=4+m2,CD2=(2m-2)2.分BC=BD,BC=CD,BD=CD三种情况讨论可得符合题意的结果.
9. A　10. 能　11. 5　12. D　13. C
14. B　解析:∵ -=-1,∴ 抛物线的对称轴为直线x=-1.∴ 当x=-3和x=1时,函数值相等.∵ 当-5≤x≤-3时,y≥0;当-1≤x≤1时,y≤0,∴ 当x=-3时,y=0;当x=1时,y=0,即抛物线经过点(1,0).把(1,0)代入y=ax2+2ax+b,得a+2a+b=0,∴ b=-3a.
15. D
16. 4　解析:根据题意,题中的“三个点”必定有一个是抛物线的顶点.∵ y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴ 顶点(1,-4)到x轴的距离为4.∴ 另外两个点是直线y=4与抛物线的交点.∴ m=4.
17. b≤-　解析:∵ 对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有公共点,∴ (2a)2-4(a+b)≥0.整理,得b≤a2-a.∵ a2-a=-,∴ a2-a的最小值为-.∴ b≤-.
18. x<-4或x>1　解析:设点A、B的横坐标分别为x1、x2,x1>x2,则x1、x2为方程x2+2x-3=-x+b的解.∴ x1+x2=-3,x1·x2=-3-b.∵ y2=-x+b中k=-1,∴ 易得直线AB与x轴所夹的锐角为45°.∵ AB=5,∴ 易得x1-x2=5.∴ x1=1,x2=-4.∴ 当y1>y2时,自变量x的取值范围是x<-4或x>1.
19. (1) -1　30　(2) 当1≤x≤20时,由(1),知y=-x+30,此时M=(x+10)(-x+30)=-x2+20x+300.当20500,得x>23.∴ 共有7天(第24~30天)的销售额超过500元
20. (1) 在y=a(x+2)(x-6)中,令y=0,得x1=-2,x2=6.∴ 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(6,0).∴ OA=2.∵ =,∴ OC=3.∴ 点C的坐标为(0,3).把C(0,3)代入y=a(x+2)(x-6),得a=-,∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-(x+2)(x-6),即y=-x2+x+3　(2) ① 由(1),易得抛物线的对称轴为直线x=2,顶点M的坐标为(2,4).设点P的坐标为(2,m)(其中0≤m≤4),则PC2=22+(m-3)2,PQ2=m2+(n-2)2,CQ2=32+n2.∵ PQ⊥PC,∴ 在Rt△PCQ中,由勾股定理,得PC2+PQ2=CQ2,即22+(m-3)2+m2+(n-2)2=32+n2.整理,得n=(m2-3m+4)=+.∵ >0,0≤m≤4,∴ 当m=时,n取得最小值,为;当m=4时,n取得最大值,为4.∴ n的取值范围是≤n≤4　② 由①,知当n取最大值4时,m=4,此时P(2,4)、Q(4,0),∴ PC=,PQ=2,CQ=5.设点P到线段CQ的距离为h.由S△PCQ=CQ·h=PC·PQ,得h==2,∴ 点P到线段CQ的距离为2
③ 3≤t<　解析:由②,知当n取最大值4时,点Q的坐标为(4,0),∴ 直线CQ对应的函数表达式为y=-x+3.易得将线段CQ向上平移t个单位长度后其所在直线对应的函数表达式为y=-x+3+t.当线段CQ向上平移,使点Q恰好在抛物线上时,线段CQ与抛物线有两个交点,此时对应的点Q'的纵坐标为-×(4+2)×(4-6)=3.把Q'(4,3)代入y=-x+3+t,得t=3;当线段CQ继续向上平移,线段CQ与抛物线只有一个交点时,联立得x2-7x+4t=0.令(-7)2-4×1×4t=49-16t=0,则t=.综上所述,当线段CQ与抛物线有两个交点时,t的取值范围是3≤t<.