第5章二次函数 专题练习 （2个专题、含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

第5章　二次函数
小专题(一)　利用二次函数的图像信息解题
类型一　根据抛物线的特征确定a、b、c及其相关代数式的符号
1. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论正确的是 (　　)
A. a<0 B. c>0
C. b2-4ac<0 D. 4a+b=0
　　　　　　　　　　　　
2. (2023·鄂州)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,且过点(-1,0),顶点在第一象限.给出下列结论:① ab<0;② 4a+2b+c>0;③ 3a+c>0;④ 若A(x1,y1)、B(x2,y2)(其中x12,则y1>y2.其中,正确的是 (　　)
A. ①②③ B. ①③④
C. ②③④ D. ①②④
3. (2024·广元改编)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,-2),与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,且-10;④ a>.其中,正确的有 (　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
4. (2024·眉山)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B,对称轴为直线x=1.有下列四个结论:① bc<0;② 3a+2c<0;③ ax2+bx≥a+b;④ 若-2　　　　　　　　　
5. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的一部分如图所示,该函数图像经过点(-2,0),对称轴为直线x=-.给出下列结论:① abc<0;② b2-4ac>0;③ a+b+c=0;④ am2+bm<(a-2b);⑤ 若A(x1,y1)和B(x2,y2)两点均在该函数图像上,且x1>x2>1,则y1>y2.其中,正确的个数为　　　　.
类型二　根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图像
6. (2023·苏州工业园区期中)函数y=ax2-a与y=ax-a(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是 (　　)
7. 若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=-在同一平面直角坐标系内的大致图像为 (　　)
　　　　　　　　　　　　
类型三　利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
8. (2023·高新区期中改编)小爱同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图所示的函数图像.请根据函数图像,回答下列问题:
(1) 观察探究:
① 写出该函数的一条性质:　　　　　　　　;
② 方程-(|x|-1)2=-1的解为　　　　　　　　;
③ 若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是　　　　　　.
(2) 延伸思考:
将函数y=-(|x|-1)2的图像经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图像 写出平移过程,并直接写出当2第8题
小专题(二)　与二次函数相关的存在性问题
类型一　三角形最大面积的存在性
1. (2024·龙东地区)如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B、C的坐标分别为(1,0)、(0,3).
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 在第二象限的抛物线上是否存在一点P,使得△APC的面积最大 若存在,请求出点P的坐标和△APC的最大面积;若不存在,请说明理由.
第1题
类型二　等腰三角形的存在性
2. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图像交坐标轴于A(-1,0)、B(4,0)、C(0,-4)三点,P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的表达式.
(2) 是否存在点P,使得△POC是以OC为底边的等腰三角形 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第2题
类型三　平行四边形的存在性
3. (2024·广元改编)如图,抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0)、C(0,3)两点,并交x轴于另一点B,M是抛物线的顶点,直线AM与y轴交于点D.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式.
(2) 若P是抛物线上一动点,则在对称轴上是否存在点Q,使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形 若存在,请求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
第3题
类型四　菱形的存在性
4. (2024·姑苏一模)如图,二次函数y=-x2+(m-1)x+m(其中m>1)的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC、BC,点D为△ABC的外心,连接AD、BD、CD.
(1) 求点A的坐标与∠ABC的度数.
(2) 记△ACD的面积为S1,△ABD的面积为S2,试探究S1-S2是否为定值 如果是,求出这个定值.
(3) 若在第一象限内的抛物线上存在一点E,使得以B、D、C、E为顶点的四边形是菱形,则m的值为　　　　.
第4题
第5章　二次函数
小专题(一)　利用二次函数的图像信息解题
1. D　2. D
3. B　解析:① 观察图像上点(-1,a-b+c)的位置,得a-b+c>0,故①不符合题意.② 关于x的一元二次方程ax2+bx+c+2=0可化为ax2+bx+c=-2.由题图,得抛物线y=ax2+bx+c与直线y=-2有两个交点,∴ ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根,即关于x的一元二次方程ax2+bx+c+2=0有两个不相等的实数根.故②符合题意.③ 由抛物线y=ax2+bx+c过点C(0,-2),得出c=-2,即y=ax2+bx-2.观察点(-1,a-b-2)的位置,得a-b-2>0,即a-b>2.同理根据点(2,4a+2b-2)的位置,得4a+2b-2≤0,即4a+2b≤2,∴ a-b>4a+2b.∴ a+b<0.故③不符合题意.④ 由③,得a-b-2>0,即3a-3b-6>0.根据点(3,9a+3b-2)的位置,得9a+3b-2>0,∴ 12a-8>0,解得a>.故④符合题意.综上所述,正确的有②④,共2个.
4. ②③④　5. 3　6. D　7. C
8. (1) ① 答案不唯一,如函数图像关于y轴对称　② x=-2或x=0或x=2　③ -1小专题(二)　与二次函数相关的存在性问题
1. (1) 将B(1,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c,得解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-x2-2x+3　(2) 存在　令y=0,则0=-x2-2x+3,解得x1=-3,x2=1.∴ A(-3,0).由A、C两点的坐标,可得直线AC对应的函数表达式为y=x+3.如图,过点P作PE⊥x轴于点E,交AC于点F.设P(m,-m2-2m+3)(-32. (1) 设这个二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).把A、B、C三点的坐标代入,得解得∴ 这个二次函数的表达式为y=x2-3x-4　(2) 存在　作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交直线BC下方的抛物线于点P.∴ PO=PC,此时P即为满足条件的点.∵ 点C的坐标为(0,-4),∴ 点D的坐标为(0,-2).∴ 点P的纵坐标为-2.在y=x2-3x-4中,令y=-2,则x2-3x-4=-2,解得x1=(不合题意,舍去),x2=.∴ 存在满足条件的点P,其坐标为
3. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx+c经过A(-1,0)、C(0,3)两点,∴ 解得∴ 该抛物线对应的函数表达式为y=-x2+2x+3　(2) 存在　∵ y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴ 顶点M的坐标为(1,4).由点A、M的坐标可求得直线AM对应的函数表达式为y=2x+2,∴ D(0,2).假设对称轴上存在点Q,使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.∵ 抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=1,∴ 点Q的横坐标xQ=1.① 当MQ为平行四边形的一边时,MQ∥PD,MQ=PD.由MQ∥PD,得点P与点C重合,此时PD=CD=3-2=1,∴ MQ=1,即|yQ-4|=1,解得yQ=3或5.∴ Q1(1,3)、Q2(1,5).② 当MQ为平行四边形的对角线时,MD∥PQ,MD=PQ.由D(0,2)、M(1,4),可知点Q先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到点P,∴ xP=xQ+1=2.将xP=2代入y=-x2+2x+3,得yP=3,∴ yQ=yP-2=1.∴ Q3(1,1).综上所述,对称轴上存在点Q,使得以D、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,点Q的坐标为(1,3)或(1,5)或(1,1)
4. (1) 在y=-x2+(m-1)x+m中,令y=0,则x1=-1,x2=m.∵ 点A在点B的左侧,m>1,∴ A(-1,0)、B(m,0).∴ OB=m.令x=0,得y=m.∴ C(0,m).∴ OC=OB=m.∴ 易得∠ABC=∠OCB=45°　(2) S1-S2=,为定值　由(1),得A(-1,0)、B(m,0),∴ AB=m+1.∵ 点D为△ABC的外心,∠ABC=45°,则∠ADC=2∠ABC =90°,AD=DC=BD.如图,过点D作y轴的平行线交x轴于点N,过点C作CM⊥DN,交ND的延长线于点M.设点D的坐标为(a,b),则CM=a,DN=b,AN=a+1,DM=m-b.∵ ∠CDM+∠ADN=90°,∠ADN+∠DAN=90°,∴ ∠CDM=∠DAN.∵ ∠AND=∠DMC=90°,AD=DC,∴ △AND≌△DMC.∴ AN=DM,DN=CM,即a+1=m-b,b=a,解得a=b=(m-1).∴ S2=AB·DN=(m+1)×(m-1)=(m2-1).根据题意,得△ACD为等腰直角三角形,∴ AC2=DC2+AD2=2DC2.∴ S1=DC×AD=DC2=AC2=(OC2+OA2)=(m2+1).∴ S1-S2=(m2+1)-(m2-1)=,为定值　(3)