阶段训练 5.1　二次函数 ~5.4　二次函数与一元二次方程（含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

阶段训练 5.1　二次函数 ~5.4　二次函数与一元二次方程
一、 选择题
1. 　
(2023·苏州工业园区期中)若A(-4,y1)、B(-3,y2)、C(1,y3)为二次函数y=ax2+4ax+a(a>0)的图像上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是 (　　)
A. y12. 已知抛物线y=x2+mx的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+mx=5的根是 (　　)
A. x1=0,x2=4 B. x1=1,x2=5 C. x1=1,x2=-5 D. x1=-1,x2=5
3. 一次函数y=ax+b的图像如图所示,则二次函数y=ax2+bx的图像可能是 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4. (2024·湖北)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的顶点坐标为(-1,-2),与y轴的交点在x轴的上方,下列结论正确的是 (　　)
A. a<0 B. c<0 C. a-b+c=-2 D. b2-4ac=0
5. (2024·福建)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图像经过A、B(3a,y2)两点,则下列判断正确的是 (　　)
A. 可以找到一个实数a,使得y1>a B. 无论实数a取什么值,都有y1>a
C. 可以找到一个实数a,使得y2<0 D. 无论实数a取什么值,都有y2<0
6. (2024·苏州工业园区二模)已知关于x的二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0)的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点N,Q为函数图像的顶点.当△ABQ的面积与△ABN的面积相等时,m的值为 (　　)
A. B. C. D. 或-
7. 若二次函数y=ax2+2的图像经过P(1,3)、Q(m,n)两点,则代数式n2-4m2-4n+9的最小值为 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. (2023·自贡)经过A(2-3b,m)、B(4b+c-1,m)两点的抛物线y=-x2+bx-b2+2c(x为自变量)与x轴有交点,则线段AB的长为 (　　)
A. 10 B. 12 C. 13 D. 15
二、 填空题
9. 函数y=-2x2的图像可以看成由函数y=2x2的图像绕　　　　至少旋转　　　　得到的.
10. 已知二次函数y=a(x+h)2+3,当x>2时,y随x的增大而减小;当x<2时,y随x的增大而增大,则a　　　　0,h的值为　　　　.
11. 将抛物线y=x2-2x+3向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,所得抛物线的顶点坐标是　　　　.
第12题
12. (2023·昆山期末改编)如图,抛物线y=x2-ax-(a+1)(其中a为常数)的对称轴为直线x=1,与x轴交于点A、B,则AB的长为　　　　.
13. (1) (2024·济宁)将抛物线y=x2-6x+12向下平移k个单位长度.若平移后得到的抛物线与x轴有公共点,则k的取值范围是　　　　.
(2) 如果抛物线y=-mx2-6x+1与x轴没有公共点,那么m的取值范围是　　　　　.
14. 若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图像上,且点P到y轴的距离小于2,则n的取值范围是　　　　.
三、 解答题
15. (2024·昆山一模)如图,抛物线L:y=ax2+bx+4与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1) 求抛物线L对应的函数表达式.
(2) 若抛物线L关于原点对称的抛物线为L',则抛物线L'对应的函数表达式为
.
(3) 在抛物线L'上是否存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
第15题
16. (2023·绍兴)已知二次函数y=-x2+bx+c.
(1) 当b=4,c=3时.
① 求该函数图像的顶点坐标;
② 当-1≤x≤3时,求y的取值范围.
(2) 当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,求二次函数的表达式.
阶段训练(5.1~5.4)
一、 1. B　2. D　3. D　4. C
5. C　解析:把A代入y=x2-2ax+a(a≠0),得y1=-2a×+a=-a2+a,即y1-a=-a2.∵ a≠0,∴ -a2<0.∴ y1-a<0,即无论实数a(a≠0)取什么值,都有y16. D
7. A　解析:∵ 二次函数y=ax2+2的图像经过点P(1,3),∴ a=1.∴ 二次函数的表达式为y=x2+2.∵ 点Q(m,n)在二次函数y=x2+2的图像上,∴ n=m2+2.∴ n2-4m2-4n+9=(m2+2)2-4m2-4(m2+2)+9=m4-4m2+5=(m2-2)2+1.∵ (m2-2)2≥0,∴ n2-4m2-4n+9的最小值为1.
8. B
二、 9. 原点　180°　10. <　-2　11. (3,5)　12. 4　13. (1) k≥3　(2) m<-9　14. 1≤n<10
三、 15. (1) 将A(-1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx+4,得解得∴ 抛物线L对应的函数表达式为y=-x2+3x+4
(2) y=x2+3x-4　解析:在y=-x2+3x+4中,令x=0,得y=4.∴ C(0,4).∵ 抛物线L'与L关于原点对称,∴ 抛物线L上的点A、B、C关于原点的对称点分别为A'(1,0)、B'(-4,0)、C'(0,-4).设抛物线L'对应的函数表达式为y=a'(x-1)(x+4).将C'(0,-4)代入,得a'=1,∴ 抛物线L'对应的函数表达式为y=(x-1)(x+4),即y=x2+3x-4.
(3) 存在　∵ A(-1,0)、B(4,0)、C(0,4),∴ AB=5,OC=4.∴ S△ABC=AB·OC=×5×4=10.∵ S△ABC=2S△ABP,∴ S△ABP=5.设抛物线L'上的点P的坐标为(m,m2+3m-4),则S△ABP=AB·|yP|=5.∴ ×5×|m2+3m-4|=5,即m2+3m-4=2或m2+3m-4=-2.解方程,可得m=或m=.∴ 存在一点P,使得S△ABC=2S△ABP,点P的坐标为或
16. (1) ① 当b=4,c=3 时,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,∴ 该函数图像的顶点坐标为(2,7)　② 当x=-1时,y=-(-1)2+4×(-1)+3=-2;当x=3 时,y=-32+4×3+3=6.∵ -1<0,-1≤x≤3,∴ 当x=2时,y取得最大值,为7.∴ 当-1≤x≤3时,-2≤y≤7　(2) ∵ 当x≤0时,y的最大值为2;当x>0时,y的最大值为3,∴ 该函数图像的对称轴直线x=在y轴的右侧.∴ b>0.由a=-1,得该函数图像开口向下,∴ c=2,=3.∴ b=2(负值舍去).∴ 二次函数的表达式为 y=-x2+2x+2