第7章锐角三角函数 整合提升（含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

第7章　锐角三角函数 整合提升
考点一　锐角三角函数的概念与计算
1. 　
如图,在平面直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为,则cosα的值为 (　　)
A. B. C. D.
　　　　　　　　　　　　
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=26,AC=10,则cos A的值为　　　　.
3. 如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长均为1,则∠BAC的正切值为　　　　.　
4. (2023·娄底)如图,点E在矩形ABCD的边CD上,将△ADE沿AE折叠,点D恰好落在边BC上的点F处.若BC=10,sin∠AFB=,则DE的长为　　　　.
5. 如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+与☉O相交于A、B两点,且点A在x轴上,则∠BAO=　　　　°,弦AB的长为　　　　.
考点二　特殊角的三角函数的计算
6. 计算sin245°+cos 30°·tan 60°的结果是 (　　)
A. 2 B. 1 C. D.
7. 已知α、β均为锐角,且满足+=0,则α+β的度数为　　　　.
第8题
8. (2023·荆州)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(),点O是这段弧所在圆的圆心,B为上一点,OB⊥AC于点D.若AC=300m,BD=150m,则的长为　　　　m.
考点三　解直角三角形
第9题
9. (2024·临夏)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sinB=,则BC的长为 (　　)
A. 3 B. 6
C. 8 D. 9
10. 在Rt△ABC中,∠C=90°,请根据下面的条件解直角三角形.
(1) BC=8,∠B=60°; (2) AC=,AB=2.
11. (2024·滨州改编)在锐角三角形ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,边、角总满足关系式:==.
(1) 如图①,若∠B=75°,∠C=45°,BC=2,求AB的长.
(2) 如图②,某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD.若CD⊥AB,AC=14m,AB=10m,sin∠ACB=,求景观桥CD的长度.
考点四　用锐角三角函数解决问题
12. (2023·南充改编)如图,为了测量一条河流的宽度,测量员在河岸边相距200m的P、Q两点分别测对岸点T的位置,点T在点P的正北方向,在点Q的北偏西70°方向,则这条河流的宽度(PT的长)为(　　)
A. 200tan 70°m B. m C. 200sin 70°m D. m
　　　　　　　　
13. 大坝的横截面是等腰梯形,其上底与腰的夹角是135°,则坝坡的坡度是　　　　.
14. (2024·德阳)如图,某校学生开展综合实践活动,测量一建筑物CD的高度,在建筑物旁边有一高度为10m的小楼房AB,小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°,在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°(AB、CD在同一平面内,点B、D在同一水平面上),则建筑物CD的高为　　　　m.
15. (2024·资阳)如图,某海域有两灯塔A、B,其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向,且灯塔A、B相距海里.一渔船在C处捕鱼,测得C处在灯塔A的北偏东30°方向,在灯塔B的正北方向.
(1) 求B、C两处的距离.
(2) 该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后,突发故障滞留于D处,并发出求救信号.此时,在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向,便立即以18海里/时的速度沿BD方向航行至D处救援,求渔政船的航行时间(注:点A、B、C、D在同一水平面内,参考数据:tan65°≈2.1,tan27°≈0.5).
第15题
16. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,过点E作EF⊥AB,交AC于点F.若BC=4,△AEF的面积为5,则sin∠CEF的值为 (　　)
A. B. C. D.
　　　　　　　　
17. (2024·乐山)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=1,P是边BC上一个动点,在BC的延长线上找一点Q,使得点P和点Q关于点C对称,连接DP、AQ交于点M.当点P从点B运动到点C时,点M的运动轨迹的长为　　　　.
18. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A、B重合),过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为D、E,连接DE、PC交于点Q,连接AQ.当△APQ为直角三角形时,AP的长为　　　　.
19. (2024·广安改编)如图,∠AOB的边OB与x轴的正半轴重合,P是OA上一动点,N(3,0)是OB上一定点,M是ON的中点,∠AOB=30°,要使PM+PN的值最小,则点P的坐标为　　　　.
　　　　　　
20. 如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠CAB=30°,AD⊥BC,垂足为D,P为线段AD上的一动点,连接PB、PC,则PA+2PB的最小值为　　　　.
21. (2024·苏州)如图,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.求:
(1) BC的长;
(2) ☉O的半径.
第21题
22. (2023·泸州)如图,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用的方法如下:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿坡度为i=2∶的斜坡AB前进20m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度结果保留根号,参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈.
第22题
第7章　锐角三角函数
1. C　2. 　3. 1　4. 5
5. 30　2　解析:设直线AB交y轴于点C,过点O作OD⊥AB于点D,则AB=2AD.由y=x+,得C0,、A(-2,0).∴ OC=,OA=2.∴ 在Rt△AOC中,tan∠CAO==.∴ ∠CAO=30°.∴ 在Rt△ADO中,AD=OA·cos30°=2×=.∴ AB=2.
6. A　7. 75°
8. 200π　解析:由垂径定理,得AD=AC=150m.设OA=xm.在Rt△AOD中,由勾股定理,得AD2+OD2=OA2,即(150)2+(x-150)2=x2,解得x=300.∴ sin∠AOB==.∴ ∠AOB=60°.根据等腰三角形的性质,得∠AOC=2∠AOB=120°,∴ 的长为=200π(m).
9. B
10. (1) ∠A=30°,AB=16,AC=8　(2) ∠A=∠B=45°,BC=
11. (1) ∵ 在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,∴ ∠A=60°.∵ BC=2,=,∴ =.∴ AB=sin45°×=×=　(2) ∵ 在△ABC中,=,∴ =.∴ sinB=.∴ ∠B=60°.设BD=xm(x>0),则AD=(10-x)m,CD=BD·tan60°=xm.在Rt△ADC中,由勾股定理,得CD2+AD2=AC2,即(x)2+(10-x)2=142.化简,得x2-5x-24=0,解得x1=-3(不合题意,舍去),x2=8.∴ x=8.∴ 景观桥CD的长度为8m
12. B　13. 1∶1　14. 15
15. (1) 如图,由题意,得BC∥EF,∴ ∠ACB=∠CAE=30°,∠ABC=∠BAF=30°.∴ ∠ACB=∠ABC.∴ AB=AC=海里.过点A作AH⊥BC于点H.∴ ∠AHC=∠AHB=90°,CH=BH.∴ CH=BH=AB·cos30°=×=8(海里).∴ BC=CH+BH =16海里.∴ B、C两处的距离为16海里　(2) 如图,过点D作DG⊥BC,交BC的延长线于点G.设DG=x海里.在Rt△BDG中,BG=≈2x海里,在Rt△CDG中,CG=≈海里.∵ BC=BG-CG,∴ 2x-=16,解得x=10.5.∴ DG=10.5海里.∴ CG=5海里,BG=21海里.∴ BD==海里.∴ 渔政船的航行时间为÷18=(小时)
16. A
17. 　解析:如图,连接AC,过点C作CG⊥BC,交AD于点G,作点B关于点C的对称点Q',连接BD、AQ'交于点H.∵ 四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴ AD∥BC,AD=CD=AB=BC,∠ADC=∠ABC=60°,∠DBC=∠ABC=30°.∴ △ACD是等边三角形,CG⊥AD.∴ CG垂直平分AD.∵ 点P、Q关于点C对称,∴ 易得点M一定在直线CG上.∵ 点P从点B运动到点C,∴ 可以得到点M的运动轨迹就是CH这一段.∵ 在Rt△BCH中,∠DBC=30°,BC=AB=1,∴ CH=BC×tan30°=,即点M的运动轨迹的长为.
18. 3或2
19. 　解析:作点N关于OA对称的点N',连接N'M,交OA于点P,此时PM+PN的值最小,连接ON'.根据题意,可证△NON'是等边三角形,结合M是ON的中点,可得N'M⊥ON.在Rt△PMO中,OM=ON=,PM=OM·tan 30°=,∴ 点P的坐标为.
20. 4　解析:如图,在∠BAC的外部作∠CAE=15°,过点B作BF⊥AE于点F,交AD于点P,此时PA+2PB的值最小.∴ ∠AFB=90°.∵ AB=AC,AD⊥BC,∴ ∠CAD=∠BAD=∠BAC=×30°=15°.∴ ∠EAD=∠CAE+∠CAD=30°.∴ PF=PA.∴ PA+2PB=2PA+PB=2(PF+PB)=2BF.在Rt△ABF中,AB=4,∠BAF=∠BAC+∠CAE=45°,∴ BF=AB·sin45°=4×=2.∴ PA+2PB的最小值=2BF=4.
21. (1) ∵ ∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,∴ △BAC∽△BCD.∴ =.∵ AB=4,D为AB的中点,∴ BD=AD=2.∴ =.∴ BC=4(负值舍去)　(2) 如图,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接CO并延长,交☉O于点F,连接AF.∵ 在Rt△AED中,cos∠ADC==,AD=2,∴ DE=1.∴ 由勾股定理,得AE==.∵ △BAC∽△BCD,∴ ===.设CD=x,则AC=x,CE=x-1.∵ 在Rt△ACE中,由勾股定理,得AC2=CE2+AE2,∴ (x)2=(x-1)2+()2,即x2+2x-8=0,解得x1=2,x2=-4(不合题意,舍去).∴ CD=2,AC=2.∵ =,∴ ∠AFC=∠ADC.∵ CF为☉O的直径,∴ ∠CAF=90°.∴ sin∠AFC==sin∠ADC=.∴ =,解得CF=.∴ ☉O的半径为
22. 如图,过点B作BF⊥AD于点F.∵ i=2∶,∴ 可设BF=2km,AF=km.∵ 在Rt△ABF中,BF2+AF2=AB2,AB=20m,∴ (2k)2+(k)2=(20)2,解得k=20(负值舍去).∴ BF=40m.延长BC、DE交于点H.∵ BC是水平线,DE是铅直线,∴ DH⊥CH,四边形BFDH是矩形.∴ DH=BF=40m.∵ 在Rt△CDH中,tan∠DCH=,∴ CH==m.∵ 在Rt△CEH中,tan∠ECH=,∴ EH=CH·tan∠ECH=·tan37°≈×=10(m).∴ DE=DH-EH=(40-10)m.∴ 古树DE的高度为(40-10)m