期末素能测评（含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

期末素能测评
一、 选择题(每小题3分,共24分)
1. 　　　　
下列说法正确的是 (　　)
A. 10张票中有1张奖票,10人去摸,先摸的人摸到奖票的概率较大
B. 从1、2、3、4、5中随机抽一个数,抽到偶数的可能性较大
C. 小强一次掷出3枚质地均匀的骰子,3枚全是6点朝上是随机事件
D. 抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为,连续抛此硬币2次必有1次正面朝上
2. 七巧板、九连环、华容道、鲁班锁是深受大家喜爱的益智玩具.现将1个七巧板、2个九连环、1个华容道和2个鲁班锁分别装在6个不透明的盒子中(每个盒子装1个),所有盒子除里面装的玩具不同外其余均相同.从这6个盒子中随机抽1个盒子,抽到装有七巧板的盒子的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3. 计算-sin 60°的结果为 (　　)
A. - B. - C. -1 D. -
4. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,A、B、C、D四个点均在格点(网格线的交点)上,AC与BD相交于点E,连接AB、CD,则△ABE与△CDE的周长比为 (　　)
A. 1∶4 B. 4∶1 C. 1∶2 D. 2∶1
　　　　　　　　　　　　
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图像如图所示,图像经过点(0,2),其对称轴为直线x=-1.有下列结论:① 3a+c>0;② 若点(-4,y1)、(3,y2)均在该二次函数的图像上,则y1>y2;③ 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1有两个相等的实数根;④ 满足ax2+bx+c>2的x的取值范围是-2A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.若△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上,则cos∠BAC的值是 (　　)
A. B. C. D.
7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,CD⊥AB,垂足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F,则DF的长为 (　　)
A. B. C. D.
第8题
8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=x,∠BAC=α,O为AB的中点.若D为直线BC下方一点,且△BCD 与△ABC相似,则有下列结论:① 若α=45°,BC与OD相交于点E,则点E不一定是△ABD的重心;② 若α=60°,则AD长的最大值为2;③ 若α=60°,△ABC∽△CBD,则OD的长为2;④ 若△ABC∽△BCD,则当x=2时,AC+CD取得最大值.其中,正确的为 (　　)
A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
二、 填空题(每小题3分,共24分)
9. 在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm,则宽约为　　　　cm(精确到1cm).
10. 某厂生产了1000只灯泡.为了了解这1000只灯泡的使用寿命,从中随机抽取了50只灯泡进行检测,获得了它们的使用寿命x(单位:小时),整理如下表:
使用寿命x/小时 x<1000 1000≤x<1600 1600≤x<2200 2200≤x<2800 x≥2800
灯泡只数 5 10 12 17 6
估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为　　　　只.
11. 经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转,这三种可能性大小相同.若两辆汽车经过这个十字路口,则至少一辆车向右转的概率是　　　　.
12. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△A1B1C1位似,原点O是位似中心,且=3.若点A的坐标为(9,3),则点A1的坐标是　　　　.
　　　　　　
13. 如图,为了测量河对岸两点A、B之间的距离,在河岸这边取点C、D,测得CD=80m,∠ACD=90°,∠BCD=45°,∠ADC=19°17',∠BDC=56°19'.设点A、B、C、D在同一平面内,则A、B两点之间的距离约为　　　　m(参考数据:tan19°17'≈0.35,tan56°19'≈1.50).
14. 某食品零售店新上架一款冷饮产品,每个成本为8元,在销售过程中,每天的销售量y(个)与销售价格x(元/个)的关系如图所示,当10≤x≤20时,其图像是线段AB,则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为　　　　元(利润=总销售额-总成本).
第16题
15. 在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是　　　　　　　　　　　　.
16. 如图所示为两条平行线l1、l2,A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,C、D分别是l1、l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交AB于点E,BH⊥CD于点H.当∠BAH最大时,sin∠BAH=　　　　.
三、 解答题(共82分)
17. (5分)计算:|-1|-3tan 30°+(3.14-π)0+.
18. (5分)在Rt△ABC中,∠C=90°,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长.若b=9,=,试根据上述条件解直角三角形.
19. (6分)如图,在边长为1的正方形ABCD中,点E在边AD上(不与点A、D重合),射线BE与射线CD交于点F.
(1) 若ED=,求DF的长;
(2) 求证:AE·CF=1.
第19题
20. (6分)为了了解学生参与某研学活动情况,随机抽取部分学生对研学活动时长(用t表示,单位:h)进行调查.经过整理,将数据分成四组(A. 0≤t<2;B. 2≤t<4;C. 4≤t<6;D. 6≤t<8),并绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1) 请补全条形统计图;
(2) 在扇形统计图中,a的值为　　　　,D组所在扇形对应的圆心角度数为　　　　;
(3) D组中有男、女生各两名,现从这四名学生中随机抽取两名进行研学宣讲,求抽取的两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率.
21. (6分)城建部门计划修建一条喷泉步行通道.如图①所示为项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.如图②所示为主视示意图.喷水装置OA的高度是2m,水流从喷头A处喷出后呈抛物线形落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2m时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6m.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8m,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3m.点C到水池外壁的水平距离CE=0.6m,求步行通道的宽OE(精确到0.1m,参考数据:≈1.41).
22. (8分)甘肃省风能资源丰富,风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图,风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD、EF在AH的两侧,CD=EF=1.6m,点C与点E相距182m,点C、H、E在同一条直线上,在D处测得风电塔筒顶点A的仰角为45°,在F处测得风电塔筒顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈.
第22题
23. (8分)如图,在菱形ABCD中,AB=10cm,sinA=,DE⊥AB,垂足为E,连接BD.
(1) 求对角线BD的长.
(2) P为边AB上一动点,连接DP,CP,且点P以1cm/s的速度沿边AB由点A向点B运动,设点P运动的时间为ts(0第23题
24. (8分)已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点的横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点的横坐标大1.
(1) 求b的值.
(2) 点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx(b为常数)上.
① 若h=3t,且x1≥0,t>0,求h的值;
② 若x1=t-1,求h的最大值.
25. (10分)如图,以AB为直径的☉O是△ABC的外接圆,延长BC到点D,使得∠BAC=∠BDA,点E在DA的延长线上,点M在线段AC上,CE交BM于点N,交AB于点G.
(1) 若AC=,BD=5,且AC>DC,求BC的长;
(2) 若DE·AM=AC·AD,求证:BM⊥CE.
第25题
26. (10分)如图①,平面内有两条直线l1、l2,点A、B在直线l1上,点C、D在直线l2上,过A、B两点分别作直线l2的垂线,垂足分别为A1、B1,我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影,其长度可记作T(AB,CD)或.特别地,线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C.
请依据上述定义解决下列问题:
(1) 如图②,在锐角三角形ABC中,AB=5,T(AC,AB)=3,则T(BC,AB)=　　　　;
(2) 如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,T(AC,AB)=4,T(BC,AB)=9,则△ABC的面积为　　　　;
(3) 如图④,在钝角三角形ABC中,∠A=60°,点D在边AB上,∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,T(BC,AB)=6,求T(BC,CD).
27. (10分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点,与x轴的另一交点为B.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) D为直线AC上方的抛物线上一动点,连接BC、CD.
① 设直线BD交线段AC于点E,△CDE的面积为S1,△BCE的面积为S2,求的最大值.
② 若过点D作DF⊥AC,垂足为F,则是否存在点D,使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍 若存在,直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.
第27题
期末素能测评
一、 1. C　2. D　3. B　4. D　5. B　6. C
7. B　解析:过点F作FH⊥AC于点H.在Rt△ABC中,由勾股定理以及面积公式求出CD=,AD=.证△AFH∽△AEC,得=,即=.不妨设FH=2k(k>0),则AH=3k,CH=3-3k.证△CFH∽△CAD,得=,由此可求得k=.∴ FH=,CH=3-=.∴ CF==.∴ DF=CD-CF=.
8. A　解析:① 根据题意,分3种不同的情况讨论,其中有1种情况下点E不是△ABD的重心,故①正确.② 当α=60°,BD⊥BC,且∠BDC=30°时,AD的长取得最大值,根据已知数据可求得此时AD的长为2,故②错误.③ 当α=60°时,根据已知数据可求得此时OD的长为,故③错误.④ 由相似三角形的性质,可得CD=BC2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=16-x2,∴ AC+CD=x+(16-x2)=-(x-2)2+5.∴ 当x=2时,AC+CD的最大值为5,故④正确.综上所述,正确的为①④.
二、 9. 12　10. 460　11. 　12. (3,1)　13. 52　14. 121　15. m=3或-116. 　解析:∵ l1∥l2,AB⊥l2于点B,A是定点,∴ B也是定点,AB的长为定值.可证△ACE≌△BDE.∴ AE=BE=AB.∴ BE的长为定值.∵ BH⊥CD,∴ ∠BHE=90°.∴ 点H在以BE为直径的圆上运动.如图,设点O为圆心,连接OH.∴ AO=AE+OE=3OE.易知当AH与☉O相切时,∠BAH最大,此时sin∠BAH==.
三、 17. 原式=-1-3×+1+2=-1-+1+2=2
18. ∵ 在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA==,∴ ∠A=60°.∴ ∠B=90°-∠A=30°.∴ sinB=sin30°==.∴ c=2b=18.∴ 由勾股定理,得a==9
19. (1) ∵ 四边形ABCD是边长为1的正方形,∴ AD∥BC,AB=AD=BC=CD=1.∴ △EDF∽△BCF.∴ =.∴ =.∴ DF=　(2) ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB∥CD,∠A=∠BCD=90°.∴ ∠ABE=∠F.∴ △BAE∽△FCB.∴ =.∴ AE·CF=AB·CB=1
20. (1) ∵ 抽取的人数为10÷20%=50,∴ C组的人数为50-10-16-4=20.补全条形统计图如图①所示　(2) 32　28.8°　(3) 记两名男生为男1、男2,两名女生为女1、女2,画树状图如图②所示.由树状图可知,共有12种等可能的结果,其中抽取的两名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种.∴ P(抽取的两名学生恰好是一名男生和一名女生)==
21. 以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系.由题意,得A(0,2)、B(2,3.6).∵ 抛物线的最高点为B,∴ 设抛物线对应的函数表达式为y=a(x-2)2+3.6.把A(0,2)代入,得4a+3.6=2,解得a=-0.4.∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-0.4(x-2)2+3.6.当y=1.8时,-0.4(x-2)2+3.6=1.8,解得x=2+或x=2-.∴ D2+,1.8.∴ OE=xD-DN-CE≈2+-0.3-0.6≈3.2(m).∴ 步行通道的宽OE约为3.2m
22. 如图,连接DF交AH于点G.由题意,得CD=EF=GH=1.6m,DF=CE=182m,DF⊥AH.设DG=xm,则FG=DF-DG=(182-x)m.∵ 在Rt△AGD中,∠ADG=45°,∴ AG=DG·tan45°=xm.∵ 在Rt△AFG中,∠AFG=53°,∴ AG=FG·tan53°≈(182-x)m.∴ x=(182-x),解得x=104.∴ AG=104m.∴ AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m).∴ 风电塔筒AH的高度约为105.6m
23. (1) ∵ 四边形ABCD是菱形,AB=10cm,∴ AD=AB=CD=10cm.∵ DE⊥AB,∴ 在Rt△AED中,sinA==.∴ DE=AD=6cm.∴ AE==8cm.∴ BE=AB-AE=2cm.∴ 在Rt△DEB中,BD===2(cm)　(2) 由题意,得AP=1·t =t(cm),∴ PE=|t-8|cm.∴ 在Rt△PED中,PD===(cm).∵ 四边形ABCD是菱形,∴ DC∥AB.∴ ∠APD=∠CDP.分两种情况讨论:当=时,△PAD∽△DPC.此时PD2=AP·CD,∴ t2-16t+100=10t,解得t=13-或t=13+(不合题意,舍去).当=时,△PAD∽△DCP.此时AP=CD=10cm,∴ t=10.综上所述,当t=13-或t=10时,以A、D、P为顶点的三角形与△CDP相似
24. (1) ∵ 抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点的横坐标为-=,抛物线y=-x2+2x的顶点的横坐标为-=1,∴ =1+1,解得b=4　(2) ∵ 点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上,点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+4x上,∴ y1=-+2x1,y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t).∴ -+2x1+h=-(x1+t)2+4(x1+t).整理,得h=-t2-2x1t+2x1+4t　① ∵ h=3t,∴ 3t=-t2-2x1t+2x1+4t,即t(t+2x1)=t+2x1.∵ x1≥0,t>0,∴ t+2x1>0.∴ t=1.∴ h=3　② 将x1=t-1代入h=-t2-2x1t+2x1+4t,得h=-t2-2t(t-1)+2(t-1)+4t,即h=-3t2+8t-2=-3+.∵ -3<0,∴ 当t=,即x1=时,h取最大值,为
25. (1) ∵ AB是☉O的直径,∴ ∠ACB=90°.∴ ∠ACB=∠DCA=90°.∵ ∠BAC=∠ADC,∴ △ACB∽△DCA.∴ =,即=.∵ AC=,BD=5,∴ =,解得BC=2或BC=3.当BC=2时,DC=BD-BC=3,此时与AC>DC矛盾,舍去;当BC=3时,DC=BD-BC=2,符合题意.∴ BC的长为3　(2) ∵ 易得∠ACB=90°,∴ 在△ACB中,∠BAC+∠ABC=90°.∵ ∠BAC=∠BDA,∴ ∠EAG=∠BDA +∠ABC=90°.由(1),得△ACB∽△DCA,∴ =.∴ AC·DA=DC·AB.∵ DE·AM=AC·AD,∴ DE·AM=DC·AB.∴ =.∵ ∠BAC=∠BDA,即∠BAM=∠EDC,∴ △AMB∽△DCE.∴ ∠ABM=∠E.∵ △EAG、△BNG的内角和均为180°,∠EGA=∠BGN,∴ ∠EAG=∠BNG=90°.∴ BM⊥CE
26. (1) 2
(2) 39　解析:过点C作CF⊥AB于点F,则T(AC,AB)=AF,T(BC,AB)=BF.∵ T(AC,AB)=4,T(BC,AB)=9,∴ AF=4,BF=9,即AB=13.∵ CF⊥AB,∴ ∠AFC=∠CFB=90°.∴ ∠A+∠ACF=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠A+∠B=90°.∴ ∠ACF=∠B.∴ △AFC∽△CFB.∴ =.∴ CF2=AF·BF=36,即CF=6.∴ △ABC的面积为AB·CF=×13×6=39.
(3) 过点C作CH⊥AB于点H,过点B作BG⊥CD,交CD的延长线于点G.∵ ∠ACD=90°,T(AD,AC)=2,∴ AC=2.∵ 在Rt△ACD中,∠A=60°,∴ CD=AC·tan 60°=2,AD==4.∵ 在Rt△AHC中,AH=AC·cos 60°=1,∴ DH=AD-AH=3.∵ CH⊥AB,T(BC,AB)=6,∴ BH=6.∴ DB=BH-DH=3.∵ 在Rt△DGB中,∠BDG=∠ADC=90°-∠A=30°,∴ DG=BD·cos 30°=.∴ CG=CD+DG=2+=.∴ T(BC,CD)=CG=
27. (1) ∵ 直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴ 易得A(-4,0)、C(0,2).∵ 抛物线y=-x2+bx+c经过A、C两点,∴ 解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y=-x2-x+2　(2) ① 如图①,过点D作DM⊥x轴,交AC于点M,过点B作BN⊥x轴,交AC于点N.∴ DM∥BN.∴ △DME∽△BNE.∴ =.∴ ==.在y=-x2-x+2中,令y=0,得-x2-x+2=0,解得x1=-4,x2=1.∴ 点B的坐标为(1,0).∴ 易得点N的坐标为.设Da,-a2-a+2(-4② -2或　解析:存在　∵ A(-4,0)、B(1,0)、C(0,2),∴ OA=4,OB=1,OC=2.∴ =2,=2.又∵ ∠AOC=∠COB=90°,∴ △AOC∽△COB.∴ ∠ACO=∠ABC.分三种情况讨论:(i) ∵ tan∠BAC==≠1,∴ ∠BAC≠45°.∴ ∠DFC≠2∠BAC.(ii) 当∠DCF=2∠BAC时,如图②,作点C关于x轴的对称点G,连接AG,则∠BAC=∠GAB,G(0,-2).∴ ∠CAG=2∠BAC.∴ ∠DCF=∠CAG.∴ CD∥AG.设直线AG对应的函数表达式为y=kx+b'(k≠0).把A(-4,0)、G(0,-2)代入,得解得∴ 直线AG对应的函数表达式为y=-x-2.易得直线CD对应的函数表达式为y=-x+2.解方程-x+2=-x2-x+2,得x1=0(不合题意,舍去),x2=-2.∴ 点D的横坐标为-2.(iii) 当∠CDF=2∠BAC时,如图③,作线段AC的垂直平分线,交x轴于点P,连接CP,则CP=AP.∴ ∠BAC=∠ACP.∴ ∠CPO=∠BAC+∠ACP=2∠BAC.∴ ∠CDF=∠CPO.设OP=m,则CP=AP=4-m.在Rt△COP中,由勾股定理,得OP2+OC2=CP2.∴ m2+22=(4-m)2,解得m=,即OP=.∴ tan∠CPO==.∴ tan∠CDF==.过点F作FK∥x轴,交y轴于点K,过点D作DQ∥y轴,交KF的延长线于点Q,则∠Q=∠FKC=90°.∴ ∠CFK+∠FCK=90°.∵ DF⊥AC,∴ ∠CFK+∠DFQ=90°.∴ ∠FCK=∠DFQ.又∵ ∠FKC=∠Q,∴ △FKC∽△DQF.∴ ===.∵ QK∥x轴,∴ △CFK∽△CAO.∴ =.∴ =,即FK=2KC.设QF=3n,则KC=4n,FK=8n,DQ=6n,OK=2-4n.∴ D(-11n,2+2n).将点D的坐标代入y=-x2-x+2,得2+2n=-×(-11n)2-×(-11n)+2,解得n1=0(不合题意,舍去),n2=.∴ -11n=-,即点D的横坐标为-.综上所述,点D的横坐标为-2或-.