专题(一)　二次函数（含答案） 2024-2025学年数学苏科版九年级下册

专题(一)　二次函数
1. 　
抛物线y=2(x+9)2-3的顶点坐标是 (　　)
A. (9,-3) B. (-9,-3) C. (9,3) D. (-9,3)
2. (2024·眉山)定义运算:a b=(a+2b)(a-b),例如4 3=(4+2×3)×(4-3),则函数y=(x+1) 2的最小值为 (　　)
A. -21 B. -9 C. -7 D. -5
3. (2023·扬州)已知二次函数y=ax2-2x+(a为常数,且a>0).有下列结论:① 函数图像一定经过第一、二、四象限;② 函数图像一定不经过第三象限;③ 当x<0时,y随x的增大而减小;④ 当x>0时,y随x的增大而增大.其中,正确的是 (　　)
A. ①② B. ②③ C. ② D. ③④
4. 一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是 (　　)
5. (2024·乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是 (　　)
A. 06. (2024·牡丹江)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两点,与y轴的交点C的纵坐标在-3和-2之间.给出下列结论:① abc2>0;② A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④
　　　　
7. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A出发,沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C出发,沿CB向点B以2cm/s的速度运动(当点Q运动到点B时,点P、Q同时停止运动).在运动过程中,四边形PABQ的面积最小为 (　　)
A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2
8. (1) 二次函数y=-3x2-2的最大值为　　　　;
(2) 若二次函数y=-x2-2x+7的函数值为-17,则x的值为　　　　.
9. 如图,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的坐标分别为A(-2,4)、B(1,1),则关于x的方程ax2=bx+c的解为　　　　　　.
　　　　　　　　　　　　
10. 如图,将函数y=(x-2)2+1的图像沿y轴向上平移得到一个新函数图像,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中阴影部分),则新图像对应的函数表达式为　　　　　　　.
11. (2024·上海)若一个抛物线y=a(x-m)2+k(a≠0)上存在一点P(x',y'),使得x'-m=y'-k≠0,则称2|x'-m|为该抛物线的“开口大小”.抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为　　　　.
12. (2024·连云港)已知抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a<0)的顶点坐标为(1,2).小烨同学得出下列结论:① abc<0;② 当x>1时,y随x的增大而减小;③ 若关于x的方程ax2+bx+c=0的一个根为x=3,则a=-;④ 抛物线y=ax2+2是由抛物线y=ax2+bx+c先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的.其中,一定正确的是　　　　(填序号).
13. 二次函数y=x2-2x-3的图像如图所示.若线段AB在x轴上,且AB的长为2,以AB为边作等边三角形ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图像上,则点C的坐标为　　　　　　.
14. (2024·新疆)如图,抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线的对称轴上移动(点C在点D的下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点C的坐标为　　　　.
15. 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数)的部分图像如图所示,设m=a-b+c,则m的取值范围是　　　　.
16. (2023·丽水)已知点(-m,0)、(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a、b是常数,a≠0)的图像上.求证:b2+4a=0.
17. (2024·牡丹江)如图,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC.
(1) 求该二次函数的表达式;
(2) P是抛物线在第四象限内的部分上的任意一点,当△BCP的面积最大时,试求边BC上的高PN.
第17题
18. (2023·河南)小林不仅是一名羽毛球运动爱好者,还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析,下面是他对击球线路的分析.
如图,在平面直角坐标系中,点A、C在x轴上,球网AB与y轴的水平距离 OA=3m,CA=2m,击球点P在y轴上.若选择扣球,则羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足一次函数关系y=-0.4x+2.8;若选择吊球,则羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足二次函数关系y=a(x-1)2+3.2.
(1) 求点P的坐标和a的值.
(2) 小林分析发现,上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到点C的距离更近,请通过计算判断应选择哪种击球方式.
第18题
19. (2023·南充)某工厂计划从A、B两种产品中选择一种生产并销售,每日产销x件.已知A产品的成本为m元/件(m为常数,且4≤m≤6),售价为8元/件,每日最多产销500件,同时每日需支付专利费30元;B产品的成本为12元/件,售价为20元/件,每日最多产销300件,同时每日需支付专利费y元,y(元)与每日产销x(件)之间满足函数表达式y=80+0.01x2.
(1) 若产销A、B两种产品的日利润分别为w1元、w2元,请分别写出w1、w2与x之间的函数表达式,并写出x的取值范围;
(2) 分别求出产销A、B两种产品的最大日利润;
(3) 为获得最大日利润,该工厂应该选择产销哪种产品
20. 如图,抛物线y=ax2+bx-6与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,OA=2,OB=4,直线l是抛物线的对称轴,在直线l右侧的抛物线上有一动点D,连接AD、BD、BC、CD.
(1) 求抛物线对应的函数表达式.
(2) 若点D在x轴的下方,当△BCD的面积是时,求△ABD的面积.
(3) 在(2)的条件下,M是x轴上一点,N是抛物线上一点,是否存在点N,使得以B、D、M、N为顶点,以BD为边的四边形是平行四边形 若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
第20题
专题(一)　二次函数
1. B　2. B　3. B　4. C
5. C　解析:∵ y=x2-2x=(x-1)2-1,∴ 二次函数图像的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).∵ 1-(-1)=3-1,∴ 当x=-1和x=3时的函数值相等.∵ 当x=-1时,函数取得最大值,∴ t-1≤3,解得t≤4.又∵ 当x=1时,函数取得最小值,∴ t-1≥1,解得t≥2.∴ 2≤t≤4.
6. A　解析:把A(-3,0)、B(1,0)代入y=ax2+bx+c,解关于a、b的方程组,得b=2a,c=-3a,∴ abc2=a·2a·(-3a)2=18a4>0.故①正确.∵ 点C的纵坐标在-3和-2之间,∴ -3<-3a<-2,即<2a<2.∴ 7. C　8. (1) -2　(2) 4或-6　9. x1=-2,x2=1
10. y=(x-2)2+4
11. 4　解析:∵ y=-x2+x+3=-x-2+,∴ y'=-+.根据题意,得x'-=-+-.∴ x'-=-2.∴ 抛物线y=-x2+x+3的“开口大小”为2=2×|-2|=4.
12. ②③　13. (1+,3)或(2,-3)
14. (4,1)　解析:由抛物线y=x2-4x+6,得A(0,6)、B(2,0),抛物线的对称轴为直线x=4.如图,作点A关于对称轴的对称点A'(8,6),再将点A'向下平移3个单位长度,得到点A″(8,3),连接A″C、A'D,此时AD+BC=A'D+BC=A″C+BC.当A″、C、B三点共线时,AD+BC的值最小,C为线段A″B与对称轴的交点.设直线A″B对应的函数表达式为y=kx+b.将点A″、B的坐标代入,得y=x-1.令x=4,得y=1.∴ C(4,1).
15. -40.∵ 抛物线的对称轴在y轴左侧,∴ -<0.∴ b>0.∵ 抛物线经过点(0,-2),∴ c=-2.∵ 抛物线经过点(1,0),∴ a+b+c=0.∴ a+b=2,即b=2-a.∴ m=a-b+c=a-(2-a)+(-2)=2a-4.∵ b=2-a>0,∴ 016. ∵ 抛物线y=ax2+bx+3经过点(-m,0)、(3m,0),∴ 对称轴为直线x=m,即-=m.∴ b=-2am.把(-m,0)、(3m,0)代入y=ax2+bx+3,得由①×3+②,得12am2+12=0.化简,得am2+1=0.∴ b2+4a=(-2am)2+4a=4a2m2+4a=4a(am2+1)=4a×0=0
17. (1) 把A(-1,0)和C(0,-3)代入y=x2+bx+c,得解得∴ 二次函数的表达式为y=x2-x-3　(2) 令y=0,则0=x2-x-3,解得x1=-1,x2=6.∴ 点B的坐标为(6,0).∵ 点C的坐标为(0,-3),∴ BC===3.设直线BC对应的函数表达式为y=mx+n(m≠0).将C(0,-3)、B(6,0)代入,得解得∴ 直线BC对应的函数表达式为y=x-3.如图,过点P作PE⊥x轴于点E,交BC于点D.设点P的坐标为(018. (1) 根据题意,得P是直线y=-0.4x+2.8与y轴的交点.当x=0时,y=2.8.∴ 点P的坐标为(0,2.8).把P(0,2.8)代入y=a(x-1)2+3.2,得a+3.2=2.8,解得a=-0.4.∴ a的值是-0.4　(2) ∵ OA=3m,CA=2m,∴ OC=5m.∴ C(5,0).若选择扣球,在y=-0.4x+2.8中,令y=0,得x=7,此时球的落地点到点C的距离为7-5=2(m);若选择吊球,在y=-0.4(x-1)2+3.2中,令y=0,得x1=-2+1(不合题意,舍去),x2=2+1,此时球的落地点到点C的距离为5-(2+1)=4-2(m).∵ 2>4-2,∴ 应选择吊球
19. (1) 根据题意,得w1=(8-m)x-30(0≤x≤500);w2=(20-12)x-(80+0.01x2)=-0.01x2+8x-80(0≤x≤300)　(2) ∵ 易知8-m>0,∴ w1随x的增大而增大.∵ 0≤x≤500,∴ 当x=500时,w1取得最大值,w1最大值=-500m+3970.∵ w2=-0.01x2+8x-80=-0.01(x-400)2+1520,∴ -0.01<0,图像的对称轴为直线x=400.∴ 当0≤x≤300时,w2随x的增大而增大.∴ 当x=300时,w2取得最大值,w2最大值=-0.01×(300-400)2+1520=1420　(3) ① 若w1最大值=w2最大值,即-500m+3970=1420,解得m=5.1;② 若w1最大值>w2最大值,即-500m+3970>1420,解得m<5.1;③ 若w1最大值5.1.又∵ 4≤m≤6,∴ 为获得最大日利润:当m=5.1时,选择A或B产品产销均可;当4≤m<5.1时,选择A产品产销;当5.120. (1) ∵ OA=2,OB=4,∴ 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(4,0).把A(-2,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx-6,得解得∴ 抛物线对应的函数表达式为y=x2-x-6　(2) ∵ OA=2,OB=4,∴ AB=OA+OB=6.如图,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点H.在y=x2-x-6中,令x=0,得y=-6.∴ 点C的坐标为(0,-6).∴ 易知直线BC对应的函数表达式为y=x-6.设点D的坐标为t,t2-t-6,则点H的坐标为t,t-6.∴ DH=t-6-t2-t-6=-t2+3t.∵ △BCD的面积是,∴ DH·OB=,即·-t2+3t×4=,解得t=1或t=3.∵ 点D在直线l右侧的抛物线上且在x轴的下方,∴ t=3.∴ 点D的坐标为3,-.∴ DG=.∴ S△ABD=AB·DG=×6×=
(3) 存在　N1、N21+,、N3-1,-　解析:当点N在x轴的上方时,根据题意,得点N的纵坐标为,将y=代入y=x2-x-6,得点N1、N2的横坐标;当点N在x轴的下方时,根据题意,得点N、D的纵坐标相同,为-,将y=-代入y=x2-x-6,得点N3的横坐标.