浙江省杭州市观成中学2024-2025学年七年级下学期开学考试数学试卷
1．（2025七下·杭州开学考）空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2
C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1
2．（2025七下·杭州开学考）下列运算结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．（x3）3 C．x·x5 D．x12÷x2
3．（2025七下·杭州开学考）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·杭州开学考）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·杭州开学考）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·杭州开学考）已知，，，那么，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025七下·杭州开学考）如果(x-2)(x-3)=x2+mx+n，那么m,n的值是（ ）
A．m = -5, n = 6 B．m = 1, n =-6
C．m=1,n=6 D．m = -1, n = 6
8．（2025七下·杭州开学考）将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（ ）
A．4 B．2a+4 C．4a+4 D．4a
9．（2025七下·杭州开学考）已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
10．（2025七下·杭州开学考）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
11．（2025七下·杭州开学考）因式分解： ．
12．（2025七下·杭州开学考）已知，若用含的代数式表示，则 ．
13．（2025七下·杭州开学考）（）若，，则的值为 ．
（）若，则 ．
14．（2025七下·杭州开学考）（）已知，则 ．
（）若，则为 ．
15．（2025七下·杭州开学考）已知，，则 ， ．
16．（2025七下·杭州开学考）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
17．（2025七下·杭州开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．（2025七下·杭州开学考）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
19．（2025七下·杭州开学考）解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
20．（2025七下·杭州开学考）先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
21．（2025七下·杭州开学考）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，所以．
把代入①得，．
所以方程组的解为．
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组．
（2）表示一个两位数，其中为的整数．圆圆在研究平方的规律时发现：
．
．
猜想的结果，并说明理由．
22．（2025七下·杭州开学考）用个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图所示的大长方形；若用这个小长方形拼成如图所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形阴影部分设小长方形的长和宽分别为和．
（1）由图，可知，满足的等量关系是______ ；
（2）若图中小正方形的边长为，求小长方形的面积；
（3）用含的代数式表示图中小正方形的面积．
23．（2025七下·杭州开学考）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
24．（2025七下·杭州开学考）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：0.00129这个数用科学记数法可表示为1.29×10﹣3．
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x3=2x3，此答案错误；
B、(x3)3=x9，此答案错误；
C、x.x5=x6，此答案正确；
D、x12÷x2=x10，此答案错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；同底数幂的除法，底数不变，指数相减，据此判断D.
3．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】分式有意义的条件为：分母不为0，据此列出不等式，求解即可.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是单项式的恒等变形，不是因式分解，不合题意；
B、是将两个多项式的乘积变形为一个多项式，是整式的乘法运算，不是因式分解，不合题意；
C、没有将一个多形式变形为几个整式的乘积形式，不是因式分解，不合题意；
D、是因式分解，符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解．
5．【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、a2-1，这是一个差平方的形式，可以分解为(a+1)(a-1)，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，虽然有两项能写成一个整式的完全平方，但这两项的符号不相同，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，商式中虽然有两项能写成一个整式的完全平方，切这两项的符号相同，但中间项x不是x2与12底数积的2倍，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、，能用完全平方公式进行因式分解.
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，只有完全平方式才能利用完全平方公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
6．【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘方法则、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的运算性质“”分别求出a、b、c的值，再比较即可．
7．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】已知等式整理得：x2-5x+6=x2+mx+n，
则m=-5，n=6，
故答案为：A.
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵面积为a2的正方形的边长为a，
∴将面积为a2的正方形边长增加2后正方形的面积=，
∴面积增加了－ a2=a2+4a+4-a2=4a+4.
故答案为：C．
【分析】根据正方形面积等于边长的平方求出原正方形的边长为a，则新正方形的边长为a+2，面积为(a+2)2，然后利用新正方形的面积减去原正方形的面积等于增加的面积，列出式子，进而利用完全平方公式展开括号，再合并同类项即可得到结果.
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∴的值为负数．
故答案为：D．
【分析】先将M、N所表示的式子分别代入，然后去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简后，利用配方法将M-N的差变形为 ，结合偶数次幂的非负性，即可判断出差为负数.
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
11．【答案】（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：（x+2y）（x-2y）．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】将x看作已知数，y看作未知数，把含y的项留在方程的左边，其它项都移到方程的右边，然后方程两边同时除以未知数项的系数“-2”，将未知数项的系数化为1即可.
13．【答案】 ；
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：（）∵， ，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算将待求式子变形为am÷（an）2，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（）利用有理数乘方运算法则、幂的乘方和同底数幂的乘法将原等式变形为，从而即可得出关于字母x的方程，求解即可.
14．【答案】 ；
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴
，
故答案为：．
【分析】（）根据因式等于积除以另一个因式列出式子，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（）根据减数等于被减数减去差列出式子，再用完全平方公式展开合并同类项即可.
15．【答案】；2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴；
联立得，
得，
解得；
得，
解得；
∴．
故答案为：，2．
【分析】利用平方差公式法可得，把代入计算即可得到；然后联立得，，再用方程①+②消去y求出x的值，进而用方程①-②消去x求出y的值，最后计算出xy的积即可.
16．【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则“单项式乘以单形式，把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可；
（）先根据完全平方公式和乘法分配律展开括号，再合并同类项即可；
（）先计算积的乘方，先计算单项式乘以单项式，最后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（）根据多项式乘以多项式和平方差公式分别展开括号，再合并同类项即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）此题的三项式是一个完全平方式，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提各项的公因式b，然后利用平方差公式将商式继续分解即可；
（3）先提各项的公因式，然后利用完全平方公式将商式继续分解即可．
（1）；
（2）
；
（3）
．
19．【答案】（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②得：
∴方程组的解为：；
（2）解：
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中的②方程已经是用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单；首先将方程②代入①消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，从而即可求出方程组的解；
（2）先将原方程组整理为二元一次方程组的一般形式，由于方程组中两个方程未知数x的系数相同，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程②-①消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可求出方程组的解.
（1）将②代入①得：
解得
将代入②得：
∴方程组的解为：；
（2）整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
20．【答案】（1）解：
∵
∴原式
；
（2）解：
，
∵
∴原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则然后再将代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式展开括号，再合并同类项化简，然后再将代入化简结果计算即可求解．
（1）
∵
∴原式
；
（2）
，
∵
∴原式．
21．【答案】解：（1）
将方程②变形得：③，
把方程①代入③得：，
解得：，
将代入①得：，
所以原方程组的解为；
（2）由，
，
，
可猜想：，理由如下：
，
，
．
【知识点】探索数与式的规律；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）仿照材料中的解题思路，将方程组中②方程变形为③，然后把方程①代入③求出b的值，进而将b的值代入①可算出a的值，从而即可得到方程组的解；
（2）根据所给的例子发现：．根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证．
22．【答案】（1）
（2）解：，
，
由题意可得：，
，
，
小长方形的面积；
（3）解：小正方形的边长，
小正方形的面积．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：图是长方形，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据图1中组成长方形，而长方形的对边是相等的，据此求解即可；
（2）由（1）中结论得出，结合小正方形边长=2b-a可得出，求解出小长方形宽，进而可求出小长方形的长，从而根据长方形面积计算公式即可得出面积；
（3）先表示出小正方形的边长，然后根据正方形面积计算面积计算即可．
（1）图是长方形，
，
故答案为：；
（2），
，
由题意可得：，
，
，
小长方形的面积；
（3）小正方形的边长，
小正方形的面积．
23．【答案】解：操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；图形的剪拼
【解析】【分析】操作1：根据图形的剪拼及勾股定理表示出图②大正方形的边长，进而根据正中部分的小正方形布料的面积=大正方形的面积－图①的面积，列式即可；
操作2：由图③面积为90平方分米，列方程2a×2b=90，由图②中的大正方形靠垫面子面积为106平方分米，列出a2+4b2=106，联立求解得出a、b的值，再根据图④求正方形的面积.
24．【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
1 / 1浙江省杭州市观成中学2024-2025学年七年级下学期开学考试数学试卷
1．（2025七下·杭州开学考）空气的密度为0.00129g/cm3，0.00129这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.129×10﹣2 B．1.29×10﹣2
C．1.29×10﹣3 D．12.9×10﹣1
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：0.00129这个数用科学记数法可表示为1.29×10﹣3．
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2025七下·杭州开学考）下列运算结果为x6的是（ ）
A．x3+x3 B．（x3）3 C．x·x5 D．x12÷x2
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、x3+x3=2x3，此答案错误；
B、(x3)3=x9，此答案错误；
C、x.x5=x6，此答案正确；
D、x12÷x2=x10，此答案错误.
故答案为：C.
【分析】合并同类项的时候，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断C；同底数幂的除法，底数不变，指数相减，据此判断D.
3．（2025七下·杭州开学考）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，
∴
∴．
故答案为：B．
【分析】分式有意义的条件为：分母不为0，据此列出不等式，求解即可.
4．（2025七下·杭州开学考）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、是单项式的恒等变形，不是因式分解，不合题意；
B、是将两个多项式的乘积变形为一个多项式，是整式的乘法运算，不是因式分解，不合题意；
C、没有将一个多形式变形为几个整式的乘积形式，不是因式分解，不合题意；
D、是因式分解，符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种恒等变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此判断即可求解．
5．（2025七下·杭州开学考）下列各式中，可以用完全平方公式因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解-平方差公式；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：A、a2-1，这是一个差平方的形式，可以分解为(a+1)(a-1)，不能用完全平方公式进行因式分解；
B、，虽然有两项能写成一个整式的完全平方，但这两项的符号不相同，不能用完全平方公式进行因式分解；
C、，商式中虽然有两项能写成一个整式的完全平方，切这两项的符号相同，但中间项x不是x2与12底数积的2倍，不能用完全平方公式进行因式分解；
D、，能用完全平方公式进行因式分解.
故答案为：D．
【分析】形如“a2±2ab+b2”的式子就是完全平方式，只有完全平方式才能利用完全平方公式分解因式，据此逐一判断得出答案.
6．（2025七下·杭州开学考）已知，，，那么，，之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：∵，，，
∵，
∴．
故答案为：B．
【分析】利用有理数的乘方法则、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的运算性质“”分别求出a、b、c的值，再比较即可．
7．（2025七下·杭州开学考）如果(x-2)(x-3)=x2+mx+n，那么m,n的值是（ ）
A．m = -5, n = 6 B．m = 1, n =-6
C．m=1,n=6 D．m = -1, n = 6
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】已知等式整理得：x2-5x+6=x2+mx+n，
则m=-5，n=6，
故答案为：A.
【分析】已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可.
8．（2025七下·杭州开学考）将面积为a2的正方形边长增加2，则正方形的面积增加了（ ）
A．4 B．2a+4 C．4a+4 D．4a
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵面积为a2的正方形的边长为a，
∴将面积为a2的正方形边长增加2后正方形的面积=，
∴面积增加了－ a2=a2+4a+4-a2=4a+4.
故答案为：C．
【分析】根据正方形面积等于边长的平方求出原正方形的边长为a，则新正方形的边长为a+2，面积为(a+2)2，然后利用新正方形的面积减去原正方形的面积等于增加的面积，列出式子，进而利用完全平方公式展开括号，再合并同类项即可得到结果.
9．（2025七下·杭州开学考）已知，，则的值为（ ）
A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵
∴的值为负数．
故答案为：D．
【分析】先将M、N所表示的式子分别代入，然后去括号（括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号；括号前面是正号，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），再合并同类项化简后，利用配方法将M-N的差变形为 ，结合偶数次幂的非负性，即可判断出差为负数.
10．（2025七下·杭州开学考）如图，在长方形中放置两个边长都为3的正方形与正方形，设长方形的面积为，阴影部分的面积之和为．若，则长方形的周长是（ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：设，，则，，
∴，
，
∴，
，
∴
，
∴，
∴长方形的周长为：.
故答案为：C．
【分析】设，，根据线段的和差及长方形的对边相等，可得，，，，然后根据长方形面积计算方法及S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ，根据整式混合运算计算顺序分别用含a、b的式子表示出S2与S1，结合已知列等式，求出，进而根据矩形周长计算公式，列式整理后整体代入计算即可．
11．（2025七下·杭州开学考）因式分解： ．
【答案】（x+2y）（x-2y）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： ．
故答案为：（x+2y）（x-2y）．
【分析】利用平方差公式分解因式即可。
12．（2025七下·杭州开学考）已知，若用含的代数式表示，则 ．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴．
故答案为：．
【分析】将x看作已知数，y看作未知数，把含y的项留在方程的左边，其它项都移到方程的右边，然后方程两边同时除以未知数项的系数“-2”，将未知数项的系数化为1即可.
13．（2025七下·杭州开学考）（）若，，则的值为 ．
（）若，则 ．
【答案】 ；
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算；同底数幂除法的逆用
【解析】【解答】解：（）∵， ，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（）利用同底数幂的除法逆运算及幂的乘方的逆运算将待求式子变形为am÷（an）2，然后整体代入按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可；
（）利用有理数乘方运算法则、幂的乘方和同底数幂的乘法将原等式变形为，从而即可得出关于字母x的方程，求解即可.
14．（2025七下·杭州开学考）（）已知，则 ．
（）若，则为 ．
【答案】 ；
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：（）∵，
∴，
故答案为：；
（）∵，
∴
，
故答案为：．
【分析】（）根据因式等于积除以另一个因式列出式子，然后根据多项式除以单项式的运算法则计算即可；
（）根据减数等于被减数减去差列出式子，再用完全平方公式展开合并同类项即可.
15．（2025七下·杭州开学考）已知，，则 ， ．
【答案】；2
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴；
联立得，
得，
解得；
得，
解得；
∴．
故答案为：，2．
【分析】利用平方差公式法可得，把代入计算即可得到；然后联立得，，再用方程①+②消去y求出x的值，进而用方程①-②消去x求出y的值，最后计算出xy的积即可.
16．（2025七下·杭州开学考）已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 （请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【知识点】同底数幂的乘法；整式的混合运算；幂的乘方运算；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：解方程组，得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
【分析】首先将m作为字母参数解二元一次方程组，用含m的式子表示出x、y；根据互为相反数的两个数的和为零得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y所代表的式子代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是正整数和零可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则机损后，整体代入计算可判断④．
17．（2025七下·杭州开学考）计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】（）根据单项式乘以单项式的运算法则“单项式乘以单形式，把系数与同底数幂分别相乘，对于只在某一个单项式含有的字母，则连同指数作为积的一个因式”计算即可；
（）先根据完全平方公式和乘法分配律展开括号，再合并同类项即可；
（）先计算积的乘方，先计算单项式乘以单项式，最后根据单项式除以单项式的运算法则计算即可；
（）根据多项式乘以多项式和平方差公式分别展开括号，再合并同类项即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
18．（2025七下·杭州开学考）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）此题的三项式是一个完全平方式，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）先提各项的公因式b，然后利用平方差公式将商式继续分解即可；
（3）先提各项的公因式，然后利用完全平方公式将商式继续分解即可．
（1）；
（2）
；
（3）
．
19．（2025七下·杭州开学考）解下列方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
将②代入①得：
解得
将代入②得：
∴方程组的解为：；
（2）解：
整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）由于方程组中的②方程已经是用含y的式子表示出了x，故利用代入消元法求解较为简单；首先将方程②代入①消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，从而即可求出方程组的解；
（2）先将原方程组整理为二元一次方程组的一般形式，由于方程组中两个方程未知数x的系数相同，故利用加减消元法求解较为简单；首先用方程②-①消去x求出y的值，再将y的值代入①方程求出x的值，从而即可求出方程组的解.
（1）将②代入①得：
解得
将代入②得：
∴方程组的解为：；
（2）整理得，
得：
解得
将代入①得：
解得，
∴方程组的解为：．
20．（2025七下·杭州开学考）先化简，再求值：
（1），其中；
（2），其中．
【答案】（1）解：
∵
∴原式
；
（2）解：
，
∵
∴原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则然后再将代入化简结果按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算即可求解；
（2）先根据完全平方公式及平方差公式展开括号，再合并同类项化简，然后再将代入化简结果计算即可求解．
（1）
∵
∴原式
；
（2）
，
∵
∴原式．
21．（2025七下·杭州开学考）（1）点点在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：，即
把方程①代入③得：，所以．
把代入①得，．
所以方程组的解为．
请你模仿点点的“整体代换”法解方程组．
（2）表示一个两位数，其中为的整数．圆圆在研究平方的规律时发现：
．
．
猜想的结果，并说明理由．
【答案】解：（1）
将方程②变形得：③，
把方程①代入③得：，
解得：，
将代入①得：，
所以原方程组的解为；
（2）由，
，
，
可猜想：，理由如下：
，
，
．
【知识点】探索数与式的规律；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）仿照材料中的解题思路，将方程组中②方程变形为③，然后把方程①代入③求出b的值，进而将b的值代入①可算出a的值，从而即可得到方程组的解；
（2）根据所给的例子发现：．根据完全平方公式展开后，再将前两项分解因式即可得证．
22．（2025七下·杭州开学考）用个形状和大小都相同的小长方形，恰好可以拼成如图所示的大长方形；若用这个小长方形拼成如图所示的正方形，则中间留下一个空的小正方形阴影部分设小长方形的长和宽分别为和．
（1）由图，可知，满足的等量关系是______ ；
（2）若图中小正方形的边长为，求小长方形的面积；
（3）用含的代数式表示图中小正方形的面积．
【答案】（1）
（2）解：，
，
由题意可得：，
，
，
小长方形的面积；
（3）解：小正方形的边长，
小正方形的面积．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：图是长方形，
，
故答案为：；
【分析】（1）根据图1中组成长方形，而长方形的对边是相等的，据此求解即可；
（2）由（1）中结论得出，结合小正方形边长=2b-a可得出，求解出小长方形宽，进而可求出小长方形的长，从而根据长方形面积计算公式即可得出面积；
（3）先表示出小正方形的边长，然后根据正方形面积计算面积计算即可．
（1）图是长方形，
，
故答案为：；
（2），
，
由题意可得：，
，
，
小长方形的面积；
（3）小正方形的边长，
小正方形的面积．
23．（2025七下·杭州开学考）【综合与实践】制作靠垫面子．
材料准备：两块完全相同的长方形布料（），其它若干布料．
【操作1】小江把长方形布料裁成形状、大小都相同的四块（如图①），拼成如图②的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得．求从其它布料处裁得的正中部分的小正方形布料的面积．（裁剪、接缝处布料忽略不计，结果用a，b表示）
【操作2】小滨把长方形布料裁成如图③形状的四块，每一块形状、大小都相同，拼成如图④的大正方形靠垫面子，其中，正中部分从其它布料处裁得（裁剪、接缝处布料忽略不计）．若原长方形布料的面积为90平方分米，图②中的大正方形靠垫面子的面积为106平方分米，试求图④中的大正方形靠垫面子的面积．
【答案】解：操作1：∵图②大正方形的边长为，
∴图②大正方形的面积为，
∴图②中间小正方形的面积为；
操作2：根据题意得：
，
得：，
解得（负值已舍去），
∴③，
把③代入①得：，
解得或，
当时，；当时，，
∵，
∴，，
∴图④大正方形面积为（平方分米）．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；图形的剪拼
【解析】【分析】操作1：根据图形的剪拼及勾股定理表示出图②大正方形的边长，进而根据正中部分的小正方形布料的面积=大正方形的面积－图①的面积，列式即可；
操作2：由图③面积为90平方分米，列方程2a×2b=90，由图②中的大正方形靠垫面子面积为106平方分米，列出a2+4b2=106，联立求解得出a、b的值，再根据图④求正方形的面积.
24．（2025七下·杭州开学考）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示．
种类 文学类 科技类
进货价（元/本） 16 24
销售价（元/本） 20 30
（1）若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？
（2）若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？
（3）为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？
【答案】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）解：文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）解：设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
【知识点】二元一次方程的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“ 销售两类书籍共90本 ”列方程x+y=90，根据售价乘以销售数量等于销售总价及“ 销售总额为2100元 ”列出方程20x+30y=2100，联立两方程得到方程组，求解即可；
（2）根据利率等于利润除以进价分别求出两类书籍的利率都为25％，然后根据进价乘以（1+利率）等于售价可得进价等于售价除以（1+利率）求出总进价，最后用总销售额减去总进价即可得到总利润；
（3）设此次书店购进文学类书籍3a本，科技类书籍3b本，则需购进水彩笔(a+2b)盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案．
（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，
由题意得：，
解得：，
答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本；
（2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为，
（元），
答：此次书店的总利润为480元；
（3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，
由题意得：，
解得：，
∵a，b均为正整数，
∴或，
∴或，
答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本．
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