湖南省长沙市雅礼系部分学校2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷
1．（2025九下·长沙开学考）下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九下·长沙开学考）下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
3．（2025九下·长沙开学考）福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·长沙开学考）若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九下·长沙开学考）一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
7．（2025九下·长沙开学考）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2025九下·长沙开学考） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·长沙开学考）如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
10．（2025九下·长沙开学考）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
11．（2025九下·长沙开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
12．（2025九下·长沙开学考）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
13．（2025九下·长沙开学考）如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则 ．
14．（2025九下·长沙开学考）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 ．
15．（2025九下·长沙开学考）已知中，，，则 ．
16．（2025九下·长沙开学考）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
17．（2025九下·长沙开学考）计算：．
18．（2025九下·长沙开学考）先化简，再求值：
，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
19．（2025九下·长沙开学考）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
20．（2025九下·长沙开学考）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
21．（2025九下·长沙开学考）如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，；平分交边于点，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
22．（2025九下·长沙开学考）卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
（1）求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
（2）若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？
23．（2025九下·长沙开学考）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求直径的长．
24．（2025九下·长沙开学考）定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数．
（1）已知为函数的0系特征数，则该函数的解析式为________；
（2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图象截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式；
（3）已知为函数的0系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，令，试确定的取值范围．
25．（2025九下·长沙开学考）如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值；
（3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、五角星沿着过其中心和每个角顶点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有5条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形找不到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、长方形沿着其对边中点的连线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有2条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形沿着过其顶点和对边中点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有3条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一分析即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、 ， 正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内函数y随x的增大而减小，
∵＜0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内函数y随x的增大而减小，据此结合三点横坐标判断出y2＜y1＜0＜y3.
6．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积＝5×π×3＝15π（cm2）．
故答案为：C．
【分析】由于圆锥的高、底面任意一条半径及过半径外端点的一条母线构成一个直角三角形，故根据勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形面积公式“（r底面半径，l母线长）”计算即可.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即或，即，
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质和点A的坐标求出点A'的坐标即可.
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由直角三角形的量锐角互余得∠B=55°，进而根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B，从而得出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴b=-2a，
，
∴b=-2a＞0，即，
将（1，2）代入 得，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负，故①错误；
， 顶点为 ，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小，故②正确；
，的一个根为3
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式可得，结合，得b=-2a＞0，进而将顶点坐标代入抛物线解析式得，由此可判断①；由抛物线开口向下，且关于直线对称，故根据抛物线的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
11．【答案】，且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，x-5≠0，
∴x≥2且x≠5.
故答案为：x≥2且x≠5.
【分析】根据二次根式的意义、分母不等于0即可求解.
12．【答案】10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，=0.2，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，
∴．
故答案为：135°．
【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案.
14．【答案】或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
∴不等式的解集为或.
故答案为：或．
【分析】先根据正比例函数和反比例函数的对称性求出点B的横坐标，进而根据从图象角度看，求不等式的解集，就是求正比例函数图象在反比例函数图象下方部分对应的自变量的取值范围解答即可.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据∠B的正切函数值结合正切函数的定义可设，则，根据勾股定理用含a的式子表示出BC，最后再根据正弦函数的定义解答即可．
16．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，再将其代入计算即可.
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】先根据“及a0=1(a≠0)”计算负整数指数幂和零指数幂，同时根据绝对值性质去绝对值符号，再算加减法即可．
18．【答案】解：
=，
∵当x+2≠0且x﹣2≠0，即x≠﹣2且x≠2时分式有意义，
∴取x=3，
当x=3时，原式==4．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把“1”变形为，根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”先计算括号内的部分，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再根据分式乘法法则“分式乘以分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母”进行计算，最后再选取使原题中各个分式有意义的x的值代入进行计算即可．
19．【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接FG，EG，根据“SSS”判断出△BEG≌△BFG，由全等三角形的对应角相等得∠FBG=∠EBG，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据三角形的内角和定理及角平分线定义得到∠A=∠ABD=∠CBD=30°，由等角对等边得BD=AD=4，根据含30°角直角三角形的性质得CD=BD=2，然后根据勾股定理算出BC，最后根据三角形的周长公式即可得到结论．
（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
20．【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线构造全等模型；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，得AD∥BC，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）过点作于，由矩形的性质得，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得；由∠DGC的余弦值及余弦函数的定义得到，根据勾股定理，求出；利用AAS判断出△ABE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得，由题意设，，则，在Rt△ABG中，根据勾股定理建立方程解出x即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
22．【答案】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件B种器材，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要2x元，利用数量总价单价，结合购买A种器材与购买B种器材费用相同及学校用8000元购买了A、B两种体育器材共200件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件A种器材所需费用，再将其代入2x中，即可求出购买一件B种器材所需费用；
（2）设学校还需购买m件A种器材，则还需购买(100-m)件，根据再次购买的A种器材的数量不多于B种器村数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
23．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD、OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠OCP=90°，由垂径定理得OP是CD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PC=PD，用SSS判断出△POD≌△POC，由全等三角形的对应角相等得∠ODP=∠OCP=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由同角的余角相等及等边对等角求出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例得出比，求出PB=2，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
（1）证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
24．【答案】（1）
（2）解：∵为函数的特征数，
∴，
令，
∴，
∴，
∵二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
∴利用两点间的距离公式可得，
∴即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
∴直线的解析式为；
（3）解：∵为函数的0系特征数，
∴，
∴，
∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，
代入可得，
将代入上式得：，
又∵，
∴，，
解得：，
∴当时，，
当时，．
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵为函数的0系特征数，
∴，，，
∴，
∴函数解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得出，，，求出a的值，然后将a、b、c的值代入y=ax2+bx+c即可得到答案；
（2）先将代入，得到，然后联立抛物线的解析式与直线得，根据两点间距离公式得，结合该等式恒成立得，求解得出k的值，再代入算出m的值，即可求出答案；
（3）由心定义可得，联立一次函数与反比例函数得，利用求根公式法求出该方程的两根，进而有，将代入，得，再根据，即可求出答案．
（1）解：∵为函数的0系特征数，
∴，，，
∴，
∴函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：∵为函数的特征数，
∴，
令，
∴，
∴，
∵二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
∴利用两点间的距离公式可得，
∴即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
∴直线的解析式为；
（3）解：∵为函数的0系特征数，
∴，
∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，
代入可得，
∵，
∴，
将代入上式得：，
又∵，
∴，，
解得：，
∴当时，，
当时，．
∴．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线长定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）首先利用因式分解法求出关于字母t的方程的两根，根据切线性质及垂线段最短可得：，，则，在Rt△AOP中，利用勾股定理可得，再运用余弦函数的定义求解即可；
（2）连接OC，如图2，由圆的切线垂直经过切点的半径得OP⊥AC，OQ⊥BC，从而可用HL判断出Rt△COP≌Rt△COQ及Rt△AOP≌Rt△BOQ，由全等三角形的对应角相等得，，再结合三角形内角和定理可得，运用切线长定理推论可得出，即可求得答案；
（3）由等腰三角形的三线合一得CO⊥AB，根据∠A的余弦函数值及余弦函数定义可得AC=，CP=2r，根据切线长定理得CQ=CP=2r，进而可得DE=4r-x-y，AD=-x，利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明，得出，在Rt△ODP中，利用勾股定理建立方程，即可得出答案.
（1）∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，连接，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
1 / 1湖南省长沙市雅礼系部分学校2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷
1．（2025九下·长沙开学考）下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、五角星沿着过其中心和每个角顶点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有5条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形找不到一条直线，使得图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、长方形沿着其对边中点的连线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有2条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、等边三角形沿着过其顶点和对边中点的直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，有3条对称轴，是轴对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一分析即可得出答案.
2．（2025九下·长沙开学考）下列判断正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
3．（2025九下·长沙开学考）福建舰是我国首艘完全自主设计建造的电磁弹射型航空母舰，满载排水量8万余吨，数据80000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据80000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
4．（2025九下·长沙开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的乘除法；二次根式的加减法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故不符合题意；
B、 ， 故不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并，故不符合题意；
D、 ， 正确，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的加减分别计算，再判断即可.
5．（2025九下·长沙开学考）若三个点，，在反比例函数的图象上，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内函数y随x的增大而减小，
∵＜0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：B．
【分析】反比例函数中，当k＞0时，反比例函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每一个象限内函数y随x的增大而减小，据此结合三点横坐标判断出y2＜y1＜0＜y3.
6．（2025九下·长沙开学考）一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（ ）
A．15cm2 B．12cm2 C．15πcm2 D．12πcm2
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥的母线长，
所以这个圆锥的侧面积＝5×π×3＝15π（cm2）．
故答案为：C．
【分析】由于圆锥的高、底面任意一条半径及过半径外端点的一条母线构成一个直角三角形，故根据勾股定理计算出圆锥的母线长，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形面积公式“（r底面半径，l母线长）”计算即可.
7．（2025九下·长沙开学考）在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵，相似比为，
∴点的对应点的坐标是，即或，即，
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质和点A的坐标求出点A'的坐标即可.
8．（2025九下·长沙开学考） 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设木长尺，绳子长y尺，根据题意，得：
.
故答案为：A。
【分析】 设木长尺，绳子长y尺，根据 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ，可得方程y-x=4.5；根据 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程x-0.5y=1，联立即可得出方程组。
9．（2025九下·长沙开学考）如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ）
A．35° B．55° C．65° D．70°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据直径所对的圆周角是直角得∠ACB=90°，由直角三角形的量锐角互余得∠B=55°，进而根据同弧所对的圆周角相等得出∠D=∠B，从而得出答案.
10．（2025九下·长沙开学考）已知抛物线（a、b、c是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为3，则；④抛物线是由抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴b=-2a，
，
∴b=-2a＞0，即，
将（1，2）代入 得，
，
的值可正也可负，
不能确定的正负，故①错误；
， 顶点为 ，
抛物线开口向下，且关于直线对称，
当时，随的增大而减小，故②正确；
，的一个根为3
，
，故③正确；
抛物线，
将向左平移1个单位得：，
抛物线是由抛物线向左平移1个单位得到的，故④错误；
正确的有②③.
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式可得，结合，得b=-2a＞0，进而将顶点坐标代入抛物线解析式得，由此可判断①；由抛物线开口向下，且关于直线对称，故根据抛物线的增减性可判断②；用a表示b、c的值，再解方程即可判断③，由平移法则即可判断④．
11．（2025九下·长沙开学考）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】，且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x-2≥0，x-5≠0，
∴x≥2且x≠5.
故答案为：x≥2且x≠5.
【分析】根据二次根式的意义、分母不等于0即可求解.
12．（2025九下·长沙开学考）在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是 ．
【答案】10
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意可得，=0.2，
解得，n=10．
故估计n大约有10个．
故答案为：10．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
13．（2025九下·长沙开学考）如图，在中，，点是和的角平分线的交点，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和平分和，
∴∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，
∴．
故答案为：135°．
【分析】由直角三角形的量锐角互余得，由角平分线定义得∠OAB=∠CAB，∠OBA=∠ABC，进而再根据三角形的内角和定理可得，从而整体代入计算可得答案.
14．（2025九下·长沙开学考）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由正比例函数和反比例函数的对称性得：点的横坐标为，
∴不等式的解集为或.
故答案为：或．
【分析】先根据正比例函数和反比例函数的对称性求出点B的横坐标，进而根据从图象角度看，求不等式的解集，就是求正比例函数图象在反比例函数图象下方部分对应的自变量的取值范围解答即可.
15．（2025九下·长沙开学考）已知中，，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正弦值；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，
∴设，则，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据∠B的正切函数值结合正切函数的定义可设，则，根据勾股定理用含a的式子表示出BC，最后再根据正弦函数的定义解答即可．
16．（2025九下·长沙开学考）若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是 ．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】先利用一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，再将其代入计算即可.
17．（2025九下·长沙开学考）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的绝对值；无理数的混合运算
【解析】【分析】先根据“及a0=1(a≠0)”计算负整数指数幂和零指数幂，同时根据绝对值性质去绝对值符号，再算加减法即可．
18．（2025九下·长沙开学考）先化简，再求值：
，从－1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【答案】解：
=，
∵当x+2≠0且x﹣2≠0，即x≠﹣2且x≠2时分式有意义，
∴取x=3，
当x=3时，原式==4．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】把“1”变形为，根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”先计算括号内的部分，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，再根据分式乘法法则“分式乘以分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母”进行计算，最后再选取使原题中各个分式有意义的x的值代入进行计算即可．
19．（2025九下·长沙开学考）如图，在中，，，以点为圆心、任意长为半径画圆弧分别交边，于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点，连接并延长交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接FG，EG，根据“SSS”判断出△BEG≌△BFG，由全等三角形的对应角相等得∠FBG=∠EBG，从而根据角平分线的定义可得结论；
（2）根据三角形的内角和定理及角平分线定义得到∠A=∠ABD=∠CBD=30°，由等角对等边得BD=AD=4，根据含30°角直角三角形的性质得CD=BD=2，然后根据勾股定理算出BC，最后根据三角形的周长公式即可得到结论．
（1）证明：连接，，
由作图知，，，
在与中，
，
，
，
平分；
（2）解：，，
，
平分；
，
，
，
，
，
的周长．
20．（2025九下·长沙开学考）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之间”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人；
（3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【答案】（1）解：总人数为（人）
∴选择大学的人数为，补全统计图如图所示，
（2）；．
（3）解：列表如下，
甲
乙
共有9种等可能结果，其中有3种符合题意，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为，
选择A大学的大约有（人）
故答案为：；．
【分析】（1）根据统计图表提供的信息，用选择C大学的人数除以其占比得到本次调查的总人数，根据选择各所大学的人数之和等于本次调查的总人数求得选择B大学的人数，从而可补全统计图；
（2）根据选择D大学的占比乘以360°得到D所在扇形圆心角的度数，用该市参加本次活动的中学生总人数乘以选择A大学的人数的占比即可求解；
（3）此题是抽取放回类型，用列表法列举出所有等可能的情况数，从表格可知共有9种等可能结果，其中两人选择同一所大学的情况数有3种，从而根据概率公式计算即可.
21．（2025九下·长沙开学考）如图，在四边形中，，，为边上的一点，连接，；平分交边于点，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线构造全等模型；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，得AD∥BC，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ABCD是平行四边形，进而根据有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出结论；
（2）过点作于，由矩形的性质得，，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得；由∠DGC的余弦值及余弦函数的定义得到，根据勾股定理，求出；利用AAS判断出△ABE≌△AFE，由全等三角形的对应边相等得，由题意设，，则，在Rt△ABG中，根据勾股定理建立方程解出x即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于，
∵四边形是矩形
∴，，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（舍），，
∴．
22．（2025九下·长沙开学考）卓越中学为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，每年冬季都会举办“全体师生冬季长跑活动，为激励学生积极参与，学校用元购买了、两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材费用相同．
（1）求购买一件种器材、一件种器材各需多少元？
（2）若学校还需购买、两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少钱？
【答案】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）解：设学校还需购买件种器材，则还需购买件B种器材，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设购买一件A种器材需要x元，购买一件B种器材需要2x元，利用数量总价单价，结合购买A种器材与购买B种器材费用相同及学校用8000元购买了A、B两种体育器材共200件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件A种器材所需费用，再将其代入2x中，即可求出购买一件B种器材所需费用；
（2）设学校还需购买m件A种器材，则还需购买(100-m)件，根据再次购买的A种器材的数量不多于B种器村数量的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元；
（2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，
根据题意得：，
解得：．
设学校再次购买两种器材共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，最小值．
答：至少要花元钱．
23．（2025九下·长沙开学考）已知：如图，的直径垂直于弦，过点的切线与直径的延长线相交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求直径的长．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接OD、OC，由圆的切线垂直经过切点的半径得∠OCP=90°，由垂径定理得OP是CD的垂直平分线，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得PC=PD，用SSS判断出△POD≌△POC，由全等三角形的对应角相等得∠ODP=∠OCP=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90°，由同角的余角相等及等边对等角求出，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例得出比，求出PB=2，设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．
（1）证明：如图所示，连接，
∵是切线，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴垂直平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴．
24．（2025九下·长沙开学考）定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数．
（1）已知为函数的0系特征数，则该函数的解析式为________；
（2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图象截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式；
（3）已知为函数的0系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图象交于，两点，令，试确定的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：∵为函数的特征数，
∴，
令，
∴，
∴，
∵二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
∴利用两点间的距离公式可得，
∴即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
∴直线的解析式为；
（3）解：∵为函数的0系特征数，
∴，
∴，
∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，
代入可得，
将代入上式得：，
又∵，
∴，，
解得：，
∴当时，，
当时，．
∴．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：∵为函数的0系特征数，
∴，，，
∴，
∴函数解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据新定义得出，，，求出a的值，然后将a、b、c的值代入y=ax2+bx+c即可得到答案；
（2）先将代入，得到，然后联立抛物线的解析式与直线得，根据两点间距离公式得，结合该等式恒成立得，求解得出k的值，再代入算出m的值，即可求出答案；
（3）由心定义可得，联立一次函数与反比例函数得，利用求根公式法求出该方程的两根，进而有，将代入，得，再根据，即可求出答案．
（1）解：∵为函数的0系特征数，
∴，，，
∴，
∴函数解析式为，
故答案为：；
（2）解：∵为函数的特征数，
∴，
令，
∴，
∴，
∵二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
∴利用两点间的距离公式可得，
∴即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
∴直线的解析式为；
（3）解：∵为函数的0系特征数，
∴，
∵一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，
代入可得，
∵，
∴，
将代入上式得：，
又∵，
∴，，
解得：，
∴当时，，
当时，．
∴．
25．（2025九下·长沙开学考）如图1，在中，点O是的中点，以点O为圆心，r为半径的半圆与相切于点P，点Q．点D是线段上的动点且不与点P、点C重合，过点D作圆O的切线交于点E，点F是切点．，的长度是关于t的一元二次方程的两根．
（1）求的值；
（2）如图2，连接线段，在D点的运动过程中，求的值；
（3）设，求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围（解析式中可以含有字母r）．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；切线的性质；切线长定理；求余弦值；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）首先利用因式分解法求出关于字母t的方程的两根，根据切线性质及垂线段最短可得：，，则，在Rt△AOP中，利用勾股定理可得，再运用余弦函数的定义求解即可；
（2）连接OC，如图2，由圆的切线垂直经过切点的半径得OP⊥AC，OQ⊥BC，从而可用HL判断出Rt△COP≌Rt△COQ及Rt△AOP≌Rt△BOQ，由全等三角形的对应角相等得，，再结合三角形内角和定理可得，运用切线长定理推论可得出，即可求得答案；
（3）由等腰三角形的三线合一得CO⊥AB，根据∠A的余弦函数值及余弦函数定义可得AC=，CP=2r，根据切线长定理得CQ=CP=2r，进而可得DE=4r-x-y，AD=-x，利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明，得出，在Rt△ODP中，利用勾股定理建立方程，即可得出答案.
（1）∵，
∴，，
∵是的切线，如图1，
∴，
∴，
∴，
∵，的长度是关于t的一元二次方程的两根，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
（2）连接，如图2，
∵、分别与相切于P、Q，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵点O是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别与相切于P、F、Q，
∴平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图3，连接，由（2）知：，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴，
∴．
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