浙江省宁波大学附属学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷
1．（2025九下·宁波开学考）沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（ ）
液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦
沸点
A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦
2．（2025九下·宁波开学考）新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著．数据260万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·宁波开学考）如图是底面为正方形的直四棱柱，下面关于它的三个视图的说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
4．（2025九下·宁波开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·宁波开学考）某运动员在一次比赛中，六名裁判对其打分情况如表所示：
成绩/分
次数 2 3 1
则六名裁判所打分数的中位数为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
6．（2025九下·宁波开学考）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025九下·宁波开学考）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·宁波开学考）甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
9．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，于点，点在上，，若点分别为的中点，连结，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·宁波开学考）已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
11．（2025九下·宁波开学考）分解因式： ．
12．（2025九下·宁波开学考）某班级共有20位女同学和22位男同学，将每位同学的名字分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．老师从盒中随机取出1张纸条，抽到男同学名字的概率是 ．
13．（2025九下·宁波开学考）若扇形的圆心角为，半径为18，则它的弧长为 。
14．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
15．（2025九下·宁波开学考）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
16．（2025九下·宁波开学考）如图，在正方形ABCD中，，点P在正方形内，，交边AD于点F，，交PF延长线于点E，且，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则的度数为 ，PC的长为 ．
17．（2025九下·宁波开学考）计算：．
18．（2025九下·宁波开学考）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
20．（2025九下·宁波开学考）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查：
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
A
B
C
D
合计
（1）宣传活动前，在抽取的市民中______的人数最多，占抽取人数的______；
A．每次戴 B．经常戴 C．偶尔戴 D．都不戴
（2）该市约有万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，仅比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果，小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
21．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
22．（2025九下·宁波开学考）一天中午，小明和小丽分别骑自行车和乘坐公共汽车从甲地去乙地，八一班数学兴趣活动小组的同学们根据有关信息画出了两人行驶距离与所用时间之间的函数关系图象，如图，回答下列问题：
（1）填空：
甲、乙两地相距______；
小明骑自行车的平均速度是______；
（2）求小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式并写出t的取值范围；
求小丽出发后多长时间与小明相遇？
23．（2025九下·宁波开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
24．（2025九下·宁波开学考）已知在中，是的直径，点B为弧中点，连接交于点E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在弧上有一点G，连接、，，求证：；
（3）在（2）的条件下，交于点F，在弧上取一点H，连接、，使，当，，时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
而268.9＞253＞196＞183，
，
沸点最高的液体是液氧．
故答案为：A．
【分析】根几个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此进行解答即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：260万用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法 。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A选项错误；
B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，故选项B符合题意；
C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C选项错误；
D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D选项错误．
故答案为：B．
【分析】从主视方向看得到的正投影就是主视图，从左边看得到的正投影是左视图，从上面看得到的正投影是俯视图，据此分别得到该底面为正方形的直四棱柱的三个视图，从而加快逐一判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、由于与不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将六名裁判所打分数从小到大排列：，，，，，，
排在中间的两个数均为，
故中位数为：（分），
故答案为：D．
【分析】将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此解答即可.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，则乙厂每小时生产这种类型的口罩(x-1000)个，依据题意列方程为：
．
故答案为：C．
【分析】设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，则乙厂每小时生产这种类型的口罩(x-1000)个，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同 ”列出方程即可.
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别为的中点，
∴分别为的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得，，，，结合AD⊥BC，可推出HE⊥HG，然后在Rt△HEG中，利用勾股定理算出GE即可.
10．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；数形结合；分类讨论
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察所给的多项式，发现各项都具有相同的因式“3m”，故可直接提取公因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到男同学名字的概率是：．
故答案为：．
【分析】用该班男生人数比上该班学生的总人数即可求出抽到男同学名字的概率.
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该扇形的弧长为：.
故答案为：.
【分析】直接根据弧长计算公式“”计算即可.
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；三角形的高
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【分析】首先由三角形的内角和定理算出∠BAC=100°，然后由角平分线的定义算出∠BAF=50°，根据三角形高的定义及三角形的内角和定理算出∠BAD=40°，最后由角的和差，根据∠DAF=∠BAF-∠BAD列式计算即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点，
对于直线：，当时，，当时，，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，则，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，
作轴交于，则，，
则是等腰直角三角形，
∴，则，
即：，
先找图形到直线的“距点”只有1个时，
即：只有1个解，
亦即：或只有1个解，
∵，则，
∴，
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
作出当，时的草图，如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个，
则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围，
故答案为：．
【分析】 令直线：与轴，轴分别交于点，点， 根据直线与纵坐标交点的坐标特点先求出A、B两点的坐标，从而可得OA=OB，则是等腰直角三角形，且；设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，由平行线的性质得，由点的坐标与图形性质得，则是等腰直角三角形；先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可．
16．【答案】45°；
【知识点】正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作CG⊥ED的延长线于G，过A作AM⊥DE的延长线于M，AN⊥PE于N，连结PB，
∵，，，CG⊥ED
∴四边形PCGE是正方形
∴，，
∵四边形ABCD是正方形
∴，
∴
∴(SAS)
∴
∴
∴E、F、P、B四点在一条直线上，
∴
∵AM⊥DE于M，AN⊥PE
∴四边形AMEN是矩形
∴(AAS)
∴
∴矩形AMEN是正方形，AE平分，
∴，
设，
∵
∴（AAS）
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：45°；.
【分析】过C作CG⊥ED的延长线于G，过A作AM⊥DE的延长线于M，AN⊥PE于N，连结PB，首先根据三个角是直角的四边形是矩形，及有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形PCGE是正方形，由正方形性质得，，，，由同角的余角相等得，从而由SAS判断出△DCG≌△BCP，由全等三角形的对应角相等得，进而可证E、F、P、B四点在一条直线上；由三个角是直角的四边形是矩形得四边形AMEN是矩形，由AAS判断出△ABN≌△ADM，得AM=AN，由有一组邻边相等的矩形是正方形得矩形AMEN是正方形，则，，设，，用AAS判断出△DCG≌△ADM，得，然后根据建立方程，求解即可.
17．【答案】解：原式，
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂性质“a0=1(a≠0)”，特殊的锐角三角函数值，负整数指数幂性质“”，立方根的相关知识进行化简，再计算乘法，最后计算有理数的加减运算法则进行运算即可．
18．【答案】（1）解：，
，
，
或，
所以，；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
所以原方程无解．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）把x-2看成一个整体，此题缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；先移项（将方程的右边整体移到方程的左边），再利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，然后解两个一次方程即可；
（2）先在方程两边乘以约去分母将原方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，然后进行检验确定原方程的解．
（1）解：，
，
，
或，
所以，；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
所以原方程无解．
19．【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
20．【答案】（1）偶尔戴，；
（2）解：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：（万人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数为万人．
（3）解：小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
，
答：小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果．
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；
占抽取人数的：；
故答案为：偶尔戴，；
【分析】（1）宣传活动前，属于类别C“偶尔戴”的人数最多，用类别C“偶尔带”的人数除以总人数即可求解；
（2）用该市市民的总人数乘以样本中“经常戴”安全帽的人数所占的百分比，即可估算出活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）先用活动后“都不戴”的人数除以被调查的总人数求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，及用活动前“都不戴”的人数除以被调查的总人数求出活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；
占抽取人数的：；
故答案为：偶尔戴，；
（2）解：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：
（万人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数为万人．
（3）解：小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
，
答：小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得出，，由二直线平行，内错角相等得，由等量加等量和相等推出，从而可用“AAS”证明；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，由对角线互相垂直得平行四边形是菱形得平行四边形AECF是菱形，进而根据菱形的四边相等及菱形周长计算公式解答即可.
22．【答案】（1）；；
（2）解：设，把，代入得：
解得
小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为；
当小丽与小明相遇时，，
解得，
，
小丽出发后与小明相遇．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①观察函数图象可得，甲、乙两地相距；
故答案为：20；
②观察图象可知，小明骑自行车行驶了，
小明骑自行车的平均速度是；
故答案为：；
【分析】（1）①由于小明和小丽都是从甲地到乙地，且图象反应的是两人行驶距离与所用时间之间的函数关系图象，观察函数图象末点纵坐标可直接可得甲、乙两地相距；
②观察图象可知，小明从甲地到乙地，小明骑自行车用时2.5小时，行驶了20km，根据路程除以时间等于速度，列式计算可得小明骑自行车的平均速度；
（2）①从图象看：小丽所坐的公交车行驶路程s(km)与时间t(h)之间的函数图象是一条直线，故是一次函数，且图象经过点（1.5，0）与（2，20），从而利用那个待定系数法求解即可；
②当小丽与小明相遇时，两人离甲地的路程相同，据此列出方程可解得答案．
（1）解：观察函数图象可得，甲、乙两地相距；
故答案为：；
观察图象可知，小明骑自行车行驶了，
小明骑自行车的平均速度是；
故答案为：；
（2）解：设，把，代入得：
解得
小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为；
当小丽与小明相遇时，，
解得，
，
小丽出发后与小明相遇．
23．【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
②抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；则当时，时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案；
②由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；根据抛物线的对称性求出点Q关于抛物线对称轴直线对称点的坐标为，再分两种情况：点Q在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，根据抛物线的增减性，结合，，对于，，都有，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，点B为弧中点，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B为弧中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴由圆的对称性可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由对称性知也为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴等腰中，由勾股定理得，
∴
∴或（舍），
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由垂径定理推论即可求证；
（2）连接，，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到，，由点B为弧中可推出，根据邻补角定义得，从而利用等量代换即可得；
（3）连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，由圆的对称性及同弧所对的圆周角相等可推出∠2=∠3，从而用SAS证明，得，；易得△EFC与△DEF都是等腰直角三角形，由圆周角定理、对顶角相等及等腰直角三角形性质推出，从而由两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程求出，则，在中，由等腰直角三角形性质得，在中，由勾股定理得，根据∠3的正切函数得，由等角的同名三角函数值相等得，最后根据圆心角、弧、弦的关系可得．
（1）证明：∵是的直径，点B为弧中点，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B为弧中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴由圆的对称性可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由对称性知也为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴等腰中，由勾股定理得，
∴
∴或（舍），
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 1浙江省宁波大学附属学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷
1．（2025九下·宁波开学考）沸点是液体沸腾时的温度，如表是几种物质在标准大气压下的沸点，则沸点最高的液体是（ ）
液体名称 液氧 液氢 液氮 液氦
沸点
A．液氧 B．液氢 C．液氮 D．液氦
【答案】A
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
而268.9＞253＞196＞183，
，
沸点最高的液体是液氧．
故答案为：A．
【分析】根几个负数比较大小，其绝对值大的反而小，据此进行解答即可．
2．（2025九下·宁波开学考）新的课程标准规定，学生在初中阶段课外阅读总量不少于260万字，每年阅读两、三篇名著．数据260万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：260万用科学记数法表示为，
故答案为：C．
【分析】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法 。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2025九下·宁波开学考）如图是底面为正方形的直四棱柱，下面关于它的三个视图的说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，故A选项错误；
B、左视图是一个长方形，主视图是个长方形，且两个长方形的长和宽分别相等，故选项B符合题意；
C、左视图是一个长方形，俯视图是一个正方形，故C选项错误；
D、俯视图是一个正方形，主视图是一个长方形，左视图是一个长方形，故D选项错误．
故答案为：B．
【分析】从主视方向看得到的正投影就是主视图，从左边看得到的正投影是左视图，从上面看得到的正投影是俯视图，据此分别得到该底面为正方形的直四棱柱的三个视图，从而加快逐一判断得出答案.
4．（2025九下·宁波开学考）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、由于与不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、，故选项错误；
C、，故选项错误；
D、，故选项正确．
故答案为：D．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断B选项；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断C选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，即可判断D选项.
5．（2025九下·宁波开学考）某运动员在一次比赛中，六名裁判对其打分情况如表所示：
成绩/分
次数 2 3 1
则六名裁判所打分数的中位数为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将六名裁判所打分数从小到大排列：，，，，，，
排在中间的两个数均为，
故中位数为：（分），
故答案为：D．
【分析】将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，据此解答即可.
6．（2025九下·宁波开学考）如图， 为的直径，为上两点， 若则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，
故答案为：B ．
【分析】连接，根据童虎所对的圆周角相等得到，再根据直径所对的圆周角是直角得到，然后利用直角三角形的两锐角互余解题．
7．（2025九下·宁波开学考）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故答案为：B．
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
8．（2025九下·宁波开学考）甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产1000个这种类型的口罩，甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，依据题意列方程为（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，则乙厂每小时生产这种类型的口罩(x-1000)个，依据题意列方程为：
．
故答案为：C．
【分析】设甲厂每小时生产这种类型的口罩x个，则乙厂每小时生产这种类型的口罩(x-1000)个，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及“ 甲厂生产30000个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产25000个这种类型的口罩的时间相同 ”列出方程即可.
9．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，于点，点在上，，若点分别为的中点，连结，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点分别为的中点，
∴分别为的中位线，
∴，，，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得：，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半得，，，，结合AD⊥BC，可推出HE⊥HG，然后在Rt△HEG中，利用勾股定理算出GE即可.
10．（2025九下·宁波开学考）已知函数，若则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有最小值 B．当时，无最大值
C．当时，有最小值 D．当时，有最大值
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；数形结合；分类讨论
11．（2025九下·宁波开学考）分解因式： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察所给的多项式，发现各项都具有相同的因式“3m”，故可直接提取公因式分解即可.
12．（2025九下·宁波开学考）某班级共有20位女同学和22位男同学，将每位同学的名字分别写在一张小纸条上，放入一个不透明的盒中搅匀．老师从盒中随机取出1张纸条，抽到男同学名字的概率是 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抽到男同学名字的概率是：．
故答案为：．
【分析】用该班男生人数比上该班学生的总人数即可求出抽到男同学名字的概率.
13．（2025九下·宁波开学考）若扇形的圆心角为，半径为18，则它的弧长为 。
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：该扇形的弧长为：.
故答案为：.
【分析】直接根据弧长计算公式“”计算即可.
14．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；三角形的高
【解析】【解答】解：因为，
所以，
根据题意得：平分，
所以，
因为为高，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【分析】首先由三角形的内角和定理算出∠BAC=100°，然后由角平分线的定义算出∠BAF=50°，根据三角形高的定义及三角形的内角和定理算出∠BAD=40°，最后由角的和差，根据∠DAF=∠BAF-∠BAD列式计算即可.
15．（2025九下·宁波开学考）对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点，
对于直线：，当时，，当时，，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，则，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，
作轴交于，则，，
则是等腰直角三角形，
∴，则，
即：，
先找图形到直线的“距点”只有1个时，
即：只有1个解，
亦即：或只有1个解，
∵，则，
∴，
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
作出当，时的草图，如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个，
则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围，
故答案为：．
【分析】 令直线：与轴，轴分别交于点，点， 根据直线与纵坐标交点的坐标特点先求出A、B两点的坐标，从而可得OA=OB，则是等腰直角三角形，且；设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，由平行线的性质得，由点的坐标与图形性质得，则是等腰直角三角形；先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可．
16．（2025九下·宁波开学考）如图，在正方形ABCD中，，点P在正方形内，，交边AD于点F，，交PF延长线于点E，且，连结AP，AE．若五边形AEDCP的面积为24，则的度数为 ，PC的长为 ．
【答案】45°；
【知识点】正方形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过C作CG⊥ED的延长线于G，过A作AM⊥DE的延长线于M，AN⊥PE于N，连结PB，
∵，，，CG⊥ED
∴四边形PCGE是正方形
∴，，
∵四边形ABCD是正方形
∴，
∴
∴(SAS)
∴
∴
∴E、F、P、B四点在一条直线上，
∴
∵AM⊥DE于M，AN⊥PE
∴四边形AMEN是矩形
∴(AAS)
∴
∴矩形AMEN是正方形，AE平分，
∴，
设，
∵
∴（AAS）
∴
∵
∴
∴
即
故答案为：45°；.
【分析】过C作CG⊥ED的延长线于G，过A作AM⊥DE的延长线于M，AN⊥PE于N，连结PB，首先根据三个角是直角的四边形是矩形，及有一组邻边相等的矩形是正方形得四边形PCGE是正方形，由正方形性质得，，，，由同角的余角相等得，从而由SAS判断出△DCG≌△BCP，由全等三角形的对应角相等得，进而可证E、F、P、B四点在一条直线上；由三个角是直角的四边形是矩形得四边形AMEN是矩形，由AAS判断出△ABN≌△ADM，得AM=AN，由有一组邻边相等的矩形是正方形得矩形AMEN是正方形，则，，设，，用AAS判断出△DCG≌△ADM，得，然后根据建立方程，求解即可.
17．（2025九下·宁波开学考）计算：．
【答案】解：原式，
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂性质“a0=1(a≠0)”，特殊的锐角三角函数值，负整数指数幂性质“”，立方根的相关知识进行化简，再计算乘法，最后计算有理数的加减运算法则进行运算即可．
18．（2025九下·宁波开学考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
或，
所以，；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
所以原方程无解．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）把x-2看成一个整体，此题缺常数项，利用因式分解法求解较为简单；先移项（将方程的右边整体移到方程的左边），再利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，然后解两个一次方程即可；
（2）先在方程两边乘以约去分母将原方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，然后进行检验确定原方程的解．
（1）解：，
，
，
或，
所以，；
（2）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
所以原方程无解．
19．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
20．（2025九下·宁波开学考）安全使用电瓶车可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害，为此交警部门在全市范围开展了安全使用电瓶车专项宣传活动．在活动前和活动后分别随机抽取了部分使用电瓶车的市民，就骑电瓶车戴安全帽情况进行问卷调查：
活动前骑电瓶车戴安全帽情况统计表
类别 人数 A：每次戴 B：经常戴 C：偶尔戴 D：都不戴
A
B
C
D
合计
（1）宣传活动前，在抽取的市民中______的人数最多，占抽取人数的______；
A．每次戴 B．经常戴 C．偶尔戴 D．都不戴
（2）该市约有万人使用电瓶车，请估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）小明认为，宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的人数为178，仅比活动前增加了1人，因此交警部门开展的宣传活动没有效果，小明分析数据的方法是否合理？请结合统计图表，对小明分析数据的方法及交警部门宣传活动的效果谈谈你的看法．
【答案】（1）偶尔戴，；
（2）解：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：（万人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数为万人．
（3）解：小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
，
答：小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果．
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；
占抽取人数的：；
故答案为：偶尔戴，；
【分析】（1）宣传活动前，属于类别C“偶尔戴”的人数最多，用类别C“偶尔带”的人数除以总人数即可求解；
（2）用该市市民的总人数乘以样本中“经常戴”安全帽的人数所占的百分比，即可估算出活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数；
（3）先用活动后“都不戴”的人数除以被调查的总人数求出宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，及用活动前“都不戴”的人数除以被调查的总人数求出活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比，比较大小可得交警部门开展的宣传活动有效果．
（1）解：宣传活动前，在抽取的市民中“偶尔戴”的人数最多；
占抽取人数的：；
故答案为：偶尔戴，；
（2）解：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数约为：
（万人），
答：估计活动前全市骑电瓶车“经常戴”安全帽的总人数为万人．
（3）解：小明分析数据的方法不合理，理由如下：
宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比：
，
，
答：小明分析数据的方法不合理，交警部门开展的宣传活动有效果．
21．（2025九下·宁波开学考）如图，在中，点，分别在，的延长线上，且，连接与交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵
∴ 即
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等得出，，由二直线平行，内错角相等得，由等量加等量和相等推出，从而可用“AAS”证明；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形AECF是平行四边形，由对角线互相垂直得平行四边形是菱形得平行四边形AECF是菱形，进而根据菱形的四边相等及菱形周长计算公式解答即可.
22．（2025九下·宁波开学考）一天中午，小明和小丽分别骑自行车和乘坐公共汽车从甲地去乙地，八一班数学兴趣活动小组的同学们根据有关信息画出了两人行驶距离与所用时间之间的函数关系图象，如图，回答下列问题：
（1）填空：
甲、乙两地相距______；
小明骑自行车的平均速度是______；
（2）求小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式并写出t的取值范围；
求小丽出发后多长时间与小明相遇？
【答案】（1）；；
（2）解：设，把，代入得：
解得
小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为；
当小丽与小明相遇时，，
解得，
，
小丽出发后与小明相遇．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：①观察函数图象可得，甲、乙两地相距；
故答案为：20；
②观察图象可知，小明骑自行车行驶了，
小明骑自行车的平均速度是；
故答案为：；
【分析】（1）①由于小明和小丽都是从甲地到乙地，且图象反应的是两人行驶距离与所用时间之间的函数关系图象，观察函数图象末点纵坐标可直接可得甲、乙两地相距；
②观察图象可知，小明从甲地到乙地，小明骑自行车用时2.5小时，行驶了20km，根据路程除以时间等于速度，列式计算可得小明骑自行车的平均速度；
（2）①从图象看：小丽所坐的公交车行驶路程s(km)与时间t(h)之间的函数图象是一条直线，故是一次函数，且图象经过点（1.5，0）与（2，20），从而利用那个待定系数法求解即可；
②当小丽与小明相遇时，两人离甲地的路程相同，据此列出方程可解得答案．
（1）解：观察函数图象可得，甲、乙两地相距；
故答案为：；
观察图象可知，小明骑自行车行驶了，
小明骑自行车的平均速度是；
故答案为：；
（2）解：设，把，代入得：
解得
小丽所坐的公交车行驶路程与时间之间的函数关系式为；
当小丽与小明相遇时，，
解得，
，
小丽出发后与小明相遇．
23．（2025九下·宁波开学考）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点，在抛物线上，其中，．
①若的最小值是，求的值
②若对于，，都有，求t的取值范围．
【答案】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：①，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
②抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；则当时，时，的最小值为t，进而求出t，从而求得解析式，再根据求得，代入解析式即可求出答案；
②由于抛物线的对称轴直线是x=t，且二次项系数为1大于0，故图象开口向上；根据抛物线的对称性求出点Q关于抛物线对称轴直线对称点的坐标为，再分两种情况：点Q在对称轴右侧，点Q在对称轴左侧，根据抛物线的增减性，结合，，对于，，都有，得到关于t的不等式组，解不等式组即可求出答案．
（1）解：，
抛物线的顶点坐标为；
（2）解：，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口向上，
，
当时，的最小值为，
的最小值是，
，
，
抛物线表达式为：，
；
抛物线抛物线的对称轴为，
关于对称轴的对称点为：，
点，在抛物线上，
其中，，对于，，都有，
当在对称轴的右侧时，则，解得，
当在对称轴的左侧时，则，解得，
即满足条件的t的取值范围为或．
24．（2025九下·宁波开学考）已知在中，是的直径，点B为弧中点，连接交于点E．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，在弧上有一点G，连接、，，求证：；
（3）在（2）的条件下，交于点F，在弧上取一点H，连接、，使，当，，时，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵是的直径，点B为弧中点，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B为弧中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴由圆的对称性可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由对称性知也为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴等腰中，由勾股定理得，
∴
∴或（舍），
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由垂径定理推论即可求证；
（2）连接，，由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得到，，由点B为弧中可推出，根据邻补角定义得，从而利用等量代换即可得；
（3）连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，由圆的对称性及同弧所对的圆周角相等可推出∠2=∠3，从而用SAS证明，得，；易得△EFC与△DEF都是等腰直角三角形，由圆周角定理、对顶角相等及等腰直角三角形性质推出，从而由两组角对应相等的两个三角形相似得，由相似三角形对应边成比例建立方程求出，则，在中，由等腰直角三角形性质得，在中，由勾股定理得，根据∠3的正切函数得，由等角的同名三角函数值相等得，最后根据圆心角、弧、弦的关系可得．
（1）证明：∵是的直径，点B为弧中点，
∴；
（2）证明：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点B为弧中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：连接，连接并延长至点，使得，连接，过点作于点，
∵，
∴由圆的对称性可知，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
由对称性知也为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵直径，
∴，
∴等腰中，由勾股定理得，
∴
∴或（舍），
∴，
在中，，
∴，
∴由勾股定理得，
∴在中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 1
