26.1.1反比例函数 同步练习（含答案）2024-2025学年人教版九年级数学下册

26.1.1反比例函数
一、知识梳理
(一)反比例函数的定义
函数 (k为常数，k≠0)叫作反比例函数，其中k叫作比例系数，x是自变量，y是函数， 自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
(二)反比例函数解析式的求法
反比例函数的解析式 中，只有一个系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式.因此，只要给出一组x、y的对应值或图象上一点的坐标，利用待定系数法，即可确定反比例函数的解析式.
【例】如图1--1所示，在平面直角坐标系中，直线y=--3x+6与x轴、y轴分别相交于点A，B，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，则过点D的反比例函数的解析式为 .
解: 如图1—2所示, 作 DF⊥x轴于点F.
∵在直线y=-3x+6中, 令x=0, 则y=6,即点 B的坐标为 (0, 6);
令y=0, 则--3x+6=0, 解得:x=2,即点A 的坐标为 (2, 0),
∴OB=6, OA=2.
∵四边形 ABCD 为正方形,
∴∠BAD=90°, AB=AD.
∴∠BAO+∠DAF=90°.
∵∠BOA=90°,
∴∠BAO+∠OBA=90°.
∴∠DAF=∠OBA.
在△OAB 和△FDA中,
∴△OAB≌△FDA (AAS).
∴AF=OB=6, DF=OA=2.
∴OF=OA+AF=6+2=8.
∴点 D的坐标为 (8, 2).
∵点 D 在反比例函数的图象上, 则有k=8×2=16,
∴过点 D 的反比例函数的解析式为
二、分层练习
1.下列函数属于反比例函数的有 (填序号).
⑤y=x-1; (k为常数,k≠0).
2.下列函数中反比例函数的个数有 ( )个.
①xy=2; ②y=3x; (k为常数，
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知函数 是反比例函数，则m 的值为 .
4.若函数 (k为常数)是反比例函数，则k的值为 ，函数解析式为 .
5.已知函数 回答下列问题.
(1)当m、n为何值时，此函数是一次函数
(2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数
6.若一个反比例函数的图象与直线 y=2x-6的一个交点为点. 则这个反比例函数的解析式为 .
7.已知反比例函数 当18.如图1-3所示，等边△ABO放置在平面直角坐标系中，其中点 B的坐标为(2，0)，则过点 A 的反比例函数的解析式为 .
9. 如图1-4所示, 菱形OBAC的边OB 在x 轴上, 点 A 的坐标为 (8, 4), 若反比例函数 的图象经过点 C，则这个反比例函数的解析式为 .
10.在平面直角坐标系中，若函数 (a为常数)的图象经过点 A (-2,3), B (1, 6),C (-4, m) 中的两点, 则:
11.已知函数 其中y 为x的反比例函数，y 为x的正比例函数，且 和x=1时，y的值都是1.求y关于x的函数解析式.
12. 如图1-5 所示, 已知 是边长为 的等边三角形，点E，F分别在CB 和BC 的延长线上，且 设
(1)求y关于x的函数解析式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，
1. 解: 是一次函数；
是反比例函数；
是反比例函数；
可变形为 是反比例函数；
⑤y=x--1是一次函数;
可变形为y=2x,是一次函数；
(k为常数, k≠0) 是反比例函数.
2.解: ①xy=2可变形为 是反比例函数；
②y=3x是正比例函数；
是反比例函数；
(k为常数, k≠0) 是反比例函数.
故选C.
3. 解: ∵函数 是反比例函数，
且m-1≠0.
∴m=-1.
4. 解: ∵函数
(k为常数)是反比例函数，
且k-2≠0.
∴k=-2,
该函数的解析式为
5.解: (1) 当函数 y= (5m--3) 是一次函数时，有 解得n=1, m≠
(2)当函数 (m+n)是正比例函数时，
有 解得n=1, m=-1.
6.解：∵反比例函数的图象与直线y=2x--6的一个交点为点 A (m,m--2),
∴m--2=2m--6, 解得m=4.
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∴点 A 的坐标为 (4, 2) .
设反比例函数的解析式为
7. 解: ∵k=6>0,
∴在每个象限内y随x 的增大而减小.
解得k=8.
又∵当x=1时, y=6;
当x=3时, y=2,
∴反比例函数的解析式为
∴当18.解：如图1所示，过点A作AC⊥OB于点C，设过点A 的反比例函数的解析式为
∵△OAB是等边三角形，
∴OA=2, ∠AOC=60°.
∴点 A 的坐标为 (1, ) .
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
解得
∴过点 A 的反比例函数的解析式为
9. 解: 如图2所示, 过点 C作CM⊥OB 于点 M.
∵四边形OBAC是菱形, 点 A 的坐标为 (8, 4),
∴CM=4.
又
∴OM=3.
∴点 C的坐标为 (3, 4) .
∵点 C (3,4)在反比例函数 的图象上，
∴k=3×4=12.
∴反比例函数的解析式为
10. 解: ∵在函数 (a为常数)中，
∴函数图象位于第二、第四象限.
∵点A (--2, 3) 在第二象限, 点 B (1, 6) 在第一象限, 函数 y= (a为常数) 的图象经过点 A (-2, 3), B (1, 6), C (-4, m)中的两点，
∴点 C (-4, m) 在第二象限.
∴-2×3=-4m,解得
11. 解: ∵y 与x成反比例, y 与x成正比例，
∵当 和x=1时,
y的值都是1，
解得
12. 解: (1) ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°.
∵∠EAF=120°,
∴∠EAB+∠CAF=60°.
∵∠EAB+∠E=∠ABC=60°,
∴∠E=∠CAF.
∵∠EBA=∠ACF=120°,
∴△ABE∽△FCA.
即
整理得
故 y关于x的函数解析式为
(2) ∵△ABE≌△FCA,
∴BE=CA, 即
故当 时，
△ABE≌△FCA.