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专题03 二次函数含参解析式问题
一、【知识回顾】
（1）二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
（2）二次函数的图像与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 (a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（3）二次函数图像与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系（福建常考选择题10）
方法技巧：
①已知点A（a，b）为二次函数图像上一点，对称轴已知x=c，则A点对称点B（2c-a，b）
②已知点A（a，c）、B（b，c）为二次函数图像上一点，则根据两点纵坐标相等，可知A、B为对称点，那么对称轴x=
③不等式解读：→a到对称轴c的距离＞b到对称轴的距离
→a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离
→a到对称轴c的距离＜b到对称轴的距离
二、【考点类型】
考点1：二次函数函数图像与系数的关系
典例1：（2022·福建莆田·校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 _____（只填写序号）．
【变式1】（2019秋·福建漳州·九年级统考期末）一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2021秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【变式3】（2021·福建厦门·厦门双十中学思明分校校考二模）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4
考点2：利用二次函数的对称轴判断函数值的大小关系
典例2：（2021·贵州贵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，点和在函数的图象上，若，则的取值范围是___________．
【变式1】（2022·贵州毕节·统考二模）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2】13．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
【变式3】（2022·吉林长春·统考模拟预测）点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.
巩固训练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·统考一模）已知点，是函数图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．（2022·广东·校联考模拟预测）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
3.（2020·福建三明·统考二模）已知抛物线y=ax2+bx-2(a＞0)过A(-2，y1)，B(-3，y2)，C(1，y2)，D(，y3)四点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第四象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·福建厦门·校考二模）小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x－1上
C．当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2
D．该抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h，则＞
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019·福建泉州·统考一模）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
8.（2020·广东·统考一模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
9．（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知点A(1，0)，B(3，0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)都在抛物线y=ax2+bx+c上，记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则下列结论正确的是( )
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10.（2022·福建三明·统考模拟预测）已知A（，），B（，）是抛物线上的两点，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
二、填空题
11.（2019·福建漳州·校联考一模）对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝_____．
12.（2021·四川绵阳·统考二模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 __________________.
13.（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________．
14.（2022·福建福州·校考一模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为_____．
15.（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________．
16.（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
三、解答题
17.（2019·福建漳州·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）且AB＝2，求此抛物线的解析式；
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有且只有两个交点，求m的取值范围．
18.（2022·北京顺义·统考一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由．
19.（2019·福建·统考一模）请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：.
解：
，或，
解得或.
一元二次不等式的解集为或.
结合上述解答过程回答下列问题：
（1）上述解题过程渗透的数学思想为________；
（2）一元二次不等式的解集为________；
（3）请用类似的方法解一元二次不等式：.
20.（2022·北京东城·东直门中学校考一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
21.（2020·福建南平·校考模拟预测）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．
（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；
（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范围．
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专题03 二次函数含参解析式问题
一、【知识回顾】
（1）二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)
注：未知数的最高次数是2，a≠0,b,c是任意实数。
（2）二次函数的图像与性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 (a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（3）二次函数图像与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（4）利用二次函数的对称轴判断函数值大小关系（福建常考选择题10）
方法技巧：
①已知点A（a，b）为二次函数图像上一点，对称轴已知x=c，则A点对称点B（2c-a，b）
②已知点A（a，c）、B（b，c）为二次函数图像上一点，则根据两点纵坐标相等，可知A、B为对称点，那么对称轴x=
③不等式解读：→a到对称轴c的距离＞b到对称轴的距离
→a到对称轴c的距离＝b到对称轴的距离
→a到对称轴c的距离＜b到对称轴的距离
二、【考点类型】
考点1：二次函数函数图像与系数的关系
典例1：（2022·福建莆田·校考一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①abc＞0；②a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1）（k为实数）；③m（am+b）≤﹣a（m为实数）；④c＜﹣3a；⑤ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 _____（只填写序号）．
【答案】①②③④⑤
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断①；根据函数的增减性可判断②；由抛物线开口方向及对称轴可得x＝﹣1时y最大，从而判断③；由对称轴可得b＝2a，由x＝﹣1时y＜0可判断④；根据函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，
∴a＜0，c＞0，
又∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴，
∴
∴abc＞0，故①正确；
∵对称轴是直线x＝﹣1，抛物线开口向下，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，
∵k是实数，
∴k2+2＞k2+1＞﹣1，
∴a（k2+2）2+b（k2+2）+c＜a（k2+1）2+b（k2+1）+c，
即a（k2+2）2+b（k2+2）＜a（k2+1）2+b（k2+1），故②正确；
∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，a﹣b+c）
∴y最大＝a﹣b+c＝﹣a+c，
∴am2+bm+c≤﹣a+c，
即m（a+b）≤﹣a，
故③正确；
由图象知，x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∵b＝2a，
∴3a+c＜0，
∴c＜﹣3a，故④正确；
根据图象可知，函数y＝ax2+bx+c与y＝﹣1的图象有两个交点，
∴ax2+bx+c+1＝0有两个不相等的实数根，
故⑤正确，
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图像的性质．
【变式1】（2019秋·福建漳州·九年级统考期末）一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、，
二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
【变式2】（2021秋·福建福州·九年级福州华伦中学校考期末）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y＝x2＋bx＋c的图象上，当＝1，＝3时，．若对于任意实数x1、x2都有≥2，则c的范围是（ ）
A．c≥5 B．c≥6 C．c＜5或c＞6 D．5＜c＜6
【答案】A
【分析】由当＝1，＝3时，y1＝y2可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得抛物线解析式，将函数解析式化为顶点式可得y1＋y2的最小值，进而求解．
【详解】∵当＝1，x2＝3时，．
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝﹣4x＋c＝＋c﹣4，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（2，c﹣4），
∴当y1＝y2＝c﹣4时，y1＋y2取最小值为2c﹣8，
∴2c﹣8≥2，
解得c≥5．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
【变式3】（2021·福建厦门·厦门双十中学思明分校校考二模）已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可
【详解】解：∵二次函数的图像经过，，
∴对称轴x=，即x=，
∵对称轴x=b，
∴=b，化简得c=b-1，
∵该二次函数的图象与x轴有公共点，
∴△=
=
=
=
∴b=2，c=1，
∴b+c=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值．
考点2：利用二次函数的对称轴判断函数值的大小关系
典例2：（2021·贵州贵阳·统考一模）在平面直角坐标系中，点和在函数的图象上，若，则的取值范围是___________．
【答案】0＜a＜1
【分析】先求出二次函数图像的对称轴方程和开口方向，再根据二次函数图像的对称性，列出不等式，进而即可求解．
【详解】解：∵函数的图象的对称轴为：直线，开口向上，
又∵点和在函数的图象上，若，
∴，解得：0＜a＜1，
故答案是：0＜a＜1．
【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性，是解题的关键．
【变式1】（2022·贵州毕节·统考二模）二次函数的图象过四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】求出抛物线的对称轴，根据抛物线的开口方向和增减性，根据横坐标的值，可判断出各点纵坐标值的大小关系，从而可以求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为：
，且开口向上，
距离对称轴越近，函数值越小，
，
A，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
B,若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C，若，所以，则一定成立，故选项正确，符合题意；
D，若，则不一定成立，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式，解题的关键是：根据二次函数的对称轴及开口方向，确定各点纵坐标值的大小关系，再进行分论讨论判断即可．
【变式2】13．（2022·福建福州·福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：
①当时，；
②当时，；
③当时，；
④当时，．
其中正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①③ C．①②③④ D．③
【答案】D
【分析】不妨假设，利用图像法一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与轴的交点为和，
∴抛物线的对称轴为，
不妨假设．
①如图1中，当，，点，满足，
∵，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故①错误；
②当，，满足，
这时点，在抛物线对称轴的左侧，
∵
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故②错误．
③∵，
∴，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故③正确．
④如图中，当，，点，满足，
∵，
∴，
∵的面积，的面积，
∴，故④错误．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图像上的点的特征等知识．解题的关键是学会利用图像法解决问题．
【变式3】（2022·吉林长春·统考模拟预测）点、均在抛物线（，a、b为常数）上，若，则t的取值范围为________.
【答案】
【分析】根据a＜0，可知抛物线开口向下，根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，可求出t=，根据根据t+1＞t，，即可求出t的取值范围．
【详解】根据a＜0，可知抛物线开口向下，
根据抛物线解析式可知抛物线的对称轴为x=1，
则有时，y随x的增大而增大；
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时，则有，
解得，
∵t+1＞t，，
又∵则有时，y随x的增大而增大；
∴可知当P、Q在对称轴的左侧是肯定满足要求，P、Q均在对称轴的右侧时肯定不满足要求，
当P、Q分别在对称轴x=1的两侧时，
随着P、Q向x轴正向移动，P的纵坐标在逐渐增大，Q的纵坐标逐渐减小，
当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时有，
继续正方向移动，则有，
∴满足的t的取值范围：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线图像的性质，根据当P、Q两点关于抛物线对称轴对称时求出t的临界值是解答本题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2023·辽宁鞍山·统考一模）已知点，是函数图象上的两点，且当时，有，则m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由当时，有，可得出，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解∶当时，有，
故选∶A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据当时结合二次函数的性质，找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．
2．（2022·广东·校联考模拟预测）已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
3.（2020·福建三明·统考二模）已知抛物线y=ax2+bx-2(a＞0)过A(-2，y1)，B(-3，y2)，C(1，y2)，D(，y3)四点，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1
【答案】D
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴为，然后根据点A(-2、、B(-3，、C(1，、D(，离对称轴的远近可判断、、大小关系．
【详解】令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是(0，-2)，
∵抛物线开口向上，对称轴为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
4．（2023·福建泉州·泉州五中校考三模）关于的一元二次方程有一个根是，若二次函数的图象的顶点在第四象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知二次函数的图象过，则，而，，由于顶点在第四象限，结合图象可判断，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，．
∵二次函数的图象的顶点在第四象限，并且图象过，
∴该抛物线开口向上，对称轴在轴右侧
∴，且，
∴
∴，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数之间的关系，结合一元二次方程与二次函数图象之间的联系，综合判断系数的取值范围．熟练掌握一元二次方程与二次函数的图象及系数的关系是解本题的关键．
5．（2021·福建厦门·校考二模）小明在研究抛物线（h为常数）时，得到如下结论，其中正确的是（ ）
A．无论x取何实数，y的值都小于0
B．该抛物线的顶点始终在直线y＝x－1上
C．当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则h＜2
D．该抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h，则＞
【答案】D
【分析】根据二次函数的对称轴、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质判断即可．
【详解】解：A、∵，－1<0，
∴当h＜0时，函数的最大值为y＝－h+1＞0，故该选项错误；
B、∵抛物线的顶点为（h，－h+1），
∴抛物线的顶点始终在直线y=－x+1上，故该选项错误；
C、∵抛物线开口向下，当－1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴h≥2，故该选项错误；
D、∵抛物线上有两点A（，），B（，），若＜，+＞2h，
∴h，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
∴＞，故该选项正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考一模）已知二次函数y=2（x﹣3）2﹣2，下列说法：①其图象开口向上；②顶点坐标为（3，﹣2）；③其图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2）；④当x≤3时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解∶∵a=2＞0，
∴函数的开口向上，故①正确；
根据题意得∶顶点坐标为（3，-2），故②正确；
∵y=2（x﹣3）2﹣2=2x2-12x+18-2=2x2-12x+16，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，-2），故③不正确；
当x≤3时，y随x的增大而减小，故④正确．
故选C．
7．（2019·福建泉州·统考一模）已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
【答案】B
【分析】讨论对称轴的不同位置，可求出结果．
【详解】∴①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5，
可得：（1﹣h）2+1=5，
解得：h=﹣1或h=3（舍）；
②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，
可得：（3﹣h）2+1=5，
解得：h=5或h=1（舍）．
综上，h的值为﹣1或5，
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在x=h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x=1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x=3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．
8.（2020·广东·统考一模）若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
【答案】D
【分析】根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向; 根据函数的对称性可知当x=2时的函数值与x=0时的函数值相同, 并求出对称轴直线方程可得答案.
【详解】A、由图表数据可知x=1时, y的值最小, 所以抛物线开口向上. 所以该抛物线与x轴有两个交点.故本选项正确;
B、根据图表知, 当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;
C、抛物线的开口方向向上, 抛物线与y轴的交点坐标是(0,),对称轴是x=1,所以二次函数图象与x轴交点横坐标一个在-1~0之间, 另一个在2~3之间. 故本选项正确;
D、因为x=0和x=2 时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1. 故本选项错误;
故选:D.
【点睛】本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值.
9．（2022·福建漳州·统考模拟预测）已知点A(1，0)，B(3，0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)都在抛物线y=ax2+bx+c上，记△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则下列结论正确的是( )
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），
∴该抛物线对称轴为x=2，
当x1＞x2+2时与当x1＜2-x2时无法确定C（x1，y1），D（x2，y2）在抛物线上的对应位置，
故选项A和B都不正确；
当|x1-2|＞|x2-2|＞1时，
C（x1，y1）比D（x2，y2）离对称轴更远，且同在x轴上方或者下方，
∴|y1|＞|y2|，
∴S1＞S2，故选项C正确；
当|x1-2|＞|x2+2|＞1时，即在x轴上x1到2的距离比x2到-2的距离大，且都大于1，
可知在x轴上x1到2的距离大于1，x2到-2的距离大于1，但x2到2的距离不能确定，
所以无法比较C（x1，y1）比D（x2，y2）谁离对称轴更远，故无法比较面积，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10.（2022·福建三明·统考模拟预测）已知A（，），B（，）是抛物线上的两点，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【分析】根据抛物线解析式可得抛物线对称轴，然后分类讨论开口方向求解．
【详解】
∴抛物线与x轴的交点为：
∵或两种情况，抛物线的对称轴为：
如下图所示：
A，若，则，表示为y随x的增大而增大，但抛物线是轴对称图象，与条件矛盾，故不符合题意．
B，若，则，表示为与对称轴的距离，当时成立，当时不成立，故不符合题意．
C，若，且，则， 表示为与对称轴的距离，当时，，故不符合题意．
D，若，且，则， 故符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
二、填空题
11.（2019·福建漳州·校联考一模）对于任意实数t，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P，若反比例函数经过点P，则k＝_____．
【答案】3
【分析】把抛物线解析式整理成关于t的形式，然后令t的系数为0求解即可．
【详解】解：∵y＝x2+（2﹣t）x+t＝x2+（1﹣x）t+2x，
∴当1﹣x＝0，即x＝1时，y的值与t无关，y＝1+2＝3，
所以，抛物线y＝x2+（2﹣t）x+t总经过一个固定的点P（1，3），
∵反比例函数经过点P，
∴k＝3，
故答案为3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，关键在于令t的系数为0，整理成关于t的形式是解题的关键．
12.（2021·四川绵阳·统考二模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3在t≤x≤t+3时的最小值是t，则t的值为 __________________.
【答案】或﹣3
【分析】结合二次函数图形以及利用顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时以及顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时和顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，分别结合二次函数增减性求出最值即可．
【详解】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，分类讨论：
（1）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3右侧时，有t+3＜1，即t＜﹣2，此时y随x的增大而减小，
∴当x＝t+3时，函数取得最小值，y最小值＝t＝（t+3）2﹣2（t+3）﹣3，
∴t＝﹣3.
（2）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3内时，即有t≤1≤t+3，
解这个不等式，即﹣2≤t≤1.此时当x＝1时，函数取得最小值，y最小值＝﹣4，
∴t＝﹣4，
不合题意.
（3）若顶点横坐标在范围t≤x≤t+3左侧时，即t＞1时，y随x的增大而增大，
∵当x＝t时，函数取得最小值，y最小值＝t2﹣2t﹣3＝t，解得t＝ 或t＝（舍弃），
∴t＝．
故答案为：或﹣3．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用以及二次函数的增减性等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
13.（2022·江苏无锡·校考一模）若函数图像与x轴的两个交点坐标为和，则__________．
【答案】-2
【分析】根据二次函数图象对称轴所在的直线与x轴的交点的坐标，即为它的图象与x轴两交点之间线段中点的横坐标，即可求得．
【详解】解：函数图像与x轴的两个交点坐标为和
由对称轴所在的直线为：
解得
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及中点坐标的求法，熟练掌握和运用二次函数的性质及中点坐标的求法是解决本题的关键．
14.（2022·福建福州·校考一模）对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．例如：min{2，﹣1}＝﹣1，若关于x的函数y＝min{﹣x2+x+1，﹣x﹣2}，则该函数的最大值为_____．
【答案】-1
【分析】根据题意，利用分类讨论的方法和一次函数的性质、二次函数的性质，可以求得该函数的最大值，本题得以解决．
【详解】解：当-x2+x+1≥-x-2时，可得-1≤x≤3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x-2，
∴当x=-1时，y=-x-2取得最大值，此时y=-1；
当-x2+x+1≤-x-2时，可得x≤-1或x≥3，
则y=min{-x2+x+1，-x-2}=-x2+x+1=-（x- ）2+ ，
∴当x=-1时，y=-x2+x+1取得最大值，此时y=-1；
由上可得，该函数的最大值为-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
15.（2022·湖北黄冈·校考模拟预测）已知关于x的一元二次方程的两个根分别是1和－3，若二次函数与x轴有两个交点，其中一个交点坐标是（4，0），则另一个交点坐标是________．
【答案】（ 6，0）
【分析】根据一元二次方程与函数的关系，可知抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标为方程的两个根，从而求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根分别是1和 3，
∴抛物线y＝（a≠0）与x轴的两个交点为（1，0），（ 3，0），
∴抛物线y＝的对称轴为直线x＝
∵二次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的一个交点坐标是（4，0），
∴函数y＝与直线y＝ m的一个交点的横坐标为4，
∴函数y＝与直线y＝ m的另一个交点的横坐标为 6，
∴次函数y＝＋m（m＞0）与x轴的另一个交点坐标是（ 6，0），
故答案为：（ 6，0）．
【点睛】此题主要考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
16.（2022·广东珠海·统考二模）已知抛物线的解析式为（m为常数），则下列说法正确的是____________．
①当时，点在抛物线上；
②对于任意的实数m，都是方程的一个根；
③若，当时，y随x的增大而增大；
④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点．
【答案】②
【分析】①将点代入解析式中即可判断；
②解方程即可判断；
③根据函数解析判断开口方向，根据对称轴及开口方向即可判断；
④解方程，根据题意，利用的取值范围及即可判断．
【详解】解：抛物线（为常数）中，
当时，抛物线，若，则，
点不在抛物线上，
即①说法错误，不符合题意，
方程即，
或，
解得，，
对于任意实数，都是方程的一个根，
即②说法正确，符合题意，
抛物线（为常熟）中，，开口向上，
对称轴是直线，当时，随的增大而增大，
即若，，当时，y随x的增大而增大，不一定正确，
即③说法错误，不符合题意，
抛物线（为常数）中，
当时，，
解得，，
抛物线与轴的交点坐标为、，
当时，，
“④已知点，则当时，抛物线与线段有两个交点”的说法错误，（因为当时只有一个交点），不符合题意，
综上所述，说法正确的是②，
故答案为：②．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查了二次函数的图象及性质，对称的性质，灵活运用二次函数的图象及性质是解题的关键．
三、解答题
17.（2019·福建漳州·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）．
（1）求证：抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴的交点分别为A（x1，0），B（x2，0）且AB＝2，求此抛物线的解析式；
（3）已知x轴上两点C（2，0），D（5，0），若抛物线y＝mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）与线段CD有且只有两个交点，求m的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）y＝x2﹣8x+15；（3）m≥1
【分析】（1）证明mx2﹣8mx+16m﹣1（m＞0）=0的根的判别式大于零即可；
（2）根据抛物线与x轴的交点可得则x1、x2为方程mx2-8mx+16m-1=0的两根，再利用根与系数的关系可得x1+x2= =8，x1x2=，结合| x1-x2|=2得到（x1十x2）2-4x1x2=4，所以82-4（）=4，则可求出m即可；
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=4，再利用函数图象可得当x=5，y≥0时，抛物线与线段CD有交点，可得25m-40m+16m-1≥0，最后解不等式即可．
【详解】（1）证明：△＝64m2﹣4m （16m﹣1）
＝4m，
∵m＞0，
∴△＞0，
∴抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）根据题意，x1、x2为方程mx2﹣8mx+16m﹣1＝0的两根，
∴x1+x2＝＝8，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1+x2）2﹣4x1 x2＝4，
∴82﹣4 ＝4，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣8x+15；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝＝4，
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（4，-1）
∴当x＝2，y≥0时，∴4m﹣16m+16m﹣1≥0，
∴m≥．
当x＝5，y≥0，25m-40m+16m-1≥0，解得m≥1．
【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系以及抛物线与x轴的交点问题，将二次函数与x轴的交点坐标问题转化为关于x的一元二次方程解得问题是解答本题的关键．
18.（2022·北京顺义·统考一模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)已知点，，在抛物线上．若，比较，，的大小，并说明理由．
【答案】(1)x=1；
(2)．
【分析】（1）利用抛物线的对称轴公式求得即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
(1)∵点在抛物线上，
∴，
∴b=-2a，
∴抛物线函数关系式为：，
抛物线的对称轴为：直线；；
(2)∵a＜0，开口向下，且对称轴为：x=1，
∴结合函数图象可知，当抛物线开口向下时，距离对称轴越近，值越大，
∵，
∴，，，
∴，，这三个点，离对称轴最近，离对称轴最远，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数与一次函数交点问题等，题目难度适中，数形结合思想及求二次函数与一次函数交点需要联立方程是解题基础．
19.（2019·福建·统考一模）请阅读下列解题过程：
解一元二次不等式：.
解：
，或，
解得或.
一元二次不等式的解集为或.
结合上述解答过程回答下列问题：
（1）上述解题过程渗透的数学思想为________；
（2）一元二次不等式的解集为________；
（3）请用类似的方法解一元二次不等式：.
【答案】（1）分类讨论思想；（2）；（3）.
【分析】（1）根据分类讨论的数学思想的定义，即也称分情况讨论，当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，就需要对这一问题进行必要的分类即可解答；（2）仿照（1）的方法进行解答即可；（3）仿照（1）的方法进行解答即可.
【详解】（1）分类讨论思想；
（2）由解题过程可知：，即.
，或，解得.
（3），即，
则或，
解得.
∴一元二次不等式的解集为.
【点睛】本题考查分类讨论思想、不等式（组）的解法及不等式的应用，突破此类问题的关键是熟练掌握不等式（组）的解法及不等式的应用.
.错因分析：1.对不等式的解法掌握不熟练；2.对题中解题过程理解不透彻，属于中等题.
20.（2022·北京东城·东直门中学校考一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．
（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝ ；
（2）当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；
（3）若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；（3）﹣1≤t≤2
【分析】（1）由对称轴是直线x＝，可求解；
（2）分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；
（3）利用函数图象的性质可求解．
【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x＝＝1，
故答案为：1；
（2）当a＞0时，∵对称轴为x＝1，
当x＝1时，y有最小值为﹣a，当x＝3时，y有最大值为3a，
∴3a﹣（﹣a）＝4．
∴a＝1，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x；
当a＜0时，同理可得
y有最大值为﹣a； y有最小值为3a，
∴﹣a﹣3a＝4，
∴a＝﹣1，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+2x；
综上所述，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x或y＝﹣x2+2x；
（3）∵a＜0，对称轴为x＝1，
∴x≤1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小，x＝﹣1和x＝3时的函数值相等，
∵t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，
∴t≥﹣1，t+1≤3，
∴﹣1≤t≤2．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．
21.（2020·福建南平·校考模拟预测）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(n，b)，B(m，a)且m﹣n＝1．
（1）当b＝a时，直接写出函数图象的对称轴；
（2）求b和c（用只含字母a、n的代数式表示）；
（3）当a＜0时，函数有最大值﹣1，b＋c≥a，n≤，求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据函数的对称轴为直线，即可求解；
（2）把A、B坐标代入抛物线表达式并整理得：，即可求解；
（3）确定n的取值范围：，根据，得到，即可求解．
【详解】（1）函数的对称轴为直线，
∵，
∴；
（2）∵二次函数经过A（n，b），B（m，a），
则，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
将代入得：；
（3）∵，
∴，即，
当时，；
而，故，
∵()，
∴，
∴，且，
∴，
化简得：，
∴，
∵，当时，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
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