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专题01 平面直角坐标系的面积问题
一、【知识回顾】
（1）各象限点的特征：
第一象限（+，+）；
第二象限（—，+）；
第三象限（一，一）；
第四象限（+，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0；
若点P在y轴上，则a=0；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）
注:谁对称谁不变，另一个互为相反数；原点对称横纵坐标都互为相反数
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
⑤点P到点M的距离：PM=（勾股定理）
⑥线段PM的中点坐标：（）
二、【考点类型】
考点1：三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上
典例1：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒（）．
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值．
【答案】(1)，；
(2)不会，理由见解析；
(3)或．
【分析】（1）设运动时间为t秒，则，，结合题意即可得到点P、点Q的坐标；
（2）依据代入计算即可求解；
（3）当时，得到即，求解即可； 当时，得到即，求解即可；
【详解】（1）解：设运动时间为t秒，
则，，
， ，
故答案为：，；
（2）四边形的面积不会随时间t的变化而变化，
理由：四边形的面积
．
（3）当时，
，
即，
解得：，
当时，
，
即，
解得：或（不合题意，舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查了与矩形有关的动点问题，求不规则图形的面积，相似三角形的性质；解题的关键是依据题意表示出相关线段．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：m＝______，b＝______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
【答案】(1)3，6
(2)的面积为50
(3)存在，点M的坐标为
(4)所有符合条件的点P坐标为或
【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出；
（2）由两个一次函数解析式分别求出它们与x轴的交点坐标，得到的长，从而算出的面积；
（3）由已知条件可得的面积，进而得出的长，即可得点M的坐标；
（4）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵是一次函数与的图象的交点，
∴，解得，
∴，解得，
故答案为：3，6；
（2）一次函数中，当时，；当时，，
∴，
一次函数中，当时，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为50；
（3）如图：
在线段上存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为，
∵的面积与四边形的面积比为，
∴，
∴，即，
∴，
∵点M在线段上，
∴点M的坐标为；
（4）点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或，
设点，
∵，
∴，，，
当时，，
∴，
整理得，，
解得或（舍去），
∴点P坐标为；
当时，，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
综上所述，所有符合条件的点P坐标为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答．
【变式2】7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴正半轴上一点，以为边作等腰直角三角形，使，点在第一象限．若点在函数的图象上，则的面积为（ ）
A．. B．. C．. D．.
【答案】C
【分析】设点B的横坐标为x，过C作x轴，y轴的垂线，易证△OAB≌△DCA，可得CD=OA=1，AD=OB=x，因为点C在y=图象上，可得矩形ODCE的面积为3，列方程即可得出x的值，然后根据勾股定理求出AB的长，即可得出△ABC的面积．
【详解】解：设点B的横坐标为x，过C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，
∵∠DCA+∠DAC=90°，∠DAC+∠OAB=90°，
∴∠DCA=∠OAB，
在△OAB与△DCA中，
，
∴△OAB≌△DCA（AAS），
∴CD=OA=1，AD=OB=x，
∴OD=1+x，
∵点C在y=图象上，
∴矩形ODCE的面积为3，
即1×（1+x）=3，
x=2，
∴AC=AB==，
∴S△ABC=×AB×AC=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何性质，作出辅助线构造出全等三角形，表示出矩形的边长是解决此题的关键．
【变式3】10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】（1）根据非负数的性质即可求得a的值，即可得到B（﹣2，2）；
（2）利用三角形面积公式求得即可判断；
（3）求得△OBC和△AOB的面积即可判断；
（4）S△BCP和S△AOB的值即可判断．
【详解】解：（1）∵a、b满足（a+2）2+＝0，
∴a+2＝0，b﹣3＝0，
∴a＝﹣2，b＝3，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（﹣2，2），
故（1）正确；
（2）三角形ABO的面积＝×OA×＝×3×2＝3，
故（2）正确；
（3）设直线l2的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A、B的坐标代入y＝kx+c，得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+3，
令y＝0，则x＝﹣6，
∴C（﹣6，0），
∴S△OBC＝＝6，
∵S△ABO＝3，
∴S△OBC：S△AOB＝2：1；
故（3）正确；
（4）∵P的坐标是（﹣2，5），B（﹣2，2），
∴PB＝5﹣2＝3，
∴S△BCP＝＝6，S△AOB＝×3×2＝6，
∴S△BCP＝S△AOB．
故（4）正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了两条直线相交问题，三角形的面积，一次函数图象上点的坐标特征，求得交点坐标是解题的关键．
考点2：三角形的边都不平行于坐标轴或都不在在坐标轴上（铅锤法）
典例2：如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)3
(3)存在，，，，
【分析】（1）把把，代入得出即可求出反比例函数的表达式
（2）把代入得，确定点B的坐标，再根据待定系数法得出直线的表达式，求出与轴的交点，再根据即可
（3）设点为，根据列出方程解之即可
【详解】（1）解：把，代入得：，
∴反比例函数的表达式为，
（2）把代入得，
∴为；
设直线的表达式为：，
把点，点代入得：，
解得：
∴，
∴与轴的交点，
∴；
（3）设点为，
∴，
∵，
∴或，
∴，，，
∴为，，，．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何，反比例函数与一次函数，根据列出方程是解题的关键
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；
（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：，
，
对称轴为，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）如图，抛物线与x轴交于点，
对称轴为，
即，
抛物线解析式为：，
,即，
设是第三象限内抛物线上的动点，
则且，
，
开口向下，
当时有最大值，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点P为下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，请求出P点的坐标和的面积最大值；
(3)如图2，点N为线段上一点，连接，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式即可；
（2）过点作轴于点，交于点，利用，将三角形的面积转化为二次函数求最值，进行求解即可；
（3）过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，可得：，当三点共线时，的值最小，即为的长，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：，当时，，
∴，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴直线的解析式为：，
过点作轴于点，交于点，设，则：，
∴，
∴；
∵，
∵点P为下方抛物线上一动点，
∴，
∴当时，的面积最大为，此时，即：；
（3）解：过点在轴右侧作直线交轴于点，使，过点作于点，则：，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，即为的长，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
∴的最小值为．
【变式3】27．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再利用菱形的性质可得到的长，进而得出点的坐标，最后利用反比例函数的坐标特征求出的值；
（2）根据的面积是菱形面积的列方程即可求得点的坐标．
【详解】（1）解：延长交轴于，则垂直于轴，如图1所示．
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴点坐标为，
∵点在反比例函数的图象上，
∴；
∴反比例的函数关系式为：；
（2）解：由（1）知：反比例函数的关系式为，
设点的坐标为，
∵的面积是菱形面积的，
∴，
，
∴或（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理，菱形的性质，反比例函数图像上点的坐标特征，菱形与三角形的面积等知识，掌握菱形的性质以及勾股定理是解题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】底AB=4，高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：由图象可知，A（0，0），B（4，0），
∴AB＝4
∵C（﹣4，4），
点C到x轴的距离是4，△ABC的高就是4，
∴S△ABC＝＝8，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
2．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可求解．
【详解】解：对于直线，当时，；当时，
∴直线与坐标轴的交点为和，
直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于，
故选：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据题意求出直线与坐标轴的交点坐标．
3．在为原点的平面直角坐标系中，位于第一象限的点到轴的距离是3；点与该坐标系中另一点连接而成的线段轴，且三角形的面积为10，则的值为（ ）
A．-2 B．-1或9 C．8 D．-2或8
【答案】D
【分析】根据位于第一象限的点M（3a 8，a 1）到x轴的距离是3，求得a的值，进而得M点的坐标，再根据轴得m的值，由△OMN的面积为10，求得MN，进而便可求得n的值．
【详解】解：∵位于第一象限的点M（3a 8，a 1）到x轴的距离是3，
∴a 1＝3，
∴a＝4，
∴M（4，3），
∵N（m，n），轴，
∴m＝4，
∵△OMN的面积为10，
∴，
∴MN＝5，
∴|n 3|＝5，
∴n＝8或 2，故D正确．
故选：D．
．
【点睛】本题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征，三角形的面积，平行或垂直坐标轴的直线的坐标特征，关键是根据数形结合，根据坐标特征列出方程解决问题．
4．在平面直角坐标系中有点A（0，-2）和点B（3，0），过点B作与y轴平行的直线，点C是直线上一点，若三角形ABC的面积为6，则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）或（3，-4） B．（3，-4） C．（3，4） D．（3，4）或（-3，-4）
【答案】A
【分析】先根据题意得到点C的横坐标为3，再根据三角形ABC的面积求出BC的长即可得到答案．
【详解】解：∵过点B作与y轴平行的直线，点C是直线上一点，
∴点C的横坐标为3，
∵△ABC的面积为6，点A的坐标为（0，-2），
∴，
∴BC=4，
∴点C的坐标为（3，4）或（3，-4），
故选A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确求出点C的横坐标以及BC的长是解题的关键．
5．在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，的坐标分别为（4，0）和（a，a+1），且三角形的面积是8，则的值为（ ）
A．3或-5 B．±4 C．3 D．-5
【答案】A
【分析】利用三角形的面积公式，结合点的坐标列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：或，
故选：．
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，绝对值方程，结合坐标列出关于a的方程，是解题的关键．
6．点A、B是平面直角坐标系中轴上的两点，且，有一点与构成三角形，若的面积为3，则点的纵坐标为（ ）
A．3 B．3或 C．2 D．2或
【答案】B
【分析】根据，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题考查图形与坐标，三角形面积，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
7．在平面直角坐标系中，0为原点，直线交y轴于B (0， 5)，交x轴于A，且三角形AOB的面积为10，则k=( )
A．1 B． C．-2或-4 D．或
【答案】D
【分析】由S△AOB=10可得，据此求得或，从而得出点A的坐标，再利用待定系数法分别求得函数解析式．
【详解】解：∵B（0，5），
∴OB=3，
由S△AOB=10可得，即
解得：或，
则点A的坐标为（4，0）或（-4，0），
当点A坐标为（4，0）时，把A、B坐标代入可得：
，解得：；
当点A坐标为（-4，0）时，把A、B坐标代入可得：
，解得：；
故选D．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是根据三角形的面积得出点B坐标的两种情况．
8．如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y＝x图象上，点A在x轴的正半轴上，等腰直角三角形BCD的顶点C在AB上，点D在函数y＝第一象限的图象上若△OAB与△BCD面积的差为2，则k的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征得出OA＝AB，由△BCD是等腰直角三角形，可得CD＝BD．设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），根据反比例函数y＝的图象经过点D，即可得到a2﹣b2＝k，进而得出△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝k＝2，即可求出k．
【详解】解：∵点B在函数y＝x图象上，
∴OA＝AB，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BD．
设OA＝a，CD＝b，则点D的坐标为（a+b，a﹣b），
∵反比例函数y＝的图象经过点D，
∴（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2＝k，
∴△OAB与△BCD的面积之差＝a2﹣b2＝k＝2，
∴k＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查的是求反比例函数的比例系数和等腰直角三角形的性质，掌握反比例函数的比例系数与图形面积的关系是解决此题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】分类讨论：当C点在y轴上，设C（0，t），根据三角形面积公式得到 |t﹣3| 2＝6，当C点在x轴上，设C（m，0），根据三角形面积公式得到|m＋2| 3＝6，然后分别解绝对值方程求出t和m即可得到C点坐标．
【详解】解：分两种情况：
①当C点在y轴上，设C（0，t），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |t﹣3| 2＝6，
解得t＝9或﹣3.
∴C点坐标为（0，﹣3），（0，9），
②当C点在x轴上，设C（m，0），
∵三角形ABC的面积为6，
∴ |m＋2| 3＝6，
解得m＝2或﹣6.
∴C点坐标为（2，0），（﹣6，0），
综上所述，C点有4个.
故选：D．
【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系上的点的应用，掌握平面直角坐标系的点的性质是解题的关键.
10．如图， 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，A点坐标点坐标， 动点 从A点出发， 沿轴正方向运动， 连接， 以为直角边向下作等腰直角三角形 ， 连接， 当 时， 的面积为（ ）
A． B．64 C．32 D．36
【答案】C
【分析】过点作轴于点，过点作于点，延长交于点，证明，由全等三角形的性质得出，，由勾股定理求出的长，则可得出答案．
【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，延长交于点，
，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
∴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．
【答案】12
【分析】过P点作PH⊥AB于H点，根据垂径定理可知：HA=HB，根据勾股定理求出HB，即可求解．
【详解】解：过P点作PH⊥AB于H点，如下图所示：
根据垂径定理可知：HA=HB，
且，∴PH=3，
，
∴AB=2HB=8，
∴，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，平面直角坐标系等相关知识点，属于基础题，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解决本题的关键．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第2017个阴影三角形的面积是__________．
【答案】24033
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出OA1、A2B1、A3B2、A4B3的值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“An+1Bn=BnBn+1=2n+1”，再根据三角形的面积即可得出Sn+1=×（2n+1）2=22n+1，分别代入n=3、2016即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=x+2=2，
∴OA1=OB1=2；
当x=2时，y=x+2=4，
∴A2B1=B1B2=4；
当x=2+4=6时，y=x+2=8，
∴A3B2=B2B3=8；
当x=6+8=14时，y=x+2=16，
∴A4B3=B3B4=16．
∴An+1Bn=BnBn+1=2n+1，
∴Sn+1=×（2n+1）2=22n+1．
当n=2016时，S2017=22×2016+1=24033．
故答案为：24033；
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、规律型：点的坐标以及三角形的面积，根据三角形面积的变化，找出“Sn=2×4n-1（n为正整数）”是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），点D在坐标轴上，若三角形BCD的面积与三角形ABC的面积相等且点D不与点A重合，则点D的坐标为_________．
【答案】（5，0）或（0，5）或（0，-1）
【分析】分为点D在x轴上和y轴上两种情况，依据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=2，OC=2，
∴S△ABC=AB×OC=3，
当点D在x轴上时，S△BCD=DB OC=DB=3．
∴D的坐标为（5，0）或（-1，0）；
（-1，0）与点A重合，不合题意，舍去，
当点D在y轴上时，S△BCD=CD OB=CD=3．
∴点D的坐标为（0，5）或（0，-1）．
综上所述，点D的坐标为（5，0）或（0，5）或（0，-1）．
故答案为：（5，0）或（0，5）或（0，-1）．
【点睛】本题主要考查的是三角形的面积，坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键．
14．在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 _________．
【答案】（1，0），（﹣1，0），（0，﹣2）
【分析】根据题意点C的位置可分当点C在x轴上时和当点C在y轴上时两种情况进行讨论，从而根据三角形的面积公式列式，进而求得OC，得出点C的坐标．
【详解】解：根据题意可知三角形AOB面积S△AOB=×OB×|xA| =×2×2=2，
当点C在x轴上时，
∵S△AOC=S△AOB，
∴×OC×|yA| =×OC×4=2，
解得OC=1，
∴点C的坐标为（1，0），（-1，0）；
当点C在y轴上时，
∵S△AOC=S△AOB，
∴×OC×|xA|=×OC×2=2，
∴OC=2，
又点C不与点B重合，
∴点C坐标为（0，-2）．
综上所述，点C的坐标为（1，0），（-1，0），（0，-2）．
故答案为：（1，0），（-1，0），（0，-2）．
【点睛】本题考查三角形的面积及坐标与图形性质，解题的关键是根据题意分两种情况进行讨论（当点C在x轴上时和当点C在y轴上时），根据三角形的面积公式求得OC，再得出点C的坐标，也可以适当的画草图进行分析．
15．已知平面直角坐标系内，点的坐标为（2，0），点的坐标为（0，3），以为斜边作等腰直角三角形，点落在第二象限，则点的坐标为___________，三角形的面积为__________．
【答案】 （-，）
【分析】过点C作CD⊥x轴于点D,延长DC至CE，使BE⊥ СЕ，先推出△BCE≌△CDA，得到EC = AD，BE= CD，可推出EC和CD，然后可推出OD，即可得到C点坐标，再根据三角形的面积和梯形的面积公式计算即可．
【详解】过点C作CD⊥x轴于点D，延长DC至CE，使BE⊥ СЕ，
∵△ABC为以AB为斜边的等腰三角形，
∴BС=AC，∠BCA=90°，
又∵BE⊥CE， CD⊥AD，
∴∠E=∠CDA = 90°，∠BCE= 90°- ∠ACD= ∠CAD，
∴在△BCE和△CDA中，
∴△BCE≌△CDA（AAS），
∴EC = AD，BE= CD，
则,
∴，
∴OD=AD-OA=EC-OA=-2=，
∴C（-，），
则S△ABC= S梯形ADEB-S△BEC- S△ACD
=--
=-
=．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握这些知识点灵活运用是解题关键．
16．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．
【答案】10
【分析】使△AOP为等腰三角形，只需分两种情况考虑：OA当底边或OA当腰．当OA是底边时，有2个点；当OA是腰时，有8个点，即可得出答案．
【详解】∵A（8，0），
∴OA=8，
设△AOP的边OA上的高是h，
则×8×h=16，
解得：h=4，
在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：
①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，
③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，
其中，没有重复的点，
∴4+4+1+1=10．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
17．在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题：
①若轴，则；
②若轴，则；
③若，则，，三点在同一条直线上；
④若，三角形的面积等于8，则点的坐标为．
其中真命题有______．（填序号）
【答案】②③##③②
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同求出a的值，再判断即可；②根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相同求出a的值，再判断即可；③根据a＝1，求出A，B，C三点坐标即可判断；④根据B、C横坐标相同，可判断轴，得出BC＝4，再表示出点A到BC的距离，再根据三角形ABC的面积等于8列出关系式求出a的值即可求出点C的坐标．
【详解】解：①∵轴，
∴3a＋2＝a＋2，
∴a＝0，
故①错误；
②∵轴，
∴ a＝2a 3，
∴a＝1，
故②正确；
③∵a＝1，
∴A（ 1，5），B（ 1，3），C（ 1， 1），
∵A、B、C三点的横坐标相同，
∴A、B、C三点在同一条直线上，
故③正确；
④∵B（2a 3，a＋2），C（2a 3，a 2），
∴轴，
∴BC＝4，
∵A（ a，3a＋2），a＞1，
∴点A到BC的距离为2a 3 （ a）＝3a 3，
∵△ABC的面积等于8，
∴×4×（3a 3）＝6a 6＝8，
∴a＝，
∴点C的坐标为，
故④错误；
综上分析可知，真命题为②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了点的坐标，三角形的面积，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征，是解题的关键．
18．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
【答案】
【分析】由直线过A点(-3,0)，可得OA=3，，即，再由直线交y轴于B点，可得B点坐标为(0,b)，即，结合，可得，即有，则k值可求．
【详解】∵直线过A点(-3,0)，
∴OA=3，，
即，
∵直线交y轴于B点，
∴当x=0，有，
∴B点坐标为(0,b)，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要一次函数与坐标轴交点的问题以及坐标系中三角形面积的问题，掌握一次函数的图像与性质是解答本题的关键．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点C，若．
(1)求k的值；
(2)已知点P是x轴上的一点，若的面积为24，求点P的坐标．
【答案】(1)18
(2)或
【分析】（1）如图所示，过点C作轴于点H，先求出A、B的坐标得到，再证明得到，，即可求出点C的坐标，进而求出k的值；
（2）设点P坐标为，则，根据的面积为24，得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点C作轴于点H，
∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点C的坐标是，
∵点C在反比例函数上，
∴；
（2）解：设点P坐标为，
∴，
∵的面积为24，
∴，
∴，
解得或，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，证明是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是．
(1)和的相似比是 ；
(2)请画出；
(3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ；
(4)的面积是 ．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
(4)3
【分析】（1）直接利用点对应点坐标，即可得出相似比；
（2）利用相似比即可得出对应点位置，进而确定答案；
（3）直接利用位似图形的性质得出点坐标即可；
（4）利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：和的相似比是；
故答案为：；
（2）如图所示，即为所求；
（3）边上有一点，在边上与点对应点的坐标是；
故答案为：；
（4）的面积是：．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)首先根据二次函数的解析式，可求得点C的坐标，根据对称性质即可求得点D的坐标，即可求得一次函数解析式及点B的坐标，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
(2)设，则，，可求得，再根据及二次函数的性质，即可解决问题；
(3)由(2)知，，，，再分两种情况，即可分别求解．
【详解】（1）解：令，则，
，
∵点C与点D关于x轴对称．
，
把代入，得，
，
，
，
令，得，
解得，
，
把B点坐标代入中，得
，
解得，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设，则，，
则，
，
，
∴当时，的面积最大，
此时，P点的坐标为；
（3）解：存在，
由(2)知，，，
，
点Q在y轴上，
，
当时，以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，
，且点Q在y轴上，
点Q的纵坐标为：可
或．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，平行四边形的判定，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法解题即可；
（2）连接，则，设H点坐标为，则解方程即可；
（3）分两种情况解题即可过Q作于点M，则可得到全等三角形，找到线段关系，从而得到点的坐标.
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于两点，，表示点Q坐标，代入解析式解题即可．
代入，得
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，∵，∴，
设H点坐标为，
则
解得：或，
∴点H的坐标为或
（3）点E的坐标为或
设点E坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴,
解得或（舍）
则Q点坐标为
如图，过Q作于点M，
∴
又∵
∴
∴∠
∴
∴，
∴Q点坐标为(
又∵Q在抛物线上，
∴,
解得或（舍）
则Q点坐标为
综上所述，Q点坐标为或
【点睛】本题考查了二次函数应用，求二次函数的解析式，等腰三角形的性质以及一线三等角模型的应用.
23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）．
(1)则m＝ ，n＝ ；
(2)若y1＞y2时，则x的取值范围是 ；
(3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长．
【答案】(1)m=-6，n=-1
(2)x＜-2，或0＜x＜6
(3)
【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式中，求出m，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出n；
（2）根据一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交点A（﹣2，3）和点B（6，-1），得到不等式，的解集是x＜-2，或0＜x＜6；
（3）先求出BC，h，再求出AB，最后用三角形的面积公式建立方程求解，即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）∵点A（-2，3）在反比例函数的图象上，
∴m=-2×3=-6，
∴反比例函数的解析式为，
∵B（6，n）在反比例函数的图象上，
∴6n=-6，
∴n=-1，
故答案为：m=-6，n=-1；
（2）∵一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（﹣2，3）和点B（6，-1）
∴y1＞y2时，，
由图象看出x的取值范围是x＜-2，或0＜x＜6；
故答案为： x＜-2，或0＜x＜6；
（3）∵BC⊥y轴，B（6，-1），
∴BC=6，
∵A（-2，3），
设点A到BC的距离为h，
∴h=3-（-1）=4，
∵， CD⊥AB，
∴S△ABC=BC h=AB CD，
∴．
【点睛】此题主要考查了一次函数与反比例函数，熟练掌握待定系数法求函数解析式，用图象法解不等式，两点间的距离公式，三角形的面积公式，二次根式分母有理化，是解本题的关键．
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专题01 平面直角坐标系的面积问题
一、【知识回顾】
（1）各象限点的特征：
第一象限（+，+）；
第二象限（—，+）；
第三象限（一，一）；
第四象限（+，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0；
若点P在y轴上，则a=0；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）
注:谁对称谁不变，另一个互为相反数；原点对称横纵坐标都互为相反数
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
⑤点P到点M的距离：PM=（勾股定理）
⑥线段PM的中点坐标：（）
二、【考点类型】
考点1：三角形的一边平行于坐标轴或在坐标轴上
典例1：如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒（）．
(1)点P的坐标为______，点Q的坐标为______（用含t的代数式表示）；
(2)请判断四边形的面积是否会随时间t的变化而变化，并说明理由；
(3)若以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，请直接写出t的值．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点．
(1)填空：m＝______，b＝______；
(2)求的面积；
(3)在线段上是否存在一点M，使得的面积与四边形的面积比为？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(4)点P在线段上，连接，若是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P坐标．
【变式2】7．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴正半轴上一点，以为边作等腰直角三角形，使，点在第一象限．若点在函数的图象上，则的面积为（ ）
A．. B．. C．. D．.
【变式3】10．如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝﹣x，直线l2与l1交于B（a，﹣a），与y轴交于点A(0，b)．其中a、b满足（a+2）2+＝0，那么，下列说法：
（1）B点坐标是(﹣2，2)；
（2）三角形ABO的面积是3；
（3） ；
（4）当P的坐标是(﹣2，5)时，那么，，正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点2：三角形的边都不平行于坐标轴或都不在在坐标轴上（铅锤法）
典例2：如图，在平面直角坐标系中，点，点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)在反比例函数图象上是否存在点P，使的面积是面积的2倍．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接，点P为下方抛物线上一动点，连接，当的面积最大时，请求出P点的坐标和的面积最大值；
(3)如图2，点N为线段上一点，连接，求的最小值．
【变式3】27．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为．
(1)求反比例函数的关系式；
(2)设点在反比例函数的图象上，连接，若的面积是菱形面积的，求点的坐标．
巩固训练
一、单选题
1．如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中．则三角形ABC的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．在平面直角坐标系中，直线与坐标轴所围成的三角形的面积等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．在为原点的平面直角坐标系中，位于第一象限的点到轴的距离是3；点与该坐标系中另一点连接而成的线段轴，且三角形的面积为10，则的值为（ ）
A．-2 B．-1或9 C．8 D．-2或8
4．在平面直角坐标系中有点A（0，-2）和点B（3，0），过点B作与y轴平行的直线，点C是直线上一点，若三角形ABC的面积为6，则点C的坐标为（ ）
A．（3，4）或（3，-4） B．（3，-4） C．（3，4） D．（3，4）或（-3，-4）
5．在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，的坐标分别为（4，0）和（a，a+1），且三角形的面积是8，则的值为（ ）
A．3或-5 B．±4 C．3 D．-5
6．点A、B是平面直角坐标系中轴上的两点，且，有一点与构成三角形，若的面积为3，则点的纵坐标为（ ）
A．3 B．3或 C．2 D．2或
7．在平面直角坐标系中，0为原点，直线交y轴于B (0， 5)，交x轴于A，且三角形AOB的面积为10，则k=( )
A．1 B． C．-2或-4 D．或
8．如图，在平面直角坐标系中，点B在函数y＝x图象上，点A在x轴的正半轴上，等腰直角三角形BCD的顶点C在AB上，点D在函数y＝第一象限的图象上若△OAB与△BCD面积的差为2，则k的值为（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
9．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图， 在平面直角坐标系中， 为坐标原点，A点坐标点坐标， 动点 从A点出发， 沿轴正方向运动， 连接， 以为直角边向下作等腰直角三角形 ， 连接， 当 时， 的面积为（ ）
A． B．64 C．32 D．36
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第2017个阴影三角形的面积是__________．
13．如图，在平面直角坐标系中，点A（-1，0），B（2，0），C（0，2），点D在坐标轴上，若三角形BCD的面积与三角形ABC的面积相等且点D不与点A重合，则点D的坐标为_________．
14．在平面直角坐标系中，有点A（2，4），点B（0，2），若在坐标轴上有一点C（不与点B重合），使三角形AOC和三角形AOB面积相等，则点C的坐标为 _________．
15．已知平面直角坐标系内，点的坐标为（2，0），点的坐标为（0，3），以为斜边作等腰直角三角形，点落在第二象限，则点的坐标为___________，三角形的面积为__________．
．
16．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是______．
17．在平面直角坐标系中，已知，，三个点，下列四个命题：
①若轴，则；
②若轴，则；
③若，则，，三点在同一条直线上；
④若，三角形的面积等于8，则点的坐标为．
其中真命题有______．（填序号）
18．在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=kx+b交x轴于A（-3，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为6，则k=________．
三、解答题
19．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数（且）的图象在第一象限交于点C，若．
(1)求k的值；
(2)已知点P是x轴上的一点，若的面积为24，求点P的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，的对应点分别为，其中的坐标是．
(1)和的相似比是 ；
(2)请画出；
(3)边上有一点，在边上与点对应点的坐标是 ；
(4)的面积是 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称．点P是线段上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线于点N．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在；说明理由
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点，点P为线段上一动点，连接并延长交抛物线于点H，连结，当四边形的面积为时，求点H的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为第二象限抛物线上一动点，以为斜边作等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标．
23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）．
(1)则m＝ ，n＝ ；
(2)若y1＞y2时，则x的取值范围是 ；
(3)过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长．
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