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专题07 五大最值问题模型
一、【知识回顾】
（1）将军饮马模型：
①一定两动
②一定两动
③两定两动
（2）费马点模型：（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）
（3）阿氏圆模型：
（4）胡不归模型：
（5）隐圆最值模型：
①四点共圆： ②动点到定点等定长：
③直角所对的是直径：
④定弦对定角：
二、【考点类型】
考点1：将军饮马模型
典例1：（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，EC+EM的最小值为，理由见解析
(3)6
【分析】（1）连接OD，交BC于点N，通过证明四边形CNDM为矩形得出，利用切线的判定定理即可得出结论．
（2）过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，利用将军饮马模型可知此时EC+EM的值最小，由题意可得FD为圆的直径，在中，利用勾股定理即可求得结论．
（3）利用角平分线的定义和三角形的外角的性质可以判定为等腰三角形，证明，利用相似三角形的性质得出比例式，解关于AF的方程即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，连接OD，交BC于点N，
AB为直径
弦AD平分∠BAC，
四边形CNDM为矩形
OD为圆的半径
MD是⊙O的切线
（2）解：在点E运动过程中，EC+EM存在最小值，理由如下：
过点C作，并延长交⊙O于点F，连接MF，交AB于点E，连接EC，则此时EC+EM的值最小
弦AD平分∠BAC，
与的度数为
AB是直径
，AB是直径
为半圆
FD为圆的直径
由（1）知：MD是⊙O的切线
由题意得：AB垂直平分FC
由（1）知：四边形CNDM为矩形
在中
在中
EC+EM的最小值为．
（3）解：如图
FC平分，
AD平分，
解得或（不合题意，舍去）
【点睛】本题是一道圆的综合题，此题考查了圆的切线的判定与性质，圆周角定理及其推论，轴对称的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值，连接半径OD和利用轴对称中的将军饮马模型找出EC+EM存在最小值是解题的关键．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．
【答案】
【分析】如图所示，作点关于的对称点，且点在上，则，当在同一条直线上时，有最小值，证明四边形是平行四边形，，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，
∵是等边三角形，，
∴，
∴点在上，
∴，则，当在同一条直线上时，有最小值，
∵点关于的对称点，，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，即，
∴，且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称—最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称—最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【变式2】（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【答案】
【分析】分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接，当点M、N在上时，的周长最小．
【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接．
∵点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，
∴；
∵点P关于的对称点为D，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∴的周长的最小值．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的关键所在．
【变式3】（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
【答案】(1)y＝-x＋5
(2)；
(3)存在，或
【分析】(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．
(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最小值．
(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标．
（1）
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函数的表达式为：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，
设A′B的表达式为y=mx+n，则
，解得，
∴直线A′B的表达式为，
当x=0时，y=，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值为；
（3）
由y=-x+5得C(5，0)，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
，
设M(xM，yM)，
∵S△MOA=S△AOB，
，
∴，
∴或，
∴M(，0)或（，0），
∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考点2：费马点模型
典例2：（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【答案】
【分析】将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，将转化为，此时当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；根据勾股定理求解即可．
【详解】解：将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，连接PF、AD、DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E；
∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=，PC=FC，AC=CD，
∴△PCF、△ACD是等边三角形，
∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=
∴，
∴当B、P、F、D四点共线时，的值最小，最小值为BD的长；
∵，∠CAD=，
∴∠EAD=，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查费马点问题，解题的关键在于将△APC绕点C顺时针旋转得△DFC，将三条线段的长转化到一条直线上．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【答案】（1）①补图见解析；②；（2）
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②首先证明∠ECF＝90°，设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）如图2中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．根据两点之间线段最短可得DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，推出AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长；
【详解】（1）①如图△DCF即为所求；
②∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝2，∠B＝90°，∠DAE＝∠ADC＝45°，
∴AC＝＝AB＝4，
∵△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，
∴∠DCF＝∠DAE＝45°，AE＝CF，
∴∠ECF＝∠ACD＋∠DCF＝90°，
设AE＝CF＝x，EF2＝y，则EC＝4 x，
∴y＝（4 x）2＋x2＝2x2 8x＋160（0＜x≤4）．
即y＝2（x 2）2＋8，
∵2＞0，
∴x＝2时，y有最小值，最小值为8，
当x＝4时，y最大值＝16，
∴8≤EF2≤16．
（2）如图中，将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AFG，连接EG，DF．作FH⊥AD于H．
由旋转的性质可知，△AEG是等边三角形，
∴AE＝EG，
∵DF≤FG＋EG＋DE，BE＝FG，
∴AE＋BE＋DE的最小值为线段DF的长．
在Rt△AFH中，∠FAH＝30°，AB＝=AF，
∴FH＝AF＝，AH＝＝，
在Rt△DFH中，DF＝＝，
∴BE＋AE＋ED的最小值为．
【点睛】本题考查作图 旋转变换，正方形的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用旋转法添加辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【答案】
【分析】延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．先证明，可得，再证明，可得：，从而得到，计算出的长度即可．
【详解】解：延长到，使得，则，在的内部作射线，使得，使得，连接，，．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
的值最小，最小值为．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正方形的性质，，正确理解费马点问题，利用相似构造与，根据系数将图形扩大或缩小构建图形是解决问题的关键．
【变式3】（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
【答案】(1) (2) ；或 （3）可以取到的最小值为．当取得最小值时，线段的长为
【分析】（1）已知点B的坐标，可求出OB的长；在Rt△OBD中，已知了∠ODB=30°，通过解直角三角形即可求得OD的长，也就得到了点D的坐标；由于E是线段BD的中点，根据B、D的坐标即可得到E点的坐标；将B、E的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值，由此确定抛物线的解析式；
（2）过E作EG⊥x轴于G，根据A、E的坐标，即可用勾股定理求得AE的长；过O作AE的垂线，设垂足为K，易证得△AOK∽△AEG，通过相似三角形所得比例线段即可求得OK的长；在Rt△OMK中，通过解直角三角形，即可求得MK的值，而AK的长可在Rt△AOK中由勾股定理求得，根据AM=AK-KM或AM=AK+KM即可求得AM的长；
（3）由于点P到△ABO三顶点的距离和最短，那么点P是△ABO的费马点，即∠APO=∠OPB=∠APB=120°；易证得△OBE是等边三角形，那么PA+PO+PB的最小值应为AE的长；求AP的长时，可作△OBE的外接圆（设此圆为⊙Q），那么⊙Q与AE的交点即为m取最小值时P点的位置；设⊙Q与x轴的另一交点（O点除外）为H，易求得点Q的坐标，即可得到点H的坐标，也就得到了AH的长，相对于⊙Q来说，AE、AH都是⊙Q的割线，根据割线定理（或用三角形的相似）即可求得AP的长．
【详解】（1）过E作EG⊥OD于G
∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，
∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，
可得OB=2，OD＝2；
∵E为BD中点，
∴=
∴EG=1，GD＝
∴OG＝
∴点E的坐标为(，1)
∵抛物线经过、两点，
∴.
可得.
∴抛物线的解析式为.
（2）∵抛物线与轴相交于、，在的左侧，
∴点的坐标为.
过E作EG⊥x轴于G
∴,
∴在△AGE中，,
.
过点作⊥于，
可得△∽△．
∴．
∴．
∴
∴.
∵△是等边三角形,
∴．
∴．
∴,或
（3）如图；
以AB为边做等边三角形AO′B，以OA为边做等边三角形AOB′；
易证OE=OB=2，∠OBE=60°，则△OBE是等边三角形；
连接OO′、BB′、AE，它们的交点即为m最小时，P点的位置（即费马点）；
∵OA=OB′，∠B′OB=∠AOE=150°，OB=OE，
∴△AOE≌△B′OB；
∴∠B′BO=∠AEO；
∵∠BOP=∠EOP′，而∠BOE=60°，
∴∠POP'=60°，
∴△POP′为等边三角形，
∴OP=PP′，
∴PA+PB+PO=AP+OP′+P′E=AE；
即m最小=AE=
如图；作正△OBE的外接圆⊙Q，
根据费马点的性质知∠BPO=120°，则∠PBO+∠BOP=60°，而∠EBO=∠EOB=60°；
∴∠PBE+∠POE=180°，∠BPO+∠BEO=180°；
即B、P、O、E四点共圆；
易求得Q（，1），则H（，0）；
∴AH=；
由割线定理得：AP AE=OA AH，
即：AP=OA AH÷AE=×÷=
故： 可以取到的最小值为．
当取得最小值时，线段的长为
【点睛】此题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等边三角形的性质、解直角三角形以及费马点位置的确定和性质，能力要求极高，难度很大．
考点3：阿氏圆模型
典例3：（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．
解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解．
【详解】解法1
如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，
四边形正方形
，
又，
在与中
，
故答案为：2．
解法2
如图：连接、、
根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
在上做点，使，则，连接
在与中
，
，则
如图所示连接
在与中
，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．
【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，
取OB的中点I，连接PI，
∴OI＝IB＝，
∵， ，
∴ ，∠O是公共角，
∴△BOP∽△POI，
∴，
∴PI＝PB，
∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，
作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，
∴IE＝BE＝BI＝1，
∴AE＝AB BE＝3，
∴AI＝，
∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．
故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
【变式2】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；
(2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；
(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）延长到T，使得连接，过点D做于N，证明，得出，，证明为等边三角形，设，得出，求出x的值即可得出答案；
（2）延长到使得，连接、，证明，得出，证明为的中位线，得出，即可证明结论；
（3）连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，证明，得出，即，得出，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，求出，即可得出答案．
【详解】（1）解：延长到T，使得连接，过点D做于N，如图所示：
∵为等边三角形，，
∴，，
四边形中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∵四边形ABDC的面积为，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）证明：延长到使得，连接、，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵A为中点，M为中点，
∴为的中位线，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点A作于点G，以点C为圆心，为半径作圆，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵点F为等边三角形的边中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的长度为定值，
∴在旋转时，点F在以C为圆心，为半径的圆上运动，
∴如图，连接与交于一点，当点F在此点时，最小，即最小，过点M作于点N，过点A作于点Q，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，特殊角的三角函数，求正切值，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出取最小值时，点F的位置．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
【答案】①；②；③；④．
【分析】①在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出AD的长即可；
②由，即可求出结果；
③在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．根据作图结合题意易证，即可得出，从而推出，说明当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．最后在中，利用勾股定理求出BE的长即可；
④由，即可求出结果．
【详解】解：①如图，在CB上取点D，使，连接CP、DP、AD．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当A、P、D三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
②∵，
∴的最小值为；
③如图，在CA上取点E，使，连接CP、EP、BE．
∵，，，
∴．
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴当B、P、E三点共线时，最小，最小值即为长．
∵在中，．
∴的最小值为；
④∵，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．
考点4：胡不归模型
典例4：（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点睛】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），
∴c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（0，-3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
【变式2】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，可将转化为，此时就等于，当共线时，即为所要求的最小值．
【详解】解：如图所示，过点作关于的平行线，过点作垂直于该平行线于，
，，，
，
，，
，
，
当，，三点共线，即在图中在位置，在位置的时候有最小，
当，，三点共线时，有最小值，
此时，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了最值问题中的胡不归问题，解题的关键是在于将进行转换．
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
【答案】4
【分析】如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H，根据菱形的性质和30°角的直角三角形的性质可得MH＝BM，于是可得AM+BM的最小值即为AT的长，再利用解直角三角形的知识求解即可．
【详解】解：如图，过点A作AT⊥BC于T，过点M作MH⊥BC于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，
∵MH⊥BC，∴∠BHM＝90°，
∴MH＝BM，
∴AM+BM＝AM+MH，
∵AT⊥BC，∴∠ATB＝90°，
∴AT＝AB sin60°＝4，
∵AM+MH≥AT，
∴AM+MH≥4，
∴AM+BM≥4，
∴AM+BM的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质、30°角的直角三角形的性质、垂线段最短以及解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识、明确解答的方法是解题关键．
考点5：隐圆最值模型
典例5：（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明，即可得点E在以为直径的半圆上移动，设的中点为O，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对应点是F，连接交于P，交半圆O于E，根据对称性有：，则有：，则线段的长即为的长度最小值，问题随之得解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上移动，
如图，设的中点为O，
作正方形关于直线对称的正方形，
则点D的对应点是F，
连接交于P，交半圆O于E，
根据对称性有：，
则有：，
则线段的长即为的长度最小值，E
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故的长度最小值为，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E的运动路线是解题的关键．
【变式1】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
【变式2】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
【答案】
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为等腰梯形，
，
，，，
，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
当三点共线时，有最小值，
面积的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．
【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
【答案】
【分析】首先根据运动特点分析出点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，然后分点恰好落在边上和点恰好落在边上两种情况讨论，分别利用勾股定理以及等腰三角形的性质和判定进行求解和证明即可得出两种临界情况下的长度，从而得出结论．
【详解】解：∵点B与关于DE对称，
∴，则点的运动轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，
①如图所示，当点恰好落在边上时，此时，连接和，
由题意及“三线合一”知，，，
∴在中，，
此时，根据对称的性质，，
∴由等面积法，，
∴，
在中，；
②如图所示，当点恰好落在边上时，连接、、和，
由题意，，
∴，，
∴，
即：，
∴，
即：，
∵点B与关于DE对称，
∴，，
∴，
∴，，
由对称的性质，，
∴，
∴，
∴，
即：此时点为的中点，
∴此时，，
综上，长的范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，以及勾股定理解直角三角形等，能够根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当的三角形进行求解是解题关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【分析】作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，点P即为所求作的点，此时有最小值，连接，根据对称性的性质，可知：，，根据，即可求出的最小值．
【详解】解：如下图，作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，点P即为所求作的点，此时有最小值，
根据对称性的性质，可知：，
在中，，
，
根据对称性的性质，可知：，
，
即，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
【答案】A
【分析】连接交于P点，根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长，求出的长即可.
【详解】连接，交于P点
∵四边形为正方形
∴A点和C点关于对称
根据“两点之间线段最短”，可知的最小值即为线段的长.
∵，
∴的最小值为5
故选：A
【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H，根据，求出的最小值即可解决问题．
【详解】解：连接BC，过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴b＝2，
∴二次函数的解析式为，令y＝0，-x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，y=3，
∴B（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵D（0，-1），
∴OD＝1，BD＝4，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
设，则,
∵，
∴，
∴，
∴，
∵PJ⊥CB，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴DP+PJ的最小值为，
∴的最小值为4．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC＝∠OCB＝45°，是解题的关键．
4．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，利用相似三角形，计算AG的长即为横坐标．
【详解】如图，根据图像，当P与C重合时，PB+PE=9即CB+CE=9，
∵点E是BC的中点，
∴BC=6，
连接DE交AC于点G，当点P与点G重合时，PE+PB最小，且为DE的长即点M的纵坐标，
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴CE∥AD，AC=，DE=，
∴△CGE∽△AGD，
∴，
∴，
∴AG=，
故点M的坐标为（，），故A正确．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．
5．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【分析】分析知当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，可以判断①②是否正确；当∠OAP=90°时，根据勾股定理求出AP的长度，可以判断③是否正确；作出A点的轨迹圆，知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，通过计算判断④是否正确即可．
【详解】解：由题意知，当A在线段PO上时，PA取最小值，A在PO延长线上时，PA取最大值，
∴PA的最小值为，PA的最大值为，
故①②正确；
当∠OAP=90°时，根据勾股定理得：AP=，
即AP=OA，三角形PAO为等腰直角三角形，
故③正确；
作出A点轨迹圆如下：
知当OA⊥PO时，三角形PAO面积取最大值，最大值为：，
故④错误，
综上所述，正确的序号为：①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆的性质、勾股定理、线段最值等知识点，借助圆的性质判断出线段的最值是解决本题的关键．
6．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，中，，，，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】结合题意推导得，取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP；根据直角三角形斜边中线的性质，得；根据圆的对称性，得点P在以AB为直径的上，根据两点之间直线段最短的性质，得当点O、点P、点C三点共线时，PC最小；根据勾股定理的性质计算得，通过线段和差计算即可得到答案．
【详解】，
，
，
，
，
取AB的中点O，以点O为圆心，为直径作圆，连接OP，
点P在以AB为直径的上，连接OC交于点P，
当点O、点P、点C三点共线时，PC最小
在中，
，，，
，
最小值为
故选：D．
【点睛】本题考查了两点之间直线段最短、圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、两点之间直线段最短、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．
7．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，交于点，当点位于位置时，取得最小值，
过点作轴于点，
则、，
，
又，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出取得最小值时点的位置．
8．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，
∴PC2＝CM CA，
∴，
∵∠PCM＝∠ACP，
∴△PCM∽△ACP，
∴，
∴PMPA，
∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，
在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，
∴AP+BP≥5，
∴AP+BP的最小值为5．
故选：B．
9．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
【答案】D
【分析】先证明ON=CN，再证点H在以ON直径的圆上运动，则当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，由相似三角形的性质可求MK，KQ的长，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如下图，连接AD，交EF于N，连接OC，取ON的中点M，连接MH，过点M作MQ⊥AB于Q，交AO于点K，作MP⊥OA与点P，
∵直线y=x 3分别与x轴、y轴相交于点A、B，
∴点A（4，0），点B（0，-3），
∴OB=3，OA=4，
∴，
∵四边形ACDO是正方形，
∴OD//AC，AO=AC=OD=4，OC=4，∠COA=45°，
∴∠EDN=∠NAF，∠DEN=∠AFN，
又∵DE=AF，
∴△DEN≌△AFN（ASA），
∴DN=AN，EN=NF，
∴点N是AD的中点，即点N是OC的中点，
∴ON=NC=2，
∵OH⊥EF，
∴∠OHN=90°，
∴点H在以ON直径的圆上运动，
∴当点H在QM的延长线上时，点H到AB的距离最大，
∵点M是ON的中点，
∴OM=MN=，
∵MP⊥OP，∠COA=45°，
∴OP=MP=1，
∴AP=3，
∵∠OAB+∠OBA=90°=∠OAB+∠AKQ，
∴∠AKQ=∠ABO=∠MKP，
又∵∠AOB=∠MPK=90°，
∴△MPK∽△AOB，
∴，
∴，
∴MK=，PK=，
∴AK=，
∵∠AKQ=∠ABO，∠OAB=∠KAQ，
∴△AKQ∽△ABO，
∴，
∴，
∴KQ=，
∴QM=KQ+MK=+=，
∴点H到AB的最大距离为+，
∴△HAB面积的最大值=×5×(+)=，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，圆等知识，解题的关键是求出MQ的长．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作点A关于BC的对称点A'，连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E，易得2DE = CD，AD= A'D，从而得出AD+ DE = A'D+ DE，当A'，D, E在同一直线上时，AD + DE的最小值等于A' E的长是3，进而求出2AD十CD的最小值．
【详解】如图所示，作点A关于BC的对称点A',连接AA', A'D,过D作DE⊥AC于E
∵∠BAC = 90o，∠B = 60o，AB= 2
∴BH=1,AH=,AA'=2，∠C= 30o
∴DE =CD,即2DE = CD
∵A与A'关于BC对称
∴AD= A'D
∴AD+ DE = A'D+ DE
∴当A'，D, E在同一直线上时
AD + DE的最小值等于A' E的长,
在Rt△AA' E中：A' E= sin60o×AA'=×2= 3
∴AD十DE的最小值为3
∴2AD十CD的最小值为6
故选B
【点睛】本题主要考查了三角形的动点最值问题，做完辅助线后先求出AD + DE的最小值是解题关键．
二、填空题
11．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
【答案】3
【分析】作点关于的对称点，连接交于点，则，由两点之间线段最短可知当、、在一条直线上时，有最小值，然后求得的长度即可．
【详解】解：作点关于的对称点，则，连接交于点．
．
由两点之间线段最短可知：当、、在一条直线上时，的值最小，此时．
四边形为菱形，周长为，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当、、在一条直线上时有最小值是解题的关键．
12．（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______．
【答案】##
【分析】延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，则是等边三角形，再确定点C在以E为圆心，为半径的圆上，则的最小值为，再求解即可．
【详解】解：如图，延长交圆O于点D，连接，过O点作交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点C在以E为圆心，为半径的圆上，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中的最小距离问题，熟练掌握垂径定理，等边三角形的性质，直角三角形的勾股定理，根据定角定弦确定点C的轨迹是解题的关键．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
【答案】##
【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．
【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，
可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，
∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC=6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=，
∴BF=BD－DF=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
【答案】##
【分析】作∠OCE=120°，过点P作PG⊥CE于点G，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得PG=PC；当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，
∴OA=3，OC=3，
作∠OCE=120°，
∵∠OCB=60°，
则∠OCB=∠BCE=∠FCE=60°，
过点P作PG⊥CE于点G，如图：
在Rt△PCG中，∠PCG=60°，则∠CPG=30°，
∴CG=PC，由勾股定理得PG=PC，
∴AP+PC= AP+PG，
当A、P、G在同一直线时，AP+PG= AG的值最小，
延长AG交y轴于点F，
∵∠FCG=60°，∠CGF=90°，
∴∠CFG=30°，
∴CF=2CG，GF=CF，
在Rt△OAF中，∠AOF=90°，∠OFA=30°，
∴AF=2OA=6，OF=，
∴CF=OF-OC=，
∴GF=()=，
∴AG=AF-FG=，
即AP+PC的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，作出合适的辅助线，得到当A、P、G在同一直线时，AP+PC= AP+PG= AG的值最小是解题的关键．
15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
【答案】4
【详解】思路引领：过P作PD⊥AB于D，依据△AOB是等腰直角三角形，可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，进而得到△BDP是等腰直角三角形，故PDPB，当C，P，D在同一直线上时，CD⊥AB，PC+PD的最小值等于垂线段CD的长，求得CD的长，即可得出结论．
答案详解：如图所示，过P作PD⊥AB于D，
∵直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，
令x＝0，则y＝﹣3；令y＝0，则x＝3，
∴A（0，﹣3），B（3，0），
∴AO＝BO＝3，
又∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD，
∴△BDP是等腰直角三角形，
∴PDPB，
∴PC+PB（PCPB）（PC+PD），
当C，P，D在同一直线上，即CD⊥AB时，PC+PD的值最小，最小值等于垂线段CD的长，
此时，△ACD是等腰直角三角形，
又∵点C（0，1）在y轴上，
∴AC＝1+3＝4，
∴CDAC＝2，
即PC+PD的最小值为，
∴PC+PB的最小值为4，
故答案为：4．
三、解答题
16．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，
(1)求的长；
(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．
【答案】(1)9
(2)9
【分析】（1）根据垂直平分线的性质可证为等腰三角形，由角度可证为直角三角形，再由线段之间的关系即可求出的长；
（2）根据将军饮马原理即可得出的最小值为的长度．
【详解】（1）解：∵，
∴
∵边的垂直平分线交于点D，
∴，
∴
∴
在中，
∴
∴
（2）解：如图，
取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点，
根据两点之间线段最短
则即为的最小值，最小值为9
【点睛】本题考查了图形的轴对称，相关知识点有：垂直平分线的性质、将军饮马等，轴对称性质的充分利用是解题关键．
17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
【答案】(1)100；
(2)①时等边三角形，证明见解析；
②．证明见解析．
【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可；
（2）①时等边三角形，证明，即可；②结论：．如图，作点关于直线的对称点，连接，，．当点在的延长线上时，的值最大，此时，利用全等三角形的性质证明，可得结论．
【详解】（1）解：∵点为线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：100．
（2）解：①结论：时等边三角形．
理由：∵点是线段，的垂直平分线的交点，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴时等边三角形；
②结论：．
理由：如图，作点关于直线的对称点，连接，，．
∵
则，点在的延长线上时，的值最大，此时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴时等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴（SAS），
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值．
【答案】
【分析】先求出点坐标；过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为；直线与轴的交点，，，则可求，则，，求出的长即可．
【详解】解：经过，
，
，
，
过点作轴的垂线与轴交于点，点作轴的平行线，过点作该平行线的垂线，两条线相交于点，与直线的交点为；
直线与轴的交点，，
，
，
，
，
，
，
当、、三点共线时，值最小，
，
，
值最小为．
【点睛】本题考查一次函数的图像及性质,点到直线垂线段最短；能够利用三角形函数将转化为长是解题的关键．
19．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．
(1)观察猜想
线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．
(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．
【答案】(1)是
(2)是，答案见解析
(3)
【分析】（1）根据中位线的性质以及，，可得，由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”．
（2）先证，可得，根据中位线的性质得到，，即；由中位线性质可得，，再由结合平行线的性质，可证，故线段与是“等垂线段”．
（3）由（2）可知，，，故，当取最大值时，与的积有最大值．当、、三点共线，且点在之间时，取最大值．此时．最后根据已知条件，计算出最大值即可．
【详解】（1）解：线段与是“等垂线段”．
理由如下：
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵，，
∴，
即，
∴．
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即线段与是“等垂线段”，
故答案为：是．
（2）解：线段与是“等垂线段”，理由如下：
∵绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，
∴，，
∵，
∴，
即，
在与中，
∵，
∴，
∴，
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵，
∴．
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即
，
∴，
∴．
∵，．
故线段与是“等垂线段”．
（3）解：由（2）可知，，，
故，
当取最大值时，与的积有最大值．
∵把绕点在平面内自由旋转，
∴当、、三点共线，且点在之间时，
取最大值．
∴此时．
∵在中，，，，为的中点，
∴，
同理可得，，
∴的最大值为3，与的积有最大值．
【点睛】本题考查了中位线的性质及运用，全等三角形的判定与性质以及图形动态问题，综合运用以上知识是解题的关键．
20．（2022秋·山东济南·九年级山东师范大学第二附属中学校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
【答案】(1)a=-．直线AB解析式为y=-x+3；
(2)2
(3)
【分析】（1）令y=0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式；
（2）由△PNM∽△ANE，推出，列出方程即可解决问题；
（3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【详解】（1）令y=0，则ax2+（a+3）x+3=0，
∴（x+1）（ax+3）=0，
∴x=-1或-，
∵抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴-=4，
∴a=-．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y=kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y=-x+3；
（2）如图1，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN=∠AEN，
∵∠PNM=∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∵
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴，
∴，
解得m=2或4，
经检验x=4是分式方程的增根，
∴m=2；
（3）如图2，在y轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE．
∵OE′=2，OM′ OB=，
∴OE′2=OM′ OB，
∴，
∵∠BOE′=∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴，
∴，此时最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值．
【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是的最小值．
21．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求得,点的坐标，进而根据即可求得的值；
（2）过点作轴于点，证明是直角三角形，进而，根据相似的性质列出比例式进而代入点的坐标解方程即可；
（3）接，取的中点，连接,根据题意，点在以为圆心，2为半径的圆上，则在以为圆心，为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得的解析式为，根据,设直线的解析式为，将点代入求得，进而设，根据，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．
（1）
令，解得
令，
抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
抛物线与轴的交点为
解得
（2）
如图，过点作轴于点，
是直角三角形，且
又
在抛物线上，
整理得
解得（舍）
在第三象限，
（3）
如图，连接，取的中点，连接,
是的中位线
根据题意点在以为圆心，2为半径的圆上，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
当三点共线，且在的延长线上时，最大，如图，
即
设直线的解析式为，代入点，
即
解得
直线的解析式为
设直线的解析式为
解得
则的解析式为
设点，
，
解得（舍去）
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，点与圆的距离求最值问题，相似三角形的性质与判定，正确的添加辅助线并熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．（2022秋·江苏·九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）﹣1；（4）7.
【分析】（1）根据题意可知在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）由题意先连接OA交⊙O于点P，然后根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）由题意可知A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）根据题意作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【详解】解：（1）证明：如图1，
∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，
连接OA角半⊙O于P，则AP最小，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OA﹣OP＝，
故答案为：；
（3）如图3，
连接BM，交⊙M（半径是1）于A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB sin60°＝，
∴A1B＝-1；
故答案为：﹣1；
（4）如图4，
作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交⊙B于点N，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣2，﹣3），B（4，5），
∴BC＝＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN＝10﹣1﹣2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查轴对称性质和圆的定义以及勾股定理和三角形三边关系等知识，解决问题的关键是熟悉“将军饮马”模型．
23．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
【答案】
【分析】将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大倍，得到△，当点B、P、、在同一直线上时，=最短，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，将△APC绕点A逆时针旋转45°，得到△A，将△A扩大，相似比为倍，得到△，则，，，
过点P作PE⊥A于E，
∴AE=，
∴E=A-AE=，
∴P=，
当点B、P、、在同一直线上时，=最短，此时=B，
∵∠BA=∠BAC+∠CA=90°，AB=6，，
∴．
∴=B=
【点睛】此题考查旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理，正确理解费马点问题的造图方法：利用旋转及全等的性质构建等量的线段，利用三角形的三边关系及点共线的知识求解，有时根据系数将图形扩大或缩小构建图形．
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专题07 五大最值问题模型
一、【知识回顾】
（1）将军饮马模型：
①一定两动
②一定两动
③两定两动
（2）费马点模型：（如图：求PA+PB+PC最小值，图3CD为所求最小值）
（3）阿氏圆模型：
（4）胡不归模型：
（5）隐圆最值模型：
①四点共圆： ②动点到定点等定长：
③直角所对的是直径：
④定弦对定角：
二、【考点类型】
考点1：将军饮马模型
典例1：（2022春·全国·九年级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．
(1)求证：MD是⊙O的切线；
(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；
(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．
【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，于，．点分别为上的两个定点且，点为线段上一动点，连接，则的最小值为______．
【变式2】（2023春·山东青岛·九年级专题练习）如图，点P是内任意一点，，点M和点N分别是射线和射线上的动点，，则周长的最小值是______．
【变式3】（2022春·贵州铜仁·八年级统考期末）如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
考点2：费马点模型
典例2：（2021秋·四川成都·九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，，P是内一点，求的最小值为______．
【变式1】（2022秋·全国·九年级专题练习）在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=；
（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；
①把图形补充完整（无需写画法）； ②求的取值范围；
(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．
【变式2】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值．
【变式3】（2022春·江苏·九年级期末）如图，在平面直角坐标系xoy中，点B的坐标为(0，2)，点在轴的正半轴上，，OE为△BOD的中线，过B、两点的抛物线与轴相交于、两点（在的左侧）.
（1）求抛物线的解析式；
（2）等边△的顶点M、N在线段AE上，求AE及的长；
（3）点为△内的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.
考点3：阿氏圆模型
典例3：（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是______．
【变式1】（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【变式2】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）已知与有公共顶点C，为等边三角形，在中，．
(1)如图1，当点E与点B重合时，连接AD，已知四边形ABDC的面积为，求的值；
(2)如图2，， A、E、D三点共线，连接、，取中点M，连接，求证：；
(3)如图3，，，将以C为旋转中心旋转，取中点F，当的值最小时，求的值．
【变式3】（2021·全国·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：
①，
②，
③，
④的最小值．
考点4：胡不归模型
典例4：（2023秋·四川乐山·九年级统考期末）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【变式1】（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（ ）
A．4 B．2＋2 C．2 D．
【变式2】（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，在中，，，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上任意一点不含端点，则的最小值为______．
【变式3】（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+BM的最小值为_____．
考点5：隐圆最值模型
典例5：（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023秋·广东广州·九年级统考期末）如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
【变式3】（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在△ABC内（不含△ABC的边上），则BE长的范围为______．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·安徽池州·九年级统考期末）如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，，，为对角线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．10
3．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2022·河南·校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022秋·河北邢台·九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（ ）
①PA的最小值为；②PA的最大值为；③当时，△PAO是等腰直角三角形；④△PAO面积最大为．
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
7．（2022秋·北京海淀·九年级校考期中）如图，如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，，与x轴分别交于A，B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023春·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7 B．5 C． D．
9．（2022·福建厦门·福建省厦门集美中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（ ）
A． B．12 C． D．
10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习）如图，在周长为的菱形中，，，若为对角线上一动点，则的最小值为______．
12．（2023秋·山东东营·九年级校考期末）如图，是⊙O的弦，点C在⊙O内，，连接，若⊙O的半径是4，则长的最小值为______．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_______．
14．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x、y轴于B、C两点，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，﹣3)，且∠OCB＝60°，点P是直线l上一动点，连接AP，则的最小值是______．
15．（2022秋·浙江·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y轴上，点P在x轴上运动，则PC＋PB的最小值为___．
三、解答题
16．（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若，
(1)求的长；
(2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________．
17．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）在中，，为延长线上一点，点为线段，的垂直平分线的交点，连接，，．
(1)如图1，当时，则______°；
(2)当时，
①如图2，连接，判断的形状，并证明；
②如图3，直线与交于点，满足．为直线上一动点．当的值最大时，用等式表示，与之间的数量关系为______，并证明．
18．（2022春·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系，，直线经过，点在直线上运动，求最小值．
19．（2021春·江苏苏州·八年级校考期中）定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连接、，点、、分别为、、的中点，且连接、．
(1)观察猜想
线段与______填（“是”或“不是”）“等垂线段”．
(2)绕点按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接，，试判断与是否为“等垂线段”，并说明理由．
(3)拓展延伸
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出与的积的最大值．
20．（2022秋·山东济南·九年级山东师范大学第二附属中学校考阶段练习）如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，在x轴上有一动点（），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式：
(2)设△PMN的周长为，△AEN的周长为，若求m的值．
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为（），连接、，求的最小值．
21．（2022·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线（a为常数，）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．
(1)求a的值；
(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；
(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．
22．（2022秋·江苏·九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 ．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 ．
23．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P为平面内一点，求最小值
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