中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 圆与几何综合问题
一、【知识回顾】
【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：切线的判定
典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在中，，以为直径的分别交边于点D、F．过点D作于点E
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为5，且，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）连接，根据，得 ，，即有，可证 ，再根据可得，则可得 且为的半径，可得是的切线；
（2）过点作于点，根据，根据垂径定理可得，又，得四边形为矩形，则有，，设，则，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
．
．
∴，
，
且为的半径．
是的切线．
（2）过点作于点，
．
又，
∴四边形为矩形，
．
设，则，
在中，，
即，
解得：，
∴的长为2．
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质，垂径定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握切线的判定定理、垂径定理是解题的关键．
【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，是⊙O的直径，四边形内接于⊙O，D是的中点，交的延长线于点E．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）要证明是⊙O的切线，所以连接，求出即可，根据已知 ，可得，所以只要证明即可解答；
（2）由（1）可得平分，所以想到过点D作，垂足为F，进而证明，可得，易证，可得，然后进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
是⊙O的半径，
是⊙O的切线．
（2）过点D作，垂足为F，
由（1）得：，
平分，
,，
，
四边形内接于⊙O，
，
，
，
，
，
，
,，
，
，
设，则，
，
，
，
即：．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的证明，添加辅助线是解题的关键．
【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径是4.5
【分析】（1）如图1，连接OC，先根据四边形ABCD内接于⊙O，得，再根据等量代换和直角三角形的性质可得，由切线的判定可得结论；
（2）如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，先根据三个角是直角的四边形是矩形得四边形OGEC是矩形，设⊙O的半径为x，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接OC，
∵，
∴，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE为⊙O的切线；
（2）解：如图2，过点O作于G，连接OC，OD，则，
∵，
∴四边形OGEC是矩形，
∴，
设⊙O的半径为x，
Rt△CDE中，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得：，
∴⊙O的半径是4.5．
【点睛】本题考查的是圆的综合，涉及到圆的切线的证明、勾股定理以及矩形的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．
【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)15，
【分析】（1）由圆周角定理及已知条件进行等量代换，然后利用内错角相等两直线平行证明即可．
（2）利用角平分线及圆周角定理得出是的中点，再利用垂径定理及平行线的性质推导得出为直角，即可证明．
（3）先证明，然后利用勾股定理计算得出的长，再利用平行线所截线段成比例求出．
【详解】（1）证明：∵，
∴ ，
∴；
（2）证明：
连接，
∵ 平分，
∴，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是的半径，
∴是的切线；
（3）解：
如图，设的半径为，则，
在中，由勾股定理，得，
∴，
解得：，
∴的半径为15；
∵ ，
∴，
∴ ，
∴，
∵ 是的直径，
∴ ，
在中，由勾股定理，得 ，
即，
解得，
∴ ，
∵，
∴，即 ，
∴．
方法二：
∵ ，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴的半径为15；
求长的步骤同上．
【点睛】本题主要考查平行的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，切线的证明以及相似三角形，掌握切线的证明，相似三角形的判定及计算是解决本题的关键．
考点2：与线段有关的问题
典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四边形内接于，得出，根据已知，得出，又，得出，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据为直径，得出，根据已知以及（1）的结论，得出，，设，则，在中，根据相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于，
∴，
又
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
由（1），，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
则，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据切线长定理得出，，根据三线合一得出，根据是的直径，得出，即可得证；
（2）根据（1）的结论得出，进而得出，证明得出，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，是的切线，
∴，，
∴，
∵是的直径
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题考查了切线长定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，是的外接圆，，，P是上的一动点．
(1)当的度数为多少时，；
(2)若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得，再由，可得，再由圆周角定理，即可求解；
（2）分三种情况：当时，连接；当时，连接，，并反向延长，交于点E；当时，反向延长，交于点F，连接，结合切线的性质，垂径定理以及圆周角定理，即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，；
（2）解：①如图2，当时，连接，
∵切于点P，
∴，
∴，
∵是半径，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图3，当时，连接，，并反向延长，交于点E，
∵切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
③如图4，当时，反向延长，交于点F，连接，
∵切于点P，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
终上所述，的度数为或或．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，垂径定理，三角内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，垂径定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．
(1)若，求的长度；
(2)若半径是5，求正方形的边长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由四边形为正方形，得，则，又，，求出，再连接，构造直角三角形，求出和的长，然后利用勾股定理即可求出圆的半径，可得．
（2）证出是等腰直角三角形，得出，求出，连接，得出，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）解：四边形为正方形，
，，
，
，
，
连接，则为直角三角形，
∴，
∴即的半径为，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
即，
解得：，
则正方形的边长为．
【点睛】此题考查了圆的性质，正方形的性质和等腰直角三角形的性质，解题的关键是证出是等腰直角三角形，得出，作出辅助线，利用勾股定理求解．
考点3：与角度有关的问题
典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设交于点，连接，证明 ，故可得 ，于是 ，即可得到；
（2）连接AD，解出，根据为直径得到，进而得到，即可证明，故可证明直线为的切线．
【详解】（1）证明：设交于点，连接，
由题可知，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：
连接，
，
，
同理可得：,，
∵点H是CD的中点，点F是AC的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
直线为的切线．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键．
【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【答案】(1)见解析
(2)BF=5，
【分析】（1）根据中，，得到∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，根据，得到∠B=∠BCF，推出∠A=∠ACF；
（2）根据∠B=∠BCF，∠A=∠ACF，得到AF=CF，BF=CF，推出AF=BF= AB，根据，AC=8，得到AB=10，得到BF=5，根据，得到，连接CD，根据BC是⊙O的直径，得到∠BDC=90°，推出∠B+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD，得到，推出，得到，根据∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，得到∠FDE=∠B，推出DE∥BC，得到△FDE∽△FBC，推出，得到．
【详解】（1）解：∵中，，
∴∠A+∠B=∠ACF+∠BCF=90°，
∵，
∴∠B=∠BCF，
∴∠A=∠ACF；
（2）∵∠B=∠BCF，∠A=∠ACF
∴AF=CF，BF=CF，
∴AF=BF= AB，
∵，AC=8，
∴AB=10，
∴BF=5，
∵，
∴，
连接CD，∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴，
∴，
∴，
∵∠FDE=∠BCE，∠B=∠BCE，
∴∠FDE=∠B，
∴DE∥BC，
∴△FDE∽△FBC，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理及推论，运用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【答案】（1）见详解；（2），
【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证；
（2）由题意可先作图，由（1）可得点E为BC的中点，则有，进而可得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】（1）证明：∵是的直径，，
∴，
∴；
（2）解：由题意可得如图所示：
由（1）可得点E为BC的中点，
∵点O是BG的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、三角形中位线及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠BCD的值为67.5°或72°；（3）．
【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．
(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．
(3) 如图3中，作AEBC交BD的延长线于E．则，进而得到，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．
【详解】解：(1)连接OA，如下图1所示：
∵AB=AC，
∴=，
∴OA⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO．
∵OA=OB，
∴∠ABD=∠BAO，
∴∠BAC=2∠ABD．
(2)如图2中，延长AO交BC于H．
①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DBC=2∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，
∴8∠ABD=180°，
∴∠C=3∠ABD=67.5°．
②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．
∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，
∴10∠ABD=180°，
∴∠BCD=4∠ABD=72°．
③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．
综上所述：∠C的值为67.5°或72°．
(3)如图3中，过A点作AEBC交BD的延长线于E．
则==，且BC=2BH，
∴==，
设OB=OA=4a，OH=3a．
则在Rt△ABH和Rt△OBH中，
∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，
∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，
∴a2=，
∴BH=，
∴BC=2BH=．
故答案为：．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
考点3：与三角函数有关的计算
典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，，求AB的长．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得；
（2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，．
【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）由垂径定理得，由圆周角定理得∠CAD＝∠FCD，再由公共角∠ADC＝∠CDF，即可得出△ACD∽△CFD；
（2）连接OC，由圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠ABC+∠CAB＝90°，由等腰三角形的性质得∠OBC＝∠OCB，证出∠OCB＝∠GCA，得出∠OCG＝90°，即可得出结论；
（3）连接BD，由圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，则sin∠CAD＝sin∠CBD＝，设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x，由勾股定理得BE＝，则BC＝2BE＝，在Rt△OBE中，由勾股定理得(r﹣x)2+()2＝r2，解得r＝，则AB＝2r＝9x，由勾股定理求出AC＝7x，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴,
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，如图2所示：
∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝，BE＝CE，
设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE＝，
∴BC＝2BE＝,
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即(r﹣x)2+()2＝r2，，
解得：r＝，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+()2＝(9x)2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定，三角函数等知识．本题综合性比较强，熟练掌握圆周角定理，垂径定理是解题的关键．
【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
【答案】（1）见解析；（2）2．
【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；
（2）设半径为r，根据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ADC+∠ODA=90°，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF+∠DAO=90°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ADC=∠AOF；
（2）设半径为r，
在Rt△OCD中，，
∴，
∴，
∵OA=r，
∴AC=OC-OA=2r，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
又∵OF⊥AD，
∴OF∥BD，
∴，
∴OE=4，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是90°，灵活运用知识点是解题关键．
【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OF，根据CD⊥AB，可得∠A+∠AGE=90°，再由HG=HF，可得∠HFG =∠AGE，然后根据OA=OF，可得∠A=∠OFA，即可求证；
（2）连接BF，先证得△BFM∽△FAM，可得，再由，可得OM=5，AM=9，AB=8，FM=3，从而得到，然后由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接OF，
∵CD⊥AB，
∴∠AEG=90°，
∴∠A+∠AGE=90°，
∵HG=HF，
∴∠HFG=∠HGF，
∵∠HGF=∠AGE，
∴∠HFG =∠AGE，
∵OA=OF，
∴∠A=∠OFA，
∴∠OFA+∠HFG=90°，即∠OFH=90°，
∴HF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BF，
由（1）得：∠OFM=90°，
∴∠BFO+∠BFM=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴∠A+∠ABF=90°，
∵OB=OF，
∴∠ABF=∠BFO，
∴∠BFM=∠A，
∵∠M=∠M，
∴△BFM∽△FAM，
∴，
∵，
∴，
∵BM=1，OB=OF，
∴，
解得：OF=4，
∴OM=5，AM=9，AB=8，
∴FM=，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得： ．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，理解锐角三角函数是解题的关键．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据示意图结合已知条件可得出，因此，，即可得出，计算即可得出答案．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是圆的综合题目，根据示意图得出是解此题的关键．
2．（2023春·九年级课时练习）已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作于点，连接，在直角中根据勾股定理即可得到一个关于半径的方程，即可求得．
【详解】解析：如图，作于点，连接，设圆的半径是，
则在直角中，，，
，
，
解得．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，在圆的有关半径、弦长、弦心距之间的计算一般要转化为直角三角形的计算．
3．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为20，则AB的长等于( )
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，根据圆的基本性质和角平分线的定义，可得∠DAC=∠OCA，从而得到OC⊥CD，得到四边形DCOF为矩形，从而得到OC=FD，OF=CD，然后设AD=x，则OF=CD=12-x，AF=10-x，在Rt△ AOF中，由勾股定理得到AD=4，从而得到AF=6再由垂径定理，即可求解．
【详解】解：过O作OF⊥AB，垂足为F，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO，
∴∠DAC=∠OCA，
∴PB∥OC，
∵CD⊥PA，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形DCOF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD，
∵DC+DA=12，
设AD=x，则OF=CD=12-x，
∵⊙O的直径为20，
∴DF=OC=10，
∴AF=10-x，
在中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，
即（10-x）2+（12-x）2=102，
解得：（不合题意，舍去） ，
∴AD=4，
∴OF=8，
∴ ，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，
∴AB=2AF=12．
故选：B
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S△ADC∶S△ADE的比值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】试题解析：过C作CF⊥AB于F，连接OE，设AC=a，
∵AB是的直径，
∵CE平分∠ACB交O于E,
∴=,
∴OE⊥AB，
故选C.
6．（2022春·九年级课时练习）如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解.
【详解】解：
由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确，
故选D .
【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键.
7．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，内接于，若的半径为6，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连结半径BO延长交圆于D，连结DC，利用直径所对的圆周角为之角，利用同弧所对圆周角相等∠D=60 ，在Rt△BDC中，利用特殊三角函数值直接计算即可．
【详解】连结BO并延长交圆于D，连结DC，
∵的半径为6，
∴OB=OD=6，
∴BD=12，
∵BD为直径，
∴∠DCB=90
∵，
∴∠D=∠A=60 ，
在Rt△BDC中，
BC=BD sin60 =12×，
故选择：B．
【点睛】本题考查圆内接三角形问题，掌握圆的有关性质，会利用圆的性质构造直径，利用直径构造直角三角形，利用同弧所对圆周角，再利用特殊三角和数值解决问题是关键．
8．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（ ）．
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意设，则，根据的半径是1得，根据是的切线得，即可得是直角三角形，在中，根据勾股定理得，即可得，根据二次函数的性质得当时，有最小值，即可得．
【详解】解：∵点是直线上
∴设，
∴，
∵的半径是1，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴是直角三角形，
在中，根据勾股定理得，
当时，有最小值，
即，
， 故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点．
9．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.
【详解】∵，
∴∠APO=70°，
∵，
∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，
又∵OA=OB，
∴∠ABO=20°，
又∵点C在过点B的切线上，
∴∠OBC=90°，
∴∠ABC=∠OBC ∠ABO=90° 20°=70°，
故答案为：B.
【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.
10．（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，根据切线长定理得 ，根据切线的性质求出 ，再根据勾股定理求出，进而求出．
【详解】如图，连接，
与相切于点E
的半径为1
为直径
在 中，
与相切于点E，与相切于点B
设，
在中，
．
【点睛】本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理等，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，过点作交延长线于点，可得为等腰直角三角形，根据圆内接四边形的性质可得，为等腰直角三角形，设，在中，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接，过点作交延长线于点，如下图
∵C是半圆的中点
∴
又∵为直径
∴，
∴
又∵
∴
∵四边形为圆的内接四边形
∴
∴为等腰直角三角形
设，则
在中，根据勾股定理得：，即
解得
．
故选D
【点睛】此题考查了圆内角四边形的性质，弦与弧的关系，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题意构造出以为边的直角三角形．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】连接OC、OD，作于点E．易求出，．再由切线的性质，即可求出，即三角形OCD为等边三角形．得出结论，．从而即可求出，即三角形OED为等腰直角三角形，由此即可求出的长，最后根据垂径定理即可求出AD的长．
【详解】如图，连接OC、OD，作于点E．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
由题意可知，即，
∴，
∵OD=OC，
∴三角形OCD为等边三角形．
∴，．
∴，
∴三角形OED为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形与等边三角形的判定和性质以及垂径定理，综合性强．正确的连接辅助线是解答本题的关键．
13．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25
【答案】C
【分析】根据切线的性质得到∠OPB＝90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB＝∠CBD，于是得到结果．
【详解】∵AB是⊙O的切线，∴∠OPB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴OP∥BC，∴∠CBD＝∠POB＝35°，故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
14．（2022春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
【答案】B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD＝BD＝2，于是根据勾股定理可计算出OD＝1，再利用折叠的性质可判断和所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC＝DC，利用等腰三角形的性质得AE＝DE＝1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF＝EF＝1，然后计算出CF后得到CE＝BE＝3，于是可得到BC的长．
【详解】解：如图，连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，
∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝2，
在Rt△OBD中，OD＝，
∵将沿BC折叠，
∴和所在的圆为等圆，
∴，
∴AC＝DC，
∴AE＝DE＝1，
∵∠ODE＝∠OFE＝∠DEF＝90°，
∴四边形ODEF是矩形，
∵DE＝OD＝1，
∴四边形ODEF是正方形，
∴OF＝EF＝1，
在Rt△OCF中，CF＝，
∴CE＝CF＋EF＝2＋1＝3，
而BE＝BD＋DE＝2＋1＝3，
∴BC＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理及正方形的判定和性质等．
15．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
【答案】D
【详解】分析：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN，则MN、PM的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP的最小值，再利用PF2+PG2=2PN2+2FN2即可求出结论．
详解：设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE=4，四边形DEFG为矩形，
∴GF=DE，MN=EF，
∴MP=FN=DE=2，
∴NP=MN-MP=EF-MP=1，
∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．
故选D．
点睛：本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN的最小值是解题的关键．
16．（2021秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
【答案】B
【分析】如图，连接BO′、BC．在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BO′、BC．
∵CE⊥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴在点D移动的过程中，点E在以AC为直径的圆上运动，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AC＝4，AB＝5，
∴，O′E＝2，
在Rt△BCO′中，，
∵O′E+BE≥O′B，
∴当O′、E、B共线时，BE的值最小，最小值为O′B﹣O′E＝﹣2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点E的运动轨迹是在以AC为直径的圆上运动，属于中考选择题中的压轴题．
17．（2018·山东泰安·统考中考真题）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．
详解：连接OP．
∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．
连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．
点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．
18．（2022春·九年级课时练习）如图，是的直径，分别是的中点，在上．下列结论：①；②；③四边形是正方形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题意连结OM、ON，易得，利用含30度的直角三角形三边关系得∠OMC=30°，∠OND=30°，所以，则可对①进行判断；再计算出∠MOC=∠NOD=60°，则∠MON=60°，于是根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；先证明四边形MCDN为平行四边形，加上∠MCO=90°，则可判断四边形MCDN为矩形，由于则，于是可对③进行判断；由四边形MCDN为矩形得到MN=CD，则，则可对④进行判断．
【详解】解：如图，连接．
分别是的中点，
．
，
，故①正确．
，故②正确．
，
∴四边形为平行四边形．
，
∴四边形为矩形．
，
∴四边形不是正方形，故③错误．
∵四边形为矩形，
,
，故④正确．
综上，①②④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
19．（2021秋·浙江杭州·九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小．
【详解】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．
∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°，
∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，
∴当M、H、B共线时，BH的值最小，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝12，
BM＝＝＝13，
∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．
故选：D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系、勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】连接AE，过E作EH⊥AB于H，则EH＝BC，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到AF＝EG，故①正确；根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到PE＝PC；故②正确；连接EF，推出点E，P，F，C四点共圆，根据圆周角定理得到∠FEC＝∠FPC＝45°，于是得到BF＝DE＝1，故③正确；取AE 的中点O，连接PO，CO，根据直角三角形的性质得到AO＝PO＝AE，推出点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，当O、C、P共线时，CP的值最小，根据三角形的三边关系得到PC≥OC﹣OP，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】连接AE，过E作EH⊥AB于H，
则EH＝BC，
∵AB＝BC，
∴EH＝AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP＝∠BAF+∠AFB＝90°，
∴∠EGH＝∠AFB，
∵∠B＝∠EHG＝90°，
∴△HEG≌△ABF（AAS），
∴AF＝EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE＝∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP＝90°，∠PCF+∠PCE＝90°，
∵∠BAF＝∠PCF，
∴∠AGE＝∠PCE，
∴∠PEC＝∠PCE，
∴PE＝PC；故②正确；
连接EF，
∵∠EPF＝∠FCE＝90°，
∴点E，P，F，C四点共圆，
∴∠FEC＝∠FPC＝45°，
∴EC＝FC，
∴BF＝DE＝1，
故③正确；
取AE 的中点O，连接PO，CO，
∴AO＝PO＝AE，
∵∠APE＝90°，
∴点P在以O为圆心，AE为直径的圆上，
∴当O、C、P共线时，CP的值最小，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC的最小值＝OC﹣OP＝OC﹣AE，
∵OC＝＝，AE＝＝，
∴PC的最小值为﹣，故④错误，
故选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、圆的综合等知识，借助圆的性质解决线段的最小值是解答的关键.
二、填空题
21．（2022春·九年级课时练习）如图，的半径为内接于于点D，，则长度为_________．
【答案】2
【分析】连接OA、OC，利用圆中的性质，以及三角函数进行解题即可．
【详解】解：如图所示，连接OA、OC，
由题意得：，
∴∠AOC=90°，
∵的半径为，OA=OC，
∴OA=OC=，∠OAD=45°，
∵，
∴sin∠OAD=，
解得：OD=2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查的是圆的基本性质，以及与三角形的综合运用，三角函数的运用，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
22．（2022春·九年级课时练习）如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________.
【答案】
【分析】根据题意，连接OB，通过切线和平行线的性质求得，再根据等腰直角三角形边的关系即可求出CD的长.
【详解】如下图，连接OB
四边形ABCD为平行四边形，BC与相切于点B
，AB=CD
又
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及应用时解决本题的关键.
错因分析 中等难度题.失分原因是不会作辅助线连接OB，通过切线和平行线的性质求得.
23．（2021秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是_____．
【答案】2
【分析】由题意根据勾股定理的逆定理可得三角形ABC为直角三角形，再根据切线长定理即可求解．
【详解】解：如图，连接OD、OE、OF，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F，
∴OE⊥AC，OF⊥AB，AE＝AF，
∵AB＝5，AC＝12，BC＝13，
即52+122＝132，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴四边形AEOF是正方形，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
设⊙O的半径是r，
则AF＝AE＝r，BF＝BD＝5﹣r，EC＝DC＝12﹣r，
∵BD+DC＝BC＝13，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
解得r＝2．
所以⊙O的半径是2．
故答案为2．
【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是利用切线长定理和勾股定A理的逆定理．
24．（2014·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是__（写出所有正确结论的序号）
①；
②若∠A=30°，则PC=BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
【答案】②③④．
【详解】试题分析：解：①∵∠CPD=∠DPA，∠CDP=∠DAP+∠DPA≠∠DAP≠∠PDA，
∴△CPD∽△DPA错误；
②连接OC，
∵AB是直径，∠A=30°
∴∠ABC=60°，
∴OB=OC=BC，
∵PC是切线，
∴∠PCB=∠A=30°，∠OGP=90°，
∴∠APC=30°，
∴在RT△POC中，cot∠APC=cot30°=，
∴PC=BC，正确；
③∵∠ABC=∠APC+∠PCB，∠PCB=∠A，
∴∠ABC=∠APC+∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠APC+2∠A=90°，
∵∠APC=30°，
∴∠A=∠PCB=30°，
∴PB=BC，∠ABC=60°，
∴OB=BC=OC，
∴PB=OB；正确；
④解：如图，连接OC，
∵OC=OA，PD平分∠APC，
∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，
∵PC为⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵∠CPO+∠COP=90°，
∴（∠CPD+∠DPA）+（∠A+∠ACO）=90°，
∴∠DPA+∠A=45°，
即∠CDP=45°；正确；
故答案为②③④
考点：切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性质
点评：本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形
25．（2015秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．
【答案】2．
【详解】试题分析：利用P点在双曲线y=上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点，作过切点的半径，构造全等三角形，寻找与结论或条件中有关联的等量线段，从而逐步探究未知结果．
试题解析：设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B，连接PA、PB．则PA⊥x轴，PB⊥y轴．并设⊙P的半径为R．
∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°，
∵PF⊥PE，
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE，
又∵PA=PB，
∴△PAF≌△PBE（ASA），
∴AF=BE
∴OF-OE=（OA+AF）-（BE-OB）=2R，
∵点P的坐标为（R，R），
∴R=，
解得R=或-（舍去），
∴OF-OE=2．
考点：反比例函数综合题；
26．（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．
【答案】
【详解】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°
∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AFAO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝2+4＝6
∴AF的最大值为6
∵AFAO
∴AO的最大值为3．
故答案为：3
27．（2018·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
【答案】a．
【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG=a，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE=a，即可得到EF=a．
【详解】如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，
连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，
设GE=GD=x，则CG=2a-x，CE=a，
Rt△CEG中，（2a-x）2+a2=x2，
解得x=a，
∴GE=FG=a，
同理可得，EH=FH=a，
∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，
∴GO=BC=a，
∴Rt△OEG中，OE=，
∴EF=a，
故答案为a．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．
28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，P是矩形ABCD内一点，，，，则当线段DP最短时， ________．
【答案】
【分析】因为AP⊥BP，则P点在AB为直径的半圆上，当P点为AB的中点E与D点连线与半圆AB的交点时，DP最短，求出此时PC的长度便可．
【详解】解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，
则AO=OP′=OB=AB=2，
∵AD=2，∠BAD=90°，
∴OD=2，∠ADC=∠AOD=∠ODC=45°，
∴DP′=OD-OP′=2-2，
过P′作P′E⊥CD于点E，则
P′E=DE=DP′=2-，
∴CE=CD-DE=+2，
∴CP′==．
故答案为．
【点睛】本题是一个矩形的综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆的性质，关键是作辅助圆和构造直角三角形．
29．（2020秋·浙江金华·九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝35cm，
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B 时，，则＝_____cm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm．
【答案】 30 ##
【分析】（1）根据，即可求解；
（2）当B、O、P三点共线时，OP的距离最短，即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴是圆O的切线
∴
＝120+35﹣
＝155﹣
＝155﹣125，
＝30，
故答案为：30；
（2）当B、O、P三点共线时，OP的距离最短，
则OP＝BP﹣OB＝＝＝
故答案为：．
【点睛】本题考查的是切线的性质，勾股定理，解题的关键是确定转动后图形上各个点的位置关系．
30．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
【答案】
【分析】作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，易证四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF=DO．过点D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，从而有CD+OD=DH+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数即可解决问题．
【详解】解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图所示，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠COB=60°，
则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO．
过点D作DH⊥OC于H，则DH =DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得，
当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，
∵OF=OA=5，
∴，
∴
即CD+OD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆半径相等的性质，等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、两点之间线段最短、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，把CD+OD转化为DH+FD是解题的关键．
三、解答题
31．（2022春·九年级课时练习）如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1)求证：直线BD是的切线；
(2)求线段BM的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，从而得到 ，即可求证；
（2）连接DM，Rt△BOD中，根据直角三角形的性质可得 BO=2OD，从而得到，，再由的直径，可得，，从而得到，再由，可得，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：∵∠BOD=2∠BAD，
∴，
又∵，
∴ ，即，
又∵为的半径，
∴直线BD是的切线；
（2）解：如图，连接DM，
Rt△BOD中，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵的直径，
∴，，
在Rt△BDE中，，
∵，
∴，
在Rt△BDM中，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．
32．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
(1)求圆⊙的半径；
(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
【答案】(1)2.5
(2)
【分析】（1）连接AE，可得∠AEB=90°，从而得到四边形ADCE是矩形，进而得到AE=CD=4，CE=AD=2，设AB=x，则BC=x，BE=x-2，然后根据勾股定理可得AB=5，即可求解；
（2）连接AM，可证得△ABM≌△CBM，从而得到AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°，设AM= CM=m，则DM=CD-CM=4-m，然后根据勾股定理可得，即可求解．
（1）
解：如图，连接AE，
∵AB圆O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵∠C=∠D=90°，
∴∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AE=CD=4，CE=AD=2，
设AB=x，则BC=x，
∴BE=x-2，
∵，
∴，解得：x=5，
即AB=5，
∴圆⊙的半径为2.5；
（2）
解：如图，连接AM，
∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM=∠CBM，
∵AB=BC，BM=BM，
∴△ABM≌△CBM，
∴AM=CM，∠BAM=∠BCM=90°，
设AM= CM=m，则DM=CD-CM=4-m，
∵，
∴，解得：
即，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
33．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的直径为20，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为 O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形DCOF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得，从而求得x的值，由勾股定理求出AF的长，再求AB的长．
（1）
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为半径
∴是的切线．
（2）
解：过O作，垂足为F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
设，∵，
则，
∵的直径为20，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，由垂径定理知，F为的中点，
∴．
【点睛】本题考查了切线的证明，矩形的判定和性质以及勾股定理，掌握切线的定义和证明方法是解题的关键．
34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)DE=
【分析】（1）连接，根据，平分，可得，再由，可得，即可；
（2）过点O作于F，可得四边形为矩形，从而得到， 由勾股定理求出的长，可得到的长，再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：过点O作于F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，且四边形ABED是圆内接四边形，
∴AE是圆的直径，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定、矩形的判定和性质、勾股定理，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．
(1)求证：直线是半圆的切线；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据等边对等角，得出，再根据等量代换，得出，再根据直径所对的圆周角等于，得出，根据垂线的定义，得出，再根据等量代换，得出，即可得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）根据切线的性质，得出，再根据角的关系和等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，然后根据等量代换，得出，根据中线的定义，即可得出结论；
（3）设长为，则，根据勾股定理，得出，再根据等面积法，得出用含的式子表示，再根据勾股定理，即可得出线段的长．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线是半圆的切线；
（2）证明：∵为半圆的切线，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点是线段的中点；
（3）解：设长为，则，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
在中，
根据勾股定理，可得：，
解得：，（舍去），
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、等腰三角形的性质、等量代换、勾股定理、等面积法，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．
36．（2022·广西北海·统考一模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CFAB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
(1)当∠CFE＝45°时，求CD的长；
(2)求证：∠BAC＝∠CEF；
(3)是否存在点D，使得CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．
【答案】(1)6
(2)见解析
(3)存在，3
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等可得∠CDE＝∠CFE，进而根据等角对等边即可求得CD＝AC＝6；
（2）由CF∥AB可得∠B＝∠FCB，等弧所对的圆周角相等可得∠FCB＝∠DEF，可得∠B＝∠DEF，根据直径所对的圆周角相等可得∠CED＝90°，即∠DEF+∠CEF＝90°，等量代换可得∠BAC＝∠CEF；
（3）连接FD，并延长和AB相交于G，根据四边形CEDF为圆内接四边形，∠ADG＝∠ECF，证明△AGD≌△ACD（AAS），勾股定理求得，在Rt△BDG中，设CD＝x，勾股定理建立方程，解方程求解即可．
(1)
∵∠CDE＝∠CFE＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DAC＝∠CDA＝45°，
∴CD＝AC＝6；
(2)
证明：∵CF∥AB，
∴∠B＝∠FCB，
∵∠FCB＝∠DEF，
∴∠B＝∠DEF，
又∠BAC+∠B＝90°，
∵CD是的直径，
∴∠CED＝90°，
∴∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF；
(3)
解：存在点D，使得△CFE是CF为底的等腰三角形，则EF＝CE．
如图，连接FD，并延长和AB相交于G，
则∠EFC＝∠ECF，
∵四边形CEDF为圆内接四边形，
∴∠ADG＝∠ECF，
又∵∠CDE＝∠CFE，
∴∠ADG＝∠CDE，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∵FC∥AB，
∴∠FGA＝90°，
∴∠FGA＝∠ACD，
∵AD＝AD，
∴△AGD≌△ACD（AAS），
∴DG＝CD，AC＝AG＝6，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
在Rt△BDG中，设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝8﹣x，BG＝AB﹣AG＝10﹣6＝4，DG＝CD＝x，
∵BG2+DG2＝BD2，
∴42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
即CD＝3．
【点睛】本题考查了等弧所对的圆周角相等，等边对等角，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆内接四边形，掌握圆的相关性质是解题的关键．
37．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为5
【分析】（1）连接，可得，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得，根据“内错角相等，两直线平行”可得，根据平行线的性质，可得，再根据切线的判定方法，即可判定；
（2）过点O作，交于点G，根据垂径定理可得，故，根据矩形的判定和性质，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
是的平分线，
，
，
，
，
为的半径，点D在上，
∴是的切线；
（2）解：过点O作，交于点G，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
的半径为5．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线．
38．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若的半径为3，BF=2，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②8
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等结合题目条件可进一步推出∠DBA=∠DAC，从而得到∠BAC=90°，即可得证；
（2）①由圆周角定理得出∠BAE=∠DAE，由三角形的外角性质得出∠CAF=∠DBA+∠BAE，从而求出∠CFA=∠CAF，即可得出结论；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵∠DEA=∠DBA，∠DAC=∠DEA，
∴∠DBA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∵AB是的直径，∠BAC=90°，
∴AC是的切线；
（2）①∵点E是的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠CFA=∠DBA+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∠DBA=∠DAC，
∴∠CFA=∠CAF，
∴CA=CF；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，
∵的半径为3，
∴AB=6，
在Rt△ABC中，CA2+AB2=BC2，
即：x2+62=(x+2)2，
解得：x=8，
∴AC=8．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，以及三角形相关知识点，综合运用圆的相关定理和性质是解题关键．
39．（2021春·九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得，可证与全等，得到，进一步即可证点和关于直线成轴对称；
（2）作出相应辅助线如解析图，可得与全等，利用全等三角形的性质及切线的性质，可得，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵同弧所对圆周角相等，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
又，
∴点和关于直线成轴对称；
（2）如图，延长交于点，连接，，，，
∵，，
∴、、、四点共圆，、、、四点共圆，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键．
40．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．
(1)如图1，求证：DB平分；
(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；
(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）先推出∠ADC=2∠GBD，再根据垂直的定义得到∠GBD+∠GDB=90°，根据∠GDB+∠BDE+∠ADC=180°，推出∠BDE+∠GBD=90°，则∠BDE=∠GDB，即可证明BD是∠GDE是平分线；
（2）如图所示，连接CH，CA，先证明∠CHG=∠CAN，然后证明△CGH≌△CNA即可得到GH=AN；
（3）如图所示，过点D作DK⊥BF分别交BC于R，BF于K，过点C作CM⊥DK于M，连接CH，AC，先证四边形CFKM是矩形，得到CM=FK，CF=KM；设∠GBD=∠CBD=x，则∠ABC=∠CBG=2x，∠BCG=90°-∠CBG=90°-2x=∠BAD，∠BCN=90°-∠CBN=90°-2x，证明∠AEB=90°，得到∠EBF+∠EFB=90°，即可证明∠DBK=∠CBD+∠CBF=45°，从而得到BK=DK，∠KDF=∠EBF；再证明△KDF≌△EBF得到RK=KF=CM；然后推出∠RCM=∠DCM，即可证明△CMD≌△CMR得到DM=MR，设DM=MR=a，RK=MC=KF=b，则MK=CF=MK+RK=a+b，BK=DK=DM+MR+RK=2a+b，推出BF=2CF，即可利用勾股定理求出，，再用三角形面积法求出，则，最后证明∠BAC=∠BCA，得到AB=BC=5，则 ．
（1）
解：∵∠ABC=∠ADC，∠ABC=2∠GBD，
∴∠ADC=2∠GBD，
∵BG⊥CG，
∴∠G=90°，
∴∠GBD+∠GDB=90°，
∵∠GDB+∠BDE+∠ADC=180°，
∴∠GDB+∠BDE+2∠GBD=180°，
∴∠BDE+∠GBD=90°，
∴∠BDE=∠GDB，
∴BD是∠GDE是平分线；
（2）
解：如图所示，连接CH，CA，
∵四边形ABHC是圆内接四边形，
∴∠BAC+∠BHC=180°，
又∵∠BHC+∠CHG=180°，
∴∠CHG=∠CAN，
∵CG⊥BG，CN⊥AB，
∴∠CGH=∠CNA=90°，
又∵CG=CN，
∴△CGH≌△CNA（AAS），
∴GH=AN；
（3）
解：如图所示，过点D作DK⊥BF分别交BC于R，BF于K，过点C作CM⊥DK于M，连接CH，AC，
∵DK⊥BF，CM⊥DK，CF⊥BF，
∴四边形CFKM是矩形，
∴CM=FK，CF=KM；
∵∠ABC=2∠GBD=∠GBD+∠CBD，
∴∠ABC=2∠GBD=2∠CBD=∠CBG，
设∠GBD=∠CBD=x，则∠ABC=∠CBG=2x，
∴∠BCG=90°-∠CBG=90°-2x=∠BAD，∠BCN=90°-∠CBN=90°-2x，
∴∠BAD+∠ABC=90°，
∴∠AEB=90°，
∴∠EBF+∠EFB=90°，
∵∠BCN=2∠CBF，
∴∠CBF=45°-x，
∴∠DBK=∠CBD+∠CBF=45°，
又∵∠DKB=∠DKF=90°，
∴∠KBD=∠KDB=45°，∠DFK+∠FDK=90°，
∴BK=DK，∠KDF=∠EBF，
∴△KDF≌△EBF（ASA）
∴RK=KF=CM；
∵∠CRM=∠BRK=90°-∠RBK=45°+x，
∴∠RCM=90°-∠CRM=45°-x，
∴∠DCM=∠BCD-∠RCM=45°-x，
∴∠RCM=∠DCM，
又∵CM⊥DR，
∴∠CMD=∠CMR，
∵CM=CM，
∴△CMD≌△CMR（ASA），
∴DM=MR，
设DM=MR=a，RK=MC=KF=b，
∴MK=CF=MK+RK=a+b，BK=DK=DM+MR+RK=2a+b，
∴BF=BK+KF=2a+2b，
∴BF=2CF，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知△CGH≌△CAN，
∴∠ACN=∠GCH=∠GBD=x，
∴∠BCA=∠BCN+∠∠CAN=90°-x，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠BCA=90°-x，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC=5，
∴．
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 圆与几何综合问题
一、【知识回顾】
【思维导图】
二、【考点类型】
考点1：切线的判定
典例1：（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，在中，，以为直径的分别交边于点D、F．过点D作于点E
(1)求证：是的切线；
(2)若半径为5，且，求的长．
【变式1】（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）如图，是⊙O的直径，四边形内接于⊙O，D是的中点，交的延长线于点E．
(1)求证：是⊙O的切线；
(2)若，，求的长．
【变式2】（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．
【变式3】（2023·四川泸州·统考一模）如图，已知内接于，是的直径，的平分线交于点，交于点，连接，作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，求的半径和的长．
考点2：与线段有关的问题
典例2：（辽宁省大连市金普新区2022-2023学年九年级上学期数学期末试卷）如图，以的边为直径作交于且，交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【变式1】（2023秋·山东滨州·九年级统考期末）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，连接、，交于点．
求证：
(1)；
(2)．
【变式2】（2022·江西萍乡·校考模拟预测）如图，是的外接圆，，，P是上的一动点．
(1)当的度数为多少时，；
(2)若以动点P为切点的切线为，那么当的度数为多少时，切线与一边平行？
【变式3】（2023春·安徽合肥·九年级合肥寿春中学校考阶段练习）如图，在中，直径为，正方形的四个顶点分别在半径、以及上，并且．
(1)若，求的长度；
(2)若半径是5，求正方形的边长．
考点3：与角度有关的问题
典例3：（2022·北京·统考中考真题）如图，是的直径，是的一条弦，连接
(1)求证：
(2)连接,过点作交的延长线于点，延长交于点，若为的中点，求证：直线为的切线．
【变式1】（2022·四川成都·统考中考真题）如图，在中，，以为直径作⊙，交边于点，在上取一点，使，连接，作射线交边于点．
(1)求证：；
(2)若，，求及的长．
【变式2】（2021·北京·统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，于点．
（1）求证：；
（2）连接并延长，交于点，交于点，连接．若的半径为5，，求和的长．
【变式3】（2020·上海·统考中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC=2∠ABD；
（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；
（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．
考点3：与三角函数有关的计算
典例3：（2022·江苏苏州·苏州市振华中学校校考二模）如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若，，求AB的长．
【变式1】（2020·广西柳州·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．
【变式2】（2020·北京·统考中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于点E，交CD于点F．
（1）求证：∠ADC=∠AOF；
（2）若sinC=，BD=8，求EF的长．
【变式3】（2022·四川成都·模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在弧BC上，AF与CD交于点G，点H在DC的延长线上，且HG=HF，延长HF交AB的延长线于点M．
(1)求证：HF是⊙O的切线；
(2)若，BM=1，求AF的长．
巩固训练
一、单选题
1．（2022秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）如图，的直径与弦的延长线交于点，若，，则＝( )
A． B． C． D．
2．（2023春·九年级课时练习）已知过正方形顶点，，且与相切，若正方形边长为，则圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
3．（2017·山东青岛·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100° B．110° C．115° D．120°
4．（2022秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA， 垂足为D．且DC＋DA＝12， ⊙O的直径为20，则AB的长等于( )
A．8 B．12 C．16 D．18
5．（2018秋·湖北武汉·九年级统考期中）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE平分∠ACB交⊙O于E，∠E＝30°，交AB于点D，连接AE，则S△ADC∶S△ADE的比值为（ ）
A． B． C． D．1
6．（2022春·九年级课时练习）如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020秋·广东汕尾·九年级校考阶段练习）如图，内接于，若的半径为6，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考期中）如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为A，连接，，则的最小值为（ ）．
A． B．1 C． D．
9．（2020·江苏徐州·统考中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·重庆江北·九年级重庆十八中校考期末）如图，是的直径，点D在的延长线上，，与相切于点E，与相切于点B交的延长线于点C，若的半径为1，的长是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，以AB为直径作半圆⊙O，C是半圆的中点，P是上一点，AB＝，PB＝1，则PC的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022春·九年级课时练习）如图，经过A、C两点的⊙O与△ABC的边BC相切，与边AB交于点D，若∠ADC＝105°，BC＝CD＝3，则AD的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
13．（2022秋·山东临沂·九年级校考期中）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25
14．（2022春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．3
15．（2018·四川宜宾·统考中考真题）在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF2+PG2的最小值为（ ）
A． B． C．34 D．10
16．（2021秋·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB＝5cm，AC＝4cm．D是上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE．在点D移动的过程中，BE的最小值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．2﹣1 D．3
17．（2018·山东泰安·统考中考真题）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
18．（2022春·九年级课时练习）如图，是的直径，分别是的中点，在上．下列结论：①；②；③四边形是正方形；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（2021秋·浙江杭州·九年级期末）如图，点D在半圆O上，半径OB＝，AD＝10，点C在弧BD上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC＝90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
20．（2021·全国·九年级专题练习）如图，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E为CD上一点，且DE＝1，F为射线BC上一动点，过点E作EG⊥AF于点P，交直线AB于点G．则下列结论中：①AF＝EG；②若∠BAF＝∠PCF，则PC＝PE；③当∠CPF＝45°时，BF＝1；④PC的最小值为﹣2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
21．（2022春·九年级课时练习）如图，的半径为内接于于点D，，则长度为_________．
22．（2022春·九年级课时练习）如图，的边BC与相切于点B，AD为的直径，若，则CD的长为________.
23．（2021秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E．F．且AB＝5，AC＝12，BC＝13，则⊙O的半径是_____．
24．（2014·湖南岳阳·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，切点为C，连接AC，BC，作∠APC的平分线交AC于点D．下列结论正确的是__（写出所有正确结论的序号）
①；
②若∠A=30°，则PC=BC；
③若∠CPA=30°，则PB=OB；
④无论点P在AB延长线上的位置如何变化，∠CDP为定值．
25．（2015秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，点P在双曲线y=上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，E为y轴负半轴上的一点，PF⊥PE交x轴于点F，则OF－OE的值是___________．
26．（2022春·全国·九年级专题练习）△ABC中，AB＝4，AC＝2，以BC为边在△ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，则线段AO的最大值为______．
27．（2018·山东济南·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点， 的圆心分别在边AB、CD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则E、F间的距离为 ．
28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，P是矩形ABCD内一点，，，，则当线段DP最短时， ________．
29．（2020秋·浙江金华·九年级校考期中）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，且OB＝35cm，
（1）如图3，当点B按逆时针方向运动到B 时，，则＝_____cm．
（2）在点B的运动过程中，点P与点O之间的最短距离为_____cm．
30．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _____．
三、解答题
31．（2022春·九年级课时练习）如图，线段AB经过的圆心O，交圆O于点A，C，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
(1)求证：直线BD是的切线；
(2)求线段BM的长．
32．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，DC=4，AD=2，AB=BC，以AB为直径的圆O交BC于点E．
(1)求圆⊙的半径；
(2)用无刻度的直尺在DC边上作点M，使射线BM平分∠ABC，并求的值．
33．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D．
(1)求证：是的切线；
(2)若，的直径为20，求的长度．
34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，圆内接四边形，，点E是边上一点，且平分
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，，求的长．
35．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是半圆的直径，是半圆的切线（即圆的切线）．连接，交半圆于点，连接．过点作直线，且．
(1)求证：直线是半圆的切线；
(2)求证：点是线段的中点；
(3)若，，求线段的长．
36．（2022·广西北海·统考一模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的一个动点，以CD为直径的⊙O交AD于点E，过点C作CFAB，交⊙O于点F，连接CE、EF．
(1)当∠CFE＝45°时，求CD的长；
(2)求证：∠BAC＝∠CEF；
(3)是否存在点D，使得CFE是以CF为底的等腰三角形，若存在，求出此时CD的长；若不存在，试说明理由．
37．（2023秋·广东广州·九年级期末）如图，在Rt中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
38．（2022秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若的半径为3，BF=2，求AC的长．
39．（2021春·九年级课时练习）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
40．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．
(1)如图1，求证：DB平分；
(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；
(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
