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期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题是真命题的有（ ）
①等边三角形3个内角都为；②若实数a，b满足，则；
③全等三角形对应边上的高相等；④内错角相等，两直线平行．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率介于0和1之间
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．“从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球”是必然事件
D．“度量三角形内角和，结果是”是不可能事件
6．如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
7．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
8．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
9．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
12．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
13．如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+4b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
14．在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008
“摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
评卷人得分
三、解答题
16．计算：（1）；
（2）[（x+1）（x+2）+2（x﹣1）]÷x．
17．按照要求进行计算：
（1）计算：
（2）利用乘法公式进行计算：
18．如图，直线，交于点F，点C在的左侧，且满足，．
(1)判断与是否平行？并说明理由；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
19．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．
(1)若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________；
(2)若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率．
20．【公式背景】
在数学学习中，图表有着重要的作用，它能将复杂或抽象的问题直观化，用图表的直观来描述、解释问题，用图表的解释来分析、解决问题，例如，平方差公式就可以利用图形来直观描述并解释．如图1，在边长a的正方形中剪去一个边长为b的正方形，若用两种不同的方法来表示阴影部分的面积，就能得到公式；
【公式形成】
如图2，用4张形状、大小相同的长方形纸片拼成一个大正方形，已知长方形的长，宽分别为m，n（）．
（1）观察图2，写出、和之间的数量关系并用整式的运算说明；
【公式应用】
（2）如图3，中，，．以和为边分别做两个正方形，已知，的面积是2，求的长度．
21．【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：．
22．已知：如图，．
(1)如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
23．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）；
【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，；
①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由；
②如图，已知，的面积为 ．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价．
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期中预测模拟卷02
考试范围：第1-4章；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．“夜深知雪重，时闻折竹声．”这是白居易《夜雪》中对雪的描写．单个雪花的重量其实很轻，只有左右，用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B．
2．下列命题是真命题的有（ ）
①等边三角形3个内角都为；②若实数a，b满足，则；
③全等三角形对应边上的高相等；④内错角相等，两直线平行．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】判断命题真假、等边三角形的性质、全等三角形的性质、内错角相等两直线平行
【分析】本题考查了真假命题的判断．根据全等三角形的性质，平行线的判定以及勾股定理逆定理逐项判断即可作答．
【详解】解：①等边三角形3个内角都为，本项是真命题；
②若实数a，b满足，则，本项是真命题；
③全等三角形对应边上的高相等，本项是真命题；
④内错角相等，两直线平行，本项是真命题．
综上，①②③④都是真命题；
故选：A．
3．已知直线，一块含角的直角三角板如图所示放置，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的外角的定义及性质、两直线平行同位角相等
【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，先根据三角形外角的性质求出的度数，再由平行线的性质得出的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
4．下列说法中正确的个数为（ ）
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】两直线平行同位角相等、平行公理的应用、平面内两直线的位置关系
【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
根据平行线的性质，平行公理及推论，同位角，逐一判断即可解答．
【详解】解：①在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①不正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故②不正确；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③不正确；
④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交，故④正确；
所以，上列说法中正确的个数为1个，
故选：A．
5．下列说法错误的是（ ）
A．随机事件发生的概率介于0和1之间
B．如果明天降水的概率是，那么明天有半天都在降雨
C．“从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球”是必然事件
D．“度量三角形内角和，结果是”是不可能事件
【答案】B
【知识点】根据概率公式计算概率、判断事件发生的可能性的大小、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了概率的意义、三角形的内角和定理、随机事件的定义等知识点，掌握相关定义成为解题的关键．
根据概率的意义、三角形的内角和定理、随机事件的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、随机事件发生的概率介于0和1之间，正确，不符合题意；
B、如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在降雨，错误，符合题意；
C、“从一个只有红球的袋子里面摸出一个球是红球”是必然事件，正确，不符合题意；
D、“度量三角形的内角和，结果是360°”是不可能事件，正确，不符合题意；
故选：B．
6．如图，AECF，∠ACF的平分线交AE于点B，G是CF上的一点，∠GBE的平分线交CF于点D，且BD⊥BC，下列结论：①BC平分∠ABG；②ACBG；③与∠DBE互余的角有2个；④若∠A=α，则∠BDF=180° ．其中正确的有（ ）
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明
【分析】根据平行线的性质得出∠A和∠ACB的关系，再根据角平分线的性质找出图中相等的角，由等角的余角相等即可得出结论．
【详解】解：∵CBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，∠CBG+∠DBG=90°，
又∵∠DBG=∠EBD，
∴∠ABC=∠CBG，
∴BC平分∠ABG，故①正确；
∵AECF，
∴∠ABC=∠BCG，
∵BC平分∠ACF，
∴∠ACB=∠BCG，
∵∠ABC=∠CBG，
∴∠CBG=∠ACB，
∴ACBG，故②正确，
∵AECF，
∴∠DBE=∠BDG，
∵∠ABC=∠CBG=∠ACB=∠BCG，∠DBE=∠DBG=∠BDG
∴与∠DBE互余的角有∠ABC，∠GBC，∠ACB，∠GCB，有4个，
故③错误，
∵∠BDF=180°-∠BDG，∠BDG=90°-∠BCG=90°-∠ACB，
又∵∠ACB=×（180°-α）=90°-，
∴∠BDF=180°-[90°-（90°-）]=180°-，故④正确，
综上，正确的有①②④．
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，关键是要牢记平行线的三个性质，即两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补．
7．如图，将图1的长方形用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，分成四块形状和大小一样的小长方形，小长方形的长为，宽为，再按图2的方式拼成一个正方形，通过拼接前后两个图形中阴影部分的面积关系可以验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】根据4个长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积即可求解．
【详解】解：图1阴影的面积为：，
图2阴影的面积为：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式与几何图形，数形结合是解题的关键．
8．数学小组做“用频率估计概率”的试验时，为了统计试验结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，符合这一结果的试验最有可能的是 （ ）
A．掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”
C．袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球
D．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃
【答案】A
【知识点】由频率估计概率、根据概率公式计算概率
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，利用折线统计图可得出试验的频率在0.5左右，进而得出答案．
【详解】解：A、掷一个质地均匀的正方体骰子，朝上的面点数是偶数概率为，符合这一结果，故此选项符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小丽随机出的是“剪刀”的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
C、袋子中有1个红球和2个黄球，除颜色外完全相同，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：A．
9．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质和判定、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】结合，，可证明，即可判断结论①；证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断结论②；结合，易得，进而可知，即可判断结论③；证明，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，结合，易得，即可判断结论④．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，故结论①正确；
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，即，故结论②正确；
∵，
∴，，
∴，
∴，故结论③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故结论④正确．
综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明是解题的关键．
10．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等三角形综合问题、角平分线的性质定理
【分析】由证明得出，，①正确；
由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得：，得出，②正确；
作于，于，如图所示：则，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，④正确；
由，得出当时，才平分，假设，由得出，由平分得出，推出，得，而，所以，而，故③错误；即可得出结论．
【详解】解：，
，
即，
在和中，
，
，
，，①正确；
，
由三角形的外角性质得：，
，②正确；
作于，于，如图2所示：
则，
在和中，
，
，
，
平分，④正确；
，
当时，才平分，
假设
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
与矛盾，
③错误；
综上所述，正确的是①②④；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，角平分线的判定等知识，熟悉相关性质是解题的关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．下列算式：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
【答案】②③
【知识点】幂的乘方运算
【分析】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方法则是解题关键．根据幂的乘方法则逐个判断即可得．
【详解】解：①，则原算式错误；
②，则原算式正确；
③，则原算式正确；
④，则原算式错误；
综上，正确的是②③，
故答案为：②③．
12．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
【答案】100
【知识点】平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．
过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点D作，过点E作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：100．
13．如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+4b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
【答案】5
【知识点】多项式乘多项式与图形面积
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+4b，宽为a+b的大长方形的面积是多少，然后ab的系数即为C类卡片的张数．
【详解】解：∵，
∴ab系数为5，
故需要C类卡片5张，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球实验次数 100 1000 5000 10000 50000 100000
“摸出黑球”的次数 36 387 2019 4009 19970 40008
“摸出黑球”的频率 （结果保留小数点后三位） 0.360 0.387 0.404 0.401 0.399 0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是 （结果保留小数点后一位）．
【答案】0.4
【知识点】由频率估计概率
【分析】大量重复试验下摸球的频率可以估计摸球的概率，据此求解.
【详解】观察表格发现随着摸球次数的增多频率逐渐稳定在0.4附近，
故摸到白球的频率估计值为0.4；
故答案为0.4．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中某个事件发生的频率能估计概率．
15．如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 （填序号）．
【答案】①③④
【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)
【分析】本题实质上属于婆罗摩笈多模型，主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
点是三角形的角平分线的交点，
平分，平分，
，，
，
，故①正确；
，，，
，
，，
，
同理可得：，
，，
，
，
若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确；
如图，延长至点使得，连接，
点是的中点，
，
又，，
，
，，，
，，，
，
，
，
又，，
，
，
，故③正确；
如图，延长交于点，
，
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述，其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．
评卷人得分
三、解答题
16．计算：（1）；
（2）[（x+1）（x+2）+2（x﹣1）]÷x．
【答案】（1）7；（2）x+5
【知识点】整式四则混合运算、零指数幂、负整数指数幂
【分析】（1）先算乘方，零指数幂和负整数指数幂，再算加减法，即可求解；
（2）先算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再算除法，即可求解．
【详解】解：（1）原式=
=7；
（2）原式= （x2+3x+2+2x﹣2）÷x
=（x2+5x）÷x
= x+5．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握零指数幂和负整数指数幂以及整式的混合运算法则，是解题的关键．
17．按照要求进行计算：
（1）计算：
（2）利用乘法公式进行计算：
【答案】（1）（2）
【知识点】整式四则混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】（1）先计算中括号内的整式乘法，再运用多项式除以单项式的法则计算即可；
（2）运用平方差公式计算即可．
【详解】解：（1）
=
=
=
=
（2）
=
=
=．
【点睛】本题考查了整式的乘除和乘法公式，解题关键是熟练掌握整式运算法则，熟练运用乘法公式进行计算．
18．如图，直线，交于点F，点C在的左侧，且满足，．
(1)判断与是否平行？并说明理由；
(2)若平分，于点E，，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算
【分析】此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质与判定求解即可；
（2）根据垂直的定义及角的和差求出，结合（1）得出，再根据角平分线定义求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵于点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
19．中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．
(1)若从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是________；
(2)若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），请用列表或画树状图的方法，求抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】列表法或树状图法求概率、根据概率公式计算概率
【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的可能结果，再利用概率公式求出即可．
【详解】（1）∵共有4本书，
∴从这四部著作中随机抽取一本，则抽取的恰好是《论语》的概率是；
（2）根据题意，列表如下：
第一本第二本 《论语》 《孟子》 《大学》 《中庸》
《论语》 （《孟子》，《论语》） （《大学》，《论语》） （《中庸》，《论语》）
《孟子》 （《论语》，《孟子》） （《大学》，《孟子》） （《中庸》，《孟子》）
《大学》 （《论语》，《大学》） （《孟子》，《大学》） （《中庸》，《大学》）
《中庸》 （《论语》，《中庸》） （《孟子》，《中庸》） （《大学》，《中庸》）
由列表可知，从4本书中随机抽取2本（不放回），共有12种结果，并且每种结果出现的可能性相等，
其中抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》（设为事件）的结果有2种，分别是（《孟子》，《大学》）和（《大学》，《孟子》），
所以抽取的两本恰好是《孟子》和《大学》的概率．
20．【公式背景】
在数学学习中，图表有着重要的作用，它能将复杂或抽象的问题直观化，用图表的直观来描述、解释问题，用图表的解释来分析、解决问题，例如，平方差公式就可以利用图形来直观描述并解释．如图1，在边长a的正方形中剪去一个边长为b的正方形，若用两种不同的方法来表示阴影部分的面积，就能得到公式；
【公式形成】
如图2，用4张形状、大小相同的长方形纸片拼成一个大正方形，已知长方形的长，宽分别为m，n（）．
（1）观察图2，写出、和之间的数量关系并用整式的运算说明；
【公式应用】
（2）如图3，中，，．以和为边分别做两个正方形，已知，的面积是2，求的长度．
【答案】（1），证明见解析；（2）
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了数形结合，完全平方公式的应用，得到新公式，关键是新公式的运用，求的长．
（1）大正方形的面积减去中间白色正方形的面积等于四个长方形面积之和，可得、和之间的数量关系，，再变形等式的左边，得到左边等于右边，说明等式成立．
（2）由的面积是2，可得，又因为，利用（1）的结论，可得，进一步求出．
【详解】（1）由大正方形的面积减去中间白色正方形的面积等于四个长方形面积之和，可得等式，，
说明：∵左边，
右边，
，
∴左边=右边，
∴．
（2）由题可得，，，
由（1）可知，，
，
∵，
∴，
又∵，
∴．
21．【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：．
【答案】（1）间的距离为；（2），理由见解析；（3）证明见解析．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）证明，由全等的性质得出；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解；
（3）在上截取，易证，得到，，再证明，得到，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图，连接，
在和中，
∵，
∴
∴，
（2）延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴；
（3）证明：在上截取，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
22．已知：如图，．
(1)如图1所示：点为上一点，，直接写出与的数量关系；
(2)如图2，平分，的反向延长线与的平分线交于点，若比大，求的度数；
(3)保持（2）中所求的的度数不变，如图3，平分，平分，作，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线判定与性质求角度
【分析】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数是解题的关键．
（1）延长交于点F，根据平行线的性质推出；
（2）过点E作，过点H作，根据，推出，再根据，推出，最后根据比大得出的度数；
（3）过点E作，则，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：延长交于点F．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：过点E作，过点H作，如图所示：
设，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵比大，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：过点E作，
根据（2）得，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）；
【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，；
①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由；
②如图，已知，的面积为 ．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价．
【答案】（1）见解析；（2）①与是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路的总造价为元
【知识点】等腰三角形的性质和判定、作垂线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接即可；
（2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，则，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解．
【详解】解：（1）如图，线段即为所求；
（2）①与是偏等积三角形，理由如下：
过作于，过作于，
∴，
∵、是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴（），
∴，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴与不全等，
∴与是偏等积三角形；
②如图，过点作，交的延长线于，则，
∵点为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴．
由①得：与是偏等积三角形，
∴，，
∴（），
∴（元）．
答：修建小路的总造价为（元）．
【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型．
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