浙江省温州市瑞安市集云等校五校联考2024-2025学年九年级下学期数学开学考试题
1．（2025九下·瑞安开学考）-2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．1
2．（2025九下·瑞安开学考）2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就.空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九下·瑞安开学考）下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九下·瑞安开学考）要使式子有意义，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九下·瑞安开学考）已知一组数据2，2，7，8，4的中位数内（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
6．（2025九下·瑞安开学考）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
7．（2025九下·瑞安开学考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025九下·瑞安开学考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·瑞安开学考）如图，在边长为1的正方形ABCD中，过点C的直线，将对角线BD绕点B顺时针旋转n度，当点的对应点恰好落在直线l上时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025九下·瑞安开学考）如图，直线与半径为3的相切于点A，C是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为点，连结AC，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
11．（2025九下·瑞安开学考）因式分解： = ．
12．（2025九下·瑞安开学考）计算： × ＝ ．
13．（2025九下·瑞安开学考）方程的解为 .
14．（2025九下·瑞安开学考）如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O.若，则AC的长等于 .
15．（2025九下·瑞安开学考）如图，在等腰三角形中，，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形EDF，若点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
16．（2025九下·瑞安开学考）如图，在锐角中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，交AD于点F.若，则的值等于 .
17．（2025九下·瑞安开学考）计算：.
18．（2025九下·瑞安开学考）解不等式组，并把它的解表示在数轴上.
19．（2025九下·瑞安开学考）2024年瑞安市非机动车保有量已达90余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害.2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动.某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表.
A 未佩戴安全头盔
B 非法改装加装
C 违法载人
D 不按规定行驶
活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表
类别 人数
A 60
B a
C 20
D 50
合计 250
（1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数的值为 ；
（2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前，该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数；
（3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果，你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？
20．（2025九下·瑞安开学考）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗.经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度（）与扩散时间之间成反比例函数关系.当扩散5min时，有害气体浓度为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？
21．（2025九下·瑞安开学考）小丽和小明在研究一个尺规作图问题.
如图1，在四边形ABCD中，.用直尺和圆规作，交边BC于点E.
小丽：如图2，以点为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则.
小明：如图3，以点为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则.
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）；
①小丽的作法 ；（2）小明的作法 .
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由.（要求：写出推理过程）
22．（2025九下·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴的负半轴上，将正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线交轴于点.
（1）求直线的函数表达式；
（2）求点C的坐标.
23．（2025九下·瑞安开学考）已知二次函数（为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 4.5 …
y … n m 3 2m-1 p …
（1）当时.
①求该二次函数的对称轴；②比较n与p的大小.
（2）当时，自变量的取值范围是或（为常数），当时，求二次函数函数值的取值范围.
24．（2025九下·瑞安开学考）如图，中，为AB上二点，以CD为直径的分别交边AB，BC于点，连结EF交CD于点，已知.
（1）求证：；（提示：连结DF）
（2）若，求AC和DE的长；
（3）设，①若，求证：；
②设，请直接写出关于的函数解析式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2024的相反数为2024.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据400000用科学记数法可表示为：
400000=4×105.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，A不合题意；
B、 ，B不合题意；
C、 ，C不合题意；
D、 ，符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
4．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，只需使x+3≠0，
解得：x≠-3.
故答案为：A .
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：2，2，4，7，8，
第三个数为4，
∴这组数据的中位数为4.
故答案为：B.
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义并结合题意即可求解.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似图形的性质
7．【答案】B
【知识点】频数与频率；折线统计图
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，
∴不规则图案的面积大约为0.3，
设不规则图案的面积为xcm2，
则=0.3，
解得：x=24.
故答案为：B.
【分析】由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，用频率估计概率 ，然后由几何概率可知，不规则图案的面积与矩形的面积的比为0.3，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
8．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：
.
故答案为：D.
【分析】根据题中的相等关系“绳子长度-木头长度=4.5，木头长度-绳子长度=1”列方程组即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点E，作BF⊥CD 于点F，如图，
则∠BFD =∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°，AC⊥BD，AE=CE，BE=DE，且BD=AC，
∴BD=AC==BC=，∠BEC=∠DEC=90°，
∴BE=CE=AC=，
∵过点C的直线l∥BD ，
∴∠ECF=∠DEC=90°，
∵∠BFC=∠BEC=∠ECF=90°，
∴四边形BECF是矩形，
∵BE=CE，
∴四边形BECF是正方形，
∴CF=BF=BE=，
由旋转得：BD =BD=，
∴D F===，
∴CD =D F+CF=+=.
故答案为：D.
【分析】连接AC交BD于点E，作BF⊥CD 于点F，由正方形的性质并结合勾股定理可求得AC=BD的值，BE=CE=AC，结合已知并根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BECF是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形BECF是正方形，由正方形的性质可得CF=BF=BE，在Rt△BD F中，用勾股定理可求得D F的值，再根据线段的和差CD =D F+CF计算即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接AO，并延长AO交⊙O于点P，连接PC，
∴∠ACP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AP⊥AB，
∵BC⊥m，
∴AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB，
∴△APC∽△CAB，
∴，
∵CA=x，CB =y，半径为3，
∴，
∴y=x2，
∴x-y=x-x2=-(x-3)2+，
∵-＜0，
∴当x=3时，x-y有最大值，且最大值为.
故答案为：C.
【分析】连接AO，并延长AO交⊙O于点P，连接PC，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△APC∽△CAB，于是可得比例式，则可将y用含x的代数式表示出来，然后代入x-y，整理配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
12．【答案】6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： × ＝ =6，
故答案为6.
【分析】先根据进行计算，再进行开方运算.
13．【答案】x1=，x2=-
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）2=5，
两边开平方得：x-1=±，
∴x1=，x2=-.
故答案为：x1=，x2=-.
【分析】由题意，把（x-1）看作一个整体，然后方程两边开平方即可求解.
14．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC、BD为对角线，BD=6，
∴BO=OD=BD=3，AO=OC=AC，AC⊥BD，
∵∠ADC=120°，
∴∠DAO=30°，
∴AD=2OD=6，
∴OA===，
∴AC=2OA=.
故答案为：.
【分析】由菱形的性质可得BO=OD，AO=OC，AC⊥BD，结合题意，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OD=AD求出AD的值，在Rt△AOD中，用勾股定理求出OA的值，然后根据AC=2OA即可求解.
15．【答案】π-2
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AB的中点，AB=4，
∴∠A=∠B=45°，CD=AB=AD=2，∠BDC=90°，
∴∠BCD=45°，
∵∠ADM+∠CDM=∠CDN+∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中
∴△ADM≌△CDN（ASA）
∴S△ADM=S△CDN，
∴S四边形DMCN=S△CDN+S△CDM=S△ADM+S△CDM=SRt△ACD
=AD·CD=×2×2=2，
∵S扇形EDF=π×22=π，
∴S阴影=S扇形EDF-S四边形DMCN=π-2.
故答案为：π-2.
【分析】连接CD，由题意，用角边角可证△ADM≌△CDN，于是可得S△ADM=S△CDN，由四边形DMCN的构成可得S四边形DMCN=S△CDN+S△CDM=S△ADM+S△CDM=SRt△ACD ，然后根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形EDF-S四边形DMCN并结合扇形面积公式S扇形=计算即可求解.
16．【答案】16
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过点E作EH⊥BC于点H，
在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，AB=6，
∴E为AB的中点，
∴DE=AE=BE=AB=3，
又∵EH⊥BD，
∴设BH=DH=a，CD=x，
∴BD=2a，BC=BD+CD=2a+x，HC=DH+CD=a+x，
∴BC·CD=（2a+x）·x=x2+2ax，
在Rt△ECH中，EH2=CE2-HC2，
在Rt△EDH中，EH2=DE2-DH2，
∴CE2-HC2=DE2-DH2，
又∵CE=5，
∴25-（a+x）2=9-a2，
∴x2+2ax=16，
∴BC·CD=16.
故答案为：16.
【分析】连接DE，过点E作EH⊥BC于点H，设BH=DH=a，CD=x，由线段的构成可得BC·CD=（2a+x）·x=x2+2ax，在Rt△ECH和Rt△EDH中，用勾股定理可得关于x、a的方程，整理即可求解.
17．【答案】解：原式=2+1+1
=4
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π+2）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得=1；由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，然后根据有理数的加法法则计算即可求解.
18．【答案】解：，
解不等式①得：x≤4；
解不等式②得：x＞-2；
∴不等式组的解集为：-2＜x≤4.
不等式组的解集在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求得不等式组的解集；在数轴上表示解集时，根据“≤”实心向左、“＞”空心向右即可求解.
19．【答案】（1）120
（2）2×=0.88（万人），
答：估计专项治理活动前，该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数为0.88万人；
（3）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
专项治理活动后违法载人的百分比为：×100%=8%；
专项治理活动前违法载人的百分比为：×100%=4%，
∵8%＞4%，
∴交警部门开展的此次专项活动有效果，
故小明分析数据的方法不合理
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
20．【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为：y=，
把（5，10）代入y=得：10=，
解得：K=50，
∴y关于x的函数表达式为：y=
（2）当y≤8mg/m3时，即≤8，
解得：x≥.
答：至少需要扩散min，对人体健康无危害
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数表达式为：y= ，由题意，把（5，10）代入解析式求出k的值，即可求解；
（2）根据题意“有害气体浓度不高于8mg/m3时”可得关于x的不等式，解不等式即可判断求解.
21．【答案】（1）正确；正确
（2）①如图2中，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC；
∵AD=BE，AD∥BE；
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BC，故小丽的说法正确；
②如图3中，连接AE、BD.
∵∠BAD=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAD和Rt△ABE中
∴Rt△BAD≌Rt△ABE（HL）
∴AD=BE，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC；
∵AD=BE，AD∥BE；
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BC，故小明的说法正确
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①小丽的作法正确；②小明的作法正确；
故答案为：①正确；②正确；
【分析】（1）根据矩形的判定和性质即可判断求解；
（2）根据题意，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABED是矩形，然后根据矩形的性质和垂线的定义即可求解.
22．【答案】（1）解：∵正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，
∴AA =5，
∴A（5，0），
设直线AC 的函数表达式为y=kx+b，
把A（-5，0），E（0，2）分别代入得：
，
解得：，
∴直线AC 的函数表达式为y=x+2
（2）∵四边形A B C D 是正方形，
∴C B =C D ，
设C （t，t），
把C （t，t）代入y=x+2得：t=t+2，
解得：t=，
∴C （，），
∵正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，
∴C(-5，)，
即C（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；正方形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）由平移的性质得A（5，0），然后用待定系数法求直线AC 的函数表达式；
（2）设C （t，t），把点C 代入直线AC 的函数表达式可得关于t的方程，解方程求出t的值，可得点C 的坐标，然后根据正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，结合平移的性质可得点C的坐标.
23．【答案】（1）解：①由题意，当m=2时，
2m-1=3，
又∵当x=1时，y=3，
∴二次函数的对称轴是直线x==.
②由题意，当x＜时，y随x的增大而增大.
∴抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∵1.5-（-1）=2.5＜4.5-1.5=3，
∴n＞p
（2）∵当y≤n时，自变量x的取值范围是x≥3-s或x≤s-1(s为常数），
∴a＜0，对称轴为：x==1，
∴m=2m-1，
解得：m=1，
∴二次函数y=a(x-1)2+3经过点（0，1），
∴1=a(0-1)2+3，
解得：a=-2，
∴y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1，
∴当x=-1时，y=n=-5；
当x=-5时，y=-69；
∴当n≤x≤3即当-5≤x≤3时，二次函数y=ax2+bx+c函数值y的取值范围为：-69≤y≤3
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把m=2代入求出2m-1的值，再根据抛物线的对称性即可求解；
②根据抛物线的性质“当抛物线的开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大”即可求解；
（2）根据函数与不等式的关系求出对称轴，再求出m的值，并结合二次函数的性质可求解.
24．【答案】（1）证明：如图1，连接DF，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴DF⊥BC，
∵BF=CF，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠DCB
（2）解：如图2，连接DF，CE，过点E作EM⊥BC于M，
∵tanB=，
∴设DF=3x，BF=4x，
∴BD=CD=5x，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=5x，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
由勾股定理得：AC==6x，
∵S△ABC=AC·BC=AB·CE，
∴·6x·8x=·10x·CE ，
∴CE=4.8x，
∴DE===1.4x，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴△BEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM=5.12x，EM=3.84x，
∴FM=5.12x-4x=1.12x，
在Rt△EFM中，EF2=EM2+FM2，
∴22=（3.84x）2+(1.12x)2，
解得：x=，（负值舍去），
∴AC=6x=6×=3，DE=1.4x=1.4×=0.7
（3）①证明：如图3，延长CA，EF交于点P，连接DG，CE，DF，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DEC=∠DGC=90°，
∴DG⊥AC，
由（1）知，AD=CD=BD，
∴AG=CG，
∵∠DFC=∠DGC=∠FCG=90°，
∴四边形DFCG是矩形，
∴DF=CG，DF∥AC，
∴△DKF∽△CKP，∠P=∠DFE，
∴，
∴CP=3DF，
∴AP=DF，
在△DEF和△AEP中，
∴△DEF≌△AEP（AAS）
∴DE=AE，
∴CE是AD的垂直平分线，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=90°-60°=30°，
∴∠B=30°；
②解：如图4，延长CA，FE交于点P，连接DF，CE，
∵∠BFD=∠BCA=90°，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，△DFK∽△CPK，
∴，，
∴AC=2DF，DF=CP·y，
∵tanB==x，
∴DF=BF·x，
设BF=m，则DF=mx，AC=2mx，
∴=y，
由勾股定理得：DC===m，
∵∠AEC=∠DFC，∠ACE=∠B=∠DCF，
∴△AEC∽△DFC，
∴，
∴AE=，
∴DE=AD-AE= CD-AE=m-=，
∵DF∥AP ，
∴△DEF∽△AEP ，
∴，
∴，
∴AP=，
∴y==
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图1，连接DF，由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠DFC=90°，再根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BD=CD，然后由等边对等角可求解；
（2）如图2，连接DF，CE，过点E作EM⊥BC于M，由题意设设DF=3x，BF=4x，用勾股定理可将BD=CD、AC用含x的代数式表示出来，然后在Rt△ABC中，用面积法可得关于CE的方程，解之可将CE用含x的代数式表示出来，在Rt△CDE中，用勾股定理可将DE用含x的代数式表示出来，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEM∽△BAC，于是可得比例式，根据比例式将BM、EM用含x的代数式表示出来，由线段的构成将FM用含x的代数式表示出来，在Rt△EFM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后把x分别代入AC=6x、DE=1.4x计算即可求解；
（3）①如图3，延长CA，EF交于点P，连接DG，CE，DF，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形DFCG是矩形，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DKF∽△CKP，∠P=∠DFE，则可得比例式，在△DEF和△AEP中，用角角边可证△DEF≌△AEP，由全等三角形的性质可得DE=AE，根据题意可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各角都等于60°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解；
②如图4，延长CA，FE交于点P，连接DF，CE，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BDF∽△BAC，△DFK∽△CPK，则可得比例式，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AEC∽△DFC，可得比例式，将AP用含mx的代数式表示出来，代入y=整理即可求解.
1 / 1浙江省温州市瑞安市集云等校五校联考2024-2025学年九年级下学期数学开学考试题
1．（2025九下·瑞安开学考）-2024的相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．1
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2024的相反数为2024.
故答案为：A.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可求解.
2．（2025九下·瑞安开学考）2023年10月，“中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就.空间站离地球的距离约为400000米，数据400000用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据400000用科学记数法可表示为：
400000=4×105.
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2025九下·瑞安开学考）下列各式运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，A不合题意；
B、 ，B不合题意；
C、 ，C不合题意；
D、 ，符合题意，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】分别根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则逐一判断即可．
4．（2025九下·瑞安开学考）要使式子有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使分式有意义，只需使x+3≠0，
解得：x≠-3.
故答案为：A .
【分析】根据分式有意义的条件“分母≠0”可得关于x的不等式，解不等式即可求解.
5．（2025九下·瑞安开学考）已知一组数据2，2，7，8，4的中位数内（ ）
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：2，2，4，7，8，
第三个数为4，
∴这组数据的中位数为4.
故答案为：B.
【分析】中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据中位数的定义并结合题意即可求解.
6．（2025九下·瑞安开学考）如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ）
A．4 B． C．16 D．32
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质；位似图形的性质
7．（2025九下·瑞安开学考）如图1，长为10cm，宽为8cm的长方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），数学小组为了探究该不规则图案的面积是多少，进行了计算机模拟试验，通过计算机随机投放一个点，并记录该点落在不规则图案上的次数（点在界线上不计入试验结果），得到如下数据：由此可估计不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】频数与频率；折线统计图
【解析】【解答】解：由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，
∴不规则图案的面积大约为0.3，
设不规则图案的面积为xcm2，
则=0.3，
解得：x=24.
故答案为：B.
【分析】由折线统计图可知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.3，用频率估计概率 ，然后由几何概率可知，不规则图案的面积与矩形的面积的比为0.3，于是可得关于x的方程，解方程即可求解.
8．（2025九下·瑞安开学考）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为尺，则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：
.
故答案为：D.
【分析】根据题中的相等关系“绳子长度-木头长度=4.5，木头长度-绳子长度=1”列方程组即可.
9．（2025九下·瑞安开学考）如图，在边长为1的正方形ABCD中，过点C的直线，将对角线BD绕点B顺时针旋转n度，当点的对应点恰好落在直线l上时，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接AC交BD于点E，作BF⊥CD 于点F，如图，
则∠BFD =∠BFC=90°，
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°，AC⊥BD，AE=CE，BE=DE，且BD=AC，
∴BD=AC==BC=，∠BEC=∠DEC=90°，
∴BE=CE=AC=，
∵过点C的直线l∥BD ，
∴∠ECF=∠DEC=90°，
∵∠BFC=∠BEC=∠ECF=90°，
∴四边形BECF是矩形，
∵BE=CE，
∴四边形BECF是正方形，
∴CF=BF=BE=，
由旋转得：BD =BD=，
∴D F===，
∴CD =D F+CF=+=.
故答案为：D.
【分析】连接AC交BD于点E，作BF⊥CD 于点F，由正方形的性质并结合勾股定理可求得AC=BD的值，BE=CE=AC，结合已知并根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BECF是矩形，然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形BECF是正方形，由正方形的性质可得CF=BF=BE，在Rt△BD F中，用勾股定理可求得D F的值，再根据线段的和差CD =D F+CF计算即可求解.
10．（2025九下·瑞安开学考）如图，直线与半径为3的相切于点A，C是上的一个动点（不与点重合），过点作，垂足为点，连结AC，设，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接AO，并延长AO交⊙O于点P，连接PC，
∴∠ACP=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴AP⊥AB，
∵BC⊥m，
∴AP∥BC，
∴∠PAC=∠ACB，
∴△APC∽△CAB，
∴，
∵CA=x，CB =y，半径为3，
∴，
∴y=x2，
∴x-y=x-x2=-(x-3)2+，
∵-＜0，
∴当x=3时，x-y有最大值，且最大值为.
故答案为：C.
【分析】连接AO，并延长AO交⊙O于点P，连接PC，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△APC∽△CAB，于是可得比例式，则可将y用含x的代数式表示出来，然后代入x-y，整理配成顶点式，根据二次函数的性质即可求解.
11．（2025九下·瑞安开学考）因式分解： = ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
12．（2025九下·瑞安开学考）计算： × ＝ ．
【答案】6
【知识点】二次根式的乘除法
【解析】【解答】解： × ＝ =6，
故答案为6.
【分析】先根据进行计算，再进行开方运算.
13．（2025九下·瑞安开学考）方程的解为 .
【答案】x1=，x2=-
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（x-1）2=5，
两边开平方得：x-1=±，
∴x1=，x2=-.
故答案为：x1=，x2=-.
【分析】由题意，把（x-1）看作一个整体，然后方程两边开平方即可求解.
14．（2025九下·瑞安开学考）如图，菱形ABCD中，对角线相交于点O.若，则AC的长等于 .
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC、BD为对角线，BD=6，
∴BO=OD=BD=3，AO=OC=AC，AC⊥BD，
∵∠ADC=120°，
∴∠DAO=30°，
∴AD=2OD=6，
∴OA===，
∴AC=2OA=.
故答案为：.
【分析】由菱形的性质可得BO=OD，AO=OC，AC⊥BD，结合题意，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得OD=AD求出AD的值，在Rt△AOD中，用勾股定理求出OA的值，然后根据AC=2OA即可求解.
15．（2025九下·瑞安开学考）如图，在等腰三角形中，，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为的扇形EDF，若点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】π-2
【知识点】扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点D为AB的中点，AB=4，
∴∠A=∠B=45°，CD=AB=AD=2，∠BDC=90°，
∴∠BCD=45°，
∵∠ADM+∠CDM=∠CDN+∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中
∴△ADM≌△CDN（ASA）
∴S△ADM=S△CDN，
∴S四边形DMCN=S△CDN+S△CDM=S△ADM+S△CDM=SRt△ACD
=AD·CD=×2×2=2，
∵S扇形EDF=π×22=π，
∴S阴影=S扇形EDF-S四边形DMCN=π-2.
故答案为：π-2.
【分析】连接CD，由题意，用角边角可证△ADM≌△CDN，于是可得S△ADM=S△CDN，由四边形DMCN的构成可得S四边形DMCN=S△CDN+S△CDM=S△ADM+S△CDM=SRt△ACD ，然后根据阴影部分面积的构成S阴影=S扇形EDF-S四边形DMCN并结合扇形面积公式S扇形=计算即可求解.
16．（2025九下·瑞安开学考）如图，在锐角中，AD是BC边上的高，CE是AB边上的中线，交AD于点F.若，则的值等于 .
【答案】16
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过点E作EH⊥BC于点H，
在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
∵CE是AB边上的中线，AB=6，
∴E为AB的中点，
∴DE=AE=BE=AB=3，
又∵EH⊥BD，
∴设BH=DH=a，CD=x，
∴BD=2a，BC=BD+CD=2a+x，HC=DH+CD=a+x，
∴BC·CD=（2a+x）·x=x2+2ax，
在Rt△ECH中，EH2=CE2-HC2，
在Rt△EDH中，EH2=DE2-DH2，
∴CE2-HC2=DE2-DH2，
又∵CE=5，
∴25-（a+x）2=9-a2，
∴x2+2ax=16，
∴BC·CD=16.
故答案为：16.
【分析】连接DE，过点E作EH⊥BC于点H，设BH=DH=a，CD=x，由线段的构成可得BC·CD=（2a+x）·x=x2+2ax，在Rt△ECH和Rt△EDH中，用勾股定理可得关于x、a的方程，整理即可求解.
17．（2025九下·瑞安开学考）计算：.
【答案】解：原式=2+1+1
=4
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π+2）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得=1；由特殊角的三角函数值可得tan45°=1，然后根据有理数的加法法则计算即可求解.
18．（2025九下·瑞安开学考）解不等式组，并把它的解表示在数轴上.
【答案】解：，
解不等式①得：x≤4；
解不等式②得：x＞-2；
∴不等式组的解集为：-2＜x≤4.
不等式组的解集在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求得不等式组的解集；在数轴上表示解集时，根据“≤”实心向左、“＞”空心向右即可求解.
19．（2025九下·瑞安开学考）2024年瑞安市非机动车保有量已达90余万辆，其中电动自行车交通违法行为问题日益凸显，佩戴安全头盔可以大幅度减少因交通事故引发的人身伤害.2024年瑞安交警部门在全市范围开展了安全使用电动车专项治理活动.某校学生在吾悦罗阳大道路口对活动前后电动自行车违法行为进行抽样调查，将收集的数据制成如下统计图表.
A 未佩戴安全头盔
B 非法改装加装
C 违法载人
D 不按规定行驶
活动后吾悦路口电动自行车违法行为统计表
类别 人数
A 60
B a
C 20
D 50
合计 250
（1）请确认“活动后吾悦路口电动车违法行为统计表”中，B类别对应人数的值为 ；
（2）治理活动前吾悦路口某时段若约有2万人使用电动自行车，请你估计，专项治理活动前，该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数；
（3）小明发现，专项治理活动前后C类别人数均为20人，因此认定交警部门开展的此次专项活动没有效果，你认为小明分析数据的方法是否合理？为什么？
【答案】（1）120
（2）2×=0.88（万人），
答：估计专项治理活动前，该时段骑电动自行车未佩戴安全头盔的人数为0.88万人；
（3）小明分析数据的方法不合理，理由如下：
专项治理活动后违法载人的百分比为：×100%=8%；
专项治理活动前违法载人的百分比为：×100%=4%，
∵8%＞4%，
∴交警部门开展的此次专项活动有效果，
故小明分析数据的方法不合理
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
20．（2025九下·瑞安开学考）春节期间燃放烟花爆竹是我国的传统习俗.经检测，烟花燃放后产生的有害气体浓度（）与扩散时间之间成反比例函数关系.当扩散5min时，有害气体浓度为.
（1）求关于的函数表达式；
（2）按照环保标准，当有害气体浓度不高于时，对人体健康无危害，则至少需要扩散多长时间，对人体健康无危害？
【答案】（1）解：设y关于x的函数表达式为：y=，
把（5，10）代入y=得：10=，
解得：K=50，
∴y关于x的函数表达式为：y=
（2）当y≤8mg/m3时，即≤8，
解得：x≥.
答：至少需要扩散min，对人体健康无危害
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设y关于x的函数表达式为：y= ，由题意，把（5，10）代入解析式求出k的值，即可求解；
（2）根据题意“有害气体浓度不高于8mg/m3时”可得关于x的不等式，解不等式即可判断求解.
21．（2025九下·瑞安开学考）小丽和小明在研究一个尺规作图问题.
如图1，在四边形ABCD中，.用直尺和圆规作，交边BC于点E.
小丽：如图2，以点为圆心，AD长为半径作弧，交边BC于点，连接DE，则.
小明：如图3，以点为圆心，BD长为半径作弧，交边BC于点E，连接DE，则.
（1）填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）；
①小丽的作法 ；（2）小明的作法 .
（2）请从（1）中任选一项判断说明理由.（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）①如图2中，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC；
∵AD=BE，AD∥BE；
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BC，故小丽的说法正确；
②如图3中，连接AE、BD.
∵∠BAD=∠ABE=90°，
∴在Rt△BAD和Rt△ABE中
∴Rt△BAD≌Rt△ABE（HL）
∴AD=BE，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠A+∠B=180°，
∴AD∥BC；
∵AD=BE，AD∥BE；
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BC，故小明的说法正确
【知识点】平行四边形的判定；正方形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：①小丽的作法正确；②小明的作法正确；
故答案为：①正确；②正确；
【分析】（1）根据矩形的判定和性质即可判断求解；
（2）根据题意，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形ABED是矩形，然后根据矩形的性质和垂线的定义即可求解.
22．（2025九下·瑞安开学考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴的负半轴上，将正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线交轴于点.
（1）求直线的函数表达式；
（2）求点C的坐标.
【答案】（1）解：∵正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，
∴AA =5，
∴A（5，0），
设直线AC 的函数表达式为y=kx+b，
把A（-5，0），E（0，2）分别代入得：
，
解得：，
∴直线AC 的函数表达式为y=x+2
（2）∵四边形A B C D 是正方形，
∴C B =C D ，
设C （t，t），
把C （t，t）代入y=x+2得：t=t+2，
解得：t=，
∴C （，），
∵正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，
∴C(-5，)，
即C（，）
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；正方形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）由平移的性质得A（5，0），然后用待定系数法求直线AC 的函数表达式；
（2）设C （t，t），把点C 代入直线AC 的函数表达式可得关于t的方程，解方程求出t的值，可得点C 的坐标，然后根据正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A B C D ，结合平移的性质可得点C的坐标.
23．（2025九下·瑞安开学考）已知二次函数（为常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … -1 0 1 2 4.5 …
y … n m 3 2m-1 p …
（1）当时.
①求该二次函数的对称轴；②比较n与p的大小.
（2）当时，自变量的取值范围是或（为常数），当时，求二次函数函数值的取值范围.
【答案】（1）解：①由题意，当m=2时，
2m-1=3，
又∵当x=1时，y=3，
∴二次函数的对称轴是直线x==.
②由题意，当x＜时，y随x的增大而增大.
∴抛物线的开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∵1.5-（-1）=2.5＜4.5-1.5=3，
∴n＞p
（2）∵当y≤n时，自变量x的取值范围是x≥3-s或x≤s-1(s为常数），
∴a＜0，对称轴为：x==1，
∴m=2m-1，
解得：m=1，
∴二次函数y=a(x-1)2+3经过点（0，1），
∴1=a(0-1)2+3，
解得：a=-2，
∴y=-2(x-1)2+3=-2x2+4x+1，
∴当x=-1时，y=n=-5；
当x=-5时，y=-69；
∴当n≤x≤3即当-5≤x≤3时，二次函数y=ax2+bx+c函数值y的取值范围为：-69≤y≤3
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）①把m=2代入求出2m-1的值，再根据抛物线的对称性即可求解；
②根据抛物线的性质“当抛物线的开口向下时，抛物线上的点离对称轴越近函数值越大”即可求解；
（2）根据函数与不等式的关系求出对称轴，再求出m的值，并结合二次函数的性质可求解.
24．（2025九下·瑞安开学考）如图，中，为AB上二点，以CD为直径的分别交边AB，BC于点，连结EF交CD于点，已知.
（1）求证：；（提示：连结DF）
（2）若，求AC和DE的长；
（3）设，①若，求证：；
②设，请直接写出关于的函数解析式.
【答案】（1）证明：如图1，连接DF，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∴DF⊥BC，
∵BF=CF，
∴DF是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠B=∠DCB
（2）解：如图2，连接DF，CE，过点E作EM⊥BC于M，
∵tanB=，
∴设DF=3x，BF=4x，
∴BD=CD=5x，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=5x，
∵DC为⊙O的直径，
∴∠DEC=90°，
由勾股定理得：AC==6x，
∵S△ABC=AC·BC=AB·CE，
∴·6x·8x=·10x·CE ，
∴CE=4.8x，
∴DE===1.4x，
∵EM⊥BC，AC⊥BC，
∴EM∥AC，
∴△BEM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM=5.12x，EM=3.84x，
∴FM=5.12x-4x=1.12x，
在Rt△EFM中，EF2=EM2+FM2，
∴22=（3.84x）2+(1.12x)2，
解得：x=，（负值舍去），
∴AC=6x=6×=3，DE=1.4x=1.4×=0.7
（3）①证明：如图3，延长CA，EF交于点P，连接DG，CE，DF，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DEC=∠DGC=90°，
∴DG⊥AC，
由（1）知，AD=CD=BD，
∴AG=CG，
∵∠DFC=∠DGC=∠FCG=90°，
∴四边形DFCG是矩形，
∴DF=CG，DF∥AC，
∴△DKF∽△CKP，∠P=∠DFE，
∴，
∴CP=3DF，
∴AP=DF，
在△DEF和△AEP中，
∴△DEF≌△AEP（AAS）
∴DE=AE，
∴CE是AD的垂直平分线，
∴AC=CD=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∴∠DCB=90°-60°=30°，
∴∠B=30°；
②解：如图4，延长CA，FE交于点P，连接DF，CE，
∵∠BFD=∠BCA=90°，
∴DF∥AC，
∴△BDF∽△BAC，△DFK∽△CPK，
∴，，
∴AC=2DF，DF=CP·y，
∵tanB==x，
∴DF=BF·x，
设BF=m，则DF=mx，AC=2mx，
∴=y，
由勾股定理得：DC===m，
∵∠AEC=∠DFC，∠ACE=∠B=∠DCF，
∴△AEC∽△DFC，
∴，
∴AE=，
∴DE=AD-AE= CD-AE=m-=，
∵DF∥AP ，
∴△DEF∽△AEP ，
∴，
∴，
∴AP=，
∴y==
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图1，连接DF，由圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得∠DFC=90°，再根据线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得BD=CD，然后由等边对等角可求解；
（2）如图2，连接DF，CE，过点E作EM⊥BC于M，由题意设设DF=3x，BF=4x，用勾股定理可将BD=CD、AC用含x的代数式表示出来，然后在Rt△ABC中，用面积法可得关于CE的方程，解之可将CE用含x的代数式表示出来，在Rt△CDE中，用勾股定理可将DE用含x的代数式表示出来，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BEM∽△BAC，于是可得比例式，根据比例式将BM、EM用含x的代数式表示出来，由线段的构成将FM用含x的代数式表示出来，在Rt△EFM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后把x分别代入AC=6x、DE=1.4x计算即可求解；
（3）①如图3，延长CA，EF交于点P，连接DG，CE，DF，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形DFCG是矩形，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△DKF∽△CKP，∠P=∠DFE，则可得比例式，在△DEF和△AEP中，用角角边可证△DEF≌△AEP，由全等三角形的性质可得DE=AE，根据题意可得△ACD是等边三角形，由等边三角形的各角都等于60°，然后根据直角三角形两锐角互余即可求解；
②如图4，延长CA，FE交于点P，连接DF，CE，结合已知根据平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△BDF∽△BAC，△DFK∽△CPK，则可得比例式，，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△AEC∽△DFC，可得比例式，将AP用含mx的代数式表示出来，代入y=整理即可求解.
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