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素养培优课(五) 电磁感应中的动力学及能量问题
第二章 电磁感应及其应用
关键能力·情境探究达成
考点1 电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)平衡状态：静止或匀速直线运动，F合＝0。
(2)非平衡状态：加速度不为零，F合＝ma。
2．电学对象与力学对象的转换及关系
【典例1】 如图所示，两平行且无限长的光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°，两导轨之间的距离为L＝1 m，两导轨M、P之间接入电阻R＝0.2 Ω，导轨电阻不计，在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度B0＝1 T，磁场的宽度x1＝1 m；在cd连线以下区域有一个方向也垂直于导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度B1＝0.5 T。一个质量为m＝1 kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2 Ω，若金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时又达到稳定状态，cd与
ef之间的距离x2＝8 m。(g取10 m/s2)求：
(1)金属棒在磁场Ⅰ运动的速度大小；
(2)金属棒滑过cd位置时的加速度大小；
(3)金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态时的速度大小。
[答案] (1)2 m/s (2)3.75 m/s2 (3)8 m/s
规律方法 用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
[跟进训练]
1．如图所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨间距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由
下落0.4 s时，突然闭合开关S，则：
(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；
(2)导体ab匀速下落的速度大小是多少？(g取10 m/s2)
[答案] (1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动 (2)0.5 m/s
考点2 电磁感应中的能量问题
1．能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量相互转化的过程。
2．求解焦耳热Q的几种方法
【典例2】 如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于倾角θ＝30°的固定斜面上，导轨上、下端分别接有阻值R1＝10 Ω和R2＝30 Ω的电阻，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度L＝2 m，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。质量为m＝0.1 kg，电阻r＝2.5 Ω的金属棒ab在较高处由静止释放，金属棒ab在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。当金属棒ab下滑高度h＝3 m时，速度恰好达到最大值。(g取10 m/s2)求：
(1)金属棒ab达到的最大速度vm的大小；
(2)该过程通过电阻R1的电量q；
(3)金属棒ab在以上运动过程中导轨下端电阻R2中产生的热量。
[答案] (1)5 m/s (2)0.45 C (3)0.33 J
[跟进训练]
2．如图所示，两根光滑的平行金属导轨与水平面的夹角θ=30°，导轨间距L=0.5 m，导轨下端接定值电阻R=2 Ω，导轨电阻忽略不计。在导轨上距底端d=2 m处垂直导轨放置一根导体棒MN，其质量m=0.2 kg，电阻r=0.5 Ω，导体棒始终与导轨接触良好。某时刻起在空间加一垂直导轨平面向上的变化磁场，磁感应
强度B随时间t变化的关系为B=0.5t(T)，导体棒在
沿导轨向上的拉力F作用下处于静止状态，g取
10 m/s2。求：
(1)流过电阻R的电流I；
(2)t＝2 s时导体棒所受拉力F的大小；
(3)从t＝4 s时磁场保持不变，同时撤去拉力F，导体棒沿导轨下滑至底端时速度恰好达到最大，此过程回路产生的热量Q。
[答案] (1)0.2 A (2)1.1 N (3)1.375 J
题号
素养培优练(五) 电磁感应中的动力学及能量问题
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一、选择题
1．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的
电荷量为q2，则( )
A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
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2．(多选)如图所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm(导轨和金属棒电阻忽略不计)，则( )
A．如果B变大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
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3．如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A．ab中的感应电流方向由b到a
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
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4．如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能是下图中的( )
A B C D
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5．(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )
A．恒力F做的功等于电路产生的电能
B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和
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BD [由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于棒ab获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和，即WF－Wf＝W电＋Ek，选项C错误，D正确。]
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8．如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω。一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T。将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W
C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W
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10．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中，棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内，下列说法正确的是( )
A．通过电阻R的电流方向向左
B．棒受到的安培力方向向上
C．棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D．棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
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D [由右手定则可以判断出通过金属棒的电流方向向左，则通过电阻R的电流方向向右，故A错误；由左手定则可以判断出金属棒受到的安培力方向向下，故B错误；根据平衡条件可知重力等于恒力F减去安培力，根据功能关系知恒力F做的功等于棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，故C错误；金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安培力做功，根据功能关系知金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量，故D正确。]
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二、非选择题
11．我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感强度为B。经调试，火车在轨道上运行时摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q1是第2个线圈产生的焦耳热Q2的3倍。求：
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(1)车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小；
(2)求车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。
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12．如图所示是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光滑水平金属导轨M、N的间距L＝0.2 m，电阻不计，在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝100 T。装有弹体的导体棒ab垂直放在导轨M、N上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒(含弹体) 的质量m＝0.2 kg，在导轨M、N间部分的电阻R＝0.8 Ω，可控电源的内阻r＝0.2 Ω。在某次模拟发射时，可控电源为导体棒ab提供的电流恒为4×103 A，不计空气阻力，导体棒ab由静止加速到4 km/s后发射弹体，则：
(1)光滑水平导轨长度至少为多少？
(2)该过程系统消耗的总能量为多少？
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[答案] (1)20 m (2)1.76×106 J
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13．光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其他电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图(a)所示。用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，由静止开始运动，v-t图像如图(b)所示。g＝10 m/s2，导轨足够长。求：
(1)恒力F的大小；
(2)金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小；
(3)前6 s内电阻上产生的热量。
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[答案] (1)18 N (2)2 m/s2 (3)144.96 J素养培优课(五) 电磁感应中的动力学及能量问题
1．掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。
2．理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题。
考点1 电磁感应中的动力学问题
1．导体的两种运动状态
(1)平衡状态：静止或匀速直线运动，F合＝0。
(2)非平衡状态：加速度不为零，F合＝ma。
2．电学对象与力学对象的转换及关系
【典例1】 如图所示，两平行且无限长的光滑金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ＝30°，两导轨之间的距离为L＝1 m，两导轨M、P之间接入电阻R＝0.2 Ω，导轨电阻不计，在abdc区域内有一个方向垂直于两导轨平面向下的磁场Ⅰ，磁感应强度B0＝1 T，磁场的宽度x1＝1 m；在cd连线以下区域有一个方向也垂直于导轨平面向下的磁场Ⅱ，磁感应强度B1＝0.5 T。一个质量为m＝1 kg的金属棒垂直放在金属导轨上，与导轨接触良好，金属棒的电阻r＝0.2 Ω，若金属棒在离ab连线上端x0处自由释放，则金属棒进入磁场Ⅰ恰好做匀速运动。金属棒进入磁场Ⅱ后，经过ef时又达到稳定状态，cd与ef之间的距离x2＝8 m。(g取10 m/s2)求：
(1)金属棒在磁场Ⅰ运动的速度大小；
(2)金属棒滑过cd位置时的加速度大小；
(3)金属棒在磁场Ⅱ中达到稳定状态时的速度大小。
[解析] (1)金属棒进入磁场Ⅰ做匀速运动，设速度为v0，
由平衡条件得mg sin θ＝F安
而F安＝B0I0L，I0＝
代入数据解得v0＝2 m/s。
(2)金属棒滑过cd位置时，其受力如图所示。由牛顿第二定律得mg sin θ－＝ma
而＝B1I1L，I1＝
代入数据可解得
a＝3.75 m/s2。
(3)金属棒在进入磁场Ⅱ区域达到稳定状态时，设速度为v1，则mg sin θ＝
而＝B1I2L，I2＝
代入数据解得v1＝8 m/s。
[答案] (1)2 m/s (2)3.75 m/s2 (3)8 m/s
用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题
解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：
[跟进训练]
1．如图所示，竖直平面内有足够长的金属导轨，轨间距为0.2 m，金属导体ab可在导轨上无摩擦地上下滑动，ab的电阻为0.4 Ω，导轨电阻不计，导体ab的质量为0.2 g，垂直纸面向里的匀强磁场的磁感应强度为0.2 T，且磁场区域足够大，当导体ab自由下落0.4 s时，突然闭合开关S，则：
(1)试说出S接通后，导体ab的运动情况；
(2)导体ab匀速下落的速度大小是多少？(g取10 m/s2)
[解析] (1)闭合S之前，导体ab自由下落的末速度为v0＝gt＝4 m/s
S闭合瞬间，回路中产生感应电流，ab立即受到一个竖直向上的安培力
F安＝BIL＝＝0.016 N＞mg＝0.002 N
此刻导体所受到合力的方向竖直向上，与初速度方向相反，加速度的表达式为
a＝－g，所以ab做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动。当速度减小至F安＝mg时，ab做竖直向下的匀速运动。
(2)设匀速下落的速度为vmin，
此时F安＝mg，即，vmin＝＝0.5 m/s。
[答案] (1)先做竖直向下的加速度逐渐减小的减速运动，后做匀速运动 (2)0.5 m/s
考点2 电磁感应中的能量问题
1．能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量相互转化的过程。
2．求解焦耳热Q的几种方法
【典例2】 如图所示，两根足够长的固定的光滑平行金属导轨位于倾角θ＝30°的固定斜面上，导轨上、下端分别接有阻值R1＝10 Ω和R2＝30 Ω的电阻，导轨自身电阻忽略不计，导轨宽度L＝2 m，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5 T。质量为m＝0.1 kg，电阻r＝2.5 Ω的金属棒ab在较高处由静止释放，金属棒ab在下滑过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好。当金属棒ab下滑高度h＝3 m时，速度恰好达到最大值。(g取10 m/s2)求：
(1)金属棒ab达到的最大速度vm的大小；
(2)该过程通过电阻R1的电量q；
(3)金属棒ab在以上运动过程中导轨下端电阻R2中产生的热量。
[解析] (1)ab切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv
根据串并联电路的特点知，外电路总电阻R外＝＝7.5 Ω
根据闭合电路欧姆定律得I＝
安培力F安＝BIL
当加速度a为零时，速度v达最大，有mg sin θ＝
解得速度最大值vm＝
由以上各式解得最大速度vm＝5 m/s。
(2)根据电磁感应定律有
根据闭合电路欧姆定律有
感应电量q＝Δt
联立得q＝
由以上各式解得q＝0.6 C
通过R1的电荷为q1＝q＝0.45 C。
(3)金属棒下滑过程中根据能量守恒定律可得
mgh＝＋Q总
代入数据解得Q总＝1.75 J
下端电阻R2中产生的热量Q2＝Q总≈0.33 J。
[答案] (1)5 m/s (2)0.45 C (3)0.33 J
利用动量定理求感应电荷量或运动位移
(1)B·Δt，可得q＝。
(2)Δt，可得x＝
[跟进训练]
2．如图所示，两根光滑的平行金属导轨与水平面的夹角θ=30°，导轨间距L=0.5 m，导轨下端接定值电阻R=2 Ω，导轨电阻忽略不计。在导轨上距底端d=2 m处垂直导轨放置一根导体棒MN，其质量m=0.2 kg，电阻r=0.5 Ω，导体棒始终与导轨接触良好。某时刻起在空间加一垂直导轨平面向上的变化磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系为B=0.5t(T)，导体棒在沿导轨向上的拉力F作用下处于静止状态，g取10 m/s2。求：
(1)流过电阻R的电流I；
(2)t＝2 s时导体棒所受拉力F的大小；
(3)从t＝4 s时磁场保持不变，同时撤去拉力F，导体棒沿导轨下滑至底端时速度恰好达到最大，此过程回路产生的热量Q。
[解析] (1)由法拉第电磁感应定律，有E1＝Ld
由题意可知＝0.5 T/s
由闭合电路欧姆定律，可得I1＝。
代入数据，得I1＝0.2 A。
(2)当t＝2 s时，B1＝1.0 T，导体棒受力平衡F＝mg sin θ＋B1I1L
解得F＝1.1 N。
(3)当t＝4 s时B2＝2.0 T，此后磁感应强度不变，设导体棒最大速度为vm，
E2＝B2Lvm
I2＝
又因为mg sin θ＝B2I2L
可解得vm＝2.5 m/s
由功能关系，有mgd sin θ＝＋Q
解得Q＝1.375 J。
[答案] (1)0.2 A (2)1.1 N (3)1.375 J
素养培优练(五) 电磁感应中的动力学及能量问题
一、选择题
1．如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则( )
A．Q1＞Q2，q1＝q2 B．Q1＞Q2，q1＞q2
C．Q1＝Q2，q1＝q2 D．Q1＝Q2，q1＞q2
A [根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因q＝，故q1＝q2，故A正确。]
2．(多选)如图所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm(导轨和金属棒电阻忽略不计)，则( )
A．如果B变大，vm将变大
B．如果α变大，vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
BC [
金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝BLv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIL＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mg sin α－＝ma，当a→0时，v→vm，解得vm＝，故B、C正确。]
3．如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导体之间接有电阻R。金属棒ab与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。现使磁感应强度随时间均匀减小，ab始终保持静止，下列说法正确的是( )
A．ab中的感应电流方向由b到a
B．ab中的感应电流逐渐减小
C．ab所受的安培力保持不变
D．ab所受的静摩擦力逐渐减小
D [磁感应强度均匀减小，穿过闭合回路的磁通量减小，根据楞次定律结合安培定则可知，ab中的感应电流方向由a到b，选项A错误；由于磁感应强度均匀减小，根据法拉第电磁感应定律可得E＝，可知感应电动势恒定，则ab中的感应电流不变，选项B错误；根据安培力公式F＝IlB知，电流不变，B随时间均匀减小，则安培力F减小，选项C错误；ab始终保持静止，处于平衡状态，安培力和静摩擦力大小相等，安培力减小，则静摩擦力减小，选项D正确。]
4．如图所示，MN和PQ是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆，开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，过段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像不可能是下图中的( )
A B C D
B [S闭合时，若＞mg，先减速再匀速，D正确；若＝mg，匀速，A正确；若＜mg，先加速再匀速，C正确；由于v变化，－mg＝ma中a不可能恒定，故B错误。]
5．(多选)如图所示，固定在水平绝缘平面上足够长的两条平行金属导轨电阻不计，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒ab(电阻也不计)放在导轨上，并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中( )
A．恒力F做的功等于电路产生的电能
B．克服安培力做的功等于电路中产生的电能
C．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能
D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和
BD [由功能关系可得，克服安培力做的功等于电路中产生的电能，即W安＝W电，选项A错误，B正确；根据动能定理可知，恒力F、安培力与摩擦力的合力做的功等于棒ab获得的动能，即WF－Wf－W安＝Ek，则恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒ab获得的动能之和，即WF－Wf＝W电＋Ek，选项C错误，D正确。]
6．如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。正方形金属框abcd可绕光滑轴OO′转动，边长为L，总电阻为R，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，则在金属框内产生热量大小等于( )
A． B．
C．mgL－ D．mgL＋
C [金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失，但总能量守恒，损失的机械能为mgL－，故产生的热量为mgL－，C正确。]
7．水平放置的光滑平行导轨上放置一根长为L、质量为m且与导轨接触良好的导体棒ab，ab处在磁感应强度大小为B、方向如图所示的匀强磁场中，导轨的一端接一阻值为R的电阻，导轨及导体棒电阻不计。现使ab在水平恒力F作用下由静止沿垂直于磁场的方向运动，当通过的位移为x时，ab达到最大速度vm。此时撤去外力，最后ab静止在导轨上。在ab运动的整个过程中，下列说法正确的是( )
A．撤去外力后，ab做匀减速运动
B．合力对ab做的功为Fx
C．R上释放的热量为Fx＋
D．R上释放的热量为Fx
D [撤去外力后，导体棒水平方向上只受安培力作用，而F安＝，F安随v的变化而变化，故导体棒做加速度变化的减速运动，A错误；对整个过程由动能定理得W合＝ΔEk＝0，B错误；由能量守恒定律知，恒力F做的功等于整个回路产生的电能，电能又转化为R上释放的热量，即Q＝Fx，C错误，D正确。]
8．如图所示，足够长的平行金属导轨倾斜放置，倾角为37°，宽度为0.5 m，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω。一导体棒MN垂直导轨放置，质量为0.2 kg，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T。将导体棒MN由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)( )
A．2.5 m/s 1 W B．5 m/s 1 W
C．7.5 m/s 9 W D．15 m/s 9 W
B [
小灯泡稳定发光时，导体棒MN匀速下滑，其受力如图所示，由平衡条件可得F安＋μmg cos 37°＝mg sin 37°，所以F安＝mg(sin 37°－μcos 37°)＝0.4 N，由F安＝BIL得I＝1 A，所以E＝I(R灯＋RMN)＝2 V，导体棒的运动速度v＝＝5 m/s，小灯泡消耗的电功率为P灯＝I2R灯＝1 W，故B正确。]
9．(多选)用一段横截面半径为r、电阻率为ρ、密度为d的均匀导体材料做成一个半径为R(r R)的圆环。圆环竖直向下落入如图所示的径向磁场中，圆环的圆心始终在N极的轴线上，圆环所在位置的磁感应强度大小均为B。圆环在加速下滑过程中某一时刻的速度为v，忽略其他影响，则(重力加速度为g)( )
A．此时在圆环中产生了(俯视)顺时针方向的感应电流
B．圆环因受到了向下的安培力而加速下落
C．此时圆环的加速度a＝
D．如果径向磁场足够长，则圆环的最大速度vmax＝
AD [由右手定则可以判断感应电流的方向为(俯视)顺时针方向，可知选项A正确；由左手定则可以判断，圆环受到的安培力向上，阻碍圆环的运动，选项B错误；圆环垂直切割磁感线，产生的感应电动势E＝Blv＝B·2πR·v，圆环的电阻R电＝，则圆环中的感应电流I＝，圆环所受的安培力F安＝BI·2πR，圆环的加速度a＝，m＝d·2πR·πr2，则a＝g－，选项C错误；当重力等于安培力时圆环速度达到最大，此时a＝0，可得vmax＝，选项D正确。]
10．如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中，棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内，下列说法正确的是( )
A．通过电阻R的电流方向向左
B．棒受到的安培力方向向上
C．棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D．棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
D [由右手定则可以判断出通过金属棒的电流方向向左，则通过电阻R的电流方向向右，故A错误；由左手定则可以判断出金属棒受到的安培力方向向下，故B错误；根据平衡条件可知重力等于恒力F减去安培力，根据功能关系知恒力F做的功等于棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，故C错误；金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安培力做功，根据功能关系知金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量，故D正确。]
二、非选择题
11．我国高铁技术处于世界领先水平，其中一项为电磁刹车技术。某次科研小组要利用模型火车探究电磁刹车的效果，如图所示，轨道上相距s处固定着两个长l、宽0.5l、电阻为R的单匝线圈，s＞0.5l。在火车头安装一个电磁装置，它能产生长l、宽0.5l的矩形匀强磁场，磁感强度为B。经调试，火车在轨道上运行时摩擦力为零，不计空气阻力。现让火车以初速度v0从图示位置开始匀速运动，经过2个线圈，矩形磁场刚出第2个线圈时火车停止。测得第1个线圈产生的焦耳热Q1是第2个线圈产生的焦耳热Q2的3倍。求：
(1)车头磁场刚进入第1个线圈时，火车所受的安培力大小；
(2)求车头磁场在两线圈之间匀速运行的时间。
[解析] (1)对线圈，由法拉第电磁感应定律E＝Blv0
由闭合电路欧姆定律I＝
F安＝BIl
解得F安＝。
(2)设磁场刚穿过线圈Ⅰ时速度为v，由能量守恒有Q1＝mv2
磁场刚穿过线圈Ⅱ停止，同理有Q2＝mv2－0
又Q1＝3Q2
匀速运动过程t＝
解得t＝。
[答案] (1) (2)
12．如图所示是“电磁炮”模型的原理结构示意图。光滑水平金属导轨M、N的间距L＝0.2 m，电阻不计，在导轨间有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B＝100 T。装有弹体的导体棒ab垂直放在导轨M、N上的最左端，且始终与导轨接触良好，导体棒(含弹体) 的质量m＝0.2 kg，在导轨M、N间部分的电阻R＝0.8 Ω，可控电源的内阻r＝0.2 Ω。在某次模拟发射时，可控电源为导体棒ab提供的电流恒为4×103 A，不计空气阻力，导体棒ab由静止加速到4 km/s后发射弹体，则：
(1)光滑水平导轨长度至少为多少？
(2)该过程系统消耗的总能量为多少？
[解析] (1)由安培力公式有F＝BIL＝8×104 N
弹体由静止加速到4 km/s，由动能定理知Fx＝mv2
则轨道长度至少为x＝＝20 m。
(2)导体棒ab做匀加速运动，由F＝ma
v＝at
解得该过程需要时间t＝1×10-2 s
该过程中产生焦耳热Q＝I2(R＋r)t＝1.6×105 J
弹体和导体棒ab增加的总动能
Ek＝mv2＝1.6×106 J。
系统消耗总能量E＝Ek＋Q＝1.76×106 J。
[答案] (1)20 m (2)1.76×106 J
13．光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其他电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图(a)所示。用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，由静止开始运动，v-t图像如图(b)所示。g＝10 m/s2，导轨足够长。求：
(1)恒力F的大小；
(2)金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小；
(3)前6 s内电阻上产生的热量。
[解析] (1)根据题图可知导体棒上升过程中的最大速度为vm＝4 m/s，则导体棒的安培力为
F安＝BIL＝B N＝8 N
导体棒速度最大时，导体棒的加速度为0，根据平衡条件可知恒力大小为
F＝mg sin α＋F安＝2×10× N＋8 N＝18 N。
(2)根据牛顿第二定律得
F－mg sin α－＝ma
解得a＝2 m/s2。
(3)v-t图线中和时间轴围成的面积为位移，每个格子代表的距离为x0＝0.2×0.2 m＝0.04 m
则前6 s内的位移为x＝503x0＝20.12 m
则0～6 s内根据动能定理得
Fx－mg sin α·x－Q＝
解得电阻上产生的热量为Q＝144.96 J。
[答案] (1)18 N (2)2 m/s2 (3)144.96 J
