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专题03 一元二次方程及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：（23·24上·天津·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23·24上·白银·期中）若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23·24上·宜宾·阶段练习）若是一元二次方程，则的值为（ ）
A． 2 B． -2 C． 1 D．-1
【变式3】（23·24上·郑州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值是（ ）
A． B． C．任意实数 D．
【变式4】（13·14上·苏州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（23·24上·珠海·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
考点2：一元二次方程——一般式
典例2：（23·24上·武汉·期中）在一元二次方程中，二次项系数为1时，常数项是（ ）
A． B．5 C．2 D．
【变式1】（23·24上·武汉·期中）一元二次方程化为一般形式后，，，的值可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【变式2】（23·24上·常州·期中）一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23·24上·新乡·阶段练习）方程化为一般形式后，常数项为（ ）
A．1 B． C． D．
【变式4】（23·24上·葫芦岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有一次项，则k的值为（ ）
A． B． C．－1 D．3
【变式5】（23·24上·岳阳·阶段练习）若一元二次方程的常数项是0，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：（23·24上·佛山·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则代数式的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【变式1】（23·24上·奉贤·期中）如果关于的方程有一个根是0，那么的值是（ ）
A．1或 B．1 C． D．0
【变式2】（23·24上·泉州·期中）已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【变式3】（23·24上·六盘水·阶段练习）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
A． B．
C． D．
【变式4】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式5】（23·24上·珠海·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
考点4：一元二次方程——解的估算
典例4：（23·24上·太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ）．
x
A． B． C． D．
【变式1】（22·23上·潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（）
x 1 1.1 1.2 1.3
0.84 2.29
A． B． C． D．
【变式2】（22·23下·株洲·自主招生）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.07
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·茂名·期末）根据下列表格对应值：
x
判断关于x的方程 的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（22·23上·佛山·阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
… 4 5 6
13 5 … 5 13
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式5】（22·23上·镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是
C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是
考点5：解一元二次方程
典例5：（23·24上·深圳·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式1】（23·24上·无锡·期中）解下列方程
(1)；
(2)．
【变式2】（23·24上·平凉·阶段练习）解方程：
(1)
(2)．
【变式3】（23·24上·梅州·阶段练习）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
【变式4】（23·24上·临沂·阶段练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式5】（23·24上·巴中·期中）解方程．
(1)
(2)
考点6：根的判别式
典例6：（23·24上·广州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m的值使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【变式1】（23·24上·厦门·阶段练习）已知：关于x的方程
(1)求证：无论m为何值时，方程都有实数根；
(2)若是方程的一个根，求方程另一个根．
【变式2】（23·24上·门头沟·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【变式3】（23·24上·广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长．
【变式4】（23·24上·新余·阶段练习）已知关于的方程
(1)求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根
(2)若，设方程的两个实数根分别为，，求的值
【变式5】（23·24上·驻马店·阶段练习）已知函数（为常数）．
(1)若该函数图象与轴的交点在轴下方，求的取值范围；
(2)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有公共点；
(3)已知该函数恒过一定点（和无关），直接写出该定点．
考点7：根与系数的关系
典例7：（23·24上·广州·期中）关于的一元二次方程两个实数根的倒数和为（）
A．2 B． C．1 D．
【变式1】（22·23上·咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是（ ）
A．方程是倍根方程
B．若是倍根方程，则
C．若，则关于x的方程是倍根方程
D．若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为
【变式2】（23·24上·厦门·期中）一元二次方程，已知，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【变式3】（23·24上·西安·期中）已知是方程的一个根，则另一根是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（22·23·西藏·中考真题）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【变式5】（23·24上·长治·阶段练习）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（）
A．9 B． C．15 D．
考点8：一元二次方程实际应用
典例8：（23·24上·临沂·阶段练习）年年底以来，新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制，而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延，若某国一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．设每位发病者平均每天传染人，依题意可得（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23上·深圳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元．
(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【变式2】（23·24上·西城·期中）城市生活垃圾产生量大、堆存量高等问题已成为无法忽视的“城市病”．近年来，各地区、各部门不断加大城市生活垃圾无害化处理工作力度，我国城市生活垃圾无害化处理能力快速提升．城市生活垃圾无害化处理方式主要包括填埋、焚烧和堆肥等．数据显示，2021年中国城市生活垃圾无害化量达亿吨，分析师预测，到2023年底，中国城市生活垃圾无害化量将进一步增长至亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23·24上·重庆·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（23·24上·南阳·阶段练习）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块矩形试验茶园．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．
(1)如果围成的菜园面积为，求这个茶园的长和宽．
(2)如何设计长宽可以使围成茶园面积最大？请你设计一种方案？
【变式5】（23·24上·广州·阶段练习）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，的面积等于？
(2)四边形的面积能否是？
【变式6】（22·23上·阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【变式7】（22·23下·北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【变式8】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
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专题03 一元二次方程及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）一元二次方程
（1）一元二次方程定义及其一般式：①整式方程②未知数只有1个③未知数最高次二次④一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．
（2）方程解的应用：将解代入方程，将已知代数式跟所求代数式建立联系，整体代入（整体思想）
（二）解一元二次方程
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解；十字相乘法：
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．
（三）根的判别式（△）
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac.
（1）b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根．
（2）b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根．
（3）b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根．
（4）b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根（有解）
（四）根与系数的关系（韦达定理）
（1）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.（结合完全平方公式的变形）
（2）使用一元二次方程的根与系数的关系时，一是要先将一元二次方程化为一般形式；二是方程的解存在，即满足b2－4ac≥0.
（五）一元二次方程实际应用
（1）解题步骤：①审题；②找等量关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥检验；⑦写出答案．
（2）常考类型：①增长率问题：a（1±x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量；②利润问题：总利润=单件商品利润×销量；③几何面积（通过平移的方式整合面积）；④赛制问题：单循环（两两之间只相遇一次）与双循环（两两之间相遇两次）
⑤传染问题：公式：（a+x）n=M其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
考点一遍过
考点1：一元二次方程——定义
典例1：（23·24上·天津·期中）下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，熟记定义解答即可．
【详解】解：A、当时是一元二次方程，故不是一元二次方程；
B、整理后得，不含二次项，故不是一元二次方程；
C、符合定义，故是一元二次方程；
D、含有分式，故不是一元二次方程；
故选：C．
【变式1】（23·24上·白银·期中）若是常数，下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
B、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误；
C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、，时，即时，原方程为：，是一元一次方程，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是
【变式2】（23·24上·宜宾·阶段练习）若是一元二次方程，则的值为（ ）
A． 2 B． -2 C． 1 D．-1
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义即可判断．
【详解】∵是一元二次方程，
∴，则，
∵，即，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确理解只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方次方程．
【变式3】（23·24上·郑州·阶段练习）关于的方程是一元二次方程，则的取值是（ ）
A． B． C．任意实数 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的概念即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，其一般式为：，且a、b、c为常数，关键是把握这个条件．
【变式4】（13·14上·苏州·阶段练习）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判段即可得．
【详解】解：A、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
B、化简为，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
C、，是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；
D、，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的概念．
【变式5】（23·24上·珠海·期中）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的概念依次判断即可．
【详解】解：A、，移项合并后无二次项，是一元一次方程，不符合题意；
B、，是二元一次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、，等式左边不是整式，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解答本题的关键．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是
考点2：一元二次方程——一般式
典例2：（23·24上·武汉·期中）在一元二次方程中，二次项系数为1时，常数项是（ ）
A． B．5 C．2 D．
【答案】D
【分析】把一元二次方程化为一般形式，即可得到答案．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
则二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
故选：D
【变式1】（23·24上·武汉·期中）一元二次方程化为一般形式后，，，的值可以是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把方程的变形为一般形式即可．
【详解】解：一元二次方程的一般形式为：，
故，，，
故选：D．
【变式2】（23·24上·常州·期中）一元二次方程的一般形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的一般形式是（）可直接得到答案．
【详解】解：，
整理得：，
故选C．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式（）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【变式3】（23·24上·新乡·阶段练习）方程化为一般形式后，常数项为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程（，，是常数且）的，，分别是二次项系数、一次项系数、常数项，进行求解即可．
【详解】解：方程化为一般形式为：，
常数项为：，
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程（，，是常数且）的，，分别是二次项系数、一次项系数、常数项，是解答本题的关键．
【变式4】（23·24上·葫芦岛·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有一次项，则k的值为（ ）
A． B． C．－1 D．3
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义以及题意即可求解．
【详解】解：由整理可得：，
∵关于x的一元二次方程没有一次项，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义以及一次项，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
【变式5】（23·24上·岳阳·阶段练习）若一元二次方程的常数项是0，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，且，再解即可．
【详解】解：由题意得：，且，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是注意不要漏掉二次项系数不能等于0这一条件．
考点3：一元二次方程——解的应用
典例3：（23·24上·佛山·期中）关于x的一元二次方程的一个根为，则代数式的值是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】直接把代入，即可作答，正确掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
【详解】解：依题意，因为关于x的一元二次方程的一个根为，
所以把代入，
则，
即代数式的值是6，
故选：B．
【变式1】（23·24上·奉贤·期中）如果关于的方程有一个根是0，那么的值是（ ）
A．1或 B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查方程的根，使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，把代入方程计算即可．
【详解】解：当方程是一元一次方程时，
即，
把代入方程得：
，
解得：，
，
当方程是一元二次方程时，
即，
把代入方程得：
，
解得：，
，
综上，．
故选：A．
【变式2】（23·24上·泉州·期中）已知是关于x的方程的一个根，则m的值为（ ）
A．8 B． C．16 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，代入解出方程即可．
【详解】解： 是关于x的方程的一个根，
，
解得：，
故选：A．
【变式3】（23·24上·六盘水·阶段练习）已知代数式的取值如下所示，由数据可得，关于x的一元二次方程的解是（ ）
… 0 1 2 3 …
… 0 0 …
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
【详解】解：∵，
∴，
由表中数据得当时，；
当时，
所以方程的解为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式4】（23·24上·鞍山·阶段练习）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据实数是一元二次方程的根，即得出，．整体代入可得，化简即可．
【详解】将代入，得：，即，．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．
【变式5】（23·24上·珠海·期中）已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【分析】利用一元二次方程根的定义得到 ，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，
∴，即，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，将代数式进行变形整体代入是解题关键．
考点4：一元二次方程——解的估算
典例4：（23·24上·太原·阶段练习）观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ）．
x
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据表格，找出使的值最接近的x的值即可．
【详解】解：由表可知，当时，，
∵原方程为，
∴是原方程的一个近似解，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程是解，解题的关键是掌握使一元二次方程两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
【变式1】（22·23上·潮州·期末）根据下列表格的对应值：可确定方程的一个根x的范围是（）
x 1 1.1 1.2 1.3
0.84 2.29
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据表格中的数据可得当时，，当时，，进而求解.
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个根x的范围是；
故选：B.
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键.
【变式2】（22·23下·株洲·自主招生）根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
x 3.23 3.24 3.25 3.26
0.03 0.07
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是．
【详解】解：，，
，，
时，，
即方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
【变式3】（22·23下·茂名·期末）根据下列表格对应值：
x
判断关于x的方程 的一个解x的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用和所对应的的值可判断关于x的方程 的一个解x的范围．
【详解】解：∵当时，，当时，，
∴关于x的方程 的一个解x的范围是．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程解的估算，解题的关键是根据表格中的数据，找出一元二次方程一个解的范围．
【变式4】（22·23上·佛山·阶段练习）根据下表确定方程的解的取值范围是（ ）
… 4 5 6
13 5 … 5 13
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围．
【详解】解：根据表格，当和时，，
当和时，，
∴该方程的解的取值范围为或，
故选：A．
【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键．
【变式5】（22·23上·镇江·期中）根据关于的一元二次方程，可列表如下：则方程的正数解满足（ ）
A．解的整数部分是，十分位是 B．解的整数部分是，十分位是
C．解的整数部分是，十分位是 D．解的整数部分是，十分位是
【答案】B
【分析】通过观察表格可得时，，即可求解．
【详解】解：由表格可知，
当时，，
当时，，
∴时，，
∴解的整数部分是，十分位是．
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，通过观察所给的信息，确定一元二次方程解的范围是解题的关键．
考点5：解一元二次方程
典例5：（23·24上·深圳·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的求解方法是关键．
（1）利用配方法求解方程；
（2）利用公式法求解方程．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，；
（2），
整理得：，
，
，
，
，．
【变式1】（23·24上·无锡·期中）解下列方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元二次方程，根据方程找出适合的解法是关键．
（1）利用配方法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
即，
∴，
解得：
（2）解：，
∴，
∴，
解得：．
【变式2】（23·24上·平凉·阶段练习）解方程：
(1)
(2)．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）移项后，提取公因式，解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
或，
解得，，；
（2）解：
，
解得，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．解题的关键在于熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程．
【变式3】（23·24上·梅州·阶段练习）用适当的方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题的关键：
（1）采用因式分解法进行求解；
（2）采用配方法进行求解．
【详解】（1）
因式分解，得，
∴或
解得：，．
（2）
移项，得，
配方，得，
即
∴，
∴，．
【变式4】（23·24上·临沂·阶段练习）解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解；
（3）利用配方法解答，即可求解；
（4）利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，，
解得：，；
（2）
∴，
∴或
解得：，；
（3）解：
∴，
∴
即，
解得：，；
（4）解：
∴，
∴，
∴
∴，，
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【变式5】（23·24上·巴中·期中）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）化简后采取直接开平方即可；
（2）去括号、移项、合并同类项后用公式法求解即可；
本题考查一元二次方程的求解，根据方程各自的特点采取合适的求解方法即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，；
（2），
，
，
，，
，
，．
考点6：根的判别式
典例6：（23·24上·广州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和.
(1)求实数m的取值范围；
(2)是否存在m的值使得成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由一元二次方程有两个实数根和，根据根的判别式的意义得到，即，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系，再利用成立求出m的值，再利用（1）中结论进行判断即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和.
∴，
即，
解得．
所以实数m的取值范围为；
（2）不存在m的值，使得成立．理由如下：
∵关于x的一元二次方程有两个实数根和，
∴，
∴，
解上述方程得，．
∵，
∴不符合题意，
∴不存在m的值，使得成立．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式1】（23·24上·厦门·阶段练习）已知：关于x的方程
(1)求证：无论m为何值时，方程都有实数根；
(2)若是方程的一个根，求方程另一个根．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据方程解的定义把代入方程求出m的值，再解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∴无论m为何值时，方程都有实数根；
（2）解：∵是方程的一个根，
∴，
解得，
∴原方程为，即，
解得或，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式2】（23·24上·门头沟·期中）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求m的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据，进行作答即可；
（2）由，解得，，，由该方程恰有一个实数根为非负数，可得，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
解得，，，
∵该方程恰有一个实数根为非负数，
∴，解得，，
∴m的取值范围为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程．
【变式3】（23·24上·广州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论k取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)10
【分析】（1）求得一元二次方程的判别式，根据一元二次方程的根与判别式的关系即可得出结论；
（2）根据一元二次方程的根与系数之间的关系可得，，再利用勾股定理求得，再利用完全平方公式可得，求得，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴k无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，
∴，，
∴，
在中，，即，
∵，
∴，
解得，
当时，，
∴，
当时，，不符合题意；故舍去．
【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系、一元二次方程的根与系数的关系、勾股定理及完全平方公式，熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及与系数的关系是解题的关键．
【变式4】（23·24上·新余·阶段练习）已知关于的方程
(1)求证：无论p去何值，方程总有两个不相等的实数根
(2)若，设方程的两个实数根分别为，，求的值
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）先把方程化为，再根据方程有两个不相等的实数根可得，即可得出结论；
（2）由根与系数的关系可得，即可得出结论．
【详解】（1）关于的方程，
，
，
无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当时，原方程可化为，
根据根与系数的关系得，，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
【变式5】（23·24上·驻马店·阶段练习）已知函数（为常数）．
(1)若该函数图象与轴的交点在轴下方，求的取值范围；
(2)求证：不论取何值，该函数图象与轴总有公共点；
(3)已知该函数恒过一定点（和无关），直接写出该定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】()用表示函数与轴交点纵坐标，判断取值范围；
()令，将二次函数转化为方程，利用一元二次方程根的判别式证明；
()根据解析式特征，当时，，与值无关，据此解答即可．
【详解】（1）当时，，
若该函数图象与轴的交点在轴下方，则有，
解得；
（2）证明：令，由函数得，
，
∵，
∴不论取何值，一元二次方程总有实根，
故不论取何值，该函数图象与轴总有公共点．
（3）∵当时，，该函数恒过一定点．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式及二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握根的判别式是解答本题的关键．
考点7：根与系数的关系
典例7：（23·24上·广州·期中）关于的一元二次方程两个实数根的倒数和为（）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】设方程的两根为，根据韦达定理可得，再根据通分后的结果即可求解．
【详解】解：设方程的两根为，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，则
【变式1】（22·23上·咸阳·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，错误的是（ ）
A．方程是倍根方程
B．若是倍根方程，则
C．若，则关于x的方程是倍根方程
D．若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为
【答案】D
【分析】根据倍根方程的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、解方程得：，
∴，
∴方程是倍根方程，故①正确，不符合题意；
B、∵
∴，
∵方程是倍根方程，
∴或，
∴，或，
∴，故②正确，不符合题意；
C、∵，
方程转化为：，解得：，
∴，故③正确，不符合题意；
D、∵方程是倍根方程，
∴设，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，故④错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，根与系数的关系，理解并掌握倍根方程的定义，是解题的关键．
【变式2】（23·24上·厦门·期中）一元二次方程，已知，，，则这个方程根的情况是（ ）
A．有两个正的实数根 B．没有实数根
C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【答案】D
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据判断根的符号情况，根据判定根的绝对值大小关系．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵，
∴两根异号，
∵，
∴负根的绝对值大，
综上，一元二次方程有一正根一负根且负根绝对值大，
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式3】（23·24上·西安·期中）已知是方程的一个根，则另一根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系可知，即可求出答案．
【详解】解：根据根与系数的关系可知，
，
．
故选A．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
【变式4】（22·23·西藏·中考真题）已知一元二次方程的两个根为、，则的值为（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由根与系数的关系得出两根之和，两根之积，然后把要求的式子变形，代入求值即可．
【详解】解：由一元二次方程根与系数的关系得，
，
∴
，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【变式5】（23·24上·长治·阶段练习）若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（）
A．9 B． C．15 D．
【答案】C
【分析】利用一元二次方程的解，可得出，利用根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】m是一元二次方程的根，
m，n是一元二次方程的两个根，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
考点8：一元二次方程实际应用
典例8：（23·24上·临沂·阶段练习）年年底以来，新冠疫情在全球肆虐，由于我国政府措施得当，疫情得到控制，而某些国家不够重视，导致疫情持续蔓延，若某国一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病．设每位发病者平均每天传染人，依题意可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设每位发病者平均每天传染人，根据“开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病”，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设每位发病者平均每天传染人，
依题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程——传播问题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式1】（22·23上·深圳·期末）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（）元．
(1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出_____________个台灯（用含x的代数式表示）；
(2)为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？
(3)台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？
【答案】(1)
(2)这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个
(3)台灯售价定为60元时，每月销售利润最大
【分析】（1）根据“售价每上涨1元，其销售量就将减少10个”，即可解答；
（2）根据总利润=单件利润×数量，列出方程求解即可；
（3）设每月销售利润为W，根据总利润=单件利润×数量，列出函数表达式，化为顶点式，根据二次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯，
故答案为：；
（2）解：，
整理得：，
解得：（舍去），
∴这种台灯的售价为（元），
销售数量为（个），
答：这种台灯的售价应定50元，这时应进台灯500个．
（3）解：设每月销售利润为W，
，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
∵，
∴当时，售价为（元），W取最大值，此时，
答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数表达式，熟练掌握二次函数性质．
【变式2】（23·24上·西城·期中）城市生活垃圾产生量大、堆存量高等问题已成为无法忽视的“城市病”．近年来，各地区、各部门不断加大城市生活垃圾无害化处理工作力度，我国城市生活垃圾无害化处理能力快速提升．城市生活垃圾无害化处理方式主要包括填埋、焚烧和堆肥等．数据显示，2021年中国城市生活垃圾无害化量达亿吨，分析师预测，到2023年底，中国城市生活垃圾无害化量将进一步增长至亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用2023年全国生活垃圾无害化处理能力2021年全国生活垃圾无害化处理能力（年平均增长率），即可列出关于x的一元二次方程．
【详解】解：解：依题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式3】（23·24上·重庆·阶段练习）两个连续奇数的积为99，设较小的奇数为，列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】两个连续的奇数相差2，据此即可建立方程
【详解】解：∵较小的奇数为 x
∴较大的奇数为
故：
故选：A
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．注意正确理解题意．
【变式4】（23·24上·南阳·阶段练习）某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下围一块矩形试验茶园．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）．
(1)如果围成的菜园面积为，求这个茶园的长和宽．
(2)如何设计长宽可以使围成茶园面积最大？请你设计一种方案？
【答案】(1)茶园的长和宽都是12米；
(2)长为18米，宽为9米时面积最大
【分析】（1）设宽为x米，则长为米，根据题意列方程求解，注意限制条件：墙长，舍去不符合题意的值即可；
（2）设茶园的面积为S平方米，由题意得出，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设宽为x米，则长为米，
由题意可得：
解得：，，
∵，
∴，
∴，，
答：茶园的长和宽都是12米；
（2）解：设茶园的面积为S平方米，设宽为x米，则长为米，
由题意可得：，
即当时，面积最大为162平方米，
此时长为（米）
答：当长为18米，宽为9米时面积最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键是理解题意列出方程和得出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．
【变式5】（23·24上·广州·阶段练习）如图，在中，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
(1)几秒后，的面积等于？
(2)四边形的面积能否是？
【答案】(1)经过1秒钟或4秒钟，的面积等于；
(2)当运动时间为时，四边形的面积是
【分析】（1）根据题意可得当运动时间为 时，，，，根据题意列出方程，进行求解即可；
（2）看四边形的面积能否是，只需要看方程是否有解即可．
【详解】（1）解： ，，
当运动时间为 时，，
根据题意可得：
，
整理得：，
解得：或，
∴经过1秒钟或4秒钟，的面积等于；
（2）四边形的面积可以是，
理由如下：
根据题意可得：
，
整理得：，
∴，
解得：，，
∵，
∴，
∴当运动时间为时，四边形的面积是．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意，找出等量关系列出方程求解．
【变式6】（22·23上·阳江·期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票
【答案】(1)10%
(2)2500000张
【分析】（1）设平均每次累计票房增长的百分率是，利用第3次累计票房=第1次累计票房（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）利用数量=总结单价，即可求出结论；
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是，
依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：平均每次累计票房增长的百分率是10%．
（2）解：
（张）．
答：10月11日卖出2500000张电影票．
（或（张）．）
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及统计表，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【变式7】（22·23下·北碚·期末）甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元．
(1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本；
(2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元
(2)的值为
【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解；
（2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解．
【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，
∴，解得，，
∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元．
（2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，
∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元，
∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去），
∴的值为．
【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键．
【变式8】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；
(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可；
（2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为，
∴小凤的跑步速度为每分钟，
答：小凤的跑步速度为每分钟；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，
则小凤从地到地所用时间为（分钟）．
设小凤从地到地用时分钟，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则（分钟）．
答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键．
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