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专题01 一元一次不等式（组）及应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022下·七年级课时练习）下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据不等式的定义，逐一判断，即可．
【详解】解：①是不等式；
②是等式；
③是不等式；
④是代数式，
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式的定义，掌握“用不等号连接起来的式子，叫做不等式”是解题的关键．
2．（2023下·甘肃庆阳·七年级统考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
3．（2022上·山东济南·八年级校考期中）若，则关于x的不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】A
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
故选A．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，能够熟练运用不等式的性质解不等式组是解题关键．
4．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据第四象限点的坐标特点得到一元一次不等式组，再解不等式组即可．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得：，
在数轴上表示为
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限点的坐标的特征，解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】D
【分析】13介于9与16之间，即9＜13＜16，则根据算术平方根的性质可知介于3与4之间，然后求解即可．
【详解】解：∵，即34，
∴12＜2，
∴2的值应在1和2之间．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的估算，用“夹逼法”估算是解答此题的关键．
6．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知点在第三象限，则整数的值可以取的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据第三象限横坐标小于0，纵坐标小于0列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第三象限，
∴，
解得：，
∴整数a的值可以取1，2，3．
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，一元一次不等式组的整数解，根据在第三象限列出不等式组是解题的关键．
7．（2023下·全国·八年级校考阶段练习）若不等式组有解，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】不等式组整理得：，根据由不等式组有解，得到，即可求解．
【详解】解：不等式组整理得：，
由不等式组有解，得到，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，掌握一元一次不等式组的解集的求法是解题的关键．
8．（2022下·江苏苏州·七年级校考期中）关于x的不等式．若是不等式的解，不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据x=1是不等式x+a≥1的解，且x=-1不是这个不等式的解，列出不等式，求出解集，即可解答．
【详解】解：∵x=1是不等式x+a≥1的解，
∴1+a≥1，
解得：a≥0，
∵x=-1不是这个不等式的解，
∴-1+a＜1，
解得：a＜2，
∴0≤a＜2，
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，不等式的解集，解决本题的关键是求不等式的解集．
9．（2022下·山东烟台·七年级统考期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，一大一小取中间”的规则确定解集，再表示到数轴上即可．
【详解】解①，得：
，
解②，得：
，
不等式的解集为，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解集求法与解集再数轴上的表示，熟记解集的求法：“同大取大，同小取小，一大一小取中间”是关键．
10．（2022下·山东枣庄·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程，得到含有m的方程的解，根据“方程的解是正数”，结合分式方程的分母不等于零，得到关于m的不等式，解之即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x-1得：2x+m=3(x-1)，
解得：x=m+3，
∵x-1≠0，
∴x≠1，
即m+3≠1，
解得：m≠ 2，
又∵方程的解是正数，
∴m+3＞0，
解不等式得：m＞ 3，
综上可知：m＞ 3且m≠ 2，故C正确．
故选：C.
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，掌握分式方程的解，解一元一次不等式，是解题的关键．
11．（2022下·重庆大足·七年级统考期末）若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】先求出不等式组的解集，求出a的取值范围，再求出方程的解，根据方程的解是非负整数，整数a确定a的值，即可求出答案．
【详解】解：解不等式组，得a-2≤x<2，
∴a-2<2，
解得a<4，
解方程得y=，
∵方程的解为非负整数，a为整数，
∴a=3，=3符合题意；a=-2，=0符合题意；
∴符合条件的所有整数的和为3-2=1，
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确理解方程的解的取值确定a的值是解题的关键．
12．（2023下·河南平顶山·八年级统考期中）在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解不等式组，然后再将解集在数轴上正确表示出来即可解答．
【详解】解：
解不等式可得，
解不等式可得，
所以不等式组的解集为：，
在数轴上表示如图：
故选C．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示解集等知识点，正确求得不等式组的解集是解题的关键．
13．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（ ）
A．折 B．折 C．折 D．折
【答案】C
【分析】设该玩具打折销售，利用利润售价进价，结合利润率不能低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设该玩具打折销售，
根据题意：，
解得：
该玩具最多可以打折，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14．（2022下·四川泸州·七年级统考期末）若不等式组有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得的取值范围．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
则不等式组的解集是：．
不等式组有个整数解，则整数解是．
则．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于的不等式组．
15．（2022下·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）某种出租车的收费标准是：起步价5元（行驶距离不超过3km，只需付5元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收1.2元（不足1km按1km计）．小明乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费11元．设从甲地到乙地的车程为xkm，则x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
【答案】B
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
【详解】解：由题意可得，
5+（x-3）×1.2≤11，
解得x≤8，
∴x的最大值是8，
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．
16．（2022·山东潍坊·统考二模）若不等式组有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ）
A．－3＜a≤－2 B．2≤a＜3 C．2＜a≤3 D．a＜3
【答案】B
【分析】本题考查不等式组的求解，需要分别求两个不等式解集，继而求其公共解集，按题目要求筛选参数范围．
【详解】解不等式①，得：
解不等式②，得：
所以不等式组的解集为：
因为题目要求有三个整数解，故可从小于1的整数逆推得到三个最近整数，分别是0，-1，-2．
故当时，符合题干要求，当时，有四个整数，分别是-3，-2，-1，0，不符合题干要求．
故．
【点睛】求解不等式解集需要注意符号问题，含参不等式往往需要分类讨论，答案需要全面性．
17．（2022上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】先根据分式方程的解法，求出x的解，然后根据分式方程有解，且解为正数构成不等式组求解即可．
【详解】解：，
去分母得：x+m-2m=3（x-2），
解得：x=，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴．
即，
解得m＜6且m≠2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解和分式方程有解的条件，用含m的式子表示分式方程中x的解，构造不等式组是解题的关键．
18．（2023·安徽合肥·统考一模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．为定值 C． D．
【答案】D
【分析】由，，两式相加可得，两式相减可得，由此变形判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
即：，故A正确；
，
即：，故B正确；
则，
∴，，
∴，，即：，故C正确；
∵，
∴，
当时，，
当时，，即：，则或，故D不正确；
故选：D．
【点睛】本题考查完全完全平方公式和平方差公式，牢记完全完全平方公式和平方差公式是解决问题的关键．还考查了不等式的基本性质．
19．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出不等式的解集，再求出不等式的解集，得出关于m的不等式，求出即可.
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∵不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，
∴，解得，
故选：A．
【点睛】本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于m的不等式是解此题的关键.
20．（2023上·河南郑州·九年级校考开学考试）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
不等式两边同时加10，不等号不变，
∴，
故A成立，不符合题意；
B、∵，
不等式两边同时加2不等号不变，
∴，
故B成立，不符合题意；
C、∵，
不等式两边同乘负数不等号要变号；
∴，
故C不成立，符合题意；
D、∵，
不等式两边同乘正数．等号不变号；
∴，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
二、填空题
21．（2022·江西南昌·模拟预测）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，解得：；
故答案为：
【点睛】本题考查二次根数有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
22．（2023下·广东广州·七年级广州市广外附设外语学校校考阶段练习）不等式组的解集是 ．
【答案】无解
【分析】根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，可得出不等式组的解集．
【详解】解：不等式组的解集是无解
故答案为：无解
【点睛】本题考查了不等式组的解集，注意求解不等式解集的法则．
23．（2023·江苏·九年级假期作业）若是一元二次方程，则不等式的解集是 ．
【答案】且
【分析】首先利用一元二次方程的定义得出的取值，进而解不等式得出答案．
【详解】解：是一元二次方程，
，
不等式，
，
则且．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义以及不等式解法，正确得出a的取值范围是解题关键．
24．（2022下·河南驻马店·八年级统考期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠2
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵分式有意义，
∴x－2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
25．（2023·河南濮阳·统考三模）不等式组的解集为 .
【答案】
【分析】先求两个不等式的解集，再求两个解集的公共部分即可解答．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
因此该不等式组的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
26．（2022上·上海·八年级统考期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】先判断，再根据不等式的性质计算，最后分母有理化．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的应用、解一元一次不等式，掌握这两个知识点的综合应用是解题关键．
27．（2022下·河南驻马店·七年级校考期中）不等式-2x≤10的负整数解有 个．
【答案】5
【分析】先根据一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再求出它的负整数解，由此即可得．
【详解】解：，
解得，
则它的负整数解为，共有5个，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了求一元一次不等式的负整数解，熟练掌握不等式的解法是解题关键．
28．（2022下·四川眉山·七年级校考期中）若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】1＜a≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于a的不等式组，求出即可．
【详解】解：
解不等式①得：x＞-a，
解不等式②得：x＜1，
∴不等式组的解集为-a＜x＜1，
∵不等式组只有两个整数解，
∴-2≤-a＜-1，
解得：1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于a的不等式组．
29．（2022·内蒙古乌兰察布·校考一模）关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据已知和不等式组的解集得出关于a的不等式组，先求出不等式组的解集，根据已知即可得出关于a的不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】解：解不等式组，得：，
∵该不等式组只有两个整数解，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
30．（2023下·江苏·七年级校考周测）关于x，y的方程组的解满足，则a的范围为 ．
【答案】
【分析】先将方程组的两个方程两边分别相加，然后结合求解；
【详解】解：，
由①+②，可得，
又∵，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及解一元一次不等式，利用整体思想解题是关键．
31．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）已知关于x的不等式组，
（1）若，则该不等式组的最小整数解为 ；
（2）若该不等式组的解集为，则t的值为 ；
（3）若该不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围是 ．
【答案】 0 4
【分析】先求出两个不等式的解集为，（1）代入，可得解集，进而可求得不等式组的最小整数解；（2）由解集为，可知，求解即可；（3）由不等式组恰有三个整数解，可得，求解即可．
【详解】解：由不等式组，得，
（1）当时，，
∴不等式组的解集为：，
则该不等式组的最小整数解为0；
故答案为：0；
（2）∵该不等式组的解集为，
∴，可得，
故答案为：4；
（3）∵不等式组恰有三个整数解，
∴，解得；
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能求出关于的不等式或不等式组是解此题的关键．
32．（2022·河南郑州·统考二模）不等式组的最小整数解是 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组的解集，然后得到最小整数解．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
∴不等式组的解集是
∴不等式组的最小整数解是3
故答案为：3．
【点睛】本题考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法．
33．（2022下·山东济宁·七年级统考期末）已知关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是 ．
【答案】－2≤a＜－1
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
【详解】解：，
由①得x＞a，
由②得x＜1.5，
∴a＜x＜1.5，
∵不等式组只有3个整数解，
∴－2≤a＜－1，
故答案为：－2≤a＜－1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．
34．（2022·福建·二模）在平面直角坐标系中，，，是等边三角形．若在的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
【答案】a＞2
【分析】过点作轴于点，由于是等边三角形，则可求出，利用待定系数法求出直线的解析式，并计算出当时，，根据在的内部，列出不等式，最后求出的取值范围．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
∵是等边三角形，，，
∴，，
∴，
∴，．
设直线的表达式，由题意得：
，
解得，
∴．
当时，．
∵在的内部（不含边界），
∴，
∴.
【点睛】本题考查的是坐标与图形，等边三角形的性质，待定系数法，掌握平面直角坐标系点的坐标特征，利用数形结合思想解题是关键．
35．（2022下·云南昭通·八年级校考阶段练习）使代数式有意义的x的取值范围是
【答案】或/x＜-1或x≥0
【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件列不等式组，求解即可．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴或，
解得或，
故答案为或．
【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确理解是解题的关键．
三、解答题
36．（2022下·宁夏银川·八年级统考期末）解不等式组：．
【答案】
【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：，
解不等式①得，x<3；
解不等式②得，x≥2；
∴原不等式组的解集为2≤x＜3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．
37．（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）解下列一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】分别求解两个不等式，并在数轴上表示出解集即可．
【详解】
解：解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集在数轴上表示为：
原不等式组的解为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组；解题的关键是正确求解不等式并在数轴上表示不等式组的解集．
38．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）解不等式组，并将解集在如图所示的数轴上表示出来．
【答案】-1＜x≤2，在数轴上表示见解析
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得：x>-1，
解不等式②得：x≤2，
∴原不等式组的解集为：-1＜x≤2，
该不等式组的解集在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
39．（2022下·山东烟台·七年级统考期末）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，见解析
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①，得．
解不等式②，得．
所以不等式组的解集为．
解集在数轴上表示如下：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键．
40．（2022下·河北唐山·八年级统考期末）某服装店同时购进A，B两款夏装共300套，进价和售价如下表所示，设购进A款夏装x套（x为正整数），该服装店售完全部A，B两款夏装获得的总利润为y元．
夏装款式 A款 B款
每套进价（单位：元） 60 80
每套售价（单位：元） 100 150
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该服装店计划投入不多于2万元购进这两款夏装，则至少购进多少套A款夏装？若A，B两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)至少要购进A款夏装200套，获得最大利润是15000元
【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）购进B款的数量代入列关系式，化简即可．
（2）根据总成本列不等式即可求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性确定其最值问题．
【详解】（1）根据题意，得
（2）由题意，得，
∴，
∴至少要购进A款夏装200套，
又，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，．
∴当服装店售完全部的A，B两款夏装时，获得最大利润是15000元．
【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，正确列出等量关系及求出自变量的取值范围是解此题的关键．
41．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）某商店准备购进大、小两种书包共100个出售，每个大书包的进价比每个小书包的进价贵20元，用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，大书包每个售价120元，小书包每个售价90元．设该商店计划购进大书包x个，两种书包全部销售完可获利y元．
(1)大书包进价为 元/个，小书包进价为 元/个；
(2)若购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．
①求大书包最多购进多少个？
②受市场行情影响，实际销售过程中，该商店对大书包每个降价a元，小书包每个涨价a（0＜a＜10）元，若销售完这100个书包可获得的最低利润为3520元，求a的值．
【答案】(1)80，60
(2)①65个；②3
【分析】（1）设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，由题意：用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，列出分式方程，解方程即可；
（2）①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，由题意：购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．列出一元一次不等式组，解不等式组即可；②设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，由题意得：w=（10﹣2a）m+3000+100a，再进行分类讨论，由一次函数的性质和一元一次方程求出a的值即可．
【详解】（1）解：设大书包进价为x元/个，则小书包进价为（x﹣20）元/个，
由题意得：，解得：x=80，
经检验，x=80是原方程的解，且符合题意，
则x﹣20=80﹣20=60，即大书包进价为80元/个，小书包进价为60元/个，
故答案为：80，60；
（2）解：①设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，
由题意得：，解得：55≤m≤65，
答：大书包最多购进65个；
②设大书包购进m个，则小书包购进（100﹣m）个，利润为w元，
由①得：55≤m≤65，
由题意得：w=（120﹣80﹣a）m+（90﹣60+a）（100﹣m）=（10﹣2a）m+3000+100a，
当10﹣2a≥0，即a≤5时，w随m的增大而增大，
∴m=55时，w的最小值=（10﹣2a）×55+3000+100a=3520，解得：a=3；
当10﹣2a＜0，即a＞5时，w随m的增大而减小，
∴m=65时，w的最小值=（10﹣2a）×65+3000+100a=3520，解得：a=＜5（舍去）；
综上所述，a的值为3．
【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式组及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组及一次函数表达式．
42．（2022上·湖南永州·八年级校考阶段练习）阅读理解题
阅读：解不等式
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或
解不等式组，得
解不等式组，得
所以原不等式的解集为或
问题解决：根据以上阅读材料解不等式
(1)解不等式．
(2)解不等式．
(3)求不等式的解集．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）将原不等式转化为：或，分别求解即可；
（2）先将原不等式因式分解为，再转化为：或，分别求解即可；
（3）将原不等式转化为:或，分别求解即可．
【详解】（1）解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或，
解不等式组，得，
解不等式组，得，
所以原不等式的解集为或．
（2）解：，
根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或，
解不等式组，得不等式组无解，
解不等式组，得，
所以原不等式的解集为.
（3）解：根据两数相除，异号得负，原不等式可以转化为或，
解不等式组，得不等式组无解，
解不等式组,得，
所以原不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及十字相乘法进行因式分解，理解题意解题方法并掌握一元一次不等式组解法是解题关键．
43．（2023下·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）绿色建昌，你我共建．我校为积极响应我县有关垃圾分类号召，从某商场购进，两种垃圾桶作为可回收垃圾桶和其它垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵30元，用2400元购买品牌垃圾桶的数量是用1500元购买种垃圾桶数量的2倍．
(1)求购买1个品牌、一个品牌垃圾桶各需多少元？
(2)若我校决定用不超过4000元购进，两种垃圾桶共30个，那么此次我校最多可购买品牌垃圾桶多少个？
【答案】(1)购买1个品牌垃圾桶需120元，1个品牌垃圾桶需150元
(2)13个
【分析】（1）设1个品牌垃圾桶元，则1个品牌垃圾桶为元，根据题意＂用2400元购买品牌垃圾桶的数量是用1500元购买种垃圾桶数量的2倍＂列分式方程求解；
（2）设购买品牌垃圾桶个，则购买品牌垃圾桶个，根据费用不超过4000元列不等式求解．
【详解】（1）解：设1个品牌垃圾桶元，则1个品牌垃圾桶为元，
根据题意，得，
解得：
经检验是原分式方程的解，
∴
答：购买1个品牌垃圾桶需120元，1个品牌垃圾桶需150元．
（2）设购买品牌垃圾桶个，则购买品牌垃圾桶个，
根据题意，得：
解得：，
∵为整数，
∴最多为13
答：我校最多可购买品牌垃圾桶13个．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得分式方程及不等式是解题的关键．
44．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）为了美化小区，物业决定购买A、B两种灯笼，B种灯笼的单价比A种灯笼的单价少6元，若800元购买A种灯笼的个数与680元购买B种灯笼的个数相同．
(1)求A和B种两种灯笼的单价各是多少元？
(2)若物业买A、B两种灯笼共100个，总费用不超过3700元，则物业至少购买B种灯笼多少个？
【答案】(1)A种灯笼的单价为40元，B种灯笼的单价为34元．
(2)物业至少购买B种灯笼个．
【分析】（1）设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为元，根据用800元购买A种灯笼的个数与用680元购买B种灯笼的个数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买B种灯笼m个，则购买A种灯笼个，根据总价=单价×数量结合总费用不能超过3700元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．
【详解】（1）解：设B种灯笼的单价为x元，则A种灯笼的单价为元，
依题意得： ， 解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种灯笼的单价为40元，B种灯笼的单价为34元．
（2）设购买B种灯笼m个，则购买A种灯笼个，
依题意得：，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的最小值为．
答：物业至少购买B种灯笼个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
45．（2022·江苏南通·统考中考真题）
(1)计算：；
(2)解不等式组：
【答案】(1)1
(2)
【分析】(1)首先利用平方差公式进行因式分解，再进行约分和加法运算，即可求得结果；
(2)首先解每一个不等式，再据此即可求得不等式组的解集．
【详解】（1）解：
（2）解：
由①解得，
由②解得，
所以，原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，求一元一次不等式组的解集，熟练掌握和运用各运算法则和方法是解决本题的关键．
46．（2022下·河北保定·七年级统考期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}=﹣1，min=据此解决下列问题：
(1)min｛-2，- 3｝= ；
(2)若min｛3x-1，2｝=2，求x的取值范围；
【答案】(1)-3
(2)x≥1
【分析】（1）根据题中的新定义确定出所求即可；
（2）根据题中的新定义得到3x﹣1与2的大小，求出x的范围即可．
【详解】（1）解：根据题中的新定义得：min{﹣2，﹣3}＝﹣3；
故答案为：﹣3；
（2）∵min{3x﹣1，2}＝2，
∴3x﹣1≥2，
解得：x≥1．
【点睛】此题考查解一元一次不等式，算术平方根，以及实数大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键．
47．（2023下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）已知关于、的方程组满足，且它的解为负数，为正数．
(1)试用含的式子表示方程组的解；
(2)求实数的取值范围；
(3)化简．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据“为负数，为正数”列不等式组并求解即可；
（3）根据（2）的结果可得，，然后结合绝对值得性质求解即可．
【详解】（1）解：，
，得 ，
解得，
将代入，得，
∴方程组的解是；
（2）∵为负数，为正数，，
∴，
解得，
即实数的取值范围是；
（3）∵，
∴，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组、化简绝对值以及代数式求值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
48．（2022下·河南信阳·七年级校考期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)或
【分析】（1）分别解出每个不等式，再求出其与不等式的公共解，最后由“云不等式”的定义判断即可；
（2）解不等式，得．由不等式，得．再分类讨论：①当即时，和②当，即时，结合“云不等式”的定义求解即可．
【详解】（1）解不等式①得：，
∴一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴①是不等式的“云不等式”；
一元一次不等式和一元一次不等式有公共解为：，
∴②是不等式的“云不等式”；
解不等式③得：
∴一元一次不等式和一元一次不等式没有公共解，
∴③不是不等式的“云不等式”．
故答案为：①②；
（2）由得：，
由得：，
分类讨论：①当即时，．
∵其与互为“云不等式”，
∴，
解得：．
∴；
②当，即时，．
此时与一定互为“云不等式”
综上所述，当或时，两不等式互为“云不等式”．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数．理解“云不等式”的定义和掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小大小中间找，大大小小找不到”是解题关键．
49．（2022下·广东广州·七年级校考期末）对于实数a，b，定义的含义为：
当时，；
当时，．
例如：，．
(1)=_____；
(2)已知，求k的取值范围；
(3)已知，求x的值．
【答案】(1)5
(2)
(3)6或-5
【分析】（1）根据的定义直接解答即可；
（2）根据的定义可得出关于k的一元一次不等式，解出k即可；
（3）分类讨论：①当，即时和②当，即时，根据的定义可分别得出关于x的一元一次方程，解出x即可．
【详解】（1）∵-5<5，
∴．
故答案为：5；
（2）∵
∴，
解得：；
（3）分类讨论：①当，即时，，
∴，
解得：；
②当，即时，，
∴，
解得：．
综上可知，x的值为6或-5．
【点睛】本题考查新定义，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．读懂题意，掌握定义的含义是解题关键．
50．（2022上·北京西城·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以．
（1）请直接写出和的直角距离小分量_________；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标；
（3）若点满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点的直角距离小分量
c），O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．
【答案】（1）3；（2）或；（3）或
【分析】（1）根据新概念求得即可；
（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；
（3）根据题意得出，解出的取值范围，再由可推导出，解出的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取的值即可．
【详解】解：（1），，
，
；
故答案为3；
（2）点D是坐标轴上的一点，
若在轴上，
设，
由于与题意矛盾，
故点D是在轴上的一点，
设，
，
，
解得：或，
或；
（3）由题意得：，
解得，
，
，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
的取值范围是：或，
恰好为的倾斜角，
，
，
解得：或
综上：的取值范围是：，
横纵坐标都为整数，
和5，
或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．
【能力提升】
51．（2023上·湖南株洲·八年级株洲二中校考期中）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：
(1)求出，的值；
(2)已知，均为非负数，，求的取值范围；
(3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)最小值，最大值
【分析】（1）由新定义运算的含义结合已知条件建立方程组，再解方程组可得答案；
（2）先表示，再根据，是非负数，可得且可得，而，再结合不等式的性质可得答案；
（3）由新定义运算的含义可得，可得，仿照（2）的方法建立不等式组可得，再结合 ，再结合x的范围可得最大值与最小值；
【详解】（1）解：∵；，，
∴，
∴解方程组得：；
（2）∵，
，
，是非负数，
即，
，
∵，
∴
，
．
（3）∵，，而，
∴，解得：，
∵，，都为非负数，
∴，解得：，
∴
；
当时，，
当时，．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，三元一次方程组的应用，代数式的最大值与最小值的计算，新定义运算的含义，理解题意，建立合适的方程组与不等式组是解本题的关键．
52．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【答案】(1)型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元
(2)当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【分析】（1）设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，根据“用1200元购买型号篮球个数与用600元购买型号篮球的个数相等”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）先分别计算出方案一、方案二所花费的金额，分三种情况：方案一花费金额大于方案二花费金额；方案一花费金额等于方案二花费金额；方案一花费金额小于方案二花费金额，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
（元），
答：型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元；
（2）解：根据题意可得：
方案一所花费的金额为：，
方案二所花费的金额为：，
当时，即，
解得：，
，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱；
综上所述：当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
53．（2023下·吉林长春·七年级校考期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数．
规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．
例如：，；
(1)______，______；
(2)若，则x的取值范围为______；
(3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围；
(4)若，请直接写出x的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)2或或
【分析】（1）根据新定义，即可求解；
（2）根据新定义，可得，解出即可；
（3）分别求出两个不等式的解集可得原不等式组的解集为，再根据原不等式组恰有三个整数解，可得关于t的不等式组，即可求解；
（4）根据新定义，可得，然后分三种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
解得：；
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴原不等式组的解集为，
∵原不等式组恰有三个整数解，
∴，
解得：；
（4）解：∵，
∴，
当，即时，，
，解得：；
当，即时，，
，解得：；
当，即时，，
，解得：；
综上所述，x的值为2或或．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分类讨论，理解新定义是解题的关键．
54．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）．
(1)若已知，，则______．
(2)已知，，求a，b的值；
(3)在（2）问的基础上，
①若，则x的取值范围为______；
②若，求x的取值范围；
③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
(3)①；②；③
【分析】（1）根据新定义运算列出算式求解；
（2）根据，，可得方程组，解方程即可；
（3）①由（2）可知，，再由，可得，解不等式即可；
②分两种情况讨论：当时，，时，，分别列不等式组求解即可；
③由，，可得，，根据题意可列不等式组，求得，再根据关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，可得，再进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，，
∵，，
∴，
故答案为：4；
（2）解：∵，，
∴，
解得；
（3）解：①由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：；
②当时，，
∴，解得，
当时，，
∴，
∴不等式无解，
∴x的取值范围为，
③∵m为正数，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∵关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，
∴，
解得．
【点睛】本题考查新定义运算、解一元一次不等式和一元一次不等式组、解二元一次方程组、根据不等式组的整数解求参数，理解新定义，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
55．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，，分别是、、的对边，点是边上一个动点（点与不重合），连接，若满足，且是不等式组的整数解．
(1)求的长；
(2)当平分的周长时，此时是否平分的面积？
【答案】(1)，，
(2)不平分的面积
【分析】（1）解方程组以及不等式组即可得到的长；
（2）当平分的周长时，设，则，，解方程求出、的长，再求出、的面积，进行判断即可得到答案．
【详解】（1）解：解方程组，
得：，
解不等式组，
解不等式组①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解为：，
是不等式组的整数解，
；
（2）解：不平分的面积，
当平分的周长时，设，则，
，
解得：，
，，
，，
，
不平分的面积．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、解一元一次方程、三角形面积的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题01 一元一次不等式（组）及应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022下·七年级课时练习）下列数表达式①；②；③；④．其中属于不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023下·甘肃庆阳·七年级统考期末）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·山东济南·八年级校考期中）若，则关于x的不等式组 的解集是（ ）
A． B． C． D．无解
4．（2023下·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）估计的值在（ ）
A．4和5之间 B．3和4之间 C．2和3之间 D．1和2之间
6．（2022上·安徽亳州·八年级校考阶段练习）已知点在第三象限，则整数的值可以取的个数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·全国·八年级校考阶段练习）若不等式组有解，则m的取值范围是( )
A． B． C． D．
8．（2022下·江苏苏州·七年级校考期中）关于x的不等式．若是不等式的解，不是不等式的解，则a的范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022下·山东烟台·七年级统考期末）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022下·山东枣庄·八年级统考期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
11．（2022下·重庆大足·七年级统考期末）若关于的不等式组有解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
12．（2023下·河南平顶山·八年级统考期中）在数轴上表示不等式组的解集正确的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·陕西榆林·八年级校考期中）瑶瑶去玩具店购买一款心爱的玩具，付款时收银员说：玩具成本是元，定价为元，今天是店庆，可以打折优惠，但利润率不能低于，则该玩具最多可以打（ ）
A．折 B．折 C．折 D．折
14．（2022下·四川泸州·七年级统考期末）若不等式组有两个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022下·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）某种出租车的收费标准是：起步价5元（行驶距离不超过3km，只需付5元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收1.2元（不足1km按1km计）．小明乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费11元．设从甲地到乙地的车程为xkm，则x的最大值是（ ）
A．11 B．8 C．7 D．5
16．（2022·山东潍坊·统考二模）若不等式组有三个整数解，则 a 的取值范围是（ ）
A．－3＜a≤－2 B．2≤a＜3 C．2＜a≤3 D．a＜3
17．（2022上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）关于x的分式方程的解为正数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
18．（2023·安徽合肥·统考一模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．为定值 C． D．
19．（2023下·福建泉州·七年级统考期末）若不等式的解集中的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2023上·河南郑州·九年级校考开学考试）已知，下列式子不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2022·江西南昌·模拟预测）如果式子有意义，那么x的取值范围是 ．
22．（2023下·广东广州·七年级广州市广外附设外语学校校考阶段练习）不等式组的解集是 ．
23．（2023·江苏·九年级假期作业）若是一元二次方程，则不等式的解集是 ．
24．（2022下·河南驻马店·八年级统考期末）若分式有意义，则x的取值范围是 ．
25．（2023·河南濮阳·统考三模）不等式组的解集为 .
26．（2022上·上海·八年级统考期中）不等式的解集是 ．
27．（2022下·河南驻马店·七年级校考期中）不等式-2x≤10的负整数解有 个．
28．（2022下·四川眉山·七年级校考期中）若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 ．
29．（2022·内蒙古乌兰察布·校考一模）关于x的不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 ．
30．（2023下·江苏·七年级校考周测）关于x，y的方程组的解满足，则a的范围为 ．
31．（2023下·河北邢台·七年级校考期末）已知关于x的不等式组，
（1）若，则该不等式组的最小整数解为 ；
（2）若该不等式组的解集为，则t的值为 ；
（3）若该不等式组恰有三个整数解，则t的取值范围是 ．
32．（2022·河南郑州·统考二模）不等式组的最小整数解是 ．
33．（2022下·山东济宁·七年级统考期末）已知关于x的不等式组仅有3个整数解，则a的取值范围是 ．
34．（2022·福建·二模）在平面直角坐标系中，，，是等边三角形．若在的内部（不含边界），则的取值范围是 ．
35．（2022下·云南昭通·八年级校考阶段练习）使代数式有意义的x的取值范围是
三、解答题
36．（2022下·宁夏银川·八年级统考期末）解不等式组：．
37．（2023上·浙江宁波·八年级校考期末）解下列一元一次不等式组，并把不等式组的解在数轴上表示出来．
38．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）解不等式组，并将解集在如图所示的数轴上表示出来．
39．（2022下·山东烟台·七年级统考期末）求不等式组的解集，并把它的解集表示在数轴上．
40．（2022下·河北唐山·八年级统考期末）某服装店同时购进A，B两款夏装共300套，进价和售价如下表所示，设购进A款夏装x套（x为正整数），该服装店售完全部A，B两款夏装获得的总利润为y元．
夏装款式 A款 B款
每套进价（单位：元） 60 80
每套售价（单位：元） 100 150
(1)求y与x的函数关系式；
(2)该服装店计划投入不多于2万元购进这两款夏装，则至少购进多少套A款夏装？若A，B两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？
41．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）某商店准备购进大、小两种书包共100个出售，每个大书包的进价比每个小书包的进价贵20元，用2000元购进大书包的数量与用1500元购进小书包的数量一样，大书包每个售价120元，小书包每个售价90元．设该商店计划购进大书包x个，两种书包全部销售完可获利y元．
(1)大书包进价为 元/个，小书包进价为 元/个；
(2)若购进这100个书包的总费用不超过7300元，且大书包不少于55个．
①求大书包最多购进多少个？
②受市场行情影响，实际销售过程中，该商店对大书包每个降价a元，小书包每个涨价a（0＜a＜10）元，若销售完这100个书包可获得的最低利润为3520元，求a的值．
42．（2022上·湖南永州·八年级校考阶段练习）阅读理解题
阅读：解不等式
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为：或
解不等式组，得
解不等式组，得
所以原不等式的解集为或
问题解决：根据以上阅读材料解不等式
(1)解不等式．
(2)解不等式．
(3)求不等式的解集．
43．（2023下·辽宁葫芦岛·九年级校考阶段练习）绿色建昌，你我共建．我校为积极响应我县有关垃圾分类号召，从某商场购进，两种垃圾桶作为可回收垃圾桶和其它垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵30元，用2400元购买品牌垃圾桶的数量是用1500元购买种垃圾桶数量的2倍．
(1)求购买1个品牌、一个品牌垃圾桶各需多少元？
(2)若我校决定用不超过4000元购进，两种垃圾桶共30个，那么此次我校最多可购买品牌垃圾桶多少个？
44．（2022上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）为了美化小区，物业决定购买A、B两种灯笼，B种灯笼的单价比A种灯笼的单价少6元，若800元购买A种灯笼的个数与680元购买B种灯笼的个数相同．
(1)求A和B种两种灯笼的单价各是多少元？
(2)若物业买A、B两种灯笼共100个，总费用不超过3700元，则物业至少购买B种灯笼多少个？
45．（2022·江苏南通·统考中考真题）
(1)计算：；
(2)解不等式组：
46．（2022下·河北保定·七年级统考期末）规定min（m，n）表示m，n中较小的数（m，n均为实数），例如：min{3，﹣1}=﹣1，min=据此解决下列问题：
(1)min｛-2，- 3｝= ；
(2)若min｛3x-1，2｝=2，求x的取值范围；
47．（2023下·河南濮阳·七年级统考阶段练习）已知关于、的方程组满足，且它的解为负数，为正数．
(1)试用含的式子表示方程组的解；
(2)求实数的取值范围；
(3)化简．
48．（2022下·河南信阳·七年级校考期末）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共解（两个不等式解集的公共部分），那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”．
(1)在不等式①，②，③中，不等式的“云不等式”是_____________．（填序号）
(2)若，若关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围．
49．（2022下·广东广州·七年级校考期末）对于实数a，b，定义的含义为：
当时，；
当时，．
例如：，．
(1)=_____；
(2)已知，求k的取值范围；
(3)已知，求x的值．
50．（2022上·北京西城·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为和，则定和中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为．例如：，因为；，而，所以．
（1）请直接写出和的直角距离小分量_________；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点的直角距离小分量，求出点D的坐标；
（3）若点满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点的直角距离小分量
c），O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．
【能力提升】
51．（2023上·湖南株洲·八年级株洲二中校考期中）【阅读材料】：
材料一：对于实数，定义一种新运算，规定：（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算．比如：；．
已知：；
材料二：“已知，均为非负数，且满足，求的范围”，有如下解法：
，，
，是非负数，即，，
，，．
【回答问题】：
(1)求出，的值；
(2)已知，均为非负数，，求的取值范围；
(3)已知，，都为非负数，，，求的最大值和最小值．
52．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
53．（2023下·吉林长春·七年级校考期中）对于三个互不相等的数a、b、c，我们用符号来表示其中最大的数和最小的数．
规定表示这三个数中最小的数，表示这三个数中最大的数．
例如：，；
(1)______，______；
(2)若，则x的取值范围为______；
(3)若关于x的不等式组恰有三个整数解，求t的取值范围；
(4)若，请直接写出x的值．
54．（2023下·江苏镇江·七年级校考阶段练习）对x，y定义一种新的运算f，规定：（其中）．
(1)若已知，，则______．
(2)已知，，求a，b的值；
(3)在（2）问的基础上，
①若，则x的取值范围为______；
②若，求x的取值范围；
③若关于正数m的不等式组恰好有2个整数解，求k的取值范围．
55．（2023下·福建泉州·七年级校考期中）如图，在中，，分别是、、的对边，点是边上一个动点（点与不重合），连接，若满足，且是不等式组的整数解．
(1)求的长；
(2)当平分的周长时，此时是否平分的面积？
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