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专题04 一元一次等式（组）及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其性质
（1）不等式概念
①不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
③不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
（2）不等式的性质
①性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；
②性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；
③性质3：若a＞b,c<0，则ac（二）一元一次不等式
（1）一元一次不等式定义：
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.
（2）一元一次不等式解法及解集：
①步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意变号问题）.
②解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
（三）一元一次不等式组
（1）由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
（2）一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
（3）先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
（四）不等式组解集的表示
（五）不等式（组）的实际应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；
②设，设出适当的未知数；
③找，找出能够包含未知数的不等量关系；
④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；
⑤解，求出不等式（组）的解；
⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；
⑦答，写出答案，
考点一遍过
考点1：不等式的意义
典例1：（23·24七年级上·浙江·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据不等式的概念：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式进行分析即可．
【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式，
∴共个不等式．
故选：．
【点睛】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：．
【变式1】（22·23八年级下·辽宁沈阳·期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【答案】C
【分析】运用不等式的定义进行判断．
【详解】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．
不等式有①②⑤，共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠．
【变式2】（22·23下·松原·期中）用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式，不大于5即．
【详解】解：的倍与的的和不大于，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了列不等式，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．
【变式3】（22·23下·三门峡·期末）老师和同学们玩猜数游戏老师在心里想一个100以内的自然数，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错，甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于62.5吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵甲问：“小于50吗？”老师摇头，
∴；
∵乙问：“不大于75吗？”老师点头，
∴；
∵丙问：“不小于62.5吗？”老师点头，
∴，
综上所述，．
故选：B．
【点睛】本题考查的是不等式的定义，根据题意得出各不等式是解题的关键．
考点2：不等式的解集
典例2：（22·23下·景德镇·期中）是下列不等式的一个解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接解不等式，然后确定符合题意的答案即可．
【详解】解：A．，则，故此选项符合题意；
B．，则，故此选项不合题意；
C．，则，故此选项不合题意；
D．，则，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，正确求得各不等式的解集是解题关键．
【变式1】（22·23七年级下·河南南阳·期中）若不等式的解集为，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】求得不等式的解集，由题意可得出，则可得出答案．
【详解】解：∵
∴
∵不等式的解集为，
∴
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键．
【变式2】（22·23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式3】（2023·河北保定·三模）下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．不是不等式的解
C．不等式的解只有 D．不等式的解集是
【答案】A
【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得．
【详解】解：A、不等式的解集为，则是不等式的一个解，故本选项正确，符合题意；
B、是不等式的解，故本选项错误，不符合题意；
C、不等式的解集是，解有无数多个，故本选项错误，不符合题意；
D、不等式的解集是，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内．
考点3：不等式的性质
典例3：（23·24八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知a，b都是实数，且，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．
【详解】解：A． ∵，∴，故正确；
B． ∵，∴，∴，故不正确；
C． ∵，∴，故不正确；
D． ∵，∴，故不正确；
故选A．
【点睛】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
【变式1】（23·24八年级上·浙江宁波·期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据不等式的性质进行判断即可．
【详解】解：∵，
根据不等式的性质1可得：，，故选项C、选项D均不成立；
根据不等式的性质2可得：，故选项A成立；
根据不等式的性质3可得：，故选项B不成立；
故选：A．
【点睛】此题考查的是不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式2】（22·23七年级下·辽宁盘锦·期中）设是实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A.若，，则，原结论错误，不符合题意；
B.若，，则，原结论错误，不符合题意；
C.若，，则，原结论错误，不符合题意；
D.若，则，结论正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是不等式的基本性质，不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式3】（22·23七年级下·广西玉林·阶段练习）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【分析】根据不等式的性质逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，当时，，选项错误；
B、由，得，正确；
C、，当时，，选项错误；
D、由，得，选项错误；
故选B．
【点睛】本题考查不等式的性质，熟练掌握等式的两边同乘同一个不为0的负数，不等号的方向要发生改变，是解题的关键．
【变式4】（22·23八年级上·吉林长春·开学考试）下列不等式变形，若则成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依据不等式的基本性质进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．若，则，故本选项正确；
B．若，则，故本选项错误；
C．若，则，故本选项错误；
D．若，则，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【变式5】（22·23八年级下·河北保定·期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：A、由可以得到，则，原不等式不成立，不符合题意；
B、由可以得到，不能得到，原不等式不成立，不符合题意；
C、由可以得到，则，原不等式成立，符合题意；
D、由可以得到，不能得到，原不等式不成立，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
【变式6】（22·23七年级下·四川乐山·期末）下列说法不正确的是（ ）
若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式与不等式的性质分别逐一判断即可．
【详解】A、若，则，此选项正确；
B、若，则，此选项正确；
C、若，则，此选项正确；
D、若，则当时,时，时，．此选项不正确．
以上只有D选项符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了等式与不等式的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【变式7】（22·23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】先由数轴可得，且，再判定即可．
【详解】解：由数轴可得，且，
①，正确；
②，正确；
③由，得到，正确；
④，正确．
共4个正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是利用数轴确定，，的取值范围．
考点4：一元一次不等式定义
典例4：（22·23七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式即可作出判断．
【详解】解：A、没有未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意；
B、符合一元一次不等式的定义，故B符合题意；
C、含有2个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故C不符合题意；
D、未知数次数是2，不符合一元一次不等式的定义，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题比较简单，考查的是一元一次不等式的定义，只要熟练掌握一元一次不等式的定义即可轻松解答．
【变式1】（22·23七年级下·湖北恩施·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．
【变式2】（22·23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义得出、求出k的值，然后代入不等式就x的解集．
【详解】解：是关于x的一元一次不等式，
∴ 解得
∴不等式为：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式的解法，注意一次项系数不为0是解题关键．
【变式3】（22·23上·西安·期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．
【详解】解：是一元一次不等式的有：，共有2个．
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为1次，还要注意未知数的系数不能是
考点5：解一元一次不等式
典例5：（23·24九年级上·四川内江·阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的根与判别式的关系可得，再解不等式即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、解一元一次不等式，熟练掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根；时，一元二次方程有两个相等的实数根；时，方程无解是解题的关键．
【变式1】（23·24八年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】移项、合并同类项，系数化成1即可求解．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．
【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）关于x的一元一次不等式只有两个正整数解，则a的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求出不等式的解集，根据已知得出，求出a的范围即可．
【详解】解：，
解得：，
∵关于x的一元一次不等式只有两个正整数解，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解和求一元一次不等式组的解集，关键是能根据不等式的解集和已知得出关于a的不等式组．
【变式3】（22·23七年级下·四川眉山·期中）不等式的非负整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】先求出一元一次不等式的解集，进而求得非负整数解即可求解．
【详解】解：去括号，得，
移项、合并同类项，得，
∴该不等式的解集为，
则该不等式的非负整数解为0，1，2，3，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式以及求不等式的整数解，熟练掌握不等式的解法步骤并正确求解是解答的关键．
【变式4】（23·24上·深圳·阶段练习）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【详解】解：将不等式移项得：，
合并同类项得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
【变式5】（22·23下·西安·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
【详解】解：，
移项及合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
其解集在数轴上表示如下所示，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
【变式6】（22·23下·沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【答案】A
【分析】把代入计算，即可求出输出结果；列不等式求解可得出使的值小于20的最大整数x．
【详解】当时，第1次运算结果为，
∴当时，输出结果是1；
由题意，得
，
解得，
∴使代数式的值小于20的最大整数x是7，
故选A．
【点睛】本题考查了程序框图的计算，以及一元一次不等式的应用，能够理解题意是解题的关键．
【变式7】（22·23下·汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【答案】A
【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可．
【详解】∵是不等式的一个解，
∴，
解得，
∴整数k的最小值是
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
【变式8】（22·23下·深圳·期中）解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查解不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，是解题的关键．
【变式9】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）解方程及不等式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先将方程进行化简后，再根据解一元一次方程的步骤进行计算即可；
（2）先将不等式进行化简后，再解不等式即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2），
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查整式的运算，解方程和不等式．解题的关键是掌握整式的运算法则，将方程和不等式进行简化．
考点6：一元一次不等式应用
典例6：（23·24上·株洲·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
【答案】(1)B型汽车的进价为每辆10万元
(2)最多可以购买36辆A型汽车
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；（2）根据题意，列出不等式，求解即可．正确列出方程和不等式是解决本题的关键．
【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答： B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
A型车每辆进价：（万元），
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买36辆A型汽车．
【变式1】（23·24上·保定·期中）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
(1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【答案】(1)80元，120元
(2)23个
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，找出等量关系即可列出方程，或找到不等关系列出不等式：
（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元，根据“用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍”即可列出分式方程，求解后检验即可解答；
（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶，根据“该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶”即可列出不等式，求解后取最大值即可解答．
【详解】（1）设一个A品牌的垃圾桶需要x元，则一个B品牌的垃圾桶需要元．根据题意，得
，
解得：，
经检验，是该分式方程的解．
∴
答：购买一个A品牌需要80元，购买一个B品牌的垃圾桶需120元．
（2）设该学校此次购买n个B品牌垃圾桶，则购买个A品牌垃圾桶．根据题意，得
，
解得：，
∵n取整数，
∴n的最大值为23，
答：该学校此次最多可购买23个B品牌垃圾桶．
【变式2】（23·24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）超市购进、两种商品，购进件种商品比购进件种商品少用元，购进件种商品和件种商品共用去元．
(1)求、两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进、两种商品共件，都标价元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以元售出的商品件数比购进种商品的件数少件，该商店此次销售、两种商品共获利不少于元，求至少购进种商品多少件？
【答案】(1)种商品每件进价元，种商品每件进价元；
(2)至少购进种商品件．
【分析】（）根据“购进件甲种商品比购进件乙种商品少用元，购进件甲种商品和件乙种商品共用去元”列出方程组解答即可；
（）设购进甲种商品件，则乙种商品 件，“利润不少于元”列出不等式解答即可．
【详解】（1）设甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元，
根据题意，得，解得：，
答：种商品每件进价元，种商品每件进价元．
（2）设种商品购进件，则乙种商品件，
根据题意，得，
解得：，
答：至少购进种商品件．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的不等或等量关系．
【变式3】（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
(1)问篮球和足球的单价各是多少元？
(2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
(3)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？那种方案商场获利最大？
【答案】(1)足球单价为90元，则篮球单价为120元
(2)31个
(3)商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大
【分析】（1）利用分式方程即可求出篮球和足球的单价；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意列不等式即可；
（3）设购买篮球个，则购买足球个，根据题意求出的取值范围，再根据（1）的结论列不等式即可得出购买方案，设商场获利元，列出关于的函数关系式，利用一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设足球单价为元，则篮球单价为元，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
则，
答：足球单价为90元，则篮球单价为120元；
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，由题意得：
，
解得：，且为整数，
，
故篮球最少要卖31个；
（3）解：设购买篮球个，则购买足球个，
由题意得：，
解得：，
篮球不少于40个，
，
有6种方案：
设商场获利元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
时，有最大值，
（个，
答：商场共有6种进货方案，购买篮球45个，购买足球55个，商场获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次不等式．
【便是4】（22·23八年级下·辽宁沈阳·期中）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，购买300套A型一体机，200套B型一体机，共花费1200万元．
(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【答案】(1)今年每套A型一体机的价格是2万元，则今年每套B型一体机的价格是3万元
(2)1575万元
【分析】（1）设今年每套A型一体机的价格是万元，B型一体机的价格是万元，依题意得，，计算求解，然后作答即可；
（2）设明年采购A型一体机套，B型一体机共套，依题意得，，解得，，设采购总费用为万元，则，根据一次函数的图象与性质作答即可．
【详解】（1）解：设今年每套A型一体机的价格是万元，B型一体机的价格是万元，
依题意得，，
解得，，
∴，
∴今年每套A型、B型一体机的价格各是2、3万元；
（2）解：设明年采购A型一体机套，B型一体机共套，
依题意得，，
解得，，
设采购总费用为万元，则，
∵，
∴随着的增大而减小，
∴当时，最小，且为1575，
∴该市明年至少需要投入1575万元才能完成采购计划．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一次函数的图象与性质．解题的关键在于根据题意正确的列等式与不等式．
【变式5】（23·24八年级上·重庆·期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)甲乙两队规划的总预算为156甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少．
【答案】(1)甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
(2)6
【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，根据乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案；
（2）根据两队路途中共花费15600元，可得出关于a的一元一次不等式，取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
答：甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
（2）解：根据题意得：，
解得，
∵a是整数，
∴的值最大是
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和不等式．
【变式6】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元， 用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20
任务：
(1)解法一所列方程中的表示___________，解法二所列方程中的表示___________．
A．甲种商品每件进价元
B．乙种商品每件进价元
C．甲种商品购进件
(2)根据以上解法可求出甲种商品的进价为___________元/件，乙种商品的进价为___________元/件．
(3)若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
【答案】(1)A；C
(2)50；30
(3)12
【分析】（1）根据等量关系中代数式的含义可得答案；
（2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案；
（3）设甲商品购进件，则乙商品购进件，利用商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，求解的范围，可得答案．
【详解】（1）解：由甲商品数量=乙商品数量可得：中的表示甲种商品每件进价元，由甲商品进价乙商品进价=20可得：中的表示甲种商品购进件，
故选：A，C．
（2）解：，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意；
，
答：甲种商品的进价为50元/件，乙种商品的进价为30元/件．
故答案为：50；
（3）解：设甲商品购进件，则乙商品购进件，
∵商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品，
∴，
∴，
答：至多购进甲种商品件．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，一元一次不等式的应用，理解题意，确定相等关系与不等关系是解本题的关键．
【变式7】（23·24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线表示过且垂直于轴的直线，对某图形上的点作如下变换：当时，作点关于直线的对称点，称为变换；当时，作点关于轴的对称点，称为变换，若某个图形上既有作变换的点，又有作变换的点，则称此图形为双变换图形．
例如，已知，，如图所示，当时，点应作，变换后为；点应作变换，变换后为．
(1)当时，
已知点，则作相应变换后的坐标为 ，
若点作相应变换后的点的坐标为，则点的坐标为 ，
(2)已知，，
若线段是双变换图形，则的取值范围为 ，
已知点在第四象限角平分线上，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积为 ．
【答案】(1) ； 或．
(2) 或；
【分析】（1）①由题意根据变换的定义求解即可；
②根据题意分两种情形：，，分别构建不等式解决问题即可．
（2）①由题意根据，两点的横坐标，判断出的范围即可；
②由题意可知满足条件的图形是平行四边形，变换后所有图形所覆盖的区域的面积．
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∴相应变换后的点的坐标是，
故答案为：．
②∵，
直线为．
若，则点作变换后的点的坐标为，
，
，且符合题意．
∴．
若，则点作变换后的点的坐标为，
，且符合题意．
∴．
综上，或．
（2）解：①线段是双变换图形，，，
∴，
或．
故答案为：或．
②如下图中，点E满足条件的图形是平行四边形，
对于直线，
由题意，对于及其内部的点（E除外），满足，则它关于直线对称的图形为及其内部的点；
对于及其内部的点（线段除外），满足，则它关于y轴对称的图形为及其内部（线段除外），
∴所有图形F所覆盖的区域为平行四边形及平行四边形，且它们的面积相等，等于平行四边形的面积，
变换后所有图形所覆盖的区域的面积．
故答案为：
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查Ⅰ变换，Ⅱ变换，双变换图形的定义，解题的关键是理解题意，学会构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
考点7：一元一次不等式组定义
典例7：（22·23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最高气温和最低气温得出答案即可．
【详解】解：某日我市最高气温是，最低气温是，
当天气温的变化范围是，
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式组的定义，能理解题意是解此题的关键．
【变式1】（22·23八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式组的定义进行解答．
【详解】解：A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，每个不等式中含有同一个未知数且未知数的次数是1的不等式组是一元一次不等式组．
【变式2】（22·23八年级上·全国·课时练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：①⑤是一元一次不等式组，②③④不是一元一次不等式组，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键．
【变式3】（23·24九年级上·广东梅州·开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式组的定义：含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组，逐个判断即可．
【详解】解：A、是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键．
考点8：解一元一次不等式组
典例8：（23·24上·深圳·期中）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知根号里面式子需要大于等于0，分母不能为0，再合并解集，是解题的关键．
【详解】解：由可得，
解得，
故选：B．
【变式1】（23·24上·广州·阶段练习）已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【分析】由，可得对称轴为直线，当，，由图象不经过第三象限，可得，解不等式组即可．
【详解】解：∵，
∴对称轴为直线，
当，，
∵图象不经过第三象限，
∴，
解得，，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式组．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式2】（23·24八年级上·重庆渝中·阶段练习）若关于的不等式组，有且只有3个整数解，且关于的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．9 B．17 C．18 D．27
【答案】C
【分析】先解不等式组的解集，根据有且只有3个整数解，得到关于a的不等式，解之，解一元一次方程，根据解为正整数，得到a的取值，取所有符合题意的整数a即可得到答案．
【详解】解：，
解得：，
因为有且只有3个整数解，
，
整数的值8，9，10，
关于的一元一次方程，
解得：，
因为解是正整数，
整数的值8或10，
所有满足条件的整数的值之和为
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解和一元一次不等式组的整数解，正确掌握解一元一次方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
【变式3】（22·23八年级下·重庆北碚·开学考试）已知整数k满足，且还满足等式，则符合条件的所有整数k的和是（ ）
A．14 B．9 C．5 D．3
【答案】C
【分析】根据，得到，根据，得到，进而得到，得到k的整数解，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴k的整数解为：，
∴符合条件的所有整数k的和是；
故选C．
【点睛】本题考查绝对值的意义，二次根式的性质，求不等式组的解集．熟练掌握二次根式有意义的条件，求出k的整数解是解题的关键．
【变式4】（23·24九年级上·重庆江北·期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】分别求解分式方程和不等式组，根据解的情况确定参数的取值范围即可．
【详解】解：解分式方程得：，
∵分式方程有整数解，
∴为的倍数，且，即
解不等式组得：
∵不等式组有且只有四个整数解
∴
解得：
综上所述：符合条件的整数为：
故选：A
【点睛】本题考查了根据分式方程和不等式组解的情况求解参数的取值范围．正确的计算是解题关键．
【变式5】（23·24八年级上·重庆江北·阶段练习）若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．8
【答案】A
【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案．
【详解】解：∵，
解得：，
∵关于x一元一次方程有正整数解，
∴，
解得：，且是2的倍数；
又∵是正整数，
∴，且是2的倍数；
∵，
解得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
∴；
∴满足题意的a的值有：、
所有满足条件的正整数a的值之和为：
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
【变式6】（22·23七年级下·福建福州·期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案．
【详解】解：解关于x的方程得，
∵方程的解为非正数，
，
∵，
，
由二元一次方程组将得，
满足，
，
，
，
，
为整数，
满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个.
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键
【变式7】（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】D
【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可．
【详解】解：，
，得：，
解得，
，得：，
解得，
∵，
∴，
解得，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴，
解得，
∴，
∴符合条件的整数m的值的和为，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键．
【变式8】（23·24九年级上·陕西西安·期中）解不等式组：．
【答案】
【分析】分别求出不等式的值，再求它们解集的公共部分，得到不等式组的解集即可．
【详解】解：由，解得：，
由，解得：，
不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求解，熟练掌握求不等式组解集的口诀，同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到是解答本题的关键．
【变式9】（23·24上·杭州·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)；
(2)
【答案】(1)，数轴见解析
(2)，数轴见解析
【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，并画出数轴，即可作答；
（2）由①易得，，由②去分母，得，故不等式组得解集为：，并画出数轴，即可作答．
【详解】（1）解：去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1得，，
在数轴上表示为：
；
（2）解：，
由①得，，
由②去分母，得
解得，．
故不等式组得解集为：．
在数轴上表示为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
考点9：一元一次不等式组的应用
典例9：（23·24上·渝中·阶段练习）为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨．
(1)求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？
(2)施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租货价格为15万元，每辆乙型除渣车租货价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案．
【答案】(1)甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨．
(2)有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆．
【分析】（1）设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，根据题意列一元一次不等式组求解即可．
【详解】（1）设甲型号的除渣车每辆每天可以除渣x吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣y吨，
根据题意可得，
解得
∴甲型号的除渣车每辆每天可以除渣40吨，乙型号的除渣车每辆每天可以除渣30吨．
（2）设租甲型号的除渣车m辆，则租乙型号的除渣车辆，
根据题意可得，
解得
∴当时，；
当时，；
当时，；
∴有3种租赁方案：①租甲除渣车5辆，乙除渣车15辆；②租甲除渣车6辆，乙除渣车14辆；③租甲除渣车7辆，乙除渣车13辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用和一次不等式在方案选择中的实际应用，利用不等式的性质进行方案选择是解题关键．
【变式1】（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【答案】(1)甲商店硬面笔记本的单价为16元
(2)乙商店硬面笔记本的原价18元
【分析】（1）根据“硬面笔记本数量=软面笔记本数量”列出分式方程，求解检验即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，由再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同可得，再根据且m，均为正整数，即可求解．
【详解】（1）解：设硬面笔记本的单价为x元，则软面笔记本的单价为元，根据题意得
，
解得，
经检验，是原方程的根，且符合题意，
故甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为a元，则软面笔记本的单价为元，
由题意可得，
解得，
根据题意得，
解得，
为正整数，
，，，，，分别代入，
可得，，，，，
由单价均为整数可得，
故乙商店硬面笔记本的原价18元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出相应方程．
【变式2】（22·23七年级下·四川遂宁·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．
(1)根据市场预测：若出售3套L型服装和5套M型服装共可获利300元，出售2套L型服装和3套M型服装共可获利190元．求L、M两种型号的童装每套各获利多少元？
(2)现计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米． 按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？
【答案】(1)L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元
(2)方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【分析】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装件，得出关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各生产方案．
【详解】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，由题意，得
，
解得：，
所以L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装件，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取18，19，20，
∴共有3种生产方案，
方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；
方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；
方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程组，（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【变式3】（23·24九年级上·四川达州·阶段练习）抖音直播卖货一成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台． 某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商在平台上对本县一花椒种植户的袋装（500g/袋）花椒面进行直播销售． 该袋装花椒各种成本为20元/袋，如果按40元/袋销售，每天可卖出2000袋，通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加200袋
(1)若要每天获利43200元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？
(2)该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店售卖同时销售，标价为50元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于（1）中的售价又不高于45元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？
【答案】(1)每件售价应降价8元
(2)没带花椒至少打折，最多打9折
【分析】（1）等量关系式：降价后每袋花椒所获的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；
（2）不等关系式：售价打折后的线下标价，据此列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设每袋售价应降价x元，则每袋的销售利润为()元，日销售量为()袋，
依题意得∶，
解得∶，，
商家想尽快销售完所有花椒，
．
答：每件售价应降价8元．
（2）解：（2）设线下每袋花椒打y折售卖，依题意得
，
解得：．
答：没带花椒至少打了折，最多打9折．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系和不等关系是解题的关键．
【变式4】（23·24八年级上·重庆渝中·阶段练习）我校图书馆扩建，需要购买、两种图书，购买类图书50本，类图书25本，共花费4500元．已知购买一本类图书比购买一本类图书多花30元．
(1)求购买一本类图书、一本类图书各需多少元？
(2)为了同学们有更好的阅读体验，校图书馆决定再次购进、两类图书共50本，正好赶上书店对图书价格进行调整，类图书的售价比第一次购买时提高4元，类图书按第一次购买时售价的9折出售，如果图书馆此次购买、两类图书的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的类图书不少于23本，则这次校图书馆有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？最低费用是多少？
【答案】(1)购买一本类图书、一本类图书各需元和元
(2)三种，见解析
【分析】（1）设购买一本类图书、一本类图书分别需要x元和y元，然后根据题意可列方程组进行求解；
（2）设购进A类图书a本，则购进B类图书本，然后列出不等式组进行求解，进而根据a是整数可进行求解．
【详解】（1）解：设购买一本类图书、一本类图书各需元和元，
，解得，
答：购买一本类图书、一本类图书各需元和元．
（2）解：设购买类图书本，
，
解得，
故这次学校购买足球有三种方案：方案一：购买A类图书25本，B类图书25本，这时费用为元；
方案二：购买A类图书26本，B类图书24本，这时费用为元；
方案三：购买A类图书27本，B类图书23本，这时费用为元．
所以购买A类图书27本，B类图书23本，时费用最少，最少为元．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意．
【变式5】（22·23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．
(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
【答案】(1)秒
(2)秒或秒
(3)
【分析】（1）由两点的路程之和等于90，再列方程求解即可；
（2）由两点的路程之和等于或，再列方程求解即可；
（3）设这10个整数为、、、、、，则可得，解得，由①、②有公共部分，可得，解得：，再确定k的整数值，从而可得答案．
【详解】（1）解：设经过后，点A、B相遇．
依题意，得，
解得：．
答：经过秒钟后，点A、B相遇；
（2）设经过（），A、B两点相距，依题意，
得：或，
解得，或．
综上所述，或．
答：经过秒或秒后，A、B两点相距；
（3）设这10个整数为、、、、、，则
解得：
有解
①、②有公共部分
解得：
为整数
将代入①、②，得：
．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，建立准确的方程与不等式组是解本题的关键．
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专题04 一元一次等式（组）及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）不等式及其性质
（1）不等式概念
①不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.
②不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
③不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.
（2）不等式的性质
①性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；
②性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；
③性质3：若a＞b,c<0，则ac（二）一元一次不等式
（1）一元一次不等式定义：
用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.
（2）一元一次不等式解法及解集：
①步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1（注意变号问题）.
②解集在数轴上表示:
x≥a x＞a x≤a x＜a
（三）一元一次不等式组
（1）由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组．
（2）一元一次不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集．
（3）先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．
（四）不等式组解集的表示
（五）不等式（组）的实际应用
（1）列不等式或不等式组解决实际问题，要注意抓住问题中的一些关键词语，如“至少”、“最多”、“超过”、“不低于”、“不大于”、“不高于”、“大于”、“多”等，这些都体现了不等关系，列不等式时，要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际．
（2）列不等式（组）解应用题的一般步骤：
①审，认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题中的关键词语；
②设，设出适当的未知数；
③找，找出能够包含未知数的不等量关系；
④列，根据题中的不等关系列出不等式（组）；
⑤解，求出不等式（组）的解；
⑥验，在不等式（组）的解中找出符合题意的值；
⑦答，写出答案，
考点一遍过
考点1：不等式的意义
典例1：（23·24七年级上·浙江·阶段练习）式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】（22·23八年级下·辽宁沈阳·期中）给出下列数学式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．1
【变式2】（22·23下·松原·期中）用不等式表示：的倍与的的和不大于，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·三门峡·期末）老师和同学们玩猜数游戏老师在心里想一个100以内的自然数，同学们可以提问，老师只能点头或者摇头回应对错，甲问：“小于50吗？”老师摇头．乙问：“不大于75吗？”老师点头．丙问：“不小于62.5吗？”老师点头．老师心里想的数字x所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
考点2：不等式的解集
典例2：（22·23下·景德镇·期中）是下列不等式的一个解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23七年级下·河南南阳·期中）若不等式的解集为，则m的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（22·23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【变式3】（2023·河北保定·三模）下列说法正确的是（ ）
A．是不等式的一个解 B．不是不等式的解
C．不等式的解只有 D．不等式的解集是
考点3：不等式的性质
典例3：（23·24八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知a，b都是实数，且，则下列不等式的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23·24八年级上·浙江宁波·期中）如果，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23七年级下·辽宁盘锦·期中）设是实数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式3】（22·23七年级下·广西玉林·阶段练习）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【变式4】（22·23八年级上·吉林长春·开学考试）下列不等式变形，若则成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（22·23八年级下·河北保定·期中）已知，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式6】（22·23七年级下·四川乐山·期末）下列说法不正确的是（ ）
若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式7】（22·23七年级下·甘肃庆阳·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点4：一元一次不等式定义
典例4：（22·23七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23七年级下·湖北恩施·阶段练习）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A． B． C．3 D．2
【变式2】（22·23七年级下·江苏南通·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23上·西安·期末）在，，，，，，是一元一次不等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点5：解一元一次不等式
典例5：（23·24九年级上·四川内江·阶段练习）一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
【变式1】（23·24八年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式的解集是（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（2023八年级上·浙江·专题练习）关于x的一元一次不等式只有两个正整数解，则a的值可能是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式3】（22·23七年级下·四川眉山·期中）不等式的非负整数解的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式4】（23·24上·深圳·阶段练习）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】（22·23下·西安·期中）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6】（22·23下·沈阳·阶段练习）按照下面给定的计算程序，当时，输出的结果是______；使代数式的值小于20的最大整数x是（ ）．
A．1，7 B．2，7 C．1， D．2，
【变式7】（22·23下·汕头·期末）已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（ ）
A．3 B．-3 C．4 D．-4
【变式8】（22·23下·深圳·期中）解不等式：
(1)；
(2)．
【变式9】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）解方程及不等式：
(1)
(2)
考点6：一元一次不等式应用
典例6：（23·24上·株洲·期中）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
【变式1】（23·24上·保定·期中）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵40元，用6400元购买A品牌垃圾桶的数量是用4800元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
(1)购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
(2)若该校决定再用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共60个，恰逢百货商场对这两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按上一次购买时售价的九折出售，B品牌比上一次购买时售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【变式2】（23·24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）超市购进、两种商品，购进件种商品比购进件种商品少用元，购进件种商品和件种商品共用去元．
(1)求、两种商品每件进价分别是多少元？
(2)若该商店购进、两种商品共件，都标价元出售，售出一部分商品后降价促销，以标价的八折售完所有剩余商品，以元售出的商品件数比购进种商品的件数少件，该商店此次销售、两种商品共获利不少于元，求至少购进种商品多少件？
【变式3】（23·24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某商场计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
(1)问篮球和足球的单价各是多少元？
(2)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场售出足球的数量比篮球数量的三分之一还多10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
(3)若篮球售价为每个150元，足球售价为每个110元，商场计划用不超过10350元购进两种球共100个，其中篮球不少于40个，问商场有几种进货方案？那种方案商场获利最大？
【便是4】（22·23八年级下·辽宁沈阳·期中）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多1万元，购买300套A型一体机，200套B型一体机，共花费1200万元．
(1)求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
(2)该市明年计划采购A型、B型一体机共600套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用的，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【变式5】（23·24八年级上·重庆·期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)甲乙两队规划的总预算为156甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少．
【变式6】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元， 用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20
任务：
(1)解法一所列方程中的表示___________，解法二所列方程中的表示___________．
A．甲种商品每件进价元
B．乙种商品每件进价元
C．甲种商品购进件
(2)根据以上解法可求出甲种商品的进价为___________元/件，乙种商品的进价为___________元/件．
(3)若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1440元的资金购进甲、乙两种商品共40件，至多购进甲种商品多少件？
【变式7】（23·24八年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，直线表示过且垂直于轴的直线，对某图形上的点作如下变换：当时，作点关于直线的对称点，称为变换；当时，作点关于轴的对称点，称为变换，若某个图形上既有作变换的点，又有作变换的点，则称此图形为双变换图形．
例如，已知，，如图所示，当时，点应作，变换后为；点应作变换，变换后为．
(1)当时，
已知点，则作相应变换后的坐标为 ，
若点作相应变换后的点的坐标为，则点的坐标为 ，
(2)已知，，
若线段是双变换图形，则的取值范围为 ，
已知点在第四象限角平分线上，若及其内部（点除外）组成的图形是双变换图形，且变换后所得图形记为，直接写出所有图形所覆盖的区域的面积为 ．
考点7：一元一次不等式组定义
典例7：（22·23八年级下·河南郑州·期中）某日我市最高气温是，最低气温是，则当天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（22·23八年级下·广东佛山·阶段练习）下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23八年级上·全国·课时练习）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的有( )
①；②；③；④；⑤．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（23·24九年级上·广东梅州·开学考试）下列不等式组为一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
考点8：解一元一次不等式组
典例8：（23·24上·深圳·期中）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23·24上·广州·阶段练习）已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【变式2】（23·24八年级上·重庆渝中·阶段练习）若关于的不等式组，有且只有3个整数解，且关于的一元一次方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A．9 B．17 C．18 D．27
【变式3】（22·23八年级下·重庆北碚·开学考试）已知整数k满足，且还满足等式，则符合条件的所有整数k的和是（ ）
A．14 B．9 C．5 D．3
【变式4】（23·24九年级上·重庆江北·期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式5】（23·24八年级上·重庆江北·阶段练习）若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ）
A．4 B．3 C．0 D．8
【变式6】（22·23七年级下·福建福州·期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（ ）个．
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式7】（2023七年级下·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（ ）
A．12 B．6 C． D．
【变式8】（23·24九年级上·陕西西安·期中）解不等式组：．
【变式9】（23·24上·杭州·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上．
(1)；
(2)
考点9：一元一次不等式组的应用
典例9：（23·24上·渝中·阶段练习）为改善校园环境，提升办学品质，重庆市鲁能巴蜀中学计划拆除网球场，新建综合大楼．已知2辆甲型除渣车和3辆乙型除渣车每天可以除渣170吨，3辆甲型除渣车和2辆乙型除渣车每天可以除渣180吨．
(1)求甲、乙两种型号的除渣车每辆每天分别可以除渣多少吨？
(2)施工期间，学校决定租甲、乙两种型号的除渣车共20辆，已知每辆甲型除渣车租货价格为15万元，每辆乙型除渣车租货价格为12万元，要想使租赁除渣车的总费用不超过261万元，且每天除渣总量又不低于650吨，请你求出所有的租赁方案．
【变式1】（2023·江苏盐城·中考真题）某校举行“二十大知识学习竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
(1)若班长小华在甲商店购买，他发现用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，求甲商店硬面笔记本的单价．
(2)若班长小华在乙商店购买硬面笔记本，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．班长小华打算购买本硬面笔记本（为正整数），他发现再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，求乙商店硬面笔记本的原价．
【变式2】（22·23七年级下·四川遂宁·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．
(1)根据市场预测：若出售3套L型服装和5套M型服装共可获利300元，出售2套L型服装和3套M型服装共可获利190元．求L、M两种型号的童装每套各获利多少元？
(2)现计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米． 按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？
【变式3】（23·24九年级上·四川达州·阶段练习）抖音直播卖货一成为一些商家重要的销售手段，同时也为政府销售农产品提供了一个新的销售平台． 某县为帮助本县的花椒种植户销售花椒，在某电商在平台上对本县一花椒种植户的袋装（500g/袋）花椒面进行直播销售． 该袋装花椒各种成本为20元/袋，如果按40元/袋销售，每天可卖出2000袋，通过市场调查发现，每袋烙锅辣椒面售价每降低1元，日销售量可增加200袋
(1)若要每天获利43200元，商家又要尽快销售完所有花椒，每袋售价降价多少元？
(2)该花椒种植户在线上销售的同时，也在线下实体店售卖同时销售，标价为50元/袋．为提高市场竞争力，增加线下销售量，种植户决定打折销售，但其售价不低于（1）中的售价又不高于45元，则线下销售价格的最少可以打几折？最多可以打几折？
【变式4】（23·24八年级上·重庆渝中·阶段练习）我校图书馆扩建，需要购买、两种图书，购买类图书50本，类图书25本，共花费4500元．已知购买一本类图书比购买一本类图书多花30元．
(1)求购买一本类图书、一本类图书各需多少元？
(2)为了同学们有更好的阅读体验，校图书馆决定再次购进、两类图书共50本，正好赶上书店对图书价格进行调整，类图书的售价比第一次购买时提高4元，类图书按第一次购买时售价的9折出售，如果图书馆此次购买、两类图书的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的类图书不少于23本，则这次校图书馆有哪几种购买方案？哪种购买方案费用最低？最低费用是多少？
【变式5】（22·23七年级下·福建泉州·期中）已知：点、在数轴上的位置如图所示，为原点，点对应的数是点从点出发，以每秒3个单位的速度沿数轴向点运动，同时点从点出发，以每秒6个单位的速度沿数轴向点运动（当点运动到点时，点、均停止运动）．设运动的时间为秒．
(1)若、两点相遇，求的值；；
(2)若、两点相距18个单位长度，求的值；
(3)若在、相遇前，线段之间只有10个整数点（不包括点、点），求的取值范围．
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