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专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22-23下·济宁·期末）我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc，如果有 ＝3，那么x的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．0
【答案】B
【分析】根据题意可得关于的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：根据题意，得：
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握二阶行列式的定义是解答本题的关键．
2．（22-23下·阳泉·期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（ ）．
A．50里/分 B．150里/分 C．200里/分 D．250里/分
【答案】A
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设孙悟空的速度为x里/分，风速为y里/分，
依题意，得：，
解得：，
答：风速为50里/分．
故选：A
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（22·23上·唐山·期末）在解方程时，方程两边同时乘以，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】方程两边同时乘以，化简得到结果，即可作出判断．
【详解】解：解方程时，方程两边同时乘以得：
．
故选：B．
【点睛】本题考查解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
4．（22-23上·大连·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元一次方程的定义进行一一判断即可．
【详解】解：A．含有两个未知数，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
B．未知数的最高次数是2，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C．是一元一次方程，故本选项符合题意；
D． 不是整式，所以不是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程称为一元一次方程是解题的关键．
5．（22·23下·威海·一模）计算的结果为6，那么“”所表示的数字是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】根据题意列出等式，计算化简即可．
【详解】解：∵根据题意列出等式，
所以， ，即，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程等知识内容，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
6．（22·23上·宁波·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数几何？”大意为：若干人共同出资购买某物品，若每人出八钱，则多了三钱；若每人出七钱，则少了四钱，问共有几人？设人数共有人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据该物品的价格不变即可得出关于x的一元一次方程．
【详解】解：设共有x人，
根据题意得：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系．
7．（22-23下·奉贤·期末）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0
【答案】A
【分析】根据方程有无数个解的特征即可进行解答．
【详解】解：∵方程ax=b有无数个解，
∴未知数x的系数a=0，
∴b=0．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，明确方程有无数个解的条件是解题的关键．
8．（22-23下·宁波·期末）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得．
【详解】解：由题意，可列方程为，
故选：C．
【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．
9．（22-23下·昆明·期中）在等式中，当时，；当时，．那么这个等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别把当时，；当时，代入等式中，得到关于k，b的一元二次方程组，求出k，b的值，即可得出答案．
【详解】解：分别把当时，；当时，代入等式中，得，
解得
∴等式为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用及解法，理解题意，熟练解方程组是解题的关键．
10．（22·23上·清远·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】把代入方程，即可求解a的值．
【详解】∵是关于x的方程的解，
∴，
解得：．
故选：D
【点睛】本题考查方程的解的定义：方程的解是指使方程左右两边相等的未知数的值．理解方程的解的定义是解题的关键．
11．（22-23下·信阳·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先求出有人生产螺母，再根据恰好使每天生产的螺栓与螺母配套、一个螺栓套两个螺母列出方程即可得．
【详解】解：由题意得：有人生产螺母，
则可列方程为或或，
故选：B．
【点睛】本题考查了列分式方程、列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
12．（22-23·璧山·一模）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食斗、斗、斗，则可列方程组为：类似地，图2所示的算筹我们可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得，在算筹中，第一列代表的系数，第二列代表的系数，最后一列为式子的和，据此求解即可．
【详解】解：根据题意可得，在算筹中，第一列代表的系数，第二列代表的系数，最后一列为式子的和，
则图2所示的算筹我们可以表示为
故选：A
【点睛】此题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理解算筹中各个符号代表的含义．
13．（22·23下·保定·期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据关于的二元一次方程组的解是列方程组即可解答．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解是，
∴，
∴解得：，
故选．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，学会运用整体思想是解题的关键．
14．（22·23下·眉山·期中）某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“”，根据效率时间工作量，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程．
【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天，
设总的工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，
由题意得，，
故选：C．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意，列出方程．
15．（22-23下·廊坊·阶段练习）某工程队承包了对新修建的足球场及外围跑道进行草坪和地胶的铺设工作．已知该足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，设该工程队每天可铺设x平方米的草坪或铺设y平方米地胶，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
16．（22·23下·绍兴·三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．篮球的数量 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．足球的单价
【答案】D
【分析】根据购买足球的数量是篮球的2倍和方程，可得表示购买足球的数量，从而得到答案．
【详解】解：∵购买足球的数量是篮球的2倍，且所列方程为，
∴表示购买足球的数量，表示购买篮球的数量，
∴x表示足球的单价．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是将方程与题目中的等量关系对应．
17．（22·23下·广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，根据“仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人”，即可列出二元一次方程组．
【详解】解：设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，
根据题意得：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
18．（22·23上·平凉·期末）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据打折销售的题型，成本价×（1+50%）×80%=成本+利润，设成本为x元，由等量关系即可列出方程．
【详解】设成本价是x，根据题意知，
80%(1＋50%)x＝x＋30，
故选：B．
【点睛】本题考查了打折销售的问题，掌握售价=成本价+利润的等量关系式是解题的关键．
19．（22·23上·荆州·期末）如图，在2022年11月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．40 B．56 C．65 D．90
【答案】D
【分析】设正中间的数为，则为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为40、56、65、90，分别列方程求出的值并进行检验，即可得到符合题意的答案．
【详解】解：设正中间的数为，则为整数，这5个数的和为：，
A、当时，得，左上角没有数字，不符合题意；
B、当时，得，不是整数，不符合题意；
C、当时，得，为第行第一个数字，不符合题意；
D、当时，得，符合题意；
∴它们的和可能是，
故选D．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，设正中间的数为，求得五个数的和是并分类讨论是解题的关键．
20．（22·23下·漳州·期中）某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（ ）
A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子
C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子
【答案】D
【分析】设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，得且是正整数，设跳绳单价为元，毽子单价为元，且，得，且是正整数，依题意得由得即，且是正整数，由得，即，，建立方程组求解即可．
【详解】解：设实际小亮去购买跳绳根，购买毽子件，则，
且是正整数，
设跳绳单价为元，毽子单价为元，
且，
，且是正整数，
依题意得：
，
由得：，
即，
即，
，且是正整数，
由得：，
，，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，加减消元法解方程组；解题的关键是通过加减消元法得到，即，．
二、填空题
21．（22-23上·宁波·期中）三个连续整数的和为18，设其中最小的一个为，则 ．
【答案】5
【分析】因为连续2个整数之间相差1，所以三个连续整数为，据此列方程解答即可．
【详解】解：三个连续整数为，
根据题意：，
．
故答案为：5
【点睛】解决本题的关键是明确连续2个整数之间相差1，分别表示出另外两个数．
22．（22-23上·鞍山·期中）如果x﹣1＝3，则x的值是 ．
【答案】4
【分析】移项、合并同类项，据此求出方程的解即可．
【详解】解：移项，可得：x＝3+1，
合并同类项，可得：x＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键．
23．（22-23上·泰州·期末）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的．设该课外活动小组共有x人，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设小组原有人，则女生原有人，根据增加6名女生后就占全组的人数的，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设小组原有人，则女生原有人，
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
24．（22·23下·南川·期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是 ．
【答案】3
【分析】由关于x，y的方程是二元一次方程，可得，，即，，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的定义，求解代数式的值，根据定义再整体代入求值是解本题的关键．
25．（22-23上·泰州·期中）某长方形操场的周长为250m，长和宽之差为25m．问：这个操场的长和宽分别是多少米？如果设这个操场的宽为xm，可列方程 ．
【答案】
【分析】根据长与宽之间的关系，可得出这个操场的长为，结合这个长方形操场的周长为，即可列出关于的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：这个长方形操场的长和宽之差为，且这个操场的宽为，
这个操场的长为，
又这个长方形操场的周长为，
可列出方程．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
26．（22·23下·烟台·期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ．
【答案】
【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．列出二元一次方程组，求出的值即可．
【详解】解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人，
依题意得：，
①②得：，
，
即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，
故答案为：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
27．（22·23上·宜宾·期中）数轴上点A表示的数是，数轴上另一点B与点A相距5个单位长度，则点B表示的数是 ．
【答案】或2
【分析】利用两点之间的距离公式列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设点B表示的数是x，
依题意得，
即，或，
解得，或，
故答案为：或2．
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示的数的绝对值．
28．（22·23下·江苏·阶段练习）关于x的方程的解是非负数，求k的取值范围 ．
【答案】
【分析】将方程的解用表示出来，由于方程的解为非负数，即可列出不等式得到答案．
【详解】解：，
解得，
由于方程的解为非负数，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查非负数，以及一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键．
29．（22·23上·全国·开学考试）一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走了剩下的一半零一个，第三个猴子取走了第二个猴子剩下的一半零一个…直到第8个猴子恰好取完．这堆桃子一共有 ．
【答案】510个
【分析】设这堆桃子一共有个，则第一个猴子取走了：，余下；第二个猴子取走了：；由此推理下去，每个猴子取走数可确定，到第8个猴子取完，总计为即可求解．
【详解】解：设这堆桃子一共有个，则第一个猴子取走了：，余下，
第二个猴子取走了：，
第三个猴子取走了：，
第四个猴子取走了：，
第五个猴子取走了：，
第六个猴子取走了：，
第七个猴子取走了：，
第八个猴子取走了：，
，
（个，
故答案为：510个．
【点睛】本题考查了一元一次方程的运用以及数字变化规律和有理数的加减混合运算．
30．（22·23下·延庆·一模）方程组的解为 ．
【答案】
【分析】把第一个方程整理得到，然后利用代入消元法求解即可；
【详解】，
由①得，，
③代入②得，，
解得，
把代入③得，，
所以，方程组的解是；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，理解方程组中未知数的系数较小时可用代入法是解题的关键．
31．（22·23下·宿迁·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，含有未知数项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此列出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程的定义、解二元一次方程组，理解定义，正确求解m、n值是解答的关键．
32．（22-23下·海淀·一模）某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组： ．
【答案】
【分析】两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．列出方程组即可；
【详解】设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意可得：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
33．（22-23下·南阳·阶段练习）已知方程组的解满足，则的值为 ．
【答案】8
【分析】利用方程2x+y＝1与x+y＝3先求出x、y的值，再代入得到关于k的方程，求解即可．
【详解】解：∵2x+y＝1①，x+y＝3②，
①﹣②，得x＝﹣2，
所以y＝5．
把x＝﹣2，y＝5代入方程kx+（k﹣1）y＝19，得﹣2k+（k﹣1）×5＝19，
解这个方程得，k＝8．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、一元一次方程，掌握二元一次方程组、一元一次方程的解法是解决本题的关键．
34．（23·24上·周口·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2023
【分析】把代入方程，得，再由等式性质得，然后整体代入即可求解．
【详解】解：把代入方程，得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2023．
【点睛】本题考查一元二次方程的根，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根和等式性质是解题的关键．
35．（22-23下·九龙坡·阶段练习）五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是 元．
【答案】460
【分析】设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，可得二号和三号的一等奖、二等奖、三等奖的次数，根据返现金额关系列出方程组，化为二元一次方程并求得方程的整数解即可；
【详解】解：设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，
则五月一号返现金额=30a+20b+10c，
五月二号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为3a、2b、4c，
则五月二号返现金额=90a+40b+40c，
五月三号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、4b、2c，
则五月三号返现金额=30a+80b+20c，
由题意得：，
c=22-6b代入15a+14b+7c=100得：
b=，
∵150a≤1000，且a为整数，
∴a=0，1，2，3，4，5，6，
将a的值代入，仅当a=2时，b=3为整数，
∴c=22-18=4，
∴五月二号返现金额=90×2+40×3+40×4=460元，
故答案为：460；
【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，不等式的应用；掌握二元一次方程整数解的求法是解题关键．
三、解答题
36．（23·24上·厦门·期中）解方程：，并说明“移项”的依据是什么
【答案】，等式的性质1
【分析】方程移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解，再结合等式的性质解答．
【详解】解：，
方程移项得：，
合并得：，
解得：．
移项的依据是等式的性质1．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，等式的性质，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．
37．（22·23上·信阳·期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如：
(1)求的值；
(2)已知，求x的值．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用新定义法则进行计算即可；
（2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：
（2）解：，
可化为：
，
去括号得：，
合并得：，
系数化为1得：．
【点睛】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键．
38．（22-23上·邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动．
（1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？
（2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？
【答案】（1）-10，（2）6秒或18秒
【分析】（1）求出点Q运动到原点O时所用时间，再求出点P所走的距离，求出点P表示的数即可；
（2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，分两种情况列出方程，求解即可．
【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10；
（2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度，
当点P在点Q左侧时，
[20-（-40）]-3x-2x=30，
解得，x=6，
当点P在点Q右侧时，
3x+2x -[20-（-40）] =30，
解得，x=18，
答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和一元一次方程的应用，解题关键是准确理解题意，列出方程，注意分类讨论．
39．（22·23下·亳州·阶段练习）已知方程组的解满足x大于1且y不大于5．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在满足题目条件的整数m，若存在，写出m的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，，6，7，8，9
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法用含m的代数式表示方程组的解，然后根据题意可列不等式组进行求解；
（2）由（1）可进行求解．
【详解】（1）解：解方程组得：，
∵方程组的解满足x大于1且y不大于5，
∴，
解得：；
（2）解：由（1）知，
∴存在满足题目条件的整数m，，6，7，8，9．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键．
40．（22·23上·上饶·阶段练习）利用等式的性质，说明由如何变形得到．
【答案】见解析
【分析】先根据等式的性质两边同时乘以2去掉分母，然后等式两边同时加上2即可得到答案．
【详解】解：
等式两边同时乘以4得：，
等式两边同时加上2得：，即．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．
41．（22·23上·北碚·期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
则方程组的解为；
（2）解：，
得：，
解得：，
把代入①得：，
则方程组的解为．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，准确进行计算．
42．（22-23上·荣昌·阶段练习）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超18立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过18立方米时，其中的18立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米．
（1）若小明家某月用水量为20立方米，则这个月的水费为_______．
（2）当x不超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）；当x超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）．
（3）小亮家某月应交水费为68.5元，求小亮家本月用水量．
【答案】（1）41元；（2）2x元，2.5x-9元；（3）31立方米．
【分析】（1）根据总价=单价×数量，由于20>18，结合本题用水量超出18立方米的水费计价方式，即可求解；
（2）分类讨论①和②两种情况即可用含x的代数式表示应收水费；
（3）68.5>18×2=36，所以这个月用水量一定超过18立方米，结合（2）时的代数式即可列出一元一次方程求解．
【详解】（1）根据超出部分的水费计价方式，18×2+(20-18)×2.5=41元．
故答案为41元
（2）①，应收水费2x元
②，应收水费18×2+(x-18)×2.5=（2.5x-9）元
故答案为2x元，（2.5x-9）元．
（3）68.5>18×2=36，即用水量一定超过了18立方米，
根据（2）结论，可列方程2.5x-9=68.5
解得x=31立方米
所以本月用水量为31立方米．
【点睛】本意考察列代数式，用代数式求值以及一元一次方程的应用．讨论用水量和用水量两种情况并结合总价=单价×数量的关系是解答本题关键．
43．（22-23下·浙江·期中）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）方程组利用加减消元法求解即可．
【详解】解：（1），
将①代入②得：，
解得：，代入①中，
解得：，
∴方程组的解为：；
（2）方程组化简为，
①×2-②×3得：，
解得：，代入中①，
解得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
44．（22-23下·泉州·期中）某商店决定购进A，B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
【答案】(1)购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；
(2)有三种方案；
(3)见解析
【分析】（1）设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解得x和y的值即可；
（2）设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，由题意得关于t的不等式，解得t的范围，再由t为正整数，可得t的值，从而方案数可得；
（3）分别写出三种方案关于a的利润函数，根据一次函数的性质可得答案．
（1）
解：设购进A种纪念品每件需x元、B种纪念品每件需y元，
根据题意得：，
解得：，
答：购进A种纪念品每件需10元、B种纪念品每件需5元；
（2）
解：设购进A种纪念品t件，则购进B种纪念品（100-t）件，
由题意得：750≤5t+500≤764，
解得50≤t≤52.8，
∵t为正整数，
∴t=50，51，52，
∴有三种方案．
第一种方案：购进A种纪念品50件，B种纪念品50件；
第二种方案：购进A种纪念品51件，B种纪念品49件；
第三种方案：购进A种纪念品52件，B种纪念品48件；
（3）
解：第一种方案商家可获利：w=50a+50（5-a）=250（元）；
第二种方案商家可获利：w=51a+49（5-a）=245+2a（元）；
第三种方案商家可获利：w=52a+48（5-a）=240+4a（元）．
当a=2.5时，三种方案获利相同；
当0≤a＜2.5时，方案一获利最多；
当2.5＜a≤5时，方案三获利最多．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组、一次函数的综合运用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
45．（22·23上·中山·期中）为预防疫情反弹，某地区开展了新一轮全员核酸检测．10月15日，人民医院派出甲、乙两支核酸检测队共26人赶赴某中学进行核酸采样，当天共采样10640人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样400人．
(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？
(2)10月16日，医院继续派出甲、乙两支检测队分别前往花园小区、白云小区进行核酸采样，由于白云小区居民人数较多，医院决定从甲检测队中抽调部分人员到乙检测队，经调查发现，甲检测队每减少2人，人均每天采样量增加10人，乙检测队人均每天采样量不变．两支检测队当天共采样10720人，求从甲检测队中抽调了多少人到乙检测队？
【答案】(1)甲支检测队有12人，乙支检测队有14人
(2)从甲检测队中抽调4人到乙检测队
【分析】（1）设甲支检测队有人，乙支检测队有人，根据“甲、乙两支核酸检测队共26人，当天共采样10640人”可列出二元一次方程组求解即可；
（2）设从甲检测队中抽调人到乙检测队，根据“两支检测队当天共采样10720人”列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设甲支检测队有人，乙支检测队有人，根据题意得，
，
整理得，，
把得，，
把代入①解得，
解得，，
∴，
∴甲支检测队有12人，乙支检测队有14人；
（2）从甲检测队中抽调人到乙检测队，
∴甲检测队的人数为（）人，乙检测队的人数为（）人，
∵甲检测队每减少2人，人均采样量增加10人，乙检测队人均采样量不变．
∴甲检测队人均采样量为（）人，
∵两支检测队当天共采样10720人，
∴
整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴从甲检测队中抽调4人到乙检测队．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，正确找出等量或不等量关系是解答本题的关键．
46．（22-23上·蚌埠·期中）在解方程组时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．
（1）求a、b的值；
（2）求方程组的正确解．
【答案】（1），；（2） ，
【分析】（1）根据方程组的解的定义，应满足方程②，x＝2，y＝1应满足方程①，将它们分别代入方程②①，就可得到关于a，b的二元一次方程组，解得a，b的值；
（2）将a，b代入原方程组，求解即可．
【详解】解：（1）将代入②得，解得：
将x＝2，y＝1代入①得，解得： ，
∴，；
（2）方程组为：，
①+②得： ，
，
解得： ，
将代入①得： ，
，
解得： ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解（1）的关键，能求出a、b的值是解（2）的关键．
47．（22-23上·嘉定·期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度米与挖掘时间时之间的关系的部分图象．请回答下列问题：
(1)乙队开挖到米时，用了______小时．开挖小时时，甲队比乙队多挖了______米．
(2)甲队在的时段内，关于的函数关系式是______．
(3)乙队在的时段内，施工速度为每小时______米．
(4)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖小时后，施工速度应为每小时______米时，才能与甲队同时完成米的挖掘任务．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)每小时米
【分析】（1）看图可得结论；
（2）求出直线的解析式即可；
（3）根据速度等于总工作量除以工作时间即可；
（4）两队同时完成任务，可以看成代数中的追及问题．
【详解】（1）解：由图可知：乙队开挖到米时，用了小时，
开挖小时时，甲队挖了米，乙队挖了米，
所以甲队比乙队多挖了米；
故答案为：，；
（2）解：设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
即与之间的函数关系式是：．
故答案是：．
（3）解：施工速度为每小时千米；
故答案为：5；
（4）解：设应每小时增加千米，才能与甲队同时完成米的挖掘任务，得
，
解得：，
则．
即乙队在开挖小时后，施工速度应为每小时 米，才能与甲队同时完成米的挖掘任务．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数的解析式是关键．
48．（22-23上·葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．动点P从点A出发，每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到B点停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A匀速运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒（t＞0）．
(1)点P在AB上运动时，PA＝______，PB＝______，点Q在AB上运动时，BQ＝______，QA＝______（用含t的代数式表示）；
(2)求当t为何值时，AP＝BQ；
(3)当P，Q两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出t的值．
【答案】(1)t，10﹣t，2t﹣6，16﹣2t
(2)当t＝2s或t＝6s或t＝10s时，AP＝BQ
(3)当t＝s或t＝s时，P、Q两点在运动路线上相距的路程为3
【分析】（1）根据路程=时间×速度，结合图形可得出答案；
（2）根据等量关系AP=BQ列出方程并解答；
（3）需要分类讨论：分P、Q两点相遇前后两种情况．
【详解】（1）点P在AB上运动时，PA=t，PB=10-t，点Q在AB上运动时，BQ=2t-6，QA=16-2t.
故答案是：t，10-t，2t-6，16-2t；
（2）若Q在BC上运动，则t=6-2t，
解得t=2，
若Q在AB上运动，则t=2t-6，
解得t=6，
当点P与点B重合时，点Q与点A重合，此时AP=BQ，
t=10，
∴当t=2s或t=6s或t=10s时，AP=BQ；
（3）若P、Q两点还未相遇,则t+2t+3＝16，
解得t＝，
若P、Q两点已经相遇，则t+2t﹣3＝16，
解得t＝，
∴当t＝s或t＝s时，P、Q两点在运动路线上相距的路程为3．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论，第（3）问需要注意是在运动路线上距离为3，不是PQ=3．
49．（22·23上·全国·专题练习）2018年11月日历如图所示．
(1)①小明用十字框按如图的方式框中的五个数，这五个数的和与中间数13有什么关系？
②请你用同样的方式再框五个数，五个数的和与中间数的关系是否还成立？
(2)请你把（1）中发现的规律写出来，并用学习的知识说明理由．
(3)请你用同样的方式框五个数，使这五个数的和等于115（只需画出满足条件的十字框）．
【答案】(1)①这五个数的和是中间数13的5倍；②将十字框中上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数也成立，见解析
(2)五个数的和是中间数的5倍，见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）设中间数为x，根据（1）中发现的规律求解；
（3）设中间数为a，根据题意列出方程结合5个数的关系求解即可．
【详解】（1）①．
故这五个数的和是中间数13的5倍；
②将十字框中上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数也成立，框数如图所示：
（2）规律：五个数的和是中间数的5倍，理由如下：
设中间数为x，则
（3）设中间数为a，依题意有
，
解得：，
故中间数为23，框数略如图所示：
【点睛】此题考查了有理数的四则运算的实际应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练正确分析题意并列式或列方程求解．
50．（23·24上·芜湖·阶段练习）我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为：
①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离；
②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离；
根据以上结论探究：
(1)数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______．
(2)要使，则______．
(3)若，写出x的范围______．
(4)的最小值是______．
【答案】(1)4
(2)或4；
(3)
(4)6
【分析】（1）根据绝对值的性质化简即可求解；
（2）分类讨论：①表示x的点在表示3的点的右侧时和②表示x的点在表示的点的左侧时，根据绝对值的性质化简，再解方程即可；
（3）根据题意可知当表示x的点在表示的点处或在表示的点的左侧时满足即得出答案；
（4）原式可整理为，再根据的最小值为4，的最小值为2，即得出当取最小值时，原式的值最小，从而即可解答；
【详解】（1）∵数轴上表示数x的点在1与5之间移动，
∴．
∴，，
∴．
∴的值是一个固定的值为4．
故答案为：4；
（2）要使，必须使表示x的点在表示3的点的右侧或在表示的点的左侧．
①表示x的点在表示3的点的右侧时，，
∵，
∴．
解得：；
②表示x的点在表示的点的左侧时，，
∵，
∴．
解得：．
综上，x的值为：或4．
故答案为：或4；
（3）∵表示3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离为5，
又∵表示x与3之间的距离，表示x与的距离，
∴只有当表示x的点在表示的点处或在表示的点的左侧时满足，
∴．
故答案为：；
（4）∵
又∵的最小值为4，的最小值为2，
∴当取最小值时，原式的值最小．
∵当即表示x的点与表示2022的点重合时，的最小值为：0．
∴的最小值是：．
故答案为：6．
【点睛】本题考查绝对值的性质和几何意义，解一元一次方程．掌握绝对值的性质和几何意义是解题关键．
【能力提升】
51．（23·24上·福州·期中）数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：
（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
（3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
（4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离
2 1
3 1
4 1
… … 1
n 1
任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______；
任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．
【答案】任务1：；任务2：
【分析】任务1：观察表中数据，即可得出规律，即可求解；
任务2：根据得出的规律列方程求解即可．
【详解】解：任务1：由表格可得，左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，均为45，是木杆总长度的一半，
∴当木杆左边挂5个重物时，支点到木杆左边挂重物处的距离为，
故答案为：；
任务2：∵左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，是木杆总长度的一半，
∴，
∴．
52．（23·24上·武汉·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为5，点C表示为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒．
(2)若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？
(3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
【答案】(1)3，5，2
(2)点M在折线数轴上所表示的数是；
(3)当，，5，时秒，．
【分析】（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；
（2）先判断相遇时间大于5秒，再利用相遇时两点在，上的路程和为5，再列方程求解即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒，
从点O运动至点B需要秒，
从点B运动至点C需要秒
故答案为：3，5，2；
（2）解：由题意可得相遇时间，
∴，
解得，
∴
∴点M在折线数轴上所表示的数是；
（3）解：①当点P在上，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
②当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
③当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
④当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
综上：当或，5，时秒，．
【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
53．（23·24上·福州·开学考试）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元
(2)四种方案：方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
(3)
【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值；
（2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案．
（3）设总获利W元，购进甲型号手机m台，列出关系式，再求利润相同时，W与a的取值无关，据此解答即可．
【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元；
（2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，
根据题意，得： ，
解得：，
为整数，
取或或或，
则进货方案有如下四种：
方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；
方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部．
（3）解：设总获利W元，购进甲型号手机a台，则：
；
当时，W的值与a的取值无关，故（2）中的所有方案获利相同．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用，能根据题意列出不等式组及利润表达式是解题的关键．
54．（23·24上·哈尔滨·期中）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马 薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克．
(1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？
(2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？
(3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马 薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠：
收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱
-优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折
第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？
【答案】(1)品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克
(2)品种每箱元，品种每箱元
(3)
【分析】（1）依题意，设品种的亩产量为千克，则品种的亩产量为，列式，解得，即可作答；
（2）依题意，设品种每箱元，品种每箱元，列出方程组，解得，即可作答；
（3）先算出、品种分别有的箱数，再设第一次收购品种箱，第二次收购箱，则品种第一收购为箱，依题意，列式化简得，解得，即可作答．
【详解】（1）解：设品种的亩产量为千克，则品种的亩产量为，
根据题意得
，
解得
品种的亩产量为（千克）
所以品种黑马铃薯平均亩产量为千点，品种黑马铃薯平均亩产量为千克．
（2）解：设品种每箱元，品种每箱元，
，
解得
所以品种每箱元，品种每箱元；
（3）解：品种共有的箱数：（箱）
产品共有的箱数：（箱）
设第一次收购品种箱，第二次收购箱，则品种第一收购为箱，
整理得
即
那么
解得
所以蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯箱．
【点睛】本题考查了一元一次方程以及二元一次方程的实际应用，难度适中，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程，对式子运算能力有一定的要求．
55．（22·23下·遂宁·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．
(1)根据市场预测：若出售3套L型服装和5套M型服装共可获利300元，出售2套L型服装和3套M型服装共可获利190元．求L、M两种型号的童装每套各获利多少元？
(2)现计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米． 按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？
【答案】(1)L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元
(2)方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【分析】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装件，得出关于m的一元一次不等式组，求出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各生产方案．
【详解】（1）设L、M两种型号的童装每套各获利x元，y元，由题意，得
，
解得：，
所以L、M两种型号的童装每套各获利50元，30元；
（2）设生产L型号的童装m件，则生产M型号的童装件，
依题意得：，
解得：．
又∵m为正整数，
∴m可以取18，19，20，
∴共有3种生产方案，
方案1：生产18套L型号的童装，32套M型号的童装；
方案2：生产19套L型号的童装，31套M型号的童装；
方案3：生产20套L型号的童装，30套M型号的童装．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程组，（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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专题01 一次方程（组）及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22-23下·济宁·期末）我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc，如果有 ＝3，那么x的值为（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．0
2．（22-23下·阳泉·期中）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下列描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？（ ）．
A．50里/分 B．150里/分 C．200里/分 D．250里/分
3．（22·23上·唐山·期末）在解方程时，方程两边同时乘以，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（22-23上·大连·期中）下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（22·23下·威海·一模）计算的结果为6，那么“”所表示的数字是（ ）
A． B． C．3 D．
6．（22·23上·宁波·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数几何？”大意为：若干人共同出资购买某物品，若每人出八钱，则多了三钱；若每人出七钱，则少了四钱，问共有几人？设人数共有人，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23下·奉贤·期末）如果关于x的方程ax＝b有无数个解，那么a、b满足的条件是（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝0，b≠0 C．a≠0，b＝0 D．a≠0，b≠0
8．（22-23下·宁波·期末）成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ）
A．B． C． D．
9．（22-23下·昆明·期中）在等式中，当时，；当时，．那么这个等式为（ ）
A． B． C． D．
10．（22·23上·清远·期末）若是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A． B．2 C． D．10
11．（22-23下·信阳·期末）某车间有22名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天可生产54个螺栓或24个螺母，若分配人生产螺栓，剩余的工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓与螺母配套．下列方程不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（22-23·璧山·一模）我国很早就开始对数学的研究，其中不少成果被收入古代数学著作《九章算术》中，《九章算术》的“方程”一章中，有许多关于一次方程组的内 容，这一章的第一个问题译成现代汉语是这样的：“上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束，可得粮食39斗；上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，可得粮食34斗；上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，可得粮食26斗．问上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗？”如图1的算筹代表了古代解决这个问题的方法，设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食斗、斗、斗，则可列方程组为：类似地，图2所示的算筹我们可以表示为（ ）
A．B． C． D．
13．（22·23下·保定·期末）已知关于的二元一次方程组的解是，则关于和的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
14．（22·23下·眉山·期中）某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
15．（22-23下·廊坊·阶段练习）某工程队承包了对新修建的足球场及外围跑道进行草坪和地胶的铺设工作．已知该足球场及跑道的总面积为4050平方米，工程队铺设3天的草坪面积比铺设2天的地胶面积多180平方米．若该工程铺设了10天草坪以及20天地胶后完成了此项铺设工程，设该工程队每天可铺设x平方米的草坪或铺设y平方米地胶，则可列方程组为（ ）
A．B．C． D．
16．（22·23下·绍兴·三模）为迎接亚运，某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元，根据题意可列方程，则方程中x表示（ ）
A．篮球的数量 B．篮球的单价 C．足球的数量 D．足球的单价
17．（22·23下·广安·期末）某种仪器由1个部件和2个部件配套构成，每名工人每天可以加工50个部件或60个部件，现有72名工人，应怎样安排人力，才能使每天加工的部件和部件配套？设安排名工人加工部件，安排y名工人加工部件，则可列出方程组（ ）
A． B．
C． D．
18．（22·23上·平凉·期末）一件夹克衫先按成本价提高50%标价，再将标价打8折出售，结果获利28元，如果设这件夹克衫的成本价是x元，那么根据题意，所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
19．（22·23上·荆州·期末）如图，在2022年11月的日历表中用“”框出8，10，16，22，24五个数，它们的和为80，若将“”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（ ）
A．40 B．56 C．65 D．90
20．（22·23下·漳州·期中）某学校为了增强学生体质，决定让各班去购买跳绳和毽子作为活动器械．七年1班生活委员小亮去购买了跳绳和毽子共5件，已知两种活动器械的单价均为正整数且跳绳的单价比毽子的单价高．在付款时，小亮问是不是30元，但收银员却说一共45元，小亮仔细看了看后发现自己将两种商品的单价记反了，则小亮实际购买情况是（ ）
A．1根跳绳，4个毽子 B．3根跳绳，2个毽子
C．2根跳绳，3个毽子 D．4根跳绳，1个毽子
二、填空题
21．（22-23上·宁波·期中）三个连续整数的和为18，设其中最小的一个为，则 ．
22．（22-23上·鞍山·期中）如果x﹣1＝3，则x的值是 ．
23．（22-23上·泰州·期末）某课外活动小组中女生人数占全组人数的一半，如果增加6名女生，那么女生人数就占全组人数的．设该课外活动小组共有x人，则可列方程为 ．
24．（22·23下·南川·期中）已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值是 ．
25．（22-23上·泰州·期中）某长方形操场的周长为250m，长和宽之差为25m．问：这个操场的长和宽分别是多少米？如果设这个操场的宽为xm，可列方程 ．
26．（22·23下·烟台·期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩．湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人．则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 ．
27．（22·23上·宜宾·期中）数轴上点A表示的数是，数轴上另一点B与点A相距5个单位长度，则点B表示的数是 ．
28．（22·23下·江苏·阶段练习）关于x的方程的解是非负数，求k的取值范围 ．
29．（22·23上·全国·开学考试）一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走了剩下的一半零一个，第三个猴子取走了第二个猴子剩下的一半零一个…直到第8个猴子恰好取完．这堆桃子一共有 ．
30．（22·23下·延庆·一模）方程组的解为 ．
31．（22·23下·宿迁·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则 ．
32．（22-23下·海淀·一模）某校为美化校园，计划对一些区域进行绿化，安排了甲、乙两个工程队完成，两队共完成了面积为400m2区域的绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是10m2，乙队每天能完成绿化的面积是5m2，甲队比乙队晚10天完成任务．设甲队和乙队分别完成的绿化面积为xm2和ym2，根据题意列出方程组： ．
33．（22-23下·南阳·阶段练习）已知方程组的解满足，则的值为 ．
34．（23·24上·周口·阶段练习）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 ．
35．（22-23下·九龙坡·阶段练习）五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是 元．
三、解答题
36．（23·24上·厦门·期中）解方程：，并说明“移项”的依据是什么
37．（22·23上·信阳·期末）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如：
(1)求的值；
(2)已知，求x的值．
38．（22-23上·邢台·阶段练习）如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动．
（1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？
（2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？
39．（22·23下·亳州·阶段练习）已知方程组的解满足x大于1且y不大于5．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在满足题目条件的整数m，若存在，写出m的值，若不存在，说明理由．
40．（22·23上·上饶·阶段练习）利用等式的性质，说明由如何变形得到．
41．（22·23上·北碚·期末）解二元一次方程组：
(1)；
(2)．
42．（22-23上·荣昌·阶段练习）某市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超18立方米时，按2元/立方米计费；月用水量超过18立方米时，其中的18立方米仍按2元/立方米收费，超过部分按2.5元/立方米计费．设每户家庭月用水量为x立方米．
（1）若小明家某月用水量为20立方米，则这个月的水费为_______．
（2）当x不超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）；当x超过18时，应收水费为______（用含x的整式表示）．
（3）小亮家某月应交水费为68.5元，求小亮家本月用水量．
43．（22-23下·浙江·期中）解下列方程组：
（1） （2）
44．（22-23下·泉州·期中）某商店决定购进A，B两种纪念品．购进A种纪念品7件，B种纪念品2件和购进A种纪念品5件，B种纪念品6件均需80元．
(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？
(3)已知商家出售一件A种纪念品可获利a元，出售一件B种纪念品可获利元，试问在（2）的条件下，商家采用哪种方案可获利最多？（商家出售的纪念品均不低于成本价）
45．（22·23上·中山·期中）为预防疫情反弹，某地区开展了新一轮全员核酸检测．10月15日，人民医院派出甲、乙两支核酸检测队共26人赶赴某中学进行核酸采样，当天共采样10640人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样400人．
(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？
(2)10月16日，医院继续派出甲、乙两支检测队分别前往花园小区、白云小区进行核酸采样，由于白云小区居民人数较多，医院决定从甲检测队中抽调部分人员到乙检测队，经调查发现，甲检测队每减少2人，人均每天采样量增加10人，乙检测队人均每天采样量不变．两支检测队当天共采样10720人，求从甲检测队中抽调了多少人到乙检测队？
46．（22-23上·蚌埠·期中）在解方程组时，由于小明看错了方程①中的a，得到方程组的解为，小华看错了方程②中的b，得到方程组的解为x＝2，y＝1．
（1）求a、b的值；
（2）求方程组的正确解．
47．（22-23上·嘉定·期末）有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．如图是反映所挖河渠长度米与挖掘时间时之间的关系的部分图象．请回答下列问题：
(1)乙队开挖到米时，用了______小时．开挖小时时，甲队比乙队多挖了______米．
(2)甲队在的时段内，关于的函数关系式是______．
(3)乙队在的时段内，施工速度为每小时______米．
(4)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖小时后，施工速度应为每小时______米时，才能与甲队同时完成米的挖掘任务．
48．（22-23上·葫芦岛·阶段练习）如图，在长方形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6．动点P从点A出发，每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到B点停止运动；同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A匀速运动，到A点停止运动．设P点运动的时间为t秒（t＞0）．
(1)点P在AB上运动时，PA＝______，PB＝______，点Q在AB上运动时，BQ＝______，QA＝______（用含t的代数式表示）；
(2)求当t为何值时，AP＝BQ；
(3)当P，Q两点在运动路线上相距3个单位长度时，请直接写出t的值．
49．（22·23上·全国·专题练习）2018年11月日历如图所示．
(1)①小明用十字框按如图的方式框中的五个数，这五个数的和与中间数13有什么关系？
②请你用同样的方式再框五个数，五个数的和与中间数的关系是否还成立？
(2)请你把（1）中发现的规律写出来，并用学习的知识说明理由．
(3)请你用同样的方式框五个数，使这五个数的和等于115（只需画出满足条件的十字框）．
50．（23·24上·芜湖·阶段练习）我们知道的几何意义是：数轴上表示a的点与原点的距离，即．这个结论可以推广为：
①表示在数轴上表示数a、b的两点间的距离；
②表示在数轴上表示数a、的两点间的距离；
根据以上结论探究：
(1)数轴上表示数x的点在1与5之间移动时，的值是一个固定的值，为______．
(2)要使，则______．
(3)若，写出x的范围______．
(4)的最小值是______．
【能力提升】
51．（23·24上·福州·期中）数学活动：用一根质地均匀长为的木杵和一些等重的小物体，做如下的实验：
（1）在木杆中点处栓绳，将木杆吊起来并使其左右平衡，吊绳处为木杆的支点；
（2）在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
（3）小明在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡，记录此时支点到木杆左右两边挂重物处的距离；
（4）在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂重物个数 支点到木杆左边 挂重物处的距离 木杆右端挂重物个数 支点到木杆右端 挂重物处的距离
2 1
3 1
4 1
… … 1
n 1
任务1：根据以上小明的记录，若木杆左边挂5个重物，则支点到木杆左边挂重物处的距离为______；
任务2：如图，在木杆右端挂一重物，支点左边挂n个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把n，l作为已知数，求x的值．
52．（23·24上·武汉·期中）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为5，点C表示为9，我们称点A和点C在数轴上相距15个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点O需要_____秒，从点O运动至点B需要_____秒，从点B运动至点C需要_____秒．
(2)若P，Q两点在点M处相遇，则点M在折线数轴上所表示的数是多少？
(3)请直接写出当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．
53．（23·24上·福州·开学考试）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？
(2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)售出一部甲种型号手机，利润率为40%，乙型号手机的售价为1280元．为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机，返还顾客现金元，而甲型号手机售价不变，要使（2）中所有方案获利相同，求的值．
54．（23·24上·哈尔滨·期中）黑马铃薯又名“黑金刚”，它富含碘、硒等多种微量元素，特别是含有花青素、花青原素，素有“地下苹果”之称．老李今年种植了5亩品种黑马 薯，亩品种黑马铃薯，其中品种的平均亩产量比品种的平均亩产量低，共收获两个品种黑马铃薯千克．
(1)求，两个品种黑马铃薯平均亩产量各多少千克？
(2)根据如图信息，求收购时、两种马铃薯每箱的收购价格分别是多少元？
(3)在（2）的条件下某蔬菜商人分两次向老李收购完这些黑马 薯．收购方式如下：，两个品种各自独立装箱，品种每箱千克，品种每箱千克，老李给出如下优惠：
收购或的数量（单位：箱） 不超过箱 超过箱
-优惠方式 收购总价打九五折 收购总价打八折
第一次收购了两个品种共箱，且收购的品种箱数比品种箱数多；受某些因素影响，蔬菜商人第二次收购时做出了价格调整：每箱的收购价不变，每箱的收购价比第一次的收购价降低，优惠方式不变．两次收购完所有的黑马铃薯后，蔬菜商人发现第二次支付给老李的费用比第一次支付给老李费用多元，求蔬菜商人第一次收购品种黑马铃薯多少箱？
55．（22·23下·遂宁·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和地区．现工厂有甲种布料38米，乙种布料26米．
(1)根据市场预测：若出售3套L型服装和5套M型服装共可获利300元，出售2套L型服装和3套M型服装共可获利190元．求L、M两种型号的童装每套各获利多少元？
(2)现计划用这两种布料生产这两种型号的童装50套进行市场调研．已知做一套L型号的童装需甲种布料0.5米、乙种布料1米；做一套M型号的童装需甲种布料0.9米、乙种布料0.2米． 按要求安排L、M两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案？
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