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专题01 一次方程（组）及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．
（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
考点一遍过
考点1：方程的解
典例1：（22·23上·红河·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
【答案】C
【分析】将代入求解即可．
【详解】解：将代入得：，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．
【变式1】（22·23上·泰安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，将替换代入方程，即可得出，进而求出结果即可．
【详解】解：设，
则，变形为，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设，将替换代入方程是解答本题的关键．
【变式2】（22·23上·盐城·期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x 1
9 6 3 0
则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质把变形为；再根据表格中的数据求解即可．
【详解】解：关于x的方程变形为，
由表格中的数据可知，当时，；
故选：D．
【点睛】本题考查了等式的性质，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
【变式3】（22·23·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【答案】C
【分析】设一人间x间，二人间y间，三人间间，根据旅行团共15人列出方程，解方程即可．
【详解】解：设一人间x间，二人间y间，三人间间．根据题意得：，
整理得：，
当时，，；
当时，，；
当时，，；
当时，，．
∴有4种租房方案：①租一人间3间，二人间0间，三人间4间；②租一人间2间，二人间2间，三人间3间；③租一人间1间，二人间4间，三人间2间；④租一人间0间，二人间6间，三人间1间．
故选：C．
【点睛】本题是二元一次方程的应用，此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程，然后根据x，y是整数求解，注意分类讨论思想的应用．
【变式4】（22·23下·石家庄·阶段练习）若和都是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】把和代入，建立方程组，再解方程组即可.
【详解】解：和都是方程的解，
，
解②得：，
把代入①得：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，二元一次方程组的解法，掌握“利用方程的解建立新的二元一次方程”是解本题的关键.
【变式5】（22·23下·嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接把，代入各方程进行检验即可．
【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
、把，代入：左边，故此项符合题意；
、把，代入：左边，故此项不符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
考点2：等式的性质
典例2：（23·24上·长沙·期中）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可求出答案．
【详解】、利用等式性质，两边都加，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都减去，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、利用等式性质，两边都乘，得到，原变形一定成立，故此选项不符合题意；
、成立的条件是，原变形不一定成立，故此选项符合题意；
故选：．
【点睛】此题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，等式的性质：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数(或式子)，结果仍相等．
【变式1】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】应用等式的性质即可．
【详解】A. 如果，那么 ，选项错误；
B. 若，则，选项正确；
C. 若，则，选项错误；
D. 若，则当，或，选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质，关键是正确应用等式的性质转化并解决问题．
【变式2】（23·24上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
故选：C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式3】（22·23上·河北·阶段练习）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【分析】A、方程系数化为1，求出解，即可作出判断；
B、方程系数化为1，求出解，即可作出判断；
C、方程移项得到结果，即可作出判断；
D、方程去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：A、由，得：，不符合题意；
B、由，得：，不符合题意；
C、由，得，不符合题意；
D、由，得，即，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
【变式4】（22·23下·沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）
A．25 B．21 C．20 D．19
【答案】D
【分析】根据题意可知3个比2个加1个20砝码轻，易得1个比20砝码轻，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，可知3个比1个加1个50砝码轻，1个加1个50砝码比2个加1个20砝码轻，
所以，3个比2个加1个20砝码轻，
即1个比20砝码轻，
所以的质量可能为
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
【变式5】（22·23下·长春·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由得
B．由得
C．由得
D．由得
【答案】D
【分析】根据等式基本性质和去括号法则逐项判断即可．
【详解】解：A、变形为，故A错误，不符合题意；
B、变形得：，故B错误，不符合题意；
C、得：，故C错误，不符合题意；
D、得，故D正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了等式的基本性质和去括号法则，熟练掌握等式的基本性质和去括号法则，是解题的关键．
考点3：解一元一次方程
典例3：（23·24上·广州·期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为即可；
（）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后系数化为即可．
【详解】（1）
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，;
（2）
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
【变式1】（23·24上·广州·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】（1）直接移项即可解答；
（2）先移项，再系数化为1即可解答；
（3）先去括号，然后再移项、合并同类项、系数化为1即可解答
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的基本步骤为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一．
【变式2】（23·24上·大连·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】移项合并，然后系数化为1计算求解即可．本题考查了解一元一次方程．熟练掌握先移项合并，然后系数化为1，是解方程的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
．
【变式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数的系数化为1”．
【详解】（1）解：，
合并同类项得：，
未知数系数化为1得：；
（2）解：，
移项，合并同类项得：，
未知数系数化为1得：．
【变式4】（23·24上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）解：，
原方程可变形为，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（4）解：，
去绝对值，得：或，
去括号，得：或，
移项，得：或，
合并同类项，得：或，
系数化为1，得：或．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”是解题的关键．
【变式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1：；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1：．
考点4：一次方程的实际应用
典例4：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【答案】应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
【分析】设应安排木材用来生产桌面，则应安排木材用来生产桌腿．“木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿”求出桌面数与桌腿数．根据一张桌子要用一个桌面和4条桌腿配套，利用桌面数×4=桌腿数建立方程求出其解即可．
【详解】解：设用木材制作桌面，则用木材制作桌腿，
根据题意得，
整理得：，
解得：，
．
答：应安排10立方米木材用来生产桌面，2立方米木材生产桌腿．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用与求解，根据题意正确列出方程式是解题关键．
【变式1】（23·24上·海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【答案】；260；2；5590
【分析】根据题意，表示出大象的重量可表示为斤，也可表示为斤，进而可列方程求解即可.
【详解】解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：．
②解这个方程得，．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量个搬运工的体重；
④，
即最终可求得：大象的体重为5590斤．
故答案为：；260；2；55
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并正确求解是解答的关键．
【变式2】（23·24上·武汉·期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）．
(1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)1800，1890
(2)
(3)先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款1770元
【分析】（1）根据两种方案的收费方式列式，计算时的值即可；
（2）根据题意建立方程求解即可；
（3）根据题意得出方案一购买球拍，方案二购买剩余所需乒乓球．
【详解】（1）解：由题意得，方案一需付款：元，
方案二需付款：元，
当时，
方案一需付款：（元）
方案二需付款：（元），
故答案为：1800，1890；
（2）解：由题意得，，
解得：，
当时，分别用两种方式购买所需费用一样；
（3）解：先按方案一购买10副球拍可得20盒乒乓球，再按方案二购买20盒乒乓球，需付款（元）．
【点睛】本题主要考查了列代数式及代数式求值问题，一元一次方程的应用，得到两种优惠方案付费的关系式是解题的关键．
【变式3】（23·24上·沈阳·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，对应的数为．
(1)若点到点，点的距离相等，请求出的值；
(2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为20 若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；
(3)一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点的运动的时间为秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时的值．
【答案】(1)
(2)存在；或13
(3)6秒或62秒
【分析】（1）根据点到点，点的距离相等，则可得，进而可求解．
（2）依题意得，分类讨论：当时，当时，当时，化简绝对值即可求解．
（3）分类讨论：当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时和当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，利用距离相等为等量关系列出式子即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得：．
（2）存在，理由如下：
由题意得：，
当时，，
解得：，
当时，，
即：，不符合题意，舍去，
当时，，
解得：，
综上所述：或
（3）当甲，乙两小球到原点的距离第一次相等时，
依题意得：，
解得：（秒）；
当甲，乙两小球到原点的距离第二次相等时，
甲、乙两小球相遇时，时间为：
，
解得：（秒），
此时甲、乙两小球与原点的距离为：，
则：，
解得：秒，
综上所述：甲，乙两小球到原点的距离相等时的值为：6秒或62秒．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴及化简绝对值，比较复杂，读题是难点，所以解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，利用分类讨论的思想解决问题．
【变式4】（22-23下·浦东新·期末）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的，（2）班参加数学小组的人数恰好是（1）班没有参加数学小组人数的，六年级（1）班、（2）班没有参加数学小组的各有多少人？
【答案】六年级（1）、（2）班没有参加的同学有36人、24人
【详解】解： 设六年级（1）班没有参加的同学有x人，则（2）班参加的同学有人，
（1）班参加的同学有人，（2）班没有参加的同学有人，
根据题意可得，
∴，
故六年级（1）、（2）班没有参加的同学有36人、24人．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用；从没有参加的人数开始分别列出各班没有参加和参加的人数是解题的关键．
【变式5】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）水是生命之源，节约用水是全社会的共同责任．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控的手段达到节水的目的，某市自来水收费的价格表如下（水费按月结算）
价格表
每月用水量 价格
不超过6立方米的部分 每立方米3元
超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米5元
超过10立方米的部分 每立方米8元
小亮家一月份用水立方米，二月份用的水量比一月份用的少2立方米．
(1)求小亮家一月份应交的水费．
(2)求小亮家二月份应交的水费．
(3)若小亮家三月份交的水费是二月份水费的，求小亮家三月份的用水量多少立方米．
【答案】(1)12.5
(2)28
(3)12
【分析】（1）根据表格中的收费方法，列式计算即可；
（2）根据表格中的收费方法，列式计算即可；
（3）设小亮家三月份的用水量是x立方米，根据题意，求出x的范围，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：（元）．
答：应交水费12.5元；
故答案为：12.
（2）二月份用水量为（立方米），
根据题意得：（元）．
∴张鸣家5月份应交水费28元；
（3）三月份交的水费为（元），
设小亮家三月份的用水量是x立方米，
当用水量为10立方米时，应交水费（元），
∵，
∴．
根据题意得，
解得．
答：小亮家三月份的用水量是12立方米．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．解题的关键是理清收费方法，正确的列出方程和代数式．
【变式6】（23·24上·南岸·期中）如图，在数轴上点A表示的数是，点在点A的右侧，且到点A的距离是18；点在点A与点之间，且到点的距离是到点A距离的2倍．
(1)点表示的数是______；点表示的数是______；
(2)若点从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点重合，求出的值和此时点对应的数；
(3)在（2）的条件下，当点到达点A后沿原路按原速返回，点到达点后两个点同时停止运动．是否存在某一时刻，使得两点间的距离恰好等于线段的一半，如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)14；2
(2)当为时，两点相遇，相遇点所表示的数是
(3)的值为或或9
【分析】（1）根据两点间的距离公式可求点表示的数；根据线段的倍分关系可求点表示的数；
（2）秒后，点表示的数为：；点表示的数为：，根据相遇时点P、Q表示的数相同得出，求出t的值即可；
（3）分还未返回前，返回途中两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：点表示的数是；点表示的数是；
故答案为：14；
（2）解：秒后，点表示的数为：；点表示的数为：，根据题意得：
，
解得：
相遇点所表示的数为，
答：当为3.6时，两点相遇，相遇点所表示的数是3.2；
（3）解：由已知得：运动9秒到运动6秒到A，
还未返回前：点表示的数为：；点表示的数为：，
，
或5.4，
返回途中：表示的数是，
解得：，
答：的值为1.8或5.4或
【点睛】本题考查了数轴、两点间的距离，本题渗透了分类讨论和方程的思想，在解决类似的问题时，要防止漏解．
【变式7】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）如图，将某些具有一定规律的数按照如下图的方式进行排列，得到一个数阵，用如图的一个矩形框框住其中的4个数：
(1)若方框内最右上角的数是97，则最左下角的数为________；
(2)若方框内最右上角的数用a表示，请用含a的代数式表示这4个数之和；
(3)方框内的4个数之和可能为612吗？若可能，求最右上角的数；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由题意即可得出结论；
（2）方框内最右上角的数为，则其它三个数分别为，，，利用代数式求和即可；
（3）由题意：方框内个数的和为 ，列出一元一次方程，解方程求出，再由数阵排列规律即可得出结论.
【详解】（1）∵方框内最右上角的数是97，
则最左下角的数为：；
故答案为：；
（2）∵方框内最右上角的数用表示，
∴第二个数为，第三个数为，最左下角的数为，
∴这个数之和为：；
（3）不能，
理由是：,
解得：，
根据数阵排列规律，不存在这个数，所以方框内的个数之和不可能为．
【点睛】本题考查了数学规律题的解法的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时寻找数据变化的规律是解答的关键．
【变式8】（22·23上·漯河·期末）某校初一（1）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 2 88
C 64
D 10 40
(1)请补全表格．
(2)参赛者得82分，他答对了几道题？
(3)参赛者说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由
【答案】(1)18，14，6，10
(2)17
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）先由A同学，D同学的得分可得可得答对一题得5分，答错一题扣1分，再填表即可；
（2）设答对了道题，则他答错了道题，再由得分为82分建立方程求解即可；
（3）由D同学的情况可作判断．
【详解】（1）解：由A同学可得：，可得答对一题得5分，
由D同学可得：，，可得答错一题扣1分，
∴B同学答对18题，D同学答错10题，
设C同学答对题，则答错题，
∴
解得：，
∴C同学答对14题，答错6题．
（2）设答对了道题，则他答错了道题，
∴，
解得；
（3）由D同学答错了10题，得分是40分，
∴参赛者说他错了10个题，得50分是错误的．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算的实际应用，一元一次方程的应用，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
【变式9】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为．
(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；
(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？
(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：
①购买商品不超过300元，不优惠；
②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；
③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；
按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？
【答案】(1) ，30
(2)29件
(3)8件或者9件
【分析】（1）设乙的进价为x元/件，根据乙的利润率为，求出x的值；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，再由总进价是1790元，列出方程求解即可；
（3）分两种情况讨论，①打折前购物金额超过300元，但不超过500元，②打折前购物金额超过500元，分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：甲商品的利润率为，
设乙的进价为x元/件，
则，
解得：．
故乙的进价为30元/件；
故答案为：，30；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，
由题意得，，
解得：，
∴购进乙种商品29件；
（3）设王阿姨此次购物购买m件甲商品，
①当打折前购物金额超过300元，但不超过500元时，
由题意得，
解得：；
②当打折前购物金额超过500元时，
，
解得：，
综上可得王阿姨此次购物购买8件或9件甲商品．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
【变式10】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成．
(1)现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
(2)如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共需要几天？
【答案】(1)24天
(2)42天
【分析】（1）设两队合作需要x天完成，由工程问题的数量关系建立方程求出其解即可；
（2）设乙队单独做还需要y天完成，根据甲乙完成的工作量之和为1建立方程求出其解即可．
【详解】（1）设两队合作需要x天完成，由题意，得
解得：．
答：两人合做需要24天完成；
（2）设乙单独做还需要y天完成，由题意，得
解得：．
（天）．
答：修好这条路共需要42天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，抓住关键描述语，找到等量关系列出方程．
考点5：方程组的概念
典例5：（22·23下·周口·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义：两个一次方程，共两个未知数，组成的方程组，进行判断即可．
【详解】解：①是二元一次方程组；②是二元一次方程组；③不是整式方程，不是二元一次方程组；④是二元一次方程组；
故选C．
【点睛】本题考查二元一次方程组的识别，熟记定义，是解题的关键．
【变式1】（22·23下·济宁·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义“把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”进行判断即可得．
【详解】解：A、，不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；
B、，不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；
C、，是二元一次方程组，选项说法正确，符合题意；
D、，不是二元一次方程组，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是掌握二元一次方程组的定义．
【变式2】（22·23下·廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将方程组的解代入每个选项分别计算即可判断．
【详解】解：A、将代入，左边右边，故不符合题意；
B、将代入，左边＝右边，但不是整式方程，故不符合题意；
C、将代入，左边＝右边，但不是二元一次方程，故不符合题意；
D、将代入，故符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，正确理解二元一次方程组的定义及正确代入计算是解题的关键．
【变式3】（22·23下·东莞·阶段练习）在方程组，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义逐一分析即可．
【详解】解：含有三个未知数，故不是二元一次方程组；
是二元一次方程组；
是二元一次方程组；
中是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
综上，是二元一次方程组的只有和．
故选：B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，要求熟悉二元一次方程组的形式及其特点：含有2个未知数，最高次项的次数是1的整式方程．
考点6：解二元一次方程组
典例6：（23·24上·深圳·期中）解方程组：
【答案】
【分析】先把第二个方程化简，再用加减法解即可．
【详解】解：
②化简得：，即③，
①＋③得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
原方程组的解为：．
【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组，当方程组中有可以化简的方程时，应先化简方程．
【变式1】（23·24上·长沙·开学考试）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先计算乘方，算术平方根，立方根，化简绝对值，再合并即可；
（2）由可得：，把代入① 得：，从而可得答案．
【详解】解：（1）
；
（2），
得：，
解得：，
把代入① 得：，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题考查的是实数的混合运算，算术平方根与立方根的含义，二元一次方程的解法，掌握以上基础的计算是解本题的关键．
【变式2】（22·23下·延边·期末）计算：
【答案】
【分析】运用加减消元法进行计算即可得．
【详解】解：，
①，得，
②-③得，，
，
把代入①，得，
，
∴这个方程组的解为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法．
【变式3】（22·23下·温州·期中）计算：选用适当的方法解下列方程组
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据代入消元法解答即可；
（2）根据加减消元法解答即可；
【详解】（1）解：，
把①代入②得：，解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
（2）解：
得：，解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键.
【变式4】（22·23下·成都·期末）已如方程组的解为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先解方程组求得方程组的解，在根据条件得到不等式组，即可求得a的范围；
（2）根据正数的绝对值是正数，负数的绝对值是它的相反数即可去掉绝对值符号，化简．
【详解】（1）由方程组，
解方程组得：，
根据题意得：，
解得：.
（2）∵，
∴
．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式及绝对值的性质二次根式的化简，根据方程组解的属性列出关于a的不等式组是解题的关键．
【变式5】（23·24上·济南·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用加减消元法解出的值，再运用代入消元法解出的值，即可作答；
（2）先去分母，再运用代入消元法解出的值，即可作答；
【详解】（1）解：因为，
所以，得，解得
把代入①，得，解得，
所以方程组的解为
（2）解：因为
所以整理①得，即
所以整理②得，
把代入，
得，
解得，
把代入，
解得，
所以方程组的解为
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能选择适当的方法解方程组是解此题的关键，注意：解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法．
考点7：一次方程组的实际应用
典例7：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【答案】(1)40，15
(2)6
(3)16
【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则；
（2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可；
（3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数．
【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，
依题意得，，
解得，，
∴，
∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；
（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，
设还需要再合作天可完成此项工程的，
依题意得，，
解得，，
∴还要再合作6天可完成此项工程；
（3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天，
依题意得，，
解得，，
∵，
∴甲工程队参加工作16天．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．
【变式1】（23·24上·广州·阶段练习）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书，已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元
(2)社区至少要准备购书款2700元
【分析】（1）设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，再根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元”列出关于，的二元一次方程组，求解即可；
（2）设社区要准备购书款元，购买的科技类图书为本，则购买的文学类图书为本，利用总价=单价×数量，即可得出关于的函数关系式，由题意可分当及时进行讨论，取其最小值比较即可．
【详解】（1）解：设科技类图书的单价为元，文学类图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．
（2）解：设社区要准备购书款元，购买的科技类图书为本，则购买的文学类图书为本，
①当时，，
，
此抛物线的开口向下，对称轴为，
当时，随的增大而减少，
当时，的值最小，即；
②当时，，
，
随的增大增加，
当时，的值最小，即；
；
社区至少要准备购书款2700元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二次函数及一次函数的应用，理解题意，找到题目中的等量关系并进行分类讨论，是解题关键．
【变式2】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米
(2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时
【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可．
【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米．
根据题意，得：，
解这个方程组，得，
答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时．
根据题意，得：，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的解，
答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时．
【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
【变式3】（22·23下·沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．
(1)如图1所示幻方，求x的值；
(2)如图2所示幻方，求a，b的值；
(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．
【答案】(1)
(2)
(3)一共有3种填法；填写见解析
【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；
（2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可；
（3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：；
（2）解：根据题意得：，
解得：；
（3）解：根据题意得：，
即，
∵m，n为正整数，
∴，，，
∴共有3种填法；
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组．
【变式4】（22-23下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
．
解得：
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）（年）
（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
【变式5】（23·24上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车
(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人
【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；
（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，
根据题意，得：，解得，
答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车．
（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，
由题意得：，
整理得：，
当时，；
当时，；
当时，；
答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个
(2)A款纪念品降价以前的售价50元
【分析】（1）设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元一次方程组，即可解答；
（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，利用按照原价销售的个数加上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，
根据题意可得，
解得，
答：A款纪念品购进的个数为30个；
（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，
则可得降价后的售价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，为原方程的解，
答：A款纪念品降价以前的售价50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．
【变式7】（22·23·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）首先设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的两条长边分别为，，宽为,进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组即可得出答案；
（2）根据长方形的面积计算公式即可得出答案．
【详解】（1）解：设一块长方形墙砖的长为，宽为．
依题意得：
，
解得：
，
答：一块长方形墙砖的长为，宽为．
（2）求电视背景墙的面积为：．
答：电视背景墙的面积为．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解答此题的关键．
【变式8】（23·24上·福州·开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？
【答案】甲有羊63只，乙有羊45只．
【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据“甲得到乙的九只羊后，甲的羊就比乙多一倍；乙得到甲的九只羊后，两人的羊一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可得解．
【详解】解：设甲有羊x只，乙有羊y只．
∵甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍”．
∴；
∵乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多”．
∴．
联立两方程组成方程组．
解得．
答：甲有羊63只，乙有羊45只．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
考点8：方程组的应用——错解问题
典例8：（22·23下·郴州·阶段练习）一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为；小文抄错了方程②，得到方程组的解为，试求的值．
【答案】/
【分析】根据题意将小明所得方程组的解代入方程②，将小文所得方程组的解代入方程①，即可得关于a、b的二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：由题意得： ，
解方程组得 ，
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的知识，理解抄错了方程①，得到方程组的解即只满足方程②，同理抄错了方程②，得到方程组的解即只满足方程①，是解答本题的关键．
【变式1】（22-23下·江西·阶段练习）已知方程组，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为；请你根据上述条件求原方程组的解．
【答案】
【分析】根据题意得到关于、得二元一次方程组，求出、的值，再代入原方程组，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，，
整理得：，
解得：，
原方程组为，
得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
方程组的解为．
【点睛】本题主要考查的是解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键．
【变式2】（22·23下·衡阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的得解为，小红看错了方程组中的，得解为；
(1)小军把看成了什么数？小红把看成了什么数？
(2)正确的解应该是怎样的？
【答案】(1)5；1
(2)
【分析】（1）依题意，得，解得，同理，得，解得，即可得出答案；
（2）依题意，得，解得，同理，得，解得，解二元一次方程组即可.
【详解】（1）解：∵小军看错了方程组中的，
把代入，得，
解得，
∴小军把看成了5；
∵小红看错了方程组中的，
把代入，得，
解得，
∴小红把看成了1；
（2）解：把代入，得，
解得，
把代入，得，
解得，
∴原方程组为，
得，，
把代入①得，
解得，
∴原方程组的解为.
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，考查方式较为新颖，要熟练掌握该知识点.
【变式3】（22·23下·万州·期末）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求a与b的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)2
【分析】（1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立即可求得a与b的值；
（2）将a与b的值代入即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，将代入②可得：，解得：；
将代入①得：，即．
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解和代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式4】（22·23下·泉州·期末）甲、乙两人同解方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【答案】
【分析】因为甲看错了方程①中的a，而方程②中的b没有看错，所以满足方程，将代入可求，同理乙看错了方程②中的b，而方程①中的没有看错，所以满足方程，将代入可求，最后将、代入求解即可．
【详解】
解：将代入方程中得：，即；
将代入方程中的得：，即，．
将，代入，
则．
【点睛】本题考查解二元一次方程组的错解问题，掌握方程组的解为使方程组中两个方程同时成立的未知数的值是解题的关键．
【变式5】（22·23下·全国·期末）甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的p，而求得，求原方程组中m，n，p的值．
【答案】
【分析】把代入②可求出p，再把和代入①得出方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：，
把代入②得：，
解得：，
把和代入①得：，
解得：，
即．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
考点9：方程组的应用——含参问题
典例9：（23·24上·深圳·期中）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”．
（1）点A ，B 是“燕南点”的是
（2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值．
【答案】（1） B；
（2） M，在第一象限；
（3）．
【分析】（1）根据“燕南点”的定义分别判断即可；
（2）直接利用“燕南点”的定义得出a的值再求出点的坐标进而得出答案；
（3）直接利用“燕南点”的定义得出t的值进而得出答案；
【详解】（1）点A，令
解得
，
A不是“燕南点“，
点B，令
解得
，
B是“燕南点”；
故答案为：B；
（2）根据题意,得，
，
，求得，
所以，所以M，在第一象限；
（3）方程组的解为
∵点是“燕南点”，
∴
∴
，∴，解得，
∴t的值为
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，点的坐标的知识，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
【变式1】（22·23下·盐城·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组（实数m是常数）
(1)若，求实数m的值
(2)若，求实数m的取值范围．
(3)在（2）的条件下，化简．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题先将两式相加求出m的值；
（2）再将两式相减可求出m的范围；
（3）根据m的范围以及绝对值的性质进行化简．
【详解】（1）在方程组中，
得，
∴
（2）在方程组中，
得，
（3）
∴．
∴
=
=
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组解之和或差求参数，以及已知字母的取值范围化简绝对值，解题的关键是对方程组进行适当的恒等变形．
【变式2】（12·13下·扬州·期末）已知方程组中为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可；
（2）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案．
【详解】（1）解：解方程组得：，
方程组中为非正数，为负数，
，
解得：，
即的取值范围是；
（2），
∴，
要使不等式的解集为，
必须，
解得：，
，为整数，
，
所以当为时，不等式的解集为．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
【变式3】（22·23下·邢台·阶段练习）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
【答案】(1)5；
(2)
【分析】（1）将①③联立得到，得，，解得，把代入①求得即可；
（2）得，则，得到，即可得到，求出的值即可．
【详解】（1）解：将①③联立得到
得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
∴，
故答案为：5；
（2），得，
即,
∴，
∵，
∴，
解得．
即的值为
【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
【变式4】（22·23下·无锡·阶段练习）关于x，y的方程组的解都为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知 ，且，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）根据二元一次方程组的解法即可求出x与y的表达式，从而可求出a的范围；
（2）根据（1）问可求出a的范围，再结合所给条件，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）解：解方程组，
得，
∵方程组的解都为正数，
∴，
解得，
∴a的取值范围为；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及不等式组的解法，本题属于中等题型．
【变式5】（22·23下·郑州·期中）已知方程组的解满足．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为？
【答案】(1)；
(2)﹣1或
【分析】（1）两个方程相加可得出 ，根据 列出关于 的不等式，解之可得答案；
（2）根据不等式 的解集为 、 为整数和（1）中 的取值范围， 可以求得 的 值；
【详解】（1）两个方程相加可得，
则，
根据题意，得：，
解得，
即a的取值范围是；
（2）由不等式，得，
∵不等式的解集为，
∴，得，
又∵且a为整数，
即a的值是﹣1或
【点睛】本题考查解二元一次方程组、解一元次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答
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专题01 一次方程（组）及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）等式的性质
（1）性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c .
（2）性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)．
（3）性质3：（对称性）若a=b,则b=a.
（4）性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.
（二）方程的概念
（1）方程：含有未知数的等式叫做方程：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，方程的解也叫它的根：求方程解的过程叫做解方程。
（2）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程：它的一般形式为ax+b=0(a≠0)．其解为x＝．
（3）二元一次方程（组）：
①二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．一般形式：ax＋by＝c(a≠0，b≠0)．
②二元一次方程组：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
③二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程
的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
④二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（三）解一元一次方程
（1）一般步骤：①去分母：②去括号：③移项：④合并同类项：⑤系数化为1．
（2）理论根据和注意点
①去分母→根据等式性质2→注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）→注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）→注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则→注意点：系数相加，字母及它的指数不变
（四）解二元一次方程组
解二元一次方程组的基本思想是消元，即化二元一次方程组为一元一次方程，主要方法有代入消元法和加减消元法．
（五）一次方程（组）的应用
步骤：设（未知数）→列（方程）→解（方程）→答（作答）
关键点：确认等量关系；常见的等量关系：
①行程问题基本等量关系：
路程=时间×速度；时间=路程÷速度；速度=路程÷时间。
顺行：顺行速度＝自身速度＋风速（水速）；逆行速度＝自身速度－风速（水速）
②工程问题：
工作总量=工作时间×工作效率。
③配套问题：
实际生产比＝配套比。
④商品销售问题：
利润＝售价－成本；售价＝标价×0.1折扣；利润率＝利润÷进价×100%
总利润＝单利润×数量
现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分）
现数量＝原数量－（原数量＋）
⑤数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。
⑥平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）＝总数，
原数×（1－下降率）＝总数。
考点一遍过
考点1：方程的解
典例1：（22·23上·红河·期末）小刚同学在做作业时，不小心将方程中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是，请问这个被涂黑的常数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．1
【变式1】（22·23上·泰安·期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23上·盐城·期末）整式的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同值时对应的整式的值：
x 1
9 6 3 0
则关于x的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23·浙江·模拟预测）一宾馆有一人间、两人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（ ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
【变式4】（22·23下·石家庄·阶段练习）若和都是方程的解，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式5】（22·23下·嘉兴·阶段练习）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
考点2：等式的性质
典例2：（23·24上·长沙·期中）若，是任意有理数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）下列运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2】（23·24上·全国·专题练习）“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（22·23上·河北·阶段练习）下列方程的变形正确的是（ ）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【变式4】（22·23下·沧州·期末）嘉淇利用砝码和自制天平做一个物理实验，估测物体质量，有两种不同质量的物体、，同种物体的质量都相等，下面两个天平中右边都比左边低，天平中砝码的质量如图所示，的质量可能为（ ）
A．25 B．21 C．20 D．19
【变式5】（22·23下·长春·阶段练习）下列变形正确的是（ ）
A．由得
B．由得
C．由得
D．由得
考点3：解一元一次方程
典例3：（23·24上·广州·期中）解方程
(1)
(2)
【变式1】（23·24上·广州·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)
【变式2】（23·24上·大连·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【变式3】（23·24上·綦江·期中）解下列方程
(1)
(2)
【变式4】（23·24上·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式5】（23·24上·十堰·期中）解方程：
(1)
(2)
考点4：一次方程的实际应用
典例4：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有木材，要使生产出来的桌面和桌腿恰好都配成方桌，应用多少立方米木材来生产桌面？多少立方米木材生产桌腿？
【变式1】（23·24上·海淀·开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：
解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量个搬运工的体重和块等重的条形石的重量+1个搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得，______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【变式2】（23·24上·武汉·期中）红领巾球馆计划购买某品牌的乒乓球拍和乒乓球，己知该品牌的乒乓球拍每副定价150元，乒乓球每盒定价15元．元旦期间该品牌决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案，即
方案一：买一副乒乓球拍送两盒乒乓球；
方案二：乒乓球拍和乒乓球都按定价的付款．
该球馆计划购买乒乓球拍10副，乒乓球x盒（，x为整数）．
(1)当时，若该球馆按方案一购买，需付款______元；若该球馆按方案二购买，需付款_____元；
(2)当x为何值时，分别用两种方式购买所需费用一样？
(3)若，能否找到一种更为省钱的购买方案？如果能，请你写出购买方案，并计算出此方案所需费用；如果不能，请说明理由．
【变式3】（23·24上·沈阳·期中）已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，对应的数为．
(1)若点到点，点的距离相等，请求出的值；
(2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为20 若存在，请求出的值；若不存在，说明理由；
(3)一小球甲从点处以1个单位/秒的速度向左运动，2秒后，另一小球乙从点处以2个单位/秒的速度也向左运动，追上小球甲后立即以原来的速度向相反的方向运动，设点的运动的时间为秒．请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时的值．
【变式4】（22-23下·浦东新·期末）六年级（1）班、（2）班各有48人，两个班都有一些同学参加课外数学小组，（1）班参加数学小组的人数恰好是（2）班没有参加数学小组人数的，（2）班参加数学小组的人数恰好是（1）班没有参加数学小组人数的，六年级（1）班、（2）班没有参加数学小组的各有多少人？
【变式5】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）水是生命之源，节约用水是全社会的共同责任．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控的手段达到节水的目的，某市自来水收费的价格表如下（水费按月结算）
价格表
每月用水量 价格
不超过6立方米的部分 每立方米3元
超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米5元
超过10立方米的部分 每立方米8元
小亮家一月份用水立方米，二月份用的水量比一月份用的少2立方米．
(1)求小亮家一月份应交的水费．
(2)求小亮家二月份应交的水费．
(3)若小亮家三月份交的水费是二月份水费的，求小亮家三月份的用水量多少立方米．
【变式6】（23·24上·南岸·期中）如图，在数轴上点A表示的数是，点在点A的右侧，且到点A的距离是18；点在点A与点之间，且到点的距离是到点A距离的2倍．
(1)点表示的数是______；点表示的数是______；
(2)若点从点A出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒，在运动过程中，当为何值时，点与点重合，求出的值和此时点对应的数；
(3)在（2）的条件下，当点到达点A后沿原路按原速返回，点到达点后两个点同时停止运动．是否存在某一时刻，使得两点间的距离恰好等于线段的一半，如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由．
【变式7】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）如图，将某些具有一定规律的数按照如下图的方式进行排列，得到一个数阵，用如图的一个矩形框框住其中的4个数：
(1)若方框内最右上角的数是97，则最左下角的数为________；
(2)若方框内最右上角的数用a表示，请用含a的代数式表示这4个数之和；
(3)方框内的4个数之和可能为612吗？若可能，求最右上角的数；若不可能，请说明理由．
【变式8】（22·23上·漯河·期末）某校初一（1）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 2 88
C 64
D 10 40
(1)请补全表格．
(2)参赛者得82分，他答对了几道题？
(3)参赛者说他错了10个题，得50分，请你判断可能吗？并说明理由
【变式9】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）比优特超市销售甲、乙两种商品，已知甲商品每件进价40元，售价60元；乙商品每件售价48元，利润率为．
(1)每件甲商品利润率为______；乙商品每件进价为______元；
(2)若超市同时购进甲、乙两种商品共52件，总进价为1790元，则购进乙种商品多少件？
(3)在“十一国庆”期间超市所有商品有优惠促销活动，方案如下：
①购买商品不超过300元，不优惠；
②购买商品超过300元，但不超过500元，按照售价九折优惠；
③购买商品超过500元时，按照售价的八折优惠；
按照以上优惠条件，若王阿姨一次性购买甲商品实际付款432元，求王阿姨此次购物购买多少件甲商品？
【变式10】（23·24上·哈尔滨·阶段练习）修一条公路，甲工程队单独承包要40天完成，乙工程队单独承包要60天完成．
(1)现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？
(2)如果甲、乙两工程队合作12天后，因甲工程队另有任务，剩下的工作由乙工程队完成，则修好这条路共需要几天？
考点5：方程组的概念
典例5：（22·23下·周口·阶段练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
① ② ③ ④
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③
【变式1】（22·23下·济宁·阶段练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23下·廊坊·期中）若二元一次方程组的解为，则表示的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·东莞·阶段练习）在方程组，，，中，是二元一次方程组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点6：解二元一次方程组
典例6：（23·24上·深圳·期中）解方程组：
【变式1】（23·24上·长沙·开学考试）（1）计算：
（2）解方程组：
【变式2】（22·23下·延边·期末）计算：
【变式3】（22·23下·温州·期中）计算：选用适当的方法解下列方程组
(1)
(2)
【变式4】（22·23下·成都·期末）已如方程组的解为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)化简：．
【变式5】（23·24上·济南·期中）解方程组：
(1)；
(2)．
考点7：一次方程组的实际应用
典例7：（23·24上·哈尔滨·阶段练习）安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．
(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；
(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；
(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？
【变式1】（23·24上·广州·阶段练习）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书，已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）；购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书超过40本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
【变式2】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
【变式3】（22·23下·沙坪坝·期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．
(1)如图1所示幻方，求x的值；
(2)如图2所示幻方，求a，b的值；
(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．
【变式4】（22-23下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【变式5】（23·24上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．
(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；
(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．
【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【变式7】（22·23·西藏·中考真题）列方程（组）解应用题：如图，巴桑家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成．
(1)求一块长方形墙砖的长和宽；
(2)求电视背景墙的面积．
【变式8】（23·24上·福州·开学考试）我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊呢？
考点8：方程组的应用——错解问题
典例8：（22·23下·郴州·阶段练习）一个星期天，小明和小文两人同解关于x、y的二元一次方程组由于小明抄错了方程①，得到方程组的解为；小文抄错了方程②，得到方程组的解为，试求的值．
【变式1】（22-23下·江西·阶段练习）已知方程组，小聪由于看错了方程①中的系数m，得到方程组的解为；小明由于看错了方程②中的系数n，得到方程组的解为；请你根据上述条件求原方程组的解．
【变式2】（22·23下·衡阳·阶段练习）在解方程组时，由于粗心，小军看错了方程组中的得解为，小红看错了方程组中的，得解为；
(1)小军把看成了什么数？小红把看成了什么数？
(2)正确的解应该是怎样的？
【变式3】（22·23下·万州·期末）甲、乙两人解同一个关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为．
(1)求a与b的值；
(2)求的值．
【变式4】（22·23下·泉州·期末）甲、乙两人同解方程组甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值．
【变式5】（22·23下·全国·期末）甲、乙两位同学一起解方程组，甲正确地解得，乙仅因抄错了题中的p，而求得，求原方程组中m，n，p的值．
考点9：方程组的应用——含参问题
典例9：（23·24上·深圳·期中）阅读材料并回答下列问题：
当m，n都是实数，且满足，就称点P为“燕南点”．例如：点E，令得， ，所以E不是“燕南点”；F，令得，，所以F是“燕南点”．
（1）点A ，B 是“燕南点”的是
（2）点M是“燕南点”，请判断点M在第几象限？并说明理由；
（3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C是“燕南点”，求t的值．
【变式1】（22·23下·盐城·阶段练习）已知关于x，y的二元一次方程组（实数m是常数）
(1)若，求实数m的值
(2)若，求实数m的取值范围．
(3)在（2）的条件下，化简．
【变式2】（12·13下·扬州·期末）已知方程组中为非正数，为负数．
(1)求的取值范围；
(2)在的取值范围中，当为何整数时，不等式的解集为？
【变式3】（22·23下·邢台·阶段练习）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题：
已知关于的二元一次方程组的解满足③，求的值．
(1)按照小云的方法，的值为_________，的值为_________；
(2)请按照小辉的思路求出的值．
【变式4】（22·23下·无锡·阶段练习）关于x，y的方程组的解都为正数．
(1)求a的取值范围；
(2)已知 ，且，求的取值范围．
【变式5】（22·23下·郑州·期中）已知方程组的解满足．
(1)求a的取值范围；
(2)当a为何整数时，不等式的解集为？
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