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专题02 分式方程及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23下·泰州·阶段练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分式方程左右两边同乘去分母得到结果，即可作出判断．
【详解】解：去分母得：．
故选：B．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
2．（22·23下·宝山·期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握分式方程的应用是解题的关键．
3．（22·23上·天津·期末）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据“郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用”，即可求解．
【详解】解：设特快列车的平均行驶速度为，则高铁列车的平均行驶速度是，根据题意得：
．
故选：A
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
4．（22·23下·广州·一模）方程的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝ C．x＝ D．x＝
【答案】A
【分析】方程两边乘x（x-3）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：方程两边乘x（x-3），得8(x-3)=2x，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x（x-3）≠0，
所以x=4是原分式方程的解，
即原分式方程的解是x=4．
故选：A．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
5．（22·23上·恩施·期末）分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【分析】先求出m与x的关系，再根据分式方程有解的条件判断即可．
【详解】
方程两边同时乘以得：，
∴，
∵分式方程有解，
∴，
∴．
∵，
∴
∵分式方程有解，
∴且
∴且
∴
故选D
【点睛】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键是找出增根．
6．（22·23下·哈尔滨·一模）方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】去分母，将分式方程化为整式方程，再解整式方程，验根即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得，
经检验是该方程的解，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，熟知解分式方程的方法以及注意解分式方程一定要验证根是解题的关键．
7．（22·23上·石家庄·期末）分式方程的解为（ ）
A．2 B． C．3或 D．无解
【答案】A
【分析】方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解，
故选A．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
8．（22·23下·广东·期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】解分式方程得，，由分式方程有增根可知，将代入得，，计算求解即可．
【详解】解：，
去分母得，，
解得，，
∵分式方程有增根，
∴将代入得，，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根．解题的关键在于正确的解分式方程．
9．（22·23上·三门峡·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米成饭食味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设原计划每天收割的面积为，则实际每天收割的面积为，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天收割的面积为，由题意得
．
故选D．
【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．
10．（22·23上·永州·期中）如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】D
【分析】先解关于x的分式方程，得，由题意，该方程有增根，因为增根为，所以，由此可求出m的值．
【详解】解：
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了含参分式方程的解法，增根的概念，正确理解以上概念并进行正确的计算，是解题的关键．
11．（22·23上·沧州·阶段练习）定义一种新运算：，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【分析】根据题意得出两种情况：和，得出分式方程，再求出方程的解即可．
【详解】解：∵，
当时，原方程化为：，
解得：；
当时，原方程化为：，
，
，
，
，
舍去，
经检验是原方程的解，
故选：C．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
12．（22·23下·平顶山·阶段练习）关于x的方程有增根，那么（ ）
A．3 B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，分式方程去分母后代入计算即可求出a的值．
【详解】去分母得：，
解得．
由分式方程有增根，得，
解得或，
把代入得：，
经检验不合题意，舍去；
把代入
得：．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13．（22·23下·九龙坡·阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】表示出不等式组的解集，确定出m的范围，根据分式方程有非负整数解确定出m的值即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
∵不等式组的解集为，
∴，
解方程，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1得．
∵分式方程有非负整数解，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即时，方程无解，且时，方程无整数解，
∴符合条件的m的所有值的和是．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，求得m的取值范围以及正确解分式方程是解题的关键．
14．（18·19下·全国·单元测试）若x＝－1是方程＝0的根，则a的值为( )
A．6 B．－6 C．3 D．－3
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x=-1代入计算即可求出a的值．
【详解】去分母得：ax-3x+3=0，
将x=-1代入得：-a+3+3=0，
解得：a=6，
故选A．
【点睛】考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15．（22·23下·大同·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可．
【详解】解：等式两边同时乘以得，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练找出分式中分母的最简公分母是解题的关键．
16．（22·23上·武汉·期末）若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】首先根据解分式方程的一般方法得出方程的根，然后根据增根的定义将增根代入方程的解求出a的值．
【详解】解：∵分式方程有增根，
∴，
∴或，
当时，，
当时不合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式增根，解题的关键是分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根求出a的值．
17．（22·23上·重庆·阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组至少有3个整数解，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可解答．
【详解】解：，
解不等式①得： ，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∵不等式组至少有3个整数解，
∴，
，
，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴ ，
∴0且3，
∴，
∴符合条件的所有整数a的值为：，
∴符合条件的所有整数a的和是：2，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
18．（22·23上·淄博·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：，
两边都乘以，得
，
∴，
∵分式方程无解，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
19．（22·23下·舟山·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如果设小季每分钟跳x下，那么小范每分钟跳（x+30）下．题中有等量关系：小季跳100下所用的时间=小范跳120下所用的时间，据此可列出方程．
【详解】解：由于小季每分钟跳x下，所以小群每分钟跳（x+20）下．
根据题意，得
．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程在实际生活中的应用．注意认真审题是前提，找出等量关系是关键．
20．（22·23下·重庆·开学考试）若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．6 B．9 C． D．2
【答案】A
【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．
【详解】
解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即
综上：或7，
则
故选：A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识，是方程与不等式的综合，根据不等式组有3个非负整数解，从而得出关于a的不等式是本题的难点与关键．
二、填空题
21．（22·23下·河源·期末）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：
去分母得，，
解得，，
经检验是分式方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．
22．（22·23上·本溪·期中）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元．若设原计划每间直播教室的建设费用是元，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【分析】设原计划每间直播教室的建设费用是元，则实际每间直播教室的建设费用是元，结合总投资＝每间直播室的建设费用×直播间数量，再根据实际直播教室数量比原计划多两间列出方程即可．
【详解】解：设原计划每间直播教室的建设费用是元，
由题意得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确找准等量关系列出方程是解题的关键．
23．（22·23下·达州·期末）解关于x的方程时，若产生增根，则m的值等于 ．
【答案】-1
【分析】先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出x的值，然后将其代入整式方程即可．
【详解】解：去分母得：x-3=m-1，
由增根的定义得，x=1，
将x=1代入x-3=m-1得，1-3=m-1，
∴m=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了解分式方程、增根的定义，掌握理解增根的定义是解题关键．
24．（22·23下·连云港·期中）关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：将分式方程两边同乘，
得．
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
25．（22·23下·镇江·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则 ．
x的取值 1 k
分式的值 无意义 0 3
【答案】
【分析】由表格中的数据，结合分式值无意义及分式值为0的条件可求解，值，即可求解分式，利用时，计算可求解．
【详解】解：由表格可知：当时，，且当时，，
解得，，
分式为，
当时，，
解得，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的值，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解分式方程，求解，值是解题的关键．
26．（22·23上·绍兴·阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有2个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为 .
【答案】
【分析】设口袋中球的总个数为个，根据概率公式列方程即可．
【详解】解：设口袋中球的总个数为x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是方程的解，
则口袋中球的总个数为个，
故答案为：．
【点睛】此题考查概率的公式，解分式方程，正确掌握简单事件的概率公式是解题的关键．
27．（22·23下·乌鲁木齐·二模）在一个不透明的口袋中有红、白两种小球，它们除颜色外均相同，其中红球2只，白球n只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为，则n＝ ．
【答案】3
【分析】根据题意，由概率公式可得方程：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了概率公式的应用，解分式方程，解题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比．
28．（22·23下·宁波·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ．
【答案】
【分析】把分式方程化成整式方程得，由分式方程有增根得出，即可求出的值．
【详解】解：，
去分母得：，
解得：，
∵分式方程有增根，且增根为2，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程的增根的含义是解决问题的关键．
29．（22·23下·九龙坡·三模）关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ．
【答案】1
【分析】根据不等式组的解集和分式方程的解确定的取值范围，即可求解．
【详解】解：解不等式组，
得，
关于的不等式组的解集为，
，
，
解分式方程，
解得：，
分式方程有非负整数解，
且，
且，
解得且，
且，
满足条件的整数的值为，，0，1，2，3，4，
当，0，2，4时，的值不是整数，不符合题意，舍去，
满足条件的整数的值为，1，3，
故和为：1
【点睛】本题考查了根据不等式组的解集和分式方程的解求参数，非负整数的性质，熟练掌握解不等式组和分式方程的方法是解题的关键．
30．（22·23下·扬州·阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是
【答案】且
【分析】先解分式方程可得，再根据分式方程的解为正数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
31．（22·23上·吕梁·期末）某商店一次性购进一种商品，十二月份以一定售价销售，销售额为6000元，一月份恰逢新年促销活动，商店决定在十二月份的售价的基础上打9折销售，最后一月份比十二月份销售量增加了20件，销售额增加了1200元．问该商店十二月份这种商品的售价是多少元/件？设该商店十二月份这种商品的售价是元/件，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】设该商店12月份这种商品的售价是元，则1月份这种商品的售价是元，根据题意可得等量关系：12月份的销量+20=1月份的销量，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设该商店12月份这种商品的售价是元，由题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
32．（22·23下·泸州·二模）若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
【答案】2
【分析】利用一元一次不等式组的解集，得到关于的取值范围，利用解分式方程的方法求得分式方程的解，并依据已知条件确定的取值，将所有满足条件的整数的值相加即可得出结论．
【详解】解：关于的一元一次不等式组的解集为，
关于的一元一次不等式组有解，
，
．
关于的分式方程的解为，
原分式方程有可能产生增根3，
，
，
整数使关于的分式方程的解为整数，，
或3，
所有满足条件的整数的值之和为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，一元一次不等式组的解和解一元一次不等式组，考虑分式方程的增根情形是解题的关键．
33．（22·23下·赣州·阶段练习）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为 ．
【答案】
【分析】先求出分式方程的解为，再根据分式方程的解为正整数，求得a=0，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：解分式方程，得
，
∵分式方程的解为正整数，
∴，
∴，
∴，1，
∵分式方程的解为正整数，当时，不合题意，
∴，
∴使关于的分式方程有正整数解的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求参数，求概率，熟练掌握根据分式方程解的情况求参数和概率公式是解题的关键．
34．（22·23上·邯郸·阶段练习）代数式与代数式的值相等，则列等式为 ，解得x＝ ．
【答案】 -1
【分析】根据题意列出分式方程，求出分式方程的解即可得到x的值．
【详解】解：根据题意得：=，
去分母得：2（x-2）=3（x-1），
去括号得：2x-4=3x-3，
解得：x=-1，
检验：把x=-1代入得：（x-1）（x-2）≠0，
∴分式方程的解为x=-1．
故答案为：，-1．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．
35．（23·24上·重庆·阶段练习）从、、、0、、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程的解为整数，且使不等式组有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
【答案】2
【分析】解分式方程、一元一次不等式组，再根据题目要求取值即可；
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴该不等式组的解集为：，
∵不等式组有且仅有四个整数解，
∴，
∴，
∴、、、0、、2符合题意，
解：
∵分式方程的解为整数，
∴、0、、2符合题意，
综上符合题意的数有、0、、2．
∴这七个数中满足所有条件的a的值之和为．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分式方程、一元一次不等式组的应用，正确计算是解题的关键．
三、解答题
36．（22·23下·宝鸡·二模）解方程：．
【答案】
【分析】把分式方程化成整式方程，解整式方程即可，注意检验．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
∴分式方程的解为．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程要检验．
37．（22·23下·无锡·一模）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．求每个A，B类摊位的占地面积．
【答案】A摊位的面积是5平方米，B摊位的面积是3平方米
【分析】设B类摊位占地面积为x，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：设B类摊位占地面积为x平方米，则A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
由题意得，
解得x=3，
经检验x=3是分式方程的解，且符合题意，
则x+2=5，
则A类摊位占地面积为5平方米，B类摊位占地面积为3平方米．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
38．（22·23下·沙坪坝·阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）按照分式方程的计算步骤，即可解答．
（2）按照分式方程的计算步骤，注意分式方程无解的情况，即可解答．
【详解】（1）解：，
两边同乘，得，
解得：，
经检验，是原方程的根．
（2）解：，
方程两边都乘，得，
解得，
经检验，是分式方程的增根，
所以原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
39．（22·23上·昌平·期中）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
的解为；
的解为；
的解为；
(1)猜想关于x的方程的解是 ；
(2)猜想关于x的方程的解是 ；
(3)用上述方法求关于的方程的解．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
（2）仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
（3）方程变形后，利用得出的规律得到结果即可；
【详解】（1）解：猜想关于x的方程的解是；
故答案为：；
（2）解：猜想关于x的方程的解是；
故答案为：；
（3）解：方程变形得：，
，
可得或，
解得：．
【点睛】本题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
40．（22·23下·松原·一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．问实际每天加工多少个冰墩墩外套？
【答案】1200
【分析】设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工个冰墩墩外套，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设原计划每天加工x个冰墩墩外套，则实际每天加工个冰墩墩外套，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
所以
答：实际每天加工1200个冰墩墩外套．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
41．（22·23上·江苏·期末）解方程：．
【答案】原分式方程无解
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，再检验即可得到答案．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：当时，，
原分式方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，是解题的关键．
42．（22·23上·渭南·期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母
……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；
(2)请把以上解分式方程过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质；等式的基本性质
(2)见解析
【分析】（1）根据分式的基本性质和等式的基本性质即可得；
（2）再第一步和第二步的基础上，根据解分式方程的步骤补充完整即可．
【详解】（1）解：第一步是将分式的分子与分母同时乘以，依据是分式的基本性质，
第二步是将方程的两边同乘以去分母，依据是等式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；等式的基本性质．
（2）解：，
第一步：方程整理，
第二步：去分母，
第三步：去括号，
第四步：移项，
第五步：合并同类项，
第六步：系数化为1得，
第七步：经检验，是分式方程的解．
【点睛】本题考查了分式的基本性质和等式的基本性质、解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．
43．（22·23上·忠县·期末）忠县某酒厂在去年双12节（12月12日）推出甲、乙两种罐装白酒，营业员在定期盘点时发现双12节后第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的倍．
(1)求第一周甲种白酒每罐多少元？
(2)今年元旦节时，为提高营业员推销积极性，酒厂制定出如下奖励办法：每卖出1罐甲种白酒按售价的给予营业员奖励，每卖出1罐乙种白酒按售价的0.5％给予营业员奖励；在奖励办法的激励下，元旦节后的第一周甲种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了50％，乙种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了，若想保证营业员获得的奖励不少于609元，求的最小值．
【答案】(1)第一周甲种白酒每罐卖350元；
(2)2
【分析】（1）设第一周甲种白酒每罐x 元，，则乙种白酒每罐（x+100）元，由题意：第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）先求出甲、乙白酒单价和销量，然后由题意：保证营业员获得的奖励不少于609元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设第一周甲种白酒每罐元，则乙种白酒每罐元，
根据题意，得，
解得．经检验，是原方程的解且符合题意，
答：第一周甲种白酒每罐卖350元；
（2）解：由（1）可知甲、乙白酒单价分别为350元、450元，销量分别为40罐、60罐．
根据题意，得，
解得，
所以的最小值为2．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
44．（22·23下·南阳·阶段练习）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”．现年级决定购买A、B两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知A种礼品的单价比B种礼品的单价便宜3元，用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍．
(1)求A种礼品的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种礼品共150件，其中购买A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍．设购买A种礼品m件，所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求所需的最少经费．
【答案】(1)A种礼品的单价为6元
(2)w＝﹣3m+1350，所需的最少经费为1014元
【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元，根据“用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍”列方程求解即可；
（2）根据题意得出w与m的关系式以及m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设A种笔记本的单价为x元，则B种笔记本的单价为（x+3）元
由题意得：，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是原方程的解，且符合题意．
∴A种礼品的单价为6元．
（2）解：由（1）可知，B种笔记本的单价为9元，
设购买A种礼品m件，则购买B种礼品（150﹣m）件，
由题意得：w＝6m+9（150﹣m）＝﹣3m+1350，
又∵﹣3＜0，
∴w随m的增大而减小，
又∵A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍，
∴m≤3（150﹣m），解得：m≤112．5，
∵m为整数，
∴当m＝112时，w最小值＝1014．
答：所需的最少经费为1014元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确的理解题意，找出相应的数量关系是解答本题的关键．
45．（22·23上·忠县·期末）为满足老百姓常态性防疫需求，我县某药店需储备定数量的医用酒精和医用口罩．已知每箱医用酒精比每箱医用口罩的进价多元．该药店用元去购买医用酒精的箱数恰好与用元去购买医用口罩的箱数相同．
（1）求每箱医用酒精和每箱医用口罩的进价各是多少元？
（2）由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，决定再次购买医用酒精和医用口罩共箱用于储备，此时，每箱医用口罩的进价已经增长了，每箱医用酒精的进价也已经增长了，如果再次购买两种防护用品的总费用不超过元，那么该药店最多可购进多少箱医用酒精？
【答案】（1）每箱医用口罩的进价是元，每箱医用酒精的进价是元；（2）他们最多可购买箱医用酒精
【分析】(1)设每箱医用口罩的进价是元，则每箱医用酒精的进价是元，根据“用元去购买医用酒精的箱数恰好与用元去购买医用口罩的箱数相同”可列方程即可求解；
（2）可购买医用酒精箱，根据“再次购买两种防护用品的总费用不超过元”列不等式即可求解.
【详解】解：（1）设每箱医用口罩的进价是元，则每箱医用酒精的进价是元，
依题意有，解得：，
经检验，是原方程的解，（元），
答：每箱医用口罩的进价是元，每箱医用酒精的进价是元；
（2）设可购买医用酒精箱，则 ，
解得，因为为整数，所以的最大值为，
答：他们最多可购买箱医用酒精．
【点睛】本题主要考查分式方程解决实际问题和一元一次不等式解决实际问题，解决本题的关键是要认真审题确定数量关系列方程和不等式求解.
46．（22·23上·永州·期中）为抗击新冠肺炎按情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A，B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，现两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品．剩下的由B车间单独完成，结果前后共用16天完成，求 A，B两车间每天分别能生产口罩多少万个
【答案】480万个、400万个
【分析】首先设B车间每天能生产口罩x万个，则A车间每天能生产口罩1.2x万个，由题目中的等量关系列出方程，解方程可得答案，注意不要忘记检验
【详解】解：设B车间每天能生产口罩x万个，则A车间每天能生产口罩1.2x万个，根据题意得：
解得：x=400
经检验，x=400是所列分式方程的解，并且符合题意，
1.2×400=480（万个）
答：A，B两车间每天分别能生产口罩480万个、400万个
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程，列分式方程必须严格按照：设，列，解，验，答这5步做题，规范解答，另外还要注意完整性．
47．（22·23下·漳州·期中）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒300个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度（m）与甲盒数量（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．
【答案】(1)制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．
(2)，最少需要170米材料．
【分析】（1）设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，根据“同样用6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个”，列出方程，即可解答；
（2）根据所需要材料的总长度m=甲盒材料的总长度+乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据“甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍”求出n的取值范围，根据一次函数的性质，即可解答．
【详解】（1）解：设制作每个乙盒用x米材料，则制作甲盒用（1+20%）x米材料，依题意得，
，
解得：
∴米，
答：制作每个甲盒用0.6米材料；制作每个乙盒用0.5米材料．
（2）根据题意得：=0.6n+0.5（300-n）=0.1n+150，
∵甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，
∴n≥2（300-n）
解得：n≥200，
∴200≤n＜300，
∵k=0.1＞0，
∴随n增大而增大，
∴当n=200时，m最小170米．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，解决本题的关键是根据题意列出分式方程，利用一次函数的性质解决实际问题．
48．（22·23下·成都·期末）某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍．
(1)求甲、乙两种电视机的售价；
(2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．
【答案】(1)甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元；
(2)第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台．
【分析】设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，利用乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍列出方程即可求解；
设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，待定系数法可得，设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，根据甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，得，而商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，有，可解得或舍去，从而可得第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台．
【详解】（1）设乙种电视机的售价为元，甲种电视机的售价为元，
则，
解得：，
经检验，是方程的解，也符合题意，
，
答：甲种电视机的售价为元，乙种电视机的售价为元；
（2）由知，第一季度甲种电视机售价是元台，销售量为台，
由图象可知，当售价是元台时，销售量是台，
设甲型电视机售价元与销售量台的关系为，
，
解得，
，
设第二季度甲的电视机的销售量是台，则第二季度乙的电视机的销售量是台，
甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，
，
解得，
商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元，
，
整理化简得，
解得或，
，
舍去，
，
此时，
答：第二季度甲的电视机的销售量是台，售价是元台．
【点睛】本题考查分式方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
49．（22·23下·大庆·一模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
【答案】米
【分析】设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，根据题意，列出方程，解出方程，即可．
【详解】解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠米，则技术更新后每天修建水渠米，
（米），
由题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠米．
【点睛】本题考查分式方程的知识，解题的关键是掌握分式方程的运用．
50．（23·24上·岳阳·阶段练习）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
【答案】(1)25
(2)乙
【分析】（1）设乙队单独完成要x天，则每天完成，根据两队合作4天后又16天完工列方程求解；
（2）由题意知工期为20天，分别计算每队单独完成的费用比较哪个更少．
【详解】（1）解：设乙队单独完成要x天，则每天完成，
根据题意得：，
，
解得，
经检验是原方程的解，
故乙队单独完成要25天；
（2）解：∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工，
∴工期为20天，
甲队单独完成费用为：（万元）；
乙队单独完成费用为：（万元）；
故乙队更实惠
【点睛】本题考查分式方程的运用，做题的关键是要分清等量关系，分式分式方程的根最后要检验．
【能力提升】
51．（22·23下·温州·阶段练习）根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．
素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
【答案】任务一：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子2根；任务二：；制作一个甲款雪花模型需要13元；任务三：购买258根长管子，2130根短管子；购买261根长管子，2125根短管子；购买264根长管子，2120根短管子；购买267根长管子，2115根短管子；当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多
【分析】任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，列出方程组，解方程组即可；
任务二：根据题意列出关于a的方程，解方程即可，根据6月份的优惠方案求出制作一个甲款雪花模型需要的费用即可；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据总费用1280元列出方程，得出，根据商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，列出不等式组，求出，根据m必须能被3整除，得出，，264，267，从而得出购买方案，根据制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，得出长管子数越多制作的雪花模型越多，当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【详解】解：任务一：设制作一个甲款雪花模型需要长管子x根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子y根，则短管子根，根据题意得：
，
解得：，
，，
答：制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，制作一个乙款雪花模型需要长管子3根，则短管子2根；
任务二：∵5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根，
∴，
解得：，
经检验是原方程的根；
∵制作一个甲款雪花模型需要长管子3根，则短管子21根，且6月1日起购买3根长管子赠送一根短管子，
∴制作一个甲款雪花模型需要的费用为：
（元）；
任务三：设学校中采购了m根长管子，n根短管子，根据题意得：
，
解得：，
∵商店中长管子仅剩267根，短管子仅剩2130根，
∴，
解得：，
∵m必须能被3整除，
∴，，264，267，
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共86个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买258根长管子，2130根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共87个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买261根长管子，2125根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共88个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴购买264根长管子，2120根短管子；
当时，，
∵，
∴能制作甲、乙两款雪花模型共89个，需要的短管子最少为（根），最多为：（根），
∵，
∴此时短管子可以用完，
∴可以购买267根长管子，2115根短管子；
∵制作一个甲款雪花模型和制作一个乙款雪花模型，都需要3根长管子，
∴长管子数越多制作的雪花模型越多，
∴当购买267根长管子，2115根短管子时，制作的雪花模型最多．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、分式方程和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程或不等式．
52．（22·23上·佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
【答案】(1)，
(2)
(3)，
【分析】（1）设，代入得到，解得，，当时，，得到，此方程无解；当时，，得到，；
（2）设，代入得到． 解得，，根据，得到；
（3）设，则，代入得到，得到，解得，检验后得到，得到，得到，，检验后即得．
【详解】（1）设，则，
于是原方程可变为，
解这个方程得：，，
当时，，
移项得：，
∵，
∴此方程无解，
当时，，
解得，；
故答案为：，；
（2）设，则该方程变为．
解得：，．
∵
∴，即
（3）设，则，
原方程变形为：，
去分母，得，
即
解得，．
经检验，是分式方程的根．
∴
即
解得：，．
经检验，是分式方程的根．
∴原分式方程的解为：，．
【点睛】本题主要考查了解特殊形式的高次方程、分式方程．解决问题的关键是熟练掌握换元法的一般步骤设元、换元、解元、还原几步．解分式方程注意验根．
53．（22·23下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券 10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋
【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解；
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答．
【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，
根据素材1可列方程；，解得
经检验，是原方程的解，
∴（元/个）
答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个．
任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，
根提素材2可列方程：，
∴，
∵，都不少于20，且是10的倍数，
∴，，．
答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭 30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；
任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，
设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，
即：，
结合任务2可知，
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即：，
∵，，，m、t均为正整数，
∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即，
∵，，，，m、t均为正整数，
∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等；
对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时，
可列方程：，
即，不符合题意舍去；
综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券 10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键.
54．（22·23下·滁州·期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)3，55
【分析】（1）将的值代入分式方程，解分式方程即可得到答案；
（2）把的值代入分式方程，将分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论的值使分式方程无解即可；
（3）把代入分式方程，将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和为正整数即可确定的值．
【详解】（1）解：把，代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入，
所以原分式方程的解是；
（2）解：把代入分式方程，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
①当时，即，方程无解，
②当时，，
时，分式方程无解，即，不存在；
时，分式方程无解，即，，
综上所述，或时，分式方程无解；
（3）解：把代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵，且为正整数，为整数，
∴必为65的因数，，
∵，
∴65的因数有1，5，13，65，
1，5小于11，
可以取13，65这两个数，对应地，方程的解为0，4，对应地，的值为3，55，
满足条件的可取3，55这两个数．
【点睛】本题考查分式方程的计算，熟练掌握解分式方程的步骤是解决问题的前提条件，分式方程无解的两种情况要熟知：一是分式方程去分母后的整式方程无解，二是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．
55．（22·23下·苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)2022
【分析】（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【详解】（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵ ，
∴原式 ．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
【点睛】本题考查了新定义运算，利用完全平方公式求值、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键．
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专题02 分式方程及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（22·23下·泰州·阶段练习）解分式方程，去分母后得到（ ）
A． B．
C． D．
2．（22·23下·宝山·期末）上海市16个区共约1326条健身步进和绿道，甲、乙两人沿着总长度为9千米的“健身步道”行走，甲的速度是乙的1.5倍，甲比乙提前15分钟走完全程，如果设乙的速度为x千米/时，那么下列方程中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（22·23上·天津·期末）中国高铁目前是世界高铁的领跑者，无论里程和速度都是世界最高的．郑州、北京两地相距约，乘高铁列车从郑州到北京比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍，设特快列车的平均行驶速度为，则下面所列方程中正确（ ）
A． B．
C． D．
4．（22·23下·广州·一模）方程的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝ C．x＝ D．x＝
5．（22·23上·恩施·期末）分式方程有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．且
6．（22·23下·哈尔滨·一模）方程的解为（ ）．
A． B． C． D．
7．（22·23上·石家庄·期末）分式方程的解为（ ）
A．2 B． C．3或 D．无解
8．（22·23下·广东·期末）如果关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
9．（22·23上·三门峡·期末）辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”五常稻花香大米成饭食味清淡略甜，绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了20%，结果提前2天完成任务．设原计划每天收割的面积为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22·23上·永州·期中）如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为（ ）
A．3 B． C．9 D．
11．（22·23上·沧州·阶段练习）定义一种新运算：，若，则的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
12．（22·23下·平顶山·阶段练习）关于x的方程有增根，那么（ ）
A．3 B．0 C．1 D．
13．（22·23下·九龙坡·阶段练习）如果关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的整数m的值的和是（ ）
A． B． C． D．
14．（18·19下·全国·单元测试）若x＝－1是方程＝0的根，则a的值为( )
A．6 B．－6 C．3 D．－3
15．（22·23下·大同·模拟预测）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（22·23上·武汉·期末）若分式方程有增根，则a的值是（ ）
A．1 B．0 C． D．
17．（22·23上·重庆·阶段练习）若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且使关于y的不等式组至少有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和是（ ）
A． B． C．0 D．2
18．（22·23上·淄博·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B．0 C．3 D．
19．（22·23下·舟山·期末）在课外活动跳绳时，相同时间内小季跳100下，小范比小季多跳20下．已知小范每分钟比小季多跳30下，设小季每分钟跳x下，下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
20．（22·23下·重庆·开学考试）若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．6 B．9 C． D．2
二、填空题
21．（22·23下·河源·期末）分式方程的解为 ．
22．（22·23上·本溪·期中）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元．若设原计划每间直播教室的建设费用是元，根据题意，可列方程为 ．
23．（22·23下·达州·期末）解关于x的方程时，若产生增根，则m的值等于 ．
24．（22·23下·连云港·期中）关于的分式方程有增根，则的值为 ．
25．（22·23下·镇江·期末）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则 ．
x的取值 1 k
分式的值 无意义 0 3
26．（22·23上·绍兴·阶段练习）在一个不透明的口袋中，装有若干个颜色不同其余都相同的球．如果口袋中装有2个红球且摸到红球的概率为，那么口袋中球的总个数为 .
27．（22·23下·乌鲁木齐·二模）在一个不透明的口袋中有红、白两种小球，它们除颜色外均相同，其中红球2只，白球n只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为，则n＝ ．
28．（22·23下·宁波·期末）关于的分式方程有增根，则的值为 ．
29．（22·23下·九龙坡·三模）关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的和为 ．
30．（22·23下·扬州·阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是
31．（22·23上·吕梁·期末）某商店一次性购进一种商品，十二月份以一定售价销售，销售额为6000元，一月份恰逢新年促销活动，商店决定在十二月份的售价的基础上打9折销售，最后一月份比十二月份销售量增加了20件，销售额增加了1200元．问该商店十二月份这种商品的售价是多少元/件？设该商店十二月份这种商品的售价是元/件，则可列方程为 ．
32．（22·23下·泸州·二模）若整数使关于的分式方程的解为整数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和为 ．
33．（22·23下·赣州·阶段练习）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为，则使关于的方程有正整数解的概率为 ．
34．（22·23上·邯郸·阶段练习）代数式与代数式的值相等，则列等式为 ，解得x＝ ．
35．（23·24上·重庆·阶段练习）从、、、0、、2、3这七个数中，随机抽取一个数a，若数a使关于x的分式方程的解为整数，且使不等式组有且仅有四个整数解，那么这七个数中满足所有条件的a的值之和为 ．
三、解答题
36．（22·23下·宝鸡·二模）解方程：．
37．（22·23下·无锡·一模）某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个摊位的占地面积A类比B类多2平方米．若用60平方米建A类或B类摊位，则A类摊位的个数恰好是B类摊位个数的．求每个A，B类摊位的占地面积．
38．（22·23下·沙坪坝·阶段练习）解方程：
(1)；
(2)．
39．（22·23上·昌平·期中）现场学习：先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
的解为；
的解为；
的解为；
(1)猜想关于x的方程的解是 ；
(2)猜想关于x的方程的解是 ；
(3)用上述方法求关于的方程的解．
40．（22·23下·松原·一模）2022年北京冬奥会期间吉祥物冰墩墩受到了很多人的喜欢，一墩难求．某生产厂接到了要求几天内生产出14400个冰墩墩外套的加工任务，为了让更多人尽快拿到冰墩墩，工人们愿意奉献自己的休息时间来完成这项任务，厂长决定开足全厂生产线进行生产，实际每天加工的个数比原计划多，结果提前4天完成任务．问实际每天加工多少个冰墩墩外套？
41．（22·23上·江苏·期末）解方程：．
42．（22·23上·渭南·期末）小明在解一道分式方程，过程如下：
第一步：方程整理
第二步：去分母
……
(1)请你说明第一步和第二步变化过程的依据分别是___________、___________；
(2)请把以上解分式方程过程补充完整．
43．（22·23上·忠县·期末）忠县某酒厂在去年双12节（12月12日）推出甲、乙两种罐装白酒，营业员在定期盘点时发现双12节后第一周甲、乙两种白酒共卖出100罐，甲种白酒总销售额为14000元，乙种白酒总销售额为27000元，其中每罐乙种白酒的价格是甲种白酒的倍．
(1)求第一周甲种白酒每罐多少元？
(2)今年元旦节时，为提高营业员推销积极性，酒厂制定出如下奖励办法：每卖出1罐甲种白酒按售价的给予营业员奖励，每卖出1罐乙种白酒按售价的0.5％给予营业员奖励；在奖励办法的激励下，元旦节后的第一周甲种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了50％，乙种白酒的销量比去年双12节后第一周提高了，若想保证营业员获得的奖励不少于609元，求的最小值．
44．（22·23下·南阳·阶段练习）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某校开展了首届校园数学节活动，让学生体会“学数学其乐无穷，用数学无处不在，爱数学终身受益”．现年级决定购买A、B两种礼品奖励在此次数学活动中的优秀学生，已知A种礼品的单价比B种礼品的单价便宜3元，用3600元购买A种礼品的数量是用1350元购买B种礼品的数量的4倍．
(1)求A种礼品的单价；
(2)根据需要，年级组准备购买A、B两种礼品共150件，其中购买A种礼品的数量不超过B种礼品的3倍．设购买A种礼品m件，所需经费为w元，试写出w与m的函数关系式，并求所需的最少经费．
45．（22·23上·忠县·期末）为满足老百姓常态性防疫需求，我县某药店需储备定数量的医用酒精和医用口罩．已知每箱医用酒精比每箱医用口罩的进价多元．该药店用元去购买医用酒精的箱数恰好与用元去购买医用口罩的箱数相同．
（1）求每箱医用酒精和每箱医用口罩的进价各是多少元？
（2）由于疫情紧张，该药店为了帮助大家共渡难关，决定再次购买医用酒精和医用口罩共箱用于储备，此时，每箱医用口罩的进价已经增长了，每箱医用酒精的进价也已经增长了，如果再次购买两种防护用品的总费用不超过元，那么该药店最多可购进多少箱医用酒精？
46．（22·23上·永州·期中）为抗击新冠肺炎按情，某公司承担生产8800万个口罩的任务，该公司有A，B两个生产口罩的车间，A车间每天生产的口罩数量是B车间的1.2倍，现两车间共同生产一半后，A车间被抽调生产其他急需用品．剩下的由B车间单独完成，结果前后共用16天完成，求 A，B两车间每天分别能生产口罩多少万个
47．（22·23下·漳州·期中）某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用6m的材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少2个，且制成一个甲盒比制作一个乙盒需要多用20%的材料．
(1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少材料？
(2)如果制作甲、乙两种包装盒300个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的2倍，那么请写出所需材料总长度（m）与甲盒数量（个）之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料．
48．（22·23下·成都·期末）某商场售卖甲、乙两种不同的电视机，第一季度甲型电视机的售价比乙型电视机售价少元，甲型电视机销售额为元，乙型电视机销售量是甲型电视机的两倍，且乙型电视机的销售额是甲型电视机的倍．
(1)求甲、乙两种电视机的售价；
(2)经过市场调查，两种电视机的售价和销售量均满足一次函数的关系，在第一季度的售价和销售量的基础上，甲型电视机售价元与销售量台的关系如图所示，乙型电视机售价元与销售量台的关系为该商场计划第二季度再进一批甲、乙两种电视机共台，且甲型电视机的进货数量不低于乙型电视机的倍，商场第二季度刚好售卖完这批电视机，销售额为元．求第二季度甲的电视机的销售量及售价．
49．（22·23下·大庆·一模）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠米，由甲、乙两个施工队同时开工合作修建，直至完工．甲施工队每天修建灌溉水渠米，乙施工队修建米后，通过技术更新，每天比原来多修建，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米．
50．（23·24上·岳阳·阶段练习）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
【能力提升】
51．（22·23下·温州·阶段练习）根据素材，完成任务．
如何设计雪花模型材料采购方案？
素材一 学校组织同学参与甲、乙两款雪花模型的制怍．每款雪花模型都需要用到长、短两种管子材料．某同学用6根长管子、48根短管子制作了1个甲雪花模型与1个乙雪花模型，已知制作一个甲、乙款雪花模型需要的长、短管子数分别为1∶7与1∶9．
素材二 某商店的店内广告牌如右图所示．5月，学校花费320元向该商店购得的长管子数量比花200元购得的短管子数量少80根．
素材三 6月，学校有活动经费1280元，欲向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料没有剩余），且采购经费恰好用完．
问题解决
任务一 分析雪花模型结构 求制作一个甲、乙款雪花模型分别需要长、短管子多少根？
任务二 确定采购费用 试求a的值并求出假如6月只制作一个甲款雪花模型的材料采购费．
任务三 拟定采购方案 求出所有满足条件的采购方案，并指出哪种方案得到的雪花总数最多．
52．（22·23上·佛山·阶段练习）阅读下列材料：方程：是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为，
解这个方程得：，．
当时，，∴；当时，，∴
所以原方程有四个根：，，，．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)利用换元法解方程得到方程的解为______．
(2)若，求的值．
(3)利用换元法解方程：．
53．（22·23下·浙江·期末）根据以下素材，探索完成任务
设计购买欲兑换方案
素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．”
素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数．
素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同
问题解决
任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价
任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案
任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式
54．（22·23下·滁州·期中）已知，关于的分式方程．
(1)当，时，求分式方程的解；
(2)当时，求为何值时，分式方程无解；
(3)若，为正整数，分式方程的解为整数时，求的值．
55．（22·23下·苏州·期中）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
(1)若为十字分式方程，则______，______．
(2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
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