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专题02 分式方程及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题：②工程问题：（工作总量设为1）③销售问题：
考点一遍过
考点1：分式方程的定义
典例1：（23·24上·全国·课时练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（22·23下·沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（22·23下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（22·23下·上海·专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式4】（22·23下·全国·单元测试）下列式子中是分式方程的是（ ）
A． B．
C．1 D．x
【变式5】（21·22下·上海·期中）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
考点2：解分式方程
典例2：（23·24上·烟台·期中）解分式方程：
【变式1】（23·24上·重庆·期中）解方程：
(1)
(2)
【变式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程
（2）化简：
【变式3】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）解方程：．
【变式4】（22·23下·平顶山·阶段练习）计算：
(1)分解因式：；
(2)解方程：．
【变式5】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）解方程：
考点3：分式方程解的应用——求参数
典例3：（23·24上·江北·期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【变式1】（22·23·淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2】（22·23下·宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【变式3】（22·23下·邯郸·期末）已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式4】（22·23上·桂林·期末）若关于的方程的解为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（22·23上·邢台·期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4
考点4：分式方程无解问题
典例4：（23·24上·烟台·期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A． B．或 C． D．或
【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（22·23下·巴彦淖尔·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【变式3】（22·23下·资阳·期末）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（22·23下·雅安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2
【变式5】（22·23下·枣庄·期末）“若关于x的方程无解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：
尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， . 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得.
图1 图2
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
考点5：不等式与分式方程
典例5：（22·23下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【变式1】（22·23上·荆门·期末）若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．49
【变式2】（22·23下·绵阳·一模）已知方程，且关于x的不等式只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（22·23下·郑州·期末）已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【变式4】（22·23下·沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（21·22·泰安·模拟预测）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点6：分式方程实际应用
典例6：（23·24上·岳阳·阶段练习）华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快就销售完了．
(1)两次分别购进多少件衬衫？
(2)问商厦这笔生意赢利多少元？
【变式1】（23·24上·长春·阶段练习）在剑兰公路的拓宽改造工程中，省路桥公司承担了48千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成任务．求原计划平均每天改造公路多少千米？
【变式2】（23·24上·重庆·期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)甲乙两队规划的总预算为156甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少．
【变式3】（22·23·丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
【变式4】（23·24上·潼南·阶段练习）中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
(1)求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
(2)为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
【变式5】（23·24上·南宁·期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【变式7】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【变式8】（23·24上·南宁·阶段练习）某校在开展数学文化节知识竞赛中，对优秀选手予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知1个甲种奖品的价格是1个丙种奖品价格的2倍，1个乙种奖品的价格比1个甲种奖品的价格少元．若用元单独去购买某一种奖品时，甲种奖品的数量与丙种奖品的数量之和是乙种奖品数量的2倍．
(1)求甲、乙、丙三种奖品的单价分别是多少元？
(2)该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买丙种奖品的数量是甲种奖品数量的3倍，且丙种奖品的数量不少于甲、乙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？
【变式9】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
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专题02 分式方程及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）分式方程的概念
（1）分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．
（2）分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
（二）解分式方程
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程．
（2）解这个整式方程，求得方程的根．
（3）检验，把解得整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母为0，则它不是原方程的根，而是方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，则它是原分式方程的根．
注意：分式方程无解包含：增根或去分母后的整式方程无解；增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程分母为0的根
（三）分式方程解的应用
（1）增根求参数：①先去分母化为整式方程②确定增根③将增根代入整式方程解出参数
（2）由解的情况求参数的取值范围：①先去分母化为整式方程②用参数来表示x③根据解的情况构建不等式，求解参数取值范围
（四）分式方程的实际应用
（1）解分式方程应用的步骤：(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验（既要检验是否为分式方程的解，也要考虑是否符合实际意义）； (6)作答．
（2）常用公式：①行程问题：②工程问题：（工作总量设为1）③销售问题：
考点一遍过
考点1：分式方程的定义
典例1：（23·24上·全国·课时练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可．
【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程；
②分母中含有未知数，故是分式方程；
③不是等式，故不是方程；
④分母中含有未知数，故是分式方程．
⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程；
⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：分式方程有②④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【变式1】（22·23下·沈阳·期中）在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案．
【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意；
②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意；
③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意；
④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意；
关于的分式方程的个数为1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．
【变式2】（22·23下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数的方程，即可得解．
【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程；
D、分母含有未知数，所以D是分式方程；
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的概念是解题的关键．
【变式3】（22·23下·上海·专题练习）已知方程：①，②，③，④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：①，是分式方程；
②，是整式方程；
③，是分式方程；
④，是整式方程，
则分式方程的个数是
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解本题的关键．
【变式4】（22·23下·全国·单元测试）下列式子中是分式方程的是（ ）
A． B．
C．1 D．x
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】A、不是等式，故不是分式方程；
B、分母中不含未知数，也不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，是分式方程；
D、分母中不含未知数，也不是分式方程；
故选：C．
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数．
【变式5】（21·22下·上海·期中）已知方程：①；②③；④．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分母中含有未知数的方程叫分式方程，根据定义判断即可．
【详解】解：根据定义可知，①②③为分式方程，④不是分式方程，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟记定义是解题的关键．
考点2：解分式方程
典例2：（23·24上·烟台·期中）解分式方程：
【答案】
【分析】方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
【详解】解：去分母得：，
解得，
检验，当时，，
所以是原方程的根．
【变式1】（23·24上·重庆·期中）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】根据解分式方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项，的系数化为1，最后对所求的根进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解；
（2），
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，是增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意对方程根的检验是解题的关键．
【变式2】（22·23下·黔江·期末）（1）解方程
（2）化简：
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用分式方程的解法步骤求解即可；
（2）利用分式的混合运算法则化简分式即可．
【详解】解：（1）两边同时乘以得：，
移项得：，
合并同类项得： ，
解得，
经检验是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）原式＝
．
【点睛】本题考查解分式方程、分式的混合运算，熟练掌握分式方程的解法步骤，掌握分式的混合运算法则并正确求解是解答的关键．
【变式3】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据绝对值、零指数幂、负指数幂、二次根式计算即可；
（2）先在等式两边同乘，再移项即可求解；
【详解】（1）解：原式=
=
（2）解：
检验：将代入得4，
故是原方程的根．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，解分式方程，掌握相关知识及求解步骤是解题的关键．
【变式4】（22·23下·平顶山·阶段练习）计算：
(1)分解因式：；
(2)解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用完全平方差公式将后三项化为，再整体运用平方差公式分解即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：原式
（2）去分母，得
去括号，得
移项、合并得
系数化为1，得
经检验是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为．
【点睛】本题考查解分式方程，以及分组分解法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．
【变式5】（22·23下·南阳·阶段练习）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据分式的加减乘除运算法则进行化简即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
去分母得，，
，
解得，，
检验：当时，，
是原方程的解．
【点睛】本题考查分式的化简和解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．
考点3：分式方程解的应用——求参数
典例3：（23·24上·江北·期中）如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】分别求解分式方程和不等式组，根据解的情况确定参数的取值范围即可．
【详解】解：解分式方程得：，
∵分式方程有整数解，
∴为的倍数，且，即
解不等式组得：
∵不等式组有且只有四个整数解
∴
解得：
综上所述：符合条件的整数为：
故选：A
【点睛】本题考查了根据分式方程和不等式组解的情况求解参数的取值范围．正确的计算是解题关键．
【变式1】（22·23·淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将代入方程，即可求解．
【详解】解：将代入方程，得
解得：
故选：B．
【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程．
【变式2】（22·23下·宿迁·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】A
【分析】先求解分式方程，根据“方程无增根”和“解是正数”即可求出的取值范围．
【详解】解：去分母：
解得：
∵
∴
∵方程的解是正数
∴
∴
综上：且
故选：A
【点睛】本题考查根据分式方程的解求解参数．正确解出分式方程是求解此题的前提．
【变式3】（22·23下·邯郸·期末）已知关于x的分式方程的解为，则常数a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】将代入方程即可求解．
【详解】解：将代入方程得：
即：
解得：
故选：C
【点睛】本题考查根据分式方程的解求参数．将方程的解代入原方程即可．
【变式4】（22·23上·桂林·期末）若关于的方程的解为，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入方程，求出的值即可．
【详解】解：是方程的解，
，
解得：，
经检验，是方程的解，
故选：．
【点睛】本题考查了分式方程的解和解分式方程，掌握解分式方程的方法是解答本题的关键，注意解分式方程最后的验根．
【变式5】（22·23上·邢台·期末）若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4
【答案】D
【分析】解方程得，，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m的值．
【详解】解：原方程为，，
可化为整式方程，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∵分式方程有正整数解，
∴整数m的值是3或4，
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
考点4：分式方程无解问题
典例4：（23·24上·烟台·期中）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查分式方程的增根问题，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求未知系数的值即可．
【详解】解：
∵关于x的分式方程无解，
∴当时，即时，分式方程无解；
当时，，
此时分式方程有增根，
∴，解得或
∴当时，即，解得；
∴当时，即，无解；
综上所述，k的取值是或．
故选：B．
【变式1】（23·24上·东营·阶段练习）若关于x的方程有增根，则增根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据增根的定义可知，最简公分母为零的未知数的值是增根，根据题干分式方程判断出最简公分母，令最简公分母为零即可求得x的值．
【详解】解：∵关于x的方程有增根，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题主要考查分式方程的增根，准确掌握增根定义并找出分式方程的最简公分母是关键．
【变式2】（22·23下·巴彦淖尔·阶段练习）若关于的方程无解，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B
【分析】分式方程无解，增根满足的条件：①增根是化简后对应整式方程的根，②使最简公分母的值为零；据此进行求解即可．
【详解】解：方程两边同乘以（）得
，
，
原方程无解，
，
解得：，
；
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程增根所满足的条件，理解条件是解题的关键．
【变式3】（22·23下·资阳·期末）关于的方程有增根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．有增根，最简公分母，所以增根是，把增根代入整式方程即可求出未知字母的值．
【详解】解：方程两边都乘，得，
方程有增根，
最简公分母，即增根是，
把代入整式方程，得．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式4】（22·23下·雅安·期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）
A．1 B．﹣2 C．1或 D．或2
【答案】C
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：去分母得：，
由分式方程有增根，得到或，
把代入整式方程得：
解得：；
把代入整式方程得：，
解得：；
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【变式5】（22·23下·枣庄·期末）“若关于x的方程无解，求a的值.”尖尖和丹丹的做法如下（如图1和图2）：
尖尖： 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得： ， 原方程无解， ， . 丹丹： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 解得：， 原方程无解，为增根， ，解得， ，解得.
图1 图2
下列说法正确的是（ ）
A．尖尖对，丹丹错 B．尖尖错，丹丹对 C．两人都错 D．两人的答案合起来才对
【答案】D
【分析】先化简分式方程为，根据题意可得为增根或，分别求出对应的的值即可．
【详解】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：
，
∴为增根或，
当，解得，此时，解得；
当，解得；
综上所述：的值为3或4，
故选：D．
【点睛】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解的时候满足的条件是解题的关键．
考点5：不等式与分式方程
典例5：（22·23下·全国·专题练习）若关于x的不等式的解集为，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有整数m的和为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【分析】解不等式组，根据解不等式组的法则可得m的取值范围，再解分式方程，根据题意求出整数m的值即可解答．
【详解】解：解不等式组，
得：，
不等式组的解集为，
，
解关于x的分式方程，
可得且，
分式方程有正整数解，
的值为，，，
即的值为，，，
，
的值为，，
故满足条件的所有整数m的和为．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，熟练掌握计算法则，记住分式方程增根的情况是解题的关键．
【变式1】（22·23上·荆门·期末）若关于x的分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．12 B．16 C．18 D．49
【答案】B
【分析】先解分式方程，再根据关于x的分式方程的解是非负整数解，可得，且，再根据，求出a的取值范围，进一步可得满足条件的整数a的值，再求和即可．
【详解】解：去分母，得，
解得x＝，
∵关于x的分式方程的解是非负整数解，
∴且，
解得且，
∵，
∴，
∴a的取值范围是且，
∴满足条件的整数a的值有6，10，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
【变式2】（22·23下·绵阳·一模）已知方程，且关于x的不等式只有2个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解分式方程，得到a的值为，根据题意可得两个整数解为，，确定b的取值范围，即可解答．
【详解】解：
两边同乘得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，是分式方程的增根，故分式方程的解为，
根据不等式只有2个整数解，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式的整数解，弄清楚是否取到等号是解题的关键．
【变式3】（22·23下·郑州·期末）已知不等式的负整数解是关于x的方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【答案】A
【分析】先求出不等式的解集，然后取x的负整数解代入方程，化为关于a的一元一次方程，解方程即可得出a的值．
【详解】解：解不等式得，
故满足不等式的负整数解为，
将代入方程，得：，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，将x的值解出再代入方程得出关于a的方程是关键．
【变式4】（22·23下·沧州·模拟预测）对于a、b定义，已知分式方程的解满足不等式，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义的含义，转化为分式方程，按照解分式方程的步骤求出x的值，把x的值代入不等式中，解不等式即可．
【详解】解：根据新定义可得，，即，
去分母得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
把代入不等式可得，，
解得．
故选D．
【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，关键是理解新定义，并正确运算．
【变式5】（21·22·泰安·模拟预测）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可．
【详解】解：分式方程去分母得：3-a-a2+4a=-1，即a2-3a-4=0，
分解因式得：（a-4）（a+1）=0，
解得：a=-1或a=4，
经检验a=4是增根，分式方程的解为a=-1，
当a=-1时，由a＜x≤b只有4个整数解，得到3≤b＜
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点6：分式方程实际应用
典例6：（23·24上·岳阳·阶段练习）华联商厦进货员在苏州发现一种应季衬衫，预料能畅销市场，就用80000元购进所有衬衫，还急需2倍这种衬衫，经人介绍又在上海用了176000元购进所需衬衫，只是单价比苏州贵4元，商厦按每件58元销售，销路很好，最后剩下的150件按八折销售，很快就销售完了．
(1)两次分别购进多少件衬衫？
(2)问商厦这笔生意赢利多少元？
【答案】(1)在苏州购进了2000件衬衫，在上海购进了4000件衬衫
(2)商厦这笔生意盈利90260元
【分析】（1）设这位进货员在苏州购进了x件衬衫，根据上海的单价苏州的单价，列出方程，求出x的值，再进行检验即可；
（2）根据总利润销售收入进价，即可求出商厦盈利．
【详解】（1）解：设这位进货员在苏州购进了x件衬衫，根据题意得：
，
解得：．
经检验是原方程的解，
则，
答：在苏州购进了2000件衬衫，在上海购进了4000件衬衫；
（2）解：商厦做这笔生意盈利为：（元），
答：商厦这笔生意盈利90260元．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找出等量关系列出方程是解题的关键．
【变式1】（23·24上·长春·阶段练习）在剑兰公路的拓宽改造工程中，省路桥公司承担了48千米的任务．为了减少施工带来的影响，在确保工程质量的前提下，实际施工速度是原计划的1.2倍，结果提前20天完成任务．求原计划平均每天改造公路多少千米？
【答案】原计划平均每天改造公路千米．
【分析】设原计划平均每天改造公路千米，由题意：实际每天改造公路的长度为千米，结果提前2天完成这一工程，列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划平均每天改造公路千米，则实际每天改造公路的长度为千米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
答：原计划平均每天改造公路千米．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【变式2】（23·24上·重庆·期中）暑假期间，甲、乙两队自驾去西藏．两队计划同一天出发，沿不同的路线前往目的地．甲队走路线，全程2000千米，乙队走路线，全程2400千米，由于路线车流量较小，乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，这样乙队可以比甲队提前3天到达目的地．
(1)求甲、乙两队分别计划多少天到达目的地？
(2)甲乙两队规划的总预算为156甲队最开始计划有3个人同行，每人每天花费300元，临近出发时又有个人一起加入了队伍，经过计算，甲队实际每增加1人时，每天的总花费将增加200元，乙队每人每天的平均花费一直是250元．若甲乙两队的最终人数一样多，且所花时间与各自原计划天数一致，两队总花费没有超支．求的值最大是多少．
【答案】(1)甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
(2)6
【分析】（1）设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，根据乙队平均每天行驶的路程是甲队的3倍，得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案；
（2）根据两队路途中共花费15600元，可得出关于a的一元一次不等式，取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）解：设乙队计划x天到达目的地，则甲队计划天到达目的地，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
答：甲队计划5天到达目的地，乙队计划2天到达目的地；
（2）解：根据题意得：，
解得，
∵a是整数，
∴的值最大是
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程和不等式．
【变式3】（22·23·丹东·中考真题）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为36米的桥梁进行重新改造．为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前2天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米
【答案】施工队原计划每天改造6米．
【分析】设施工队原计划每天改造米，根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务得：，解方程并检验可得答案．
【详解】解：设施工队原计划每天改造米，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米．
【点睛】本题考查分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出分式方程．
【变式4】（23·24上·潼南·阶段练习）中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．
(1)求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．
(2)为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了，每个乙种月饼的售价便宜了元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了个，但甲种月饼和乙种月饼的总数量不变，最终的总费用比原计划减少了元，求的值．
【答案】(1)计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个．
(2)的值是
【分析】（1）设计划购买乙种月饼个，则购买甲种月饼个，根据题意列出方程
，即可求解；
（2）由（1）可求出甲种月饼原售价：元，乙种月饼原售价：元，即可得出甲种月饼现售价：元，乙种月饼现售价：元，根据题意可得，即可求解．
【详解】（1）解：设计划购买乙种月饼个，则购买甲种月饼个，根据题意列出方程
解之得：
经检验：是原方程的解
答：计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个．
（2）解：甲种月饼售价：（元），
乙种月饼售价：（元）
由题意可得：
化简得：
，
答：的值是
【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目意思，正确找出等量关系．
【变式5】（23·24上·南宁·期中）为了丰富校园文化生活，某校八年级计划举办一场年级篮球赛．该校计划为篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
(1)求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
(2)该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案．
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）．
若该校需要购买15个A型号篮球和个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
【答案】(1)型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元
(2)当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【分析】（1）设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，根据“用1200元购买型号篮球个数与用600元购买型号篮球的个数相等”，列出分式方程，解方程即可得到答案；
（2）先分别计算出方案一、方案二所花费的金额，分三种情况：方案一花费金额大于方案二花费金额；方案一花费金额等于方案二花费金额；方案一花费金额小于方案二花费金额，分别计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设型号篮球的单价为元，则型号篮球的单价为元，
根据题意可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
（元），
答：型号篮球的单价为80元，则型号篮球的单价为40元；
（2）解：根据题意可得：
方案一所花费的金额为：，
方案二所花费的金额为：，
当时，即，
解得：，
，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；
当时，即，
解得：，
当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱；
综上所述：当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案二购买更省钱；当型号篮球购买15个，型号篮球购买20个时，两种方案花费的钱一样多；当型号篮球购买15个，型号篮球购买个数为时，选择方案一购买更省钱．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，读懂题意，正确列出分式方程，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键．
【变式6】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）成都大运会期间，某网店直接从工厂购进A、B两款文创纪念品，已知A、B两款纪念品的进价分别为30元/个、25元/个．
(1)网店第一次用1400元购进A、B两款纪念品共50个，求A款纪念品购进的个数；
(2)大运会临近结束时，网店打算把A款纪念品降价销售，则降价后销售A款纪念品要获得销售额800元，比按照原价销售要多卖4个才能获得同样多的销售额，求A款纪念品降价以前的售价．
【答案】(1)A款纪念品购进的个数为30个
(2)A款纪念品降价以前的售价50元
【分析】（1）设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，根据共购进50个和花费1400元，可列二元一次方程组，即可解答；
（2）设A款纪念品降价以前的售价为m元，则可得降价后的售价为元，利用按照原价销售的个数加上4等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设购进A款纪念品个，购进B款纪念品个，
根据题意可得，
解得，
答：A款纪念品购进的个数为30个；
（2）解：设A款纪念品降价以前的售价为m元，
则可得降价后的售价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，为原方程的解，
答：A款纪念品降价以前的售价50元．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．
【变式7】（23·24上·重庆·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)小凤每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？
【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟；
(2)小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可；
（2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可．
【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟 ，则小凤的跑步速度为每分 ，
根据题意，得，
解得，
经检验是原方程的解，
原方程的解为，
∴小凤的跑步速度为每分钟，
答：小凤的跑步速度为每分钟；
（2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分，
则小凤从地到地所用时间为（分钟）．
设小凤从地到地用时分钟，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则（分钟）．
答：小凤从地到地锻炼共用70分钟．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键．
【变式8】（23·24上·南宁·阶段练习）某校在开展数学文化节知识竞赛中，对优秀选手予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知1个甲种奖品的价格是1个丙种奖品价格的2倍，1个乙种奖品的价格比1个甲种奖品的价格少元．若用元单独去购买某一种奖品时，甲种奖品的数量与丙种奖品的数量之和是乙种奖品数量的2倍．
(1)求甲、乙、丙三种奖品的单价分别是多少元？
(2)该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买丙种奖品的数量是甲种奖品数量的3倍，且丙种奖品的数量不少于甲、乙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？
【答案】(1)1个甲种奖品的价格为元，1个乙种奖品的价格为元，1个丙种奖品的价格为元
(2)元
【分析】（1）设1个丙种奖品的价格为x元，则1个甲种奖品的价格为元，1个乙种奖品的价格为元，根据“用元单独去购买某一种奖品时，甲种奖品的数量与丙种奖品的数量之和是乙种奖品数量的2倍”列方程，解方程并检验即可；
（2）设购买甲种奖品m个，则购买丙种奖品个，乙种奖品个，根据“丙种奖品的数量不少于甲、乙两种奖品的数量之和”列出不等式，求出m的取值范围，再设该校购买奖品的总费用为w元，得到关于m的一次函数，根据一次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：设1个丙种奖品的价格为x元，则1个甲种奖品的价格为元，1个乙种奖品的价格为元，
依题意得：，
解得：，
检验：当时，
∴是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：1个甲种奖品的价格为元，1个乙种奖品的价格为元，1个丙种奖品的价格为元．
（2）设购买甲种奖品m个，则购买丙种奖品个，乙种奖品个，
依题意得：，
∴．
设该校购买奖品的总费用为w元，则
．
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，最大值为．
答：该校完成购买计划最多要花费元．
【点睛】此题考查了分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，读懂题意，找到等量关系和不等关系，列出方程、函数、不等式是解题的关键．
【变式9】（23·24上·沙坪坝·阶段练习）某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．
(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？
(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？
【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米
(2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时
【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可．
【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米．
根据题意，得：，
解这个方程组，得，
答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米；
（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时．
根据题意，得：，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的解，
答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时．
【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
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