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专题02 概率
考点类型
知识一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么事件A发生的概率P(A)＝.
③事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件（必然、不可能） 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
随机事件（不确定事件） 0＜P＜1
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
考点一遍过
考点1：事件的分类
典例1：（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
【变式1】（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．煮熟的种子发芽 D．周末逛公园遇到同学
【变式2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上
B．两个无理数相加，结果仍是无理数
C．任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页
D．两个负数相乘，结果必为正数
【变式3】（2022上·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第二中学校考期中）有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
考点2：可能性大小
典例2：（2023上·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是
C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【变式1】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ）
A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2
【变式2】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校考阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【变式3】（2023·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
考点3：等可能事件
典例3：（2023·湖南长沙·统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17。根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和
【变式1】（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（ ）
A．一定正面朝上 B．一定反面朝上
C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上
【变式2】（2023上·陕西·九年级校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
【变式3】（2023下·浙江杭州·九年级期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（ ）
A．12 B．6 C．5 D．2
考点4：概率的理解
典例4：（2024上·云南玉溪·九年级统考期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级统考期末）某个事件发生的概率是，这意味着（ ）
A．在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C．在两次重复试验中该事件必有一次发生
D．每次试验中事件发生的可能性是
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）一个事件发生的概率不可能是（ ）
A． B．1 C． D．0
【变式3】（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75
考点5：列举法求概率
典例5：（2023·广东肇庆·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期末）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）草莓种植户将今天的草莓按大小分拣成A、B、C三类，随机分放在同一直线上的三个摊点出售（三个摊点不能兼顾)，甲到第一个摊点观察后不买，再到第二个摊点观察，若第二个摊点草莓比第一个摊点大，就直接购买；若比第一个摊点小，就到第三个摊点购买，按这种方式，甲买到的草莓是A类的概率为 （ ）
A． B． C． D．
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：（2024上·浙江宁波·九年级统考期末）“迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者．某中学准备派出3名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧．
(1)若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？
(2)若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画树状图或列表法分析与表示．
【变式1】（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）随着2022年12月29日“射盐高速”的通车，加快我县融入长三角、接轨大上海的步伐，我县居民出行更加便捷．元旦假期李叔叔驾车出去游玩，途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道B和通道C三条通道；盐城东收费站有人工通道D、混合通道E、混合通道F和通道G四条通道．（不考虑其他因素）．
(1)途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是“通道C”的概率为_________；
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选通道的概率．
【变式2】（2024上·云南保山·九年级统考期末）某校计划举办“学习二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”、“绿色低碳”四个主题，将其制成四张背面看上去无差别的卡片（如图所示），并把卡片背面朝上洗匀．
(1)若小丽随机抽取一张卡片，则她选中的主题是“绿色低碳”的概率是_____；
(2)若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主题，请用列表或画树状图的方法求出他们恰好抽取不同主题的概率．（用对应的字母表示）
【变式3】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案（卡片依次记为A，B，C），卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
考点7：用频率估计概率
典例7：（2023下·河北秦皇岛·九年级统考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【变式1】（2023上·山东烟台·九年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751
摸到白球的频率
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；随机摸出一个球，摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(2)试估算，口袋中黑球的个数____，白球的个数____；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【变式2】（2022上·全国·九年级专题练习）在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
摸球次数
摸到白球次数
摸到白球的概率
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到），黄球有 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的度数（结果精确到）；
(2)小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．
直接写出红球的个数；
直接写出两次摸球都获得饮料的概率．
考点8：概率的应用
典例8：（2022下·七年级单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．
(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
【变式1】（2022上·山西长治·九年级统考阶段练习）综合与实践
【问题再现】
(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】
(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【变式2】（2022·福建泉州·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【变式3】（2022上·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）．
(1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果．
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表：
转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150
“和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33
请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？
(3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值．
考点9：概率与统计的综合
典例9：（2024上·福建厦门·九年级统考期末）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；
① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；
② 转运板进311，托起车，载车出311；
③ 转运板载车滑行至316前；
④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前；
⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车．
停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330
转运板滑行区 转运板滑行区
如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．
(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；
（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）
(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．
【变式1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素 浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量 10 5 5 20 15 5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；
①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．
【变式2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；并补全条形统计图；
(2)根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法；
(3)在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？
【变式3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）文化如水，润物无声，为了弘扬中国传统文化，某校开设了四类课程：A．诗歌；B．书法；C．剪纸；D．国学，要求每位学生都参加一门课程，为了解学生参与这四类课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了______名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，估计该校参加C类课程（剪纸）的学生人数；
(4)该校计划从参加D类课程（国学）学习组的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市级“经典传颂”比赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
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专题02 概率
考点类型
知识一遍过
（一）事件的分类
（1）必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.
（2）不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.
（3）不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，这些事情称为不确定事件.
（二）概率的概念及其公式
（1）概率的概念及公式
①概率及公式：定义：表示一个事件发生的可能性大小的数．公式：P(A)＝(m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
②用频率可以估计概率：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么事件A发生的概率P(A)＝.
③事件的类型及其概率
事件类型 概率
确定性事件（必然、不可能） 1或0
必然事件 1
不可能事件 0
随机事件（不确定事件） 0＜P＜1
（2）随机事件的概率计算：①列举法；②列表法；③树状图
考点一遍过
考点1：事件的分类
典例1：（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．掷一枚硬币一次，反面向上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，摸出一个白球
D．三角形的内角和为
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟知定义是解题的关键．事件分为必然事件、随机事件与不可能事件；一定发生的事件是必然事件；可能发生也可能不发生的事件是随机事件；一定不发生的事件是不可能事件；根据三类事件的含义进行判断即可．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，可能正面向上，也有可能反面向上，故选项是随机事件，不符合题意；
B、满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边的三条线段可以组成一个三角形，故选项是随机事件，不符合题意；
C、一个不透明的袋子中有三个红球两个黑球，不可能摸出一个白球，故选项是不可能事件，不符合题意；
D、任何一个三角形的内角和都为，故选项是必然事件，符合题意；
故选：D．
【变式1】（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）下列选项中是随机事件的是（ ）
A．水从高处往低处流动 B．任意画一个三角形，其内角和是
C．煮熟的种子发芽 D．周末逛公园遇到同学
【答案】D
【分析】本题主要考查随机事件的定义，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．根据随机事件的定义解题即可．
【详解】解：水从高处往低处流动，一定会发生，是必然事件，故选项A不符合题意；
任意画一个三角形，其内角和是，一定会发生，是必然事件，故选项B不符合题意；
煮熟的种子发芽，一定不会发生，是不可能事件，故选项C不符合题意；
周末逛公园遇到同学，可能发生可能不发生，是随机事件，故选项D符合题意．
故选：D．
【变式2】（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）下列事件是必然事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上
B．两个无理数相加，结果仍是无理数
C．任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页
D．两个负数相乘，结果必为正数
【答案】D
【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可解答．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故A错误；
B、两个无理数相加，结果仍是无理数是随机事件，故B错误；
C、任意打开九年级上册数学教科书，正好是97页是随机事件，故C错误；
D、两个负数相乘，结果必为正数是必然事件，故D正确．
故选：D．
【变式3】（2022上·湖北武汉·九年级湖北省水果湖第二中学校考期中）有两个事件，事件A：某射击运动员射击一次，命中靶心；事件B：掷一枚硬币，正面朝上，则（ ）
A．事件A和事件B都是随机事件 B．事件A是随机事件，事件B是必然事件
C．事件A和事件B都是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
【答案】A
【分析】本题考查了随机事件“在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件”，熟记定义是解题关键．根据随机事件的定义即可得．
【详解】解：某射击运动员射击一次，命中靶心，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
掷一枚硬币，正面朝上，有可能发生也可能不发生，所以事件是随机事件，
综上，事件和事件都是随机事件，
故选：A．
考点2：可能性大小
典例2：（2023上·浙江杭州·九年级杭州市杭州中学校考阶段练习）下列事件中，发生可能性最大的是（ ）
A．购买张彩票，中奖 B．画一个三角形，其内角和是
C．随意翻到一本书的某页，页码是奇数 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查了必然事件、不可能事件，随机事件，根据必然事件、不可能事件，随机事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可，正确理解必然事件、不可能事件，随机事件的意义是解题的关键．
【详解】解：、购买张彩票会中奖是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
、任意画一个三角形，其内角和是是必然事件，发生可能性是，此选项符合题意；
、随意翻到一本书的某页，这页的页码可能是奇数，有可能是偶数，因此是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
、射击运动员射击一次，可能命中靶心，有可能不命中靶心，它是随机事件，发生可能性不是最大，此选项不符合题意；
故选：．
【变式1】（2024上·河北沧州·九年级统考期末）一枚质地均匀的正方体骰子，各面上分别刻有1到6的点数，任意掷该骰子一次，下列情况出现的可能性最大的是（ ）
A．面朝上的点数是2 B．面朝上的点数是偶数
C．面朝上的点数小于2 D．面朝上的点数大于2
【答案】D
【分析】本题考查概率大小，涉及简单概率公式，根据选项，逐项得到相应事件的概率，比较大小即可得到答案，熟练掌握事件概率的求法是解决问题的关键．
【详解】解：A、面朝上的点数是2的概率是；
B、面朝上的点数是偶数的数有2、4、6，从而得到概率是；
C、面朝上的点数小于2的数有1，从而得到其概率是；
D、面朝上的点数大于2的数有3、4、5、6，从而得到概率是；
，
四个选项中可能性最大的是D，
故选：D．
【变式2】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市粮道街中学校考阶段练习）事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°；事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯；则下列说法正确的是（ ）
A．事件①和②都是随机事件
B．事件①是随机事件，事件②是必然事件
C．事件①和②都是必然事件
D．事件①是必然事件，事件②是随机事件
【答案】D
【分析】根据随机事件和必然事件的概念判断可得．
【详解】解：事件①：任意画一个多边形，其外角和为360°，这是必然事件；
事件②：经过一个有交通信号灯的十字路口，遇到红灯，这是随机事件；
故选：D．
【点睛】本题考查的是理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【变式3】（2023·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据概率公式求出白球的取值范围即可得出结论．
【详解】解：若要使取到白球的概率较大，则白球的个数＞红球的个数
由各选项可知，只有D选项符合
故选D．
【点睛】此题考查的是比较概率的大小，掌握概率公式是解决此题的关键．
考点3：等可能事件
典例3：（2023·湖南长沙·统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17。根据以上信息，下列判断正确的是（ ）
A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9
B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7
C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4
D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和
【答案】A
【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，
只能是1与3的和，
即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，
，
丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，
，
甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，
，
丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，
戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，
故选：A．
【点睛】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．
【变式1】（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考阶段练习）彤彤抛五次硬币，次正面朝上，次反面朝上，她抛第次时，下面说法正确的是哪一个？（ ）
A．一定正面朝上 B．一定反面朝上
C．不可能正面朝上 D．有可能正面朝上也有可能反面朝上
【答案】D
【分析】根据等可能事件的意义解答即可．
【详解】解：抛硬币正面朝上和反面朝上的概率相同，
每一次抛都是有可能正面朝上也有可能反面朝上，
故选：D．
【点睛】本题考查了等可能事件的定义，能够正确判断事件发生的概率是解本题的关键．
【变式2】（2023上·陕西·九年级校考开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖
C．射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是
D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一
【答案】D
【分析】根据各个选项的说法可以判断是否正确，进而可以解答．
【详解】A.做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，但是试验次数少，因此不能确定钉尖朝上的概率，所以A选项不正确，不符合题意；
B.某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票不一定会有5张中奖，所以B选项不正确，不符合题意；
C.射击运动员射击一次中靶与不中靶不是等可能事件，一般情况下，还有脱靶的可能，所以C选项不正确，不符合题意；
D.抛硬币正面朝上和反面朝上是等可能事件，再抛一次正面朝上的概率是二分之一，所以D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率的意义，属于基础题，解决本题的关键是掌握概率的意义．
【变式3】（2023下·浙江杭州·九年级期中）浙教版九年级上册课本第41页中的一道题如图所示，请你仔细阅读后认真解答．笼子里关着一只小松鼠（如图），笼子的主人决定把小松鼠放归大自然，将笼子所有的门都打开，松鼠要先经过第一道门（A，B，或C），再经过第二道门（D或E）才能出去，问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有多少种不同的可能？你的答案是（ ）
A．12 B．6 C．5 D．2
【答案】B
【分析】分析两道门各自的可能性情况，再进行组合即可得解．
【详解】解：∵第一道门有A、B、C三个出口，
∴出第一道门有三种选择，
又∵第二道门有两个出口，
故出第二道门有D、E两种选择，
∴小松鼠走出笼子的路线有6种选择，
分别为AD、AE、BD、BE、CD、CE，
故选B．
【点睛】本题考查了概率的知识，解题的关键是通过列举法列出所有可能性的路径．
考点4：概率的理解
典例4：（2024上·云南玉溪·九年级统考期末）在多次重复抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“正面向上”发生的频率为，每次试验该事件的概率为．下列说法错误的是（ ）
A．的值为0.5
B．随着试验次数的增加，的值可能发生变化
C．当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定
D．试验次数越多，的值越大
【答案】D
【分析】本题考查频率与概率，掌握频率随着试验次数的变化而变化，概率是频率的稳定值，是一个常数，是解题的关键，根据频率与概率的关系，逐一判断即可．
【详解】解：A、的值为0.5，选项正确，不符合题意；
B、随着试验次数的增加，的值可能发生变化，选项正确，不符合题意；
C、当试验次数很大时，在附近摆动，并趋于稳定，选项正确，不符合题意；
D、试验次数越多，的值越趋于稳定，选项错误，符合题意；
故选D．
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级统考期末）某个事件发生的概率是，这意味着（ ）
A．在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B．在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C．在两次重复试验中该事件必有一次发生
D．每次试验中事件发生的可能性是
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，根据概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，可能发生也可能不发生，分析判断即可．
【详解】解：∵某个事件发生的概率是，
根据概率的意义：该事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，每次试验中事件发生的可能性是，
故选：D．
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）一个事件发生的概率不可能是（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【分析】本题考查了概率的意义，根据随机事件发生的概率在0和1之间，不可能事件的概率是0，必然事件的概率是1，可得答案．
【详解】解：A、任何事件的概率不能大于1小于零，故A符合题意；
B、任何事件的概率不能大于1小于零，故B不符合题意；
C、任何事件的概率不能大于1小于零，故C不符合题意；
D、任何事件的概率不能大于1小于零，故D不符合题意；
故选：A．
【变式3】（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.75
【答案】A
【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为，
故选：A．
考点5：列举法求概率
典例5：（2023·广东肇庆·统考三模）暑假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有（ ）
A．40 B．45 C．50 D．55
【答案】B
【分析】本题主要考查了列举法．设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，一一列举，根据分步计算原理可得．
【详解】解：设5名同学票用A，B，C，D，E来表示，
若恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法，
设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不是自己的座位，
则有共9种坐法，
则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有种，
故选：B．
【变式1】（2023上·安徽阜阳·九年级统考期末）有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意列出所有可能，根据概率公式即可求解．本题考查了列举法求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵有数字4，5，6的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，
∴摆出的三位数有共6种可能，其中是2的倍数，
∴摆出的三位数是2的倍数的概率是，
故选：C．
【变式2】（2023上·安徽芜湖·九年级校考阶段练习）小颖有两件上衣，分别为红色和白色，有两条裤子，分别为黑色和白色，她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了利用列举法求概率，正确画出树状图是解题关键．先画出树状图，从而可得她随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果，再找出恰好是白色上衣和白色裤子的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，小颖随机拿出一件上衣和一条裤子穿上的所有等可能的结果共有4种，其中，恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种，
则恰好是白色上衣和白色裤子的概率为，
故选：B．
【变式3】（2023上·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）草莓种植户将今天的草莓按大小分拣成A、B、C三类，随机分放在同一直线上的三个摊点出售（三个摊点不能兼顾)，甲到第一个摊点观察后不买，再到第二个摊点观察，若第二个摊点草莓比第一个摊点大，就直接购买；若比第一个摊点小，就到第三个摊点购买，按这种方式，甲买到的草莓是A类的概率为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列举法求概率．列举出所有三类草莓排列情况，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：三类草莓排列情况共有，，，，，，
符合要求的有，，，
所以买到的草莓是A类的概率为．
故选：A．
考点6：列表法、树状图法求概率
典例6：（2024上·浙江宁波·九年级统考期末）“迎新春山地马拉松”赛事需要学生志愿者．某中学准备派出3名男生和2名女生加入志愿者团队，其中有男生小明和女生小慧．
(1)若要从这5人中随机选取一人作为联络员，则选到男生的概率是多少？
(2)若要从男生与女生中各随机选取一人回学校作经验分享，则恰好选到小明和小慧的概率是多少？试用画树状图或列表法分析与表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键；
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选到小明和小慧的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，选到男生的概率是；
（2）将另外2名男生分别记为，将另外1名女生记为，
列表如下：
小明
小慧 （小明，小慧） （，小慧） （，小慧）
（小明，） （，） （，
共有6种等可能的结果，其中恰好选到小明和小慧的结果有1种，
∴恰好选到小明和小慧的概率为．
【变式1】（2024上·江苏盐城·九年级统考期末）随着2022年12月29日“射盐高速”的通车，加快我县融入长三角、接轨大上海的步伐，我县居民出行更加便捷．元旦假期李叔叔驾车出去游玩，途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道B和通道C三条通道；盐城东收费站有人工通道D、混合通道E、混合通道F和通道G四条通道．（不考虑其他因素）．
(1)途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是“通道C”的概率为_________；
(2)用列表或画树状图的方法，求李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选通道的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查运用画树状图或列表法求概率以及概率公式：
（1）直接运用概率公式求解即可；
（2）画树状图，列举出所有等可能的结果，以及李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选通道的结果数，再运用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵海都南路射阳收费站和盐城东收费站，海都南路射阳收费站有人工通道A、混合通道B和通道C三条通道，
∴途经海都南路射阳收费站时，李叔叔所选通道是“通道C”的概率为，
故答案为：
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选通道有1种，
∴李叔叔途经海都南路射阳收费站和盐城东收费站都选通道的概率为
【变式2】（2024上·云南保山·九年级统考期末）某校计划举办“学习二十大”演讲比赛，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”、“绿色低碳”四个主题，将其制成四张背面看上去无差别的卡片（如图所示），并把卡片背面朝上洗匀．
(1)若小丽随机抽取一张卡片，则她选中的主题是“绿色低碳”的概率是_____；
(2)若小英从卡片中随机抽取一张卡片确定主题后，将卡片放回洗匀，小亮再随机从中抽取一张卡片确定主题，请用列表或画树状图的方法求出他们恰好抽取不同主题的概率．（用对应的字母表示）
【答案】(1)
(2)小英和小亮恰好抽取到不同主题的概率为．
【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及他们恰好抽取不同主题的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，小丽随机抽取一张卡片，她选中的主题是“绿色低碳”的概率是．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们恰好抽取不同主题的结果有：，，，，，，，，，，，，共12种，
∴他们恰好抽取不同主题的概率为．
【变式3】（2024上·山东青岛·九年级统考期末）杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．现有三张不透明的卡片，其正面图案分别为杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”图案（卡片依次记为A，B，C），卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率．
【答案】
【分析】本题考查的是用画树状图法或列表法求概率，画出树状图，共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：由题意可画树状图如下：
共有9个等可能的结果，两次抽到的卡片图案上都是宸宸的结果是1个，
两次抽出的卡片上的图案都是“宸宸”的概率为．
考点7：用频率估计概率
典例7：（2023下·河北秦皇岛·九年级统考期中）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图所示为“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)请估计：当n足够大时，摸到白球的频率将会接近__________（结果精确到），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为__________；
(2)试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个；
(3)在（2）的条件下，如果要使摸到白球的频率稳定在，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)，
(2)估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个
(3)个
【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量，分式方程的应用是解题的关键．
（1）根据用频率估计概率求解作答即可；
（2）由题意知，盒子里白颜色的球有（个），则黑颜色的球有（个）；
（3）设需要往盒子里再放入个白球，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：由统计图可知，当n足够大时，摸到白球的频率将会接近，假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率为，
故答案为：，；
（2）解：由题意知，盒子里白颜色的球有（个），
黑颜色的球有（个）；
∴估算盒子里白、黑两种颜色的球各有个；
（3）解：设需要往盒子里再放入个白球，
依题意得，，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴需要往盒子里再放入个白球．
【变式1】（2023上·山东烟台·九年级统考期末）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 73 117 152 370 604 751
摸到白球的频率
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近____；随机摸出一个球，摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；
(2)试估算，口袋中黑球的个数____，白球的个数____；
(3)从口袋中任意摸出一个球，记下颜色后放回口袋中搅拌均匀，再任意摸出一个球，请用树状图的方法求两次摸到的球的颜色正好相同的概率．
【答案】(1)，，；
(2)1，3；
(3)．
【分析】（1）本题考查了由频率估计概率，随着n的增大，频率逐渐稳定在，即得到摸到白球的概率，从而得到摸到黑球的概率．
（2）本题考查了概率的相关计算，根据概率乘以总数即可解题．
（3）本题考查了用树状图求概率，根据题意画出树状图，得到两次摸到的球的颜色正好相同得情况数再除以总得情况种数，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，摸到白球的频率逐渐接近：，
则摸到白球的概率可看作：，
摸到黑球的概率：．
（2）解：由（1）可知摸到白球的概率为摸到黑球的概率为，而小球总数为4，
所以口袋中黑球的个数：，口袋中白球的个数：．
（3）解：画树状图，得：
共有16种等可能的结果，其中两次摸到的球的颜色正好相同的有10种情况，
两次摸到的球的颜色正好相同的概率为．
【变式2】（2022上·全国·九年级专题练习）在不透明的口袋中装有个白色、个红色和若干个黄色的乒乓球（除颜外其余都相同），小明为了弄清黄色乒乓球的个数，进行了摸球的实验（每次只摸一个，记录颜色后放回，搅匀后重复上述步骤），下表是实验的部分数据：
摸球次数
摸到白球次数
摸到白球的概率
(1)请你估计：摸出一个球恰好是白球的概率大约是 （精确到），黄球有 个；
(2)如果从上述口袋中，同时摸出个球，求结果是一红一黄的概率．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了估算概率和列表法或树状图求概率等知识点，熟知求概率的方法和公式是解答本题的关键．
（1）根据用频率估计概率的方法即可得到摸出一个球恰好是白球的概率,再用白球的个数除以摸到白球的概率，然后减去白、红球的个数，由此得到答案；
（2）记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表得到所有可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解，得到答案．
【详解】（1）解：从表中可看出，
随着摸球次数的增加，摸到白球的概率越来越接近．
估计摸到白球的概率约为．
口袋中乒乓球总数为：．
黄球的个数为．
估计有个黄色的乒乓球．
故答案为：，．
（2）解：记一红一黄为“√”，其余记为“╳”，列表：
同时摸出个球时，共有种等可能的结果，而“一红一黄”有种结果．
（一红一黄）．
【变式3】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）学校为增加节日气氛，在新年来临之际举行一次抽奖活动；如图是一个可以自由转动、质地均匀的转盘，每位学生都有一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数
落在“铅笔”的次数
落在“铅笔”的频率
(1)直接写出转动该转盘一次，获得铅笔的概率（结果保留小数点后两位），并直接写出饮料所在扇形的圆周角的度数（结果精确到）；
(2)小明同学设计了一个摸球试验，在口袋中放一个白球和若干个红球，从中随机摸出一球，如果是白球，就获得饮料，如果是红球，就获得铅笔．并且这个试验中获得铅笔的概率跟学校抽奖活动的结果是一样的．
直接写出红球的个数；
直接写出两次摸球都获得饮料的概率．
【答案】(1)，；
(2) 个； ．
【分析】（）根据图表中的频率去估计概率及用即可；
（）利用概率公式，摸到白球的概率为，摸到红球的概率为即可求解；
画树状图，然后利用概率公式求解；
本题考查了利用频率估计概率和列表法与树状图法求概率，解题的关键是灵活运用知识点的应用．
【详解】（1）根据表格可知：转动该转盘一次，获得铅笔的概率为，
饮料所在扇形的圆周角的度数；
（2）设红球的个数有个，
由（）得，铅笔的概率为，
，解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴红球的个数有个；
列表如下：
白 红 红 红
白 白、白 红、白 红、白 红、白
红 白、红 红、红 红、红 红、红
红 白、红 红、红 红、红 红、红
红 白、红 红、红 红、红 红、红
共有种等可能的结果数，其中两人都获得“饮料”的结果数为，
∴两人都获得“饮料”的概率为．
考点8：概率的应用
典例8：（2022下·七年级单元测试）小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成枚棋子，如图，棋子A有1枚，棋子B有2枚，棋子C有3枚，棋子D有4枚．“字母棋”的游戏规则如下：①游戏时两人各摸一枚棋子进行比赛称为一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；②棋子A胜棋子B、棋子C，棋子B胜棋子C、棋子D，棋子C胜棋子D，棋子D胜棋子A；③相同棋子不分胜负．
(1)若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是多少
(2)已知小玲先摸到了棋子C，小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，这一轮小玲胜小军的概率是多少
(3)当小玲摸到什么棋子时，胜小军的概率最大
【答案】(1)
(2)小玲胜小军的概率是
(3)当小玲摸到棋子B时，胜小军的概率最大
【分析】（1）画出树状图，根据概率公式进行作答即可；
（2）已知小玲先摸到了棋子C，还剩9枚棋子，因为棋子C胜棋子D，只有４枚棋子，即可知道这一轮小玲胜小军的概率；
（3）分情况讨论，根据概率的大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，画出树状图：
共有个等可能的结果，小玲摸到棋子C的结果有3个，
所以若小玲先摸，则小玲摸到棋子C的概率是；
（2）解：因为小玲先摸到了棋子C，若小军在剩余的9枚棋子中随机摸一枚，那小军摸到棋子的结果有9个，只有当小军摸到棋子D，此时小玲胜小军，所以这一轮小玲胜小军的概率为；
（3）解：①若小玲摸到A棋，小军摸到B，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
②若小莹摸到B棋，小军摸到D，C棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
③若小玲摸到C棋，小军摸到D棋，小玲胜，
小玲胜小军的概率是；
④若小玲摸到D棋，小军摸到A棋，小玲胜，
∴小玲胜小军的概率是；
∵，由此可见，小玲摸到B棋，小玲胜小军的概率最大．
【点睛】本题考查了树状图法以及概率公式，正确掌握概率公式是解题的关键．
【变式1】（2022上·山西长治·九年级统考阶段练习）综合与实践
【问题再现】
(1)课本中有这样一道概率题：如图1，这是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在蓝色区域和橙色区域的概率分别是多少？请你解答．
【类比设计】
(2)在元旦晚会上班长想设计一个摇奖转盘．请你在图2中设计一个转盘，自由转动这个转盘，当它停止转动时，三等奖：指针落在红色区域的概率为，二等奖：指针落在白色区域的概率为，一等奖：指针落在黄色区域的概率为．
【拓展运用】
(3)在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立转盘，转盘被平均分为10份，顾客每消费200元转动1次，对准红1份，黄2份、绿3份区域，分别得奖金100元、50元、30元购物券，求转动1次所获购物券的平均数．
【答案】(1)P（蓝色区域），P（橙色区域）
(2)见解析
(3)29元
【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；
（2）将转盘均分成份，根据概率求出各种颜色所占份数，即可得解；
（3）利用对准红、黄、绿的概率乘以各自对应的钱数，即可得解．
【详解】（1）解：根据几何概率的意义可知，
P（蓝色区域），
P（橙色区域）．
（2）解：根据题意，将转盘均分成份，
则：红色占：份；白色占：份；黄色占：份；
如图所示：（答案不唯一）；
（3）解：由题意，得：
转动1次的平均数为（元）；
答：转动1次所获购物券的平均数是29元．
【点睛】本题考查概率的应用，以及计算加权平均数．熟练掌握概率公式，以及加权平均数的计算方法，是解题的关键．
【变式2】（2022·福建泉州·统考二模）某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】(1)
(2)选择2条索道，理由见解析
【分析】（1）以过去10年游客流量不低于240万的比率作为今年的概率；
（2）计算出不同游客流量出现的概率，再分别计算两种方案下各种游客流量概率下的平均获利进行比较．
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为；
（2）根据题意，
年游客客流量在的概率为，此时可维持1条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持2条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持3条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持4条索道支行；
若安装2条索道，
则平均获利为（万元），
若安装3条索道，
则平均获利为（万元），
∵，
∴选择安装2条索道获利较多．
【点睛】本题考查概率的应用，熟练掌握概率相关知识灵活运用是解题关键．
【变式3】（2022上·贵州黔东南·九年级统考期末）如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）．
(1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果．
(2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表：
转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450
“和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150
“和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33
请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？
(3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值．
【答案】(1)见解析；
(2)0.33；
(3)x=1，y=6
【分析】（1）由于是两步操作，适合用列表法或树状图法，用列表法表示即可；
（2）用“和为7”的频率估计概率；
（3）根据“和为7”的概率估算出表中和为7的数字的个数，再推出x、y的值．
【详解】（1）解：列表为：
（2）解：由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近，
故出现“和为7”的概率为0.
（3）解：“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况，
“和为7”的情况有9×0.33≈3种，
由于2、5；3、4；之和为7，
所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组“和为7”即可．
又由于0＜x＜y，所以
①x+5=7，x=2，y=3，6，7，8，9
②x+4=7，x=3，y=6，7，8，9
③x+y=7，x=1，y=6；
④2+y=7，y=5，x=4，1；
⑤3+y=7，y=4，x=
由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立，
故x=1，y=
【点睛】本题考查了列表法、利用频率估计概率等知识，掌握列表法、频率与概率的关系及用频率估计出事件的个数是解题的关键．
考点9：概率与统计的综合
典例9：（2024上·福建厦门·九年级统考期末）某公交公司有一栋4层的立体停车场，第一层供车辆进出使用，第二至四层停车．每层的层高为6m，横向排列30个车位，每个车位宽为3m，各车位有相应号码，如：201表示二层第1个车位．第二至四层每层各有一个升降台，分别在211，316，421，为便于升降台垂直升降，升降台正下方各层对应的车位都留空．每个升降台前方有可在轨道上滑行的转运板（以第三层为例，如图所示）.该系统取车的工作流程如下（以取停在311的车子为例）；
① 转运板接收指令，从升降台316前空载滑行至311前；
② 转运板进311，托起车，载车出311；
③ 转运板载车滑行至316前；
④ 转运板进316，放车，空载出316，停在316前；
⑤ 升降台垂直送车至一层，系统完成取车．
停车位 301 … 停车位 311 … 升降台 316 … 留空 321 … 停车位 330
转运板滑行区 转运板滑行区
如图停车场第三层平面示意图，升降台升与降的速度相同，转运板空载时的滑行速度为1m/s，载车时的滑行速度是升降台升降速度的2倍．
(1)若第四层升降台送车下降的同时，转运板接收指令从421前往401取车，升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前，求转运板载车时的滑行速度；
（说明：送至一层的车驶离升降台的时间、转运板进出车位所用的时间均忽略不计）
(2)在（1）的条件下，若该系统显示目前第三层没有车辆停放，现该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上，取该车时，升降台已在316待命，求系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车的概率．
【答案】(1)转运板载车时的滑行速度为0.6m/s
(2)P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和列举法求概率，掌握列方程或不等式解决实际问题和概率公式是解题的关键．
（1）设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，由“升降台回到第四层40s后转运板恰好载着401的车滑行至升降台前”列出方程即可求解；
（2）根据（1）的结论，设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，由“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”列出不等式求出a，再根据概率公式即可求解．
【详解】（1）解：设转运板载车时的滑行速度为x m/s，则升降台升降速度为0.5x m/s，
依据题意可知，车位421与401相距m，且每层的层高为6 m，
可列方程：，
解得：x＝0.6 ，
经检验，原分式方程的解为x＝0.6，且符合题意．
答：转运板载车时的滑行速度为0.6m/s．
（2）解：设系统将车辆随机停放在316旁的第a个车位，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，
则．
解得：．
因为a是正整数，所以．
因此，要使得系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车，该车只能停放在316左右两旁一共4个车位上，也即该系统将某辆车随机停放在第三层的停车位上共有28种可能性相等的结果，而停放在满足条件“系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车”的停车位上的结果有4种，所以P（系统按上述工作流程在1分钟内完成取该车）＝．
【变式1】（2022·福建泉州·校考模拟预测）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表
浮动因素 浮动比率
上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型
数量 10 5 5 20 15 5
以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：
(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定．求某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的平均费用；（费用值保留到个位数字）
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元；
①若该销售商购进两辆（车龄已满三年）该品牌二手车，第一辆经鉴定为非事故车，求第二辆车是事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的平均数．
【答案】(1)元
(2)① ②万元
【分析】（1）根据加权平均数计算解题即可；
（2）①从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，可直接得出第二辆车为事故车的概率；
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，根据题意求得的可能取值和对应的概率后，可得的平均值，最后求购进100辆车获得利润的平均费用再乘以100即可．
【详解】（1）解：元，
答：在第四年续保时的平均费用约为元；
（2）①解：由题意得到从辆已满三年的该品牌同型号私家车中，任意抽出一辆车为事故车的有辆，
∴任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为；
②一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，获得利润的平均数为：万元．
【点睛】本题考查加权平均数的计算，列举法求概率，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
【变式2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）数学课上，李老师在讲授“中心对称”时，设计了如下四种教学方法：A学生合作交流，探索规律；B教师讲授，学生练习；C教师引导学生总结规律，学生练习；D教师引导学生总结规律，学生合作交流．李老师将上述教学方法作为调研内容发到九年级所有同学手中，要求每位同学选出自己最喜欢的一种（仅选一项），然后李老师从所有调查问卷中随机抽取了m份调查问卷作为样本，并将调查的结果绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1) ， ；并补全条形统计图；
(2)根据抽样调查的结果，请估计全校1200名九年级学生中，大约有多少人选择D项教学方法；
(3)在选择A项教学方法的10人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划从这四人中选出两人参加座谈会，求甲、乙同时被选中的概率是多少？
【答案】(1)100，35，补全统计图见解析
(2)大约有480人选择D项教学方法
(3)甲、乙被分在同一组的概率是
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）用学生合作交流，探索规律的人数和所占的百分比，求出的值，再分别求出、的人数及所占的百分比，然后补全统计图即可；
（2）用总人数乘以选择项教学方法的人数所占的百分比即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙同时被选中的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）；
教师引导学生总结规律，学生练习的人数有：（人，
教师讲授，学生练习的人数有：（人，
，即，
补全统计图如下：
故答案为：100，35；
（2）根据题意得：
（人，
答：大约有480人选择项教学方法；
（3）由题意列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有12种等可能的结果数，其中恰好选择甲、乙两名同学的情况有有2种，
则甲、乙同时被选中的概率是．
【变式3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）文化如水，润物无声，为了弘扬中国传统文化，某校开设了四类课程：A．诗歌；B．书法；C．剪纸；D．国学，要求每位学生都参加一门课程，为了解学生参与这四类课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次调查一共随机抽取了______名学生；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)若该校有2000名学生，估计该校参加C类课程（剪纸）的学生人数；
(4)该校计划从参加D类课程（国学）学习组的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市级“经典传颂”比赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
【答案】(1)40
(2)见解析
(3)600人
(4)
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体：
（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得此次调查一共随机抽取的学生人数．
（2）用此次调查一共随机抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可．
（3）根据用样本估计总体，用2000乘以样本中参加C类课程（剪纸）的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽中甲、乙两人的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：此次调查一共随机抽取了（名）学生．
故答案为：
（2）解：参加B类课程的学生人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）解：（人）．
∴估计该校参加C类课程（剪纸）的学生人数约600人．
（4）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，
∴恰好抽中甲、乙两人的概率为．
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