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专题02 概率（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）袋子中装有2个黑球4个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．
试题解析：根据题意可得：一个袋子中装有2个黑球4个白球共6个，
随机地从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率为：．
故选D．
考点：概率公式．
2．（2022·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1的条件，可以判断符合条件的区域为图中（3）的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份的条件，得到用m，n表示上述方法计算的概率，从而解出π的值，得出答案．
【详解】解：根据第一步，0＜x＜1，0＜y＜1，
可以用图中正方形区域表示，
∴，
再根据若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，
则需满足x2＋y2＞1，
可以用图中（3）区域表示，
∴面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，
∴，
设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A，
∴根据①概率计算方法可以得到：
，
又∵共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，
∴，
解得，
故选：D．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率．
3．（2023·河北唐山·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
【答案】D
【分析】根据调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与必然事件的定义即可得到结论．
【详解】解：A、为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用抽查方式，故错误；
B、掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为；故错误；
C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件；故错误；
D、甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定，故正确；
故选D．
【点睛】本题考查了求概率的方法、全面调查与抽样调查、方差的性质以及随机事件与必然事件；熟记方法和性质是解决问题的关键．
4．（2023·福建龙岩·统考一模）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．任意画一个四边形，其周长与对角线的和相等
C．任取一个实数，与其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取1件即为合格品
【答案】D
【详解】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可得.
【详解】A. 画一个三角形，其内角和是180°，必然事件，不符合题意；
B. 任意画一个四边形，其周长与对角线的和相等，不可能事件，不符合题意；
C. 任取一个实数，与其相反数之和为0，必然事件，不符合题意；
D. 外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取1件即为合格品，随机事件，符合题意，
故选D.
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．（2023·山东德州·统考二模）从下列4个函数：①；②；③；④中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是( )
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】先分析出四个函数的增减性，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：①；
∵， y随x的增大而增大，
②
∵，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
③；
∵，
∴每个象限内，y随x的增大而减小，
④，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∴函数值y随自变量x的增大而增大的有2种情况，
故函数值y随自变量x的增大而增大的概率是：．
故选：B．
【点睛】此题考查了概率的求法，掌握这个计算公式是解题的关键．概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）从2种不同款式的衬衣和3种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一件裙子，搭配的可能情况有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】用3种不同款式的裙子用A、B、C表示，2种不同款式的衬衣用D、E表示，然后画树状图可展示所有等可能的结果数．
【详解】解：用3种不同款式的裙子用A、B、C表示，2种不同款式的衬衣用D、E表示，
画树状图为：
共有6种等可能的结果数，
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
7．（2022·北京海淀·统考一模）不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黑球，
∴从袋子中随机摸出一个，摸到红球的概率为；
故选：A
【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：将左边两个开关记作A、B，右边两个开关记作C、D，
画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有8种情况，
∴小灯泡发光的概率为，
故选D．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
9．（2023·山东枣庄·统考一模）有三张反面无差别的卡片，其正面分别印有国际数学家大会的会标，现将三张卡片正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中给出的图形，可以判定是否中心对称图形，然后根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率．
【详解】解：设三张卡片分别用字母A、B、C表示，由题意可得B、C卡片正面图案都是中心对称图形，画树状图，如图所示：
由上可得，一共有6种可能性，其中抽到的卡片正面图形都是中心对称图形的有2种，
∴抽到的卡片正面图形都是轴对称图形的概率是，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中心对称图形、用树状图与列表法求概率，解答本题的关键是判断出题目中的图形是否为中心对称图形，画出相应的树状图．
10．（2023·江苏常州·统考二模）如图，纸片中，点，，分别是三边的中点，点，，分别是三边的中点，点，，分别是三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上)，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】确定阴影部分的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出飞镖落在阴影区域的概率．
【详解】由于各点均为中点，根据三角形中位线定理可得：
;
；
;
∴+ += + + =.
∴飞镖落在阴影部分的概率是.
故选B.
【点睛】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
11．（2023·河南·模拟预测）一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】图中所有小方块有9个，其中阴影部分共有3个，
∴停在阴影部分的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查概率的计算，熟记概率公式是解题关键．
12．（2023·河南南阳·校联考一模）在一个不透明的口袋里装有2个红球，1个黄球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先画树状图求出所有等可能的结果数，再找出从口袋中随机摸出2个球，摸到的两个球是一白一黄的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中从口袋中随机摸出2个球，摸到的两个球是一白一黄的结果数为2，
所以从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是：．
故选D．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2022·湖北武汉·统考一模）下列说法错误的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．必然事件发生的概率是 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求
【答案】A
【分析】根据随机事件的定义判断即可；
【详解】概率很小的事件有可能发生，故A错误；
通过大量重复试验，可以用频率估计概率，故B正确；
必然事件发生的概率是，故C正确；
投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求，故D正确；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了随机事件和概率的意义，准确分析判断是解题的关键．
14．（2023·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案．
【详解】如图所示：
当1，2两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图形，
故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是：．
故选D．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
15．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．三角形的内角和是
C．明天会下雨 D．明天的数学测验，小明会得满分
【答案】B
【分析】根据确定事件和随机事件的定义对各选项逐一分析即可．
【详解】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意；
B、三角形的内角和是，是必然事件，属于确定事件，故符合题意；
C、明天会下雨为随机事件，故不符合题意；
D、明天的数学测验，小明会得满分为随机事件，故不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定事件和随机事件的定义，解决本题的关键是要明确事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件．
16．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现在20岁的动物活到25岁的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出生时动物数量为a，用活到25岁的数量除活到20岁的数量即可得出20岁的动物活到25岁的概率．
【详解】设出生时动物数量为a，则活到20岁的数量为，活到25岁的数量为，
∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是．
故选：C
【点睛】本题主要考查了概率的运算，熟悉掌握概率的运算方式是解题的关键．
17．（2022·江苏南通·校考一模）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据绿球个数总数=0.6，设绿色的球有个，根据题意，列分式方程，解分式方程，检验，即可解题．
【详解】解：设绿色的球有个，根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
即袋中有6个绿球，
故选：C．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，涉及解分式方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率公式求出该事件的概率即可.
【详解】解：根据题意共有3种等情况数，其中“A口进C口出”有一种情况，
从“A口进C口出”的概率为
故选：B．
【点睛】本题考查的是基本的概率计算，熟悉相关概率计算是解题的关键.
19．（2023·广东深圳·模拟预测）走入考场之前老师送你一句话“Wish you success”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，
其中有字母“s”4个；
故其概率为．
故选C
【点睛】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
20．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关
【答案】B
【分析】观察电路发现，闭合或闭合或闭合三个或四个，则小灯泡一定发光，从而可得答案．
【详解】解：由小灯泡要发光，则电路一定是一个闭合的回路，
只闭合个开关，小灯泡不发光，所以是一个不可能事件，所以A不符合题意；
闭合个开关，小灯泡发光是必然事件，所以D不符合题意；
只闭合个开关，小灯泡有可能发光，也有可能不发光，所以B符合题意；
只闭合个开关，小灯泡一定发光，是必然事件，所以C不符合题意．
故选B．
【点睛】本题结合物理知识考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念，掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题
21．（2023·北京石景山·统考二模）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ．
【答案】．
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】∵盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，共有9个球，
∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
22．（2023·四川成都·统考二模）长方形中，，O为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到O的距离不大于1的概率为 ．
【答案】
【分析】找出点到0的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．
【详解】解：已知如图所示：长方形面积为2，以为圆心，1为半径作圆，
在矩形内部的部分（半圆）面积为，
因此取到的点到的距离不大于1的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率公式的知识，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量” （A），再求出总的基本事件对应的“几何度量“，最后根据（A）求解．
23．（2023·江苏泰州·统考一模）某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 ．（精确到）
【答案】0.94
【分析】由表中数据可判断频率在0.94左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只篮球是优等品的概率为0.94．
【详解】解：从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是0.94．
故答案为：0.94．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，首先通过实验得到事件的频率，然后用频率估计概率即可解决问题．
24．（2023·天津河东·一模）在一个不透明的袋子里装有4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，它们除颜色外其余均相同．从袋子中任意摸出一个球是白色乒乓球的概率为 ．
【答案】
【分析】用白色乒乓球的个数除以所有球的个数得到概率．
【详解】解：任意摸出一个球是白色乒乓球的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握计算概率的方法．
25．（2023·新疆·模拟预测）掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为 ．
【答案】
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果即可解答．
【详解】解：掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率的意义、用频率估计概率等知识点，掌握用频率估计概率是解答本题的关键．
26．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
【答案】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵袋子中共有7个小球，其中红球有2个，
∴摸出一个球是红球的概率是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=．
27．（2023·广东深圳·中考真题）写有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 ．
【答案】
【详解】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．因此，
∵“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”四个国家中为亚洲国家的有“中国”、 “韩国”2个，
∴抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是．
28．（2023·广西贺州·中考真题）从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
【答案】
【分析】在6个数中找出无理数，再根据概率公式即可求出抽到无理数的概率．
【详解】解：∵在﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中无理数有、π这2个，
∴抽到无理数的概率是，
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式以及无理数，根据无理数的定义找出无理数的个数是解题的关键．
29．（2023·上海松江·校联考二模）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是 ．
【答案】
【分析】由一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】∵一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为合数的有2种情况，∴掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为合数的概率是：．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
30．（2023·上海·统考中考真题）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ．
【答案】
【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．
【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，
所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
31．（2023·浙江·统考一模）在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为①,②,③,④,随机地摸出一个小球,记录后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号相同的概率是 .
【答案】．
【详解】试题分析：如图：
两次取的小球的标号相同的情况有4种，概率为P==．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
32．（2023·江苏南通·统考一模）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是 ．
【答案】
【分析】用点数小于3的结果数除以所有可能的结果数即可．
【详解】解：投这个骰子共有6种等可能结果，其中掷的点数小于3的有1、2这2种结果，
所以掷的点数小于3的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷事件A可能出现的结果数．
33．（2022·宁夏银川·校考二模）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1，2，3的完全相同的小球，随机摸出一个不放回，再随机地摸出一个小球，则摸出的两个小球号码之和等于4的概率是 ．
【答案】
【分析】通过列表找出摸出的两个小球号码之和等于4的情况和所有的结果的情况，相除即可求出概率．
【详解】解：根据题意，列表如下
1 2 3
1 (1，2) (1，3)
2 (2，1) (2，3)
3 (3，1) (3，2)
所有的结果共有6种情况，
摸出的两个小球号码之和等于4的有2种，
两个小球号码之和等于4的概率，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列表法或画树状图法求概率，通过列表找出所有情况和符合条件的情况是做出本题的关键．
34．（2023·辽宁本溪·统考一模）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝ ．
【答案】8
【分析】根据白球的概率公式=列出方程求解即可．
【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，
根据古典型概率公式知：P（白球）=，
解得：n=8，
经检验n=8为原方程的解，
故答案为：8．
【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
35．（2022·内蒙古包头·二模）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ．
【答案】．
【分析】找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任选三条有如下4种情况：2、4、6；2、4、7；2、6、7；4、6、7；
能组成三角形的结果有2个（2、6、7，4、6、7，），
∴能构成三角形的概率为
故答案为．
【点睛】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
三、解答题
36．（2023·江西南昌·统考一模）如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：
(1)小明掷出骰子，数字“6”朝下的是___________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
(2)用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．
【答案】(1)A
(2)
【分析】（1）根据正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，可判断答案；
（2）根据题意列出图表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】（1）解：∵正四面体骰子四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”，
∴数字“6”朝下为不可能事件；
故选：A．
（2）解：根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
共有16种可能，和为6即骰子前进到数字“6”那一格的情况有3种，
所以骰子前进到数字“6”那一格的概率为．
【点睛】本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
37．（2023·陕西·陕西师大附中校考二模）春节过后元宵节，欢聚一堂诉团圆，元宵节是我国传统节日，在这天家家都要吃元宵．妈妈买了4包元宵，每包一斤(4包元宵除馅不同外，外包装以及其它都相同)，其中有两包黑芝麻馅的元宵、一包五仁馅的元宵、一包花生馅的元宵，妈妈从中任意拿出两包送给奶奶．
(1)妈妈随机拿出一包，求拿到黑芝麻馅元宵的概率是 ；
(2)用树状图或列表的方法求奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图，再根据树状图作答即可．
【详解】解： （1）妈妈随机拿出一包，拿到黑芝麻馅元宵的概率是＝，
故答案为：；
（2）记黑芝麻馅的元宵、五仁馅的元宵、花生馅的元宵分别为A、B、C，
画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的有10种结果，
∴奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率为＝．
【点睛】本题考查了概率的问题，掌握树状图的性质、概率公式是解题的关键．
38．（2023·河北衡水·校考模拟预测）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，尽量呆在家，勤洗手，多运动，多看书，少熬夜．”重庆实验外国语学校为鼓励学生抗疫期间在家阅读，组织八年级全体同学参加了疫期居家海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．
（1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整；
（2）读书本数的众数是______本，中位数是_______本．
（3）在八年级2000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？
（4）在八年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率．
【答案】（1）50；条形统计图见解析；（2）10；；（3）1000人；（4）
【分析】（1）根据读15本书的人数除以其所占调查总人数的百分比即可求出调查总人数，然后利用调查总人数减去读5本书的人数、读15本书的人数、读20本书的人数、读25本书的人数即可求出读10本书的人数，最后补全条形统计图即可；
（2）根据众数和中位数的定义即可求出结论；
（3）利用2000乘读书15本及以上（含15本）的学生所占百分比即可求出结论；
（4）根据题意，画出树状图，然后根据概率公式求概率即可．
【详解】解：（1）调查总人数为14÷28%=50（人）
故答案为：50；
读10本书的人数为50－9－14－7－4=16（人）
补全条形统计图如下：
（2）根据众数的定义：读书本数的众数是10本，
根据中位数的定义：中位数是（10＋15）÷2= （本）
故答案为：10；；
（3）（人）
答：在八年级2000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有1000人；
（4）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，其中恰好是两位男生分享心得的结果有2种
∴恰好是两位男生分享心得的概率为2÷12=．
【点睛】此题考查的是条形统计图、扇形统计图和求概率问题，结合条形统计图、扇形统计图得出有用信息并掌握利用树状图求概率是解题关键．
39．（2022·广东广州·统考二模）九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用概率公式计算即可；
（2）画树状图，然后利用概率公式计算即可．
【详解】（1）∵九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛，
∴如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选派一男一女两位同学参赛的有8种情况，
∴恰好选派一男一女两位同学参赛的概率为：
【点睛】本题考查求随机事件概率，掌握概率公式，列出树状图是关键．
40．（2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展．张明和王强计划在A、B、C三个区域中选择一个区域来摆摊．
(1)若张明先选，请列举出他们选择不同区域的所有可能的选法；
(2)请用列表或画树状图的方法求出张明和王强选择同一区域的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用列举法求解即可；
（2）先画出树状图得到所有的等可能性的结果数，再找到两人选择同一区域的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，选法如下：；
（2）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中两人选择同一区域的结果数有3种，
∴两人选择同一区域的概率为．
【点睛】本题主要考查了列举法求解概率，树状图或列表法求解概率，灵活运用所学知识是解题的关键．
41．（2023·广西钦州·中考真题）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，1，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y），请用树形图或列表法，求点A落在第一象限的概率．
【答案】．
【详解】试题分析：根据题意画出树状图或列表，然后由图表求得所有等可能的结果与点A落在第一象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，点A落在第一象限的有4种情况，
∴点A落在第一象限的概率为：．
考点：1.列表法或树状图法；2.概率；3.点的坐标．
42．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为，，，四类，其中，类表示“非常了解”，类表示“比较了解”，类表示“基本了解”，类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数．
（2）类别的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
【答案】（1）见解析；144°；（2）
【分析】（1）由A类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数，用360°乘以C类别人数所占比例即可得C 所对应扇形的圆心角度数；根据各类别人数之和等于总人数求出B类别人数后可以补全条形统计图；
（2）列出所有可能的结果，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
【详解】解：（1）九（1）班参加这次调查的学生有4÷10%=40（人），
扇形统计图中类别C所对应扇形的圆心角度数为360°×=144°；
∴B类学生人数为40-（4+16+2）=18（人），可以补全条形图如下：
（2）所有可能结果可列举如下：（男1，男2）；（男1，男3）；（男2，男3）：（男1，女）；（男2，女）；（男3，女），共6种，
所以．
【点睛】本题考查数据的统计与分析，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的信息关联应用及简单概率的意义和计算方法是解题关键．
43．（2023·安徽·中考真题）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5.
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8
乙 8 8 2.2
丙 6 3
（2）依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.
【答案】解：(1)2，6
(2)甲运动员的成绩最稳定.
(3)甲、乙相邻出场的概率.
【详解】试题分析：（1）根据中位数和方差的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）用列举法求概率.
试题解析：解：(1)
平均数 中位数 方差
甲 2
乙
丙 6
(2)因为，所以，这说明甲运动员的成绩最稳定.
(3)三人的出场顺序有(甲乙丙)，(甲丙乙)，(乙甲丙)，(乙丙甲)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共6种，且每一种结果出现的可能性相等，其中，甲、乙相邻出场的结果有(甲乙丙)，(乙甲丙)，(丙甲乙)，(丙乙甲)共4种，所以甲、乙相邻出场的概率.
考点： 中位数、方差的求法，方差的意义，求等可能事件的概率.
44．（2023·安徽·统考中考真题）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）三根绳子选择一根，求出所求概率即可；
（2）列表得出所有等可能的情况数，找出这三根绳子能连结成一根长绳的情况数，即可求出所求概率．
【详解】（1）三种等可能的情况数， 则恰好选中绳子AA1的概率是；
（2）列表如下：
AB AC BC
A1B1 × √ √
A1C1 √ × √
B1C1 √ √ ×
所有等可能的情况有9种，其中这三根绳子能连结成一根长绳的情况有6种，
则P=．
45．（2023·湖北孝感·统考中考真题）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图：
根据上面提供的信息解答下列问题：
（1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图；
（2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【答案】（1）72，，补图见解析；（2）
【详解】分析：（1）首先用C类别的学生人数除以C类别的人数占的百分率，求出共有多少名学生；然后根据B类别百分比求得其人数，由各类别人数和等于总人数求得D的人数，最后用360°乘以样本中D类别人数所占比例可得其圆心角度数，根据中位数定义求得答案．
（3）若A等级的4名学生中有2名男生2名女生，现从中任意选取2名担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，应用列表法的方法，求出恰好选到1名男生和1名女生的概率是多少即可．
详解：（1）∵被调查的总人数为30÷30%=100人，
则B类别人数为100×40%=40人，
所以D类别人数为100-（4+40+30+6）=20人，
则D类所对应的圆心角是360°×=72°，
中位数是第50、51个数据的平均数，而第50、51个数据均落在C类，
所以中位数落在C类，
补全条形图如下：
（2）列表为：
男1 男2 女1 女2
男1 -- 男2男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2 -- 女1男2 女2男2
女1 男1女1 男2女1 -- 女2女1
女2 男1女2 男2女2 女1女2 --
由上表可知，从4名学生中任意选取2名学生共有12种等可能结果，其中恰好选到1名男生和1名女生的结果有8种，
∴恰好选到1名男生和1名女生的概率为．
点睛：此题考查了扇形统计图、条形统计图和列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【能力提升】
46．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）近年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了进一步了解雾霾天气的成因，株洲市区某校九年级1班综合实践小组的同学以“雾霾天气的主要成因”为主题，随机调查了株洲市区部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表，观查并回答下列问题：
类别 雾霾天气的主要成因 百分比
A 工业污染 45%
B 汽车尾气排放 m
C 城中村燃煤问题 15%
D 其他（绿化不足等） n
（1）请你求出本次被调查市民的人数及m，n的值，并补全条形统计图；
（2）若株洲市区有150万人口，请你估计持有A，B两类看法的市民分别有多少人？
（3）学校要求小华同学在A，B，C，D这四个雾霾天气的主要成因中，随机抽取两项作为课题研究的项目进行考查分析，请用画树状图或列表的方法，求出小华同学刚好抽到B（汽车尾气排放），C（城中村燃煤问题）的概率．（用A，B，C，D表示各项目）．
【答案】（1）；；；补全条形图见解析；（2）67.5万，45万；（3）
【分析】（1）由类别A的人数和占比，可计算的总人数；再由类别B的人数即可计算的其对应的百分比；再根据各类别总的百分比为100%，可求得n；最后由总人数和类别C占比求出C的人数；
（2）将（1）中的类别A和B所占百分比，乘以株洲市区人口数，即可得到持有A，B两类看法的市民人数；
（3）列表列出所有的随机抽取组合，结合小华同学刚好抽到B（汽车尾气排放），C（城中村燃煤问题）的结果，即可计算得到其概率．
【详解】（1）依题意可得被调查的人数为
∴
∴
∴城中村燃煤人数为
补全条形图如下
（2）结合（1）的结论，估计持有A，B两类看法的市民数分别为：
A类：万
B类：万；
（3）列表如下：
组合
A B
A C
A D
B A
B C
B D
C A
C B
C D
D A
D B
D C
利用列表的方法得到所有可能的研究项目组合数为12种，小华同学刚好抽到B（汽车尾气排放），C（城中村燃煤问题）的可能数为2种；
∴其概率为．
【点睛】本题考查了抽样调查、条形统计图的知识；求解的关键是准确掌握抽样调查、条形统计图的定义和性质，从而完成求解．
47．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年1月初，平定县全面推开创建国家卫生县城活动，县教科局积极开展“小手拉大手，共创卫生城”劳动实践系列活动，全县师生踊跃行动，带动家长和社区群众一起参加，成为县城一道亮丽的风景. 此次活动中，某校为增加学生的环境保护知识，增强学生的环境保护意识，利用课余时间组织九年级一班50名学生参加“环境保护知识小竞赛”，已知每人5道题，班长小王抽查了部分同学的成绩，绘制出如下尚不完整的统计图．
(1)请补全条形统计图，并求出“答对3道”所对应的圆心角度数；
(2)被调查学生成绩的中位数是________；
(3)若该校九年级共有1000人，请你估计九年级答对题数超过2道的人数；
(4)为了增强学生的环境保护意识，班长计划开展环境保护知识交流会，将从所抽取的“答对4道”，“答对5道”的同学中随机抽取两人在会议上发言，请用列表或画树状图法求出所抽到的两人恰好都是“答对4道”的概率．
【答案】(1)补全条形统计图见解析；扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是
(2)3
(3)估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名
(4)（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）
【分析】（1）根据做对1道的人数除以占比可得调查的人数，从而可求得做对4道题和5道题的人数即可补全条形统计图，再用360°乘以“答对3道”的占比即可得到结论；
（2）根据中位数的定义（把一组数据按大小顺序排列，处在最中间的一个数或两个数的平均数，叫这组数据的中位数）求解即可；
（3）用九年级的人数乘以样本中超过2道题的占比即可得到结论；
（4）列表得出所有等可能的结果数 ，再确定两人恰好都是“答对4道”的结果数，最后根据概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（人），
答对4道题的人数为：（人）；
答对5道题的人数为：（人）
补全统计图如下：
“答对3道”所对应的圆心角度数=，
答：扇形统计图中“答对3道”所对应的圆心角度数是；
（2）因为20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数为第10和11个数据，
而，
所以，被调查学生成绩的中位数是3，
故答案为3；
（3）（名），
答：估计该校九年级答对题数超过2道的人数有600名；
（4）由（1）知“答对4道”的有3人，“答对5道”的有1人，列表如下：
4 4 4 5
4
4
4
5
由上表可知，共有12种等可能的情况，其中所抽到的两人恰好都是“答对4道”的有6种情况，
∴（所抽到的两人恰好都是“答对4道”）．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图，从统计图中获取相关信息是解题关键．
48．（2023·山东济宁·统考二模）某中学对该校学生进行了“你喜欢的运动项目”的情况问卷调查，在全部调查问卷中，随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图:
(1)求m，n的值；
(2)该校学生总数为500人，学校决定按比例在B，C，D类学生中抽取学生进行课余训练，其比例为B类20%，C，D类各取60%，请你估计该校参加课余训练的学生数；
(3)随机抽取的部分学生的调查问卷中,若C类运动项目的4位学生中有3位男生，1位女生，请用列举法求出在C类中随机抽出2位学生进行专家培训，其中有1位女生的概率．
【答案】（1）m= 26，n=2; （2）参加课余训练的学生数为110个;（3）有1位女生的概率P=．
【分析】(1)先根据抽取的打篮球的人数除以所占的百分比得到调查的总人数，再根据扇形统计图的数据计算m，n即可得到答案；
(2)先把C、D一共所占的百分比计算出来，再根据题意计算即可得到答案；
(3)画出树状图，再根据简单的概率公式求解即可得到答案；
【详解】（1）随机抽取调查问卷的部分学生数==40（个）．
所以m=65%×40= 26（个），
n=40－（8+26+4）=2（个）；
（2）C，D所占的百分比=1－20%－65%= 15%，
参加课余训练的学生数= 500×65%×20% + 500×15%×60%= 110（个）．
（3）画树状图如下：
所有可能结果有12种，其中有1位女生的结果有6种，
则所求概率P= ．
【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图的信息相关、用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
49．（2023·安徽合肥·统考一模）为培养学生庭好的学习习惯，某校九年级年级组举行“整理错题集“的征集展示活动，并随机对部分学生三年“整理题集”中收集的错题数x进行了抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．
分组 频数 频率
第一组（0≤x＜120） 3 0.15
第二组（120≤x＜160） 8 a
第三组（160≤x＜200） 7 0.35
第四组（200≤x＜240） b 0.1
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校九年级共有学生360人，估计整理的错题数在160或160题以上的学生有多少人？
（3）已知第一组中有两个是甲班学生，第四组中有一个是甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈整理错题的体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
【答案】（1）0.4；2（2）162（3）
【分析】（1）先利用第一组的频数和频率计算出调查的总人数，然后计算a、b的值，最后补全统计图；
（2）用360乘以样本中第三、四的频率和，则可估计出整理的错题数在160或160题以上的学生数；
（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出所选两人正好都是甲班学生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）3÷0.15＝20，
a＝＝0.4；
b＝20×0.1＝2；
故答案为0.4；2；
统计图补充为：
（2）360×（0.35+0.1）＝162，
所以估计整理的错题数在160或160题以上的学生有162人；
（3）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中所选两人正好都是甲班学生的结果数为2，
所以所选两人正好都是甲班学生的概率＝．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
50．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考三模）《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 海选成绩x
A组 50≤x＜60
B组 60≤x＜70
C组 70≤x＜80
D组 80≤x＜90
E组 90≤x≤100
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为 度；
（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
（4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？
【答案】（1）见解析；（2）15，72；（3）估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人；（4）见解析，.
【分析】（1）用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数，求出D组的人数，从而补全统计图；
（2）用B组抽查的人数除以总人数，即可求出a；用360乘以C组所占的百分比，求出C组扇形的圆心角θ的度数；
（3）用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上（包括90分）所占的百分比，即可得出答案．
（4）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与所选两人正好是一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）D的人数是：200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50（人），
补全图形如下：
（2）B组人数所占的百分比是×100%＝15%，则a的值是15；
C组扇形的圆心角θ的度数为360°×＝72°；
（3）根据题意得：2000×＝700（人），
答：估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有700人．
（4）分别用A、B表示两名女生，分别用C、D表示两名男生，由题意，可列表：
第一次 第二次 A B C D
A （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C）
由已知，共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有8种，
∴P（恰好抽到1个男生和1个女生）＝．
【点睛】考查的是用列表法或画树形图求随机事件的概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
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专题02 概率（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·广东肇庆·统考一模）袋子中装有2个黑球4个白球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，则摸到白球的概率是 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建厦门·福建省厦门第六中学校考二模）数学社团的同学做了估算π的实验．方法如下：
第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0＜x＜1，0＜y＜1；
第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x，y，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件A；
第三步：计算事件A发生的概率，及收集的本校有效数据中事件A出现的频率；
第四步：估算出π的值．
为了计算事件A的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：
①如果一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域D中一个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝；
②若x，y，1三个数据能构成锐角三角形，则需满足x2＋y2＞1．
根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份，则可以估计π的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北唐山·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．为了解全省中学生的心理健康状况，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
4．（2023·福建龙岩·统考一模）下列事件是随机事件的是（ ）
A．画一个三角形，其内角和是180°
B．任意画一个四边形，其周长与对角线的和相等
C．任取一个实数，与其相反数之和为0
D．外观相同的10件同种产品中有2件是不合格产品，现从中抽取1件即为合格品
5．（2023·山东德州·统考二模）从下列4个函数：①；②；③；④中任取一个，函数值y随自变量x的增大而增大的概率是( )
A． B． C． D．1
6．（2023·浙江杭州·模拟预测）从2种不同款式的衬衣和3种不同款式的裙子中分别取一件衬衣和一件裙子，搭配的可能情况有（ ）
A．3种 B．4种 C．6种 D．8种
7．（2022·北京海淀·统考一模）不透明的袋子中装有2个红球，3个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个球，则摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，电路图上有1个电源，4个开关和1个完好的小灯泡，随机闭合2个开关，则小灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东枣庄·统考一模）有三张反面无差别的卡片，其正面分别印有国际数学家大会的会标，现将三张卡片正面朝下放置，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·江苏常州·统考二模）如图，纸片中，点，，分别是三边的中点，点，，分别是三边的中点，点，，分别是三边的中点，若小明向纸板上投掷飞镖(每次飞镖均落在纸板上且不落在各边上)，则飞镖落在阴影部分的概率是( )
A． B． C． D．
11．（2023·河南·模拟预测）一路人行走在如图所示每个格子都是正方形的地板上，当他随意停下时，最终停在地板上阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·河南南阳·校联考一模）在一个不透明的口袋里装有2个红球，1个黄球和1个白球，它们除颜色不同外其余都相同．从口袋中随机摸出2个球，则摸到的两个球是一白一黄的概率是（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·湖北武汉·统考一模）下列说法错误的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生 B．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
C．必然事件发生的概率是 D．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求
14．（2023·贵州贵阳·统考中考真题）如图，在3×3的正方形网格中，有三个小正方形已经涂成灰色，若再任意涂灰1个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．掷一枚硬币，正面朝上 B．三角形的内角和是
C．明天会下雨 D．明天的数学测验，小明会得满分
16．（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.5，现在20岁的动物活到25岁的概率为（ ）
A． B． C． D．
17．（2022·江苏南通·校考一模）一个不透明的袋子中装有除颜色外均相同的4个白球和若干个绿球，每次摇均匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经大量试验，发现摸到绿球的频率稳定在0.6，则绿球的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
18．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图A是某公园的进口，B，C，D是三个不同的出口，小明从A处进入公园，那么从B，C，D三个出口中恰好在C出口出来的概率为（ ）
A． B． C． D．
19．（2023·广东深圳·模拟预测）走入考场之前老师送你一句话“Wish you success”．在这句话中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是( )
A． B． C． D．
20．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，电路图上有个开关、、、和个小灯泡，同时闭合开关、或同时闭合开关、都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（ ）
A．只闭合个开关 B．只闭合个开关 C．只闭合个开关 D．闭合个开关
二、填空题
21．（2023·北京石景山·统考二模）一个不透明的盒子中装有4个黄球，3个红球和2个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率是 ．
22．（2023·四川成都·统考二模）长方形中，，O为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到O的距离不大于1的概率为 ．
23．（2023·江苏泰州·统考一模）某批篮球的质量检验结果如下：
抽取的篮球数 100 200 400 600 800 1000 1200
优等品的频数 93 192 380 561 752 941 1128
优等品的频率
从这批篮球中，任意抽取一只篮球是优等品的概率的估计值是 ．（精确到）
24．（2023·天津河东·一模）在一个不透明的袋子里装有4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，它们除颜色外其余均相同．从袋子中任意摸出一个球是白色乒乓球的概率为 ．
25．（2023·新疆·模拟预测）掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为 ．
26．（2022·浙江温州·温州市第三中学校考模拟预测）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球，从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率是 ．
27．（2023·广东深圳·中考真题）写有“中国”、“美国”、“英国”、“韩国”的四张卡片，从中随机抽取一张，抽到卡片所对应的国家为亚洲的概率是 ．
28．（2023·广西贺州·中考真题）从﹣1、0、、π、5.1、7这6个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是 ．
29．（2023·上海松江·校联考二模）一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，随机投掷这枚骰子，那么向上一面的点数为合数的概率是 ．
30．（2023·上海·统考中考真题）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 ．
31．（2023·浙江·统考一模）在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为①,②,③,④,随机地摸出一个小球,记录后放回,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号相同的概率是 .
32．（2023·江苏南通·统考一模）一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数小于3的概率是 ．
33．（2022·宁夏银川·校考二模）一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1，2，3的完全相同的小球，随机摸出一个不放回，再随机地摸出一个小球，则摸出的两个小球号码之和等于4的概率是 ．
34．（2023·辽宁本溪·统考一模）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝ ．
35．（2022·内蒙古包头·二模）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是 ．
三、解答题
36．（2023·江西南昌·统考一模）如图，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子前进几格；开始棋子在数字“1”的那一格，小明先掷骰子，请解答下列问题：
(1)小明掷出骰子，数字“6”朝下的是___________事件；
A．不可能 B．必然 C．随机
(2)用列表或画树状图的方法求小红第一次掷完骰子后，棋子前进到数字“6”那一格的概率．
37．（2023·陕西·陕西师大附中校考二模）春节过后元宵节，欢聚一堂诉团圆，元宵节是我国传统节日，在这天家家都要吃元宵．妈妈买了4包元宵，每包一斤(4包元宵除馅不同外，外包装以及其它都相同)，其中有两包黑芝麻馅的元宵、一包五仁馅的元宵、一包花生馅的元宵，妈妈从中任意拿出两包送给奶奶．
(1)妈妈随机拿出一包，求拿到黑芝麻馅元宵的概率是 ；
(2)用树状图或列表的方法求奶奶拿到的至少有一包黑芝麻馅元宵的概率．
38．（2023·河北衡水·校考模拟预测）钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，尽量呆在家，勤洗手，多运动，多看书，少熬夜．”重庆实验外国语学校为鼓励学生抗疫期间在家阅读，组织八年级全体同学参加了疫期居家海量读书活动，随机抽查了部分同学读书本数的情况统计如图所示．
（1）本次共抽查学生______人，并将条形统计图补充完整；
（2）读书本数的众数是______本，中位数是_______本．
（3）在八年级2000名学生中，读书15本及以上（含15本）的学生估计有多少人？
（4）在八年级六班共有50名学生，其中读书达到25本的有两位男生和两位女生，老师要从这四位同学中随机邀请两位同学分享读书心得，试通过画树状图或列表的方法求恰好是两位男生分享心得的概率．
39．（2022·广东广州·统考二模）九年级（1）班现要从A、B两位男生和C、D两位女生中，选派学生代表本班参加全校“中华好诗词”大赛．
（1）如果选派一位学生代表参赛，那么选派到的代表是A的概率是 ；
（2）如果选派两位学生代表参赛，求恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
40．（2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模）地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺激经济发展．张明和王强计划在A、B、C三个区域中选择一个区域来摆摊．
(1)若张明先选，请列举出他们选择不同区域的所有可能的选法；
(2)请用列表或画树状图的方法求出张明和王强选择同一区域的概率．
41．（2023·广西钦州·中考真题）甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣1，1，5；乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有数值﹣4，2，3．现从甲口袋中随机取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随机取一球，记它上面的数值为y．设点A的坐标为（x，y），请用树形图或列表法，求点A落在第一象限的概率．
42．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）某校九（1）班针对“垃圾分类”知晓情况对全班学生进行专题调查活动，将“垃圾分类”的知晓情况分为，，，四类，其中，类表示“非常了解”，类表示“比较了解”，类表示“基本了解”，类表示“不太了解”，每名学生可根据自己的情况任选其中一类，班长根据调查结果进行了统计，并绘制成了不完整的条形统计图和扇形统计图．
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全条形统计图，并求出扇形统计图中类别所对应扇形的圆心角度数．
（2）类别的4名学生中有3名男生和1名女生，现从这4名学生中随机选取2名学生参加学校“垃圾分类”知识竞赛，求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
43．（2023·安徽·中考真题）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩如下：
甲：9，10，8，5，7，8，10，8，8，7；
乙：5，7，8，7，8，9，7，9，10，10；
丙：7，6，8，5，4，7，6，3，9，5.
（1）根据以上数据完成下表：
平均数 中位数 方差
甲 8 8
乙 8 8 2.2
丙 6 3
（2）依据表中数据分析，哪位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；
（3）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.
44．（2023·安徽·统考中考真题）如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1；
（1）小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子AA1的概率是多少？
（2）小明先从左端A、B、C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端A1、B1、C1三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
45．（2023·湖北孝感·统考中考真题）在孝感市关工委组织的“五好小公民”主题教育活动中，我市蓝天学校组织全校学生参加了“红旗飘飘，引我成长”知识竞赛，赛后随机抽取了部分参赛学生的成绩，按从高分到低分将成绩分成，，，，五类，绘制成下面两个不完整的统计图：
根据上面提供的信息解答下列问题：
（1）类所对应的圆心角是________度，样本中成绩的中位数落在________类中，并补全条形统计图；
（2）若类含有2名男生和2名女生，随机选择2名学生担任校园广播“孝心伴我行”节目主持人，请用列表法或画树状图求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.
【能力提升】
46．（2023·湖南株洲·统考模拟预测）近年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了进一步了解雾霾天气的成因，株洲市区某校九年级1班综合实践小组的同学以“雾霾天气的主要成因”为主题，随机调查了株洲市区部分市民的观点，并对调查结果进行了整理，绘制了如下不完整的统计图表，观查并回答下列问题：
类别 雾霾天气的主要成因 百分比
A 工业污染 45%
B 汽车尾气排放 m
C 城中村燃煤问题 15%
D 其他（绿化不足等） n
（1）请你求出本次被调查市民的人数及m，n的值，并补全条形统计图；
（2）若株洲市区有150万人口，请你估计持有A，B两类看法的市民分别有多少人？
（3）学校要求小华同学在A，B，C，D这四个雾霾天气的主要成因中，随机抽取两项作为课题研究的项目进行考查分析，请用画树状图或列表的方法，求出小华同学刚好抽到B（汽车尾气排放），C（城中村燃煤问题）的概率．（用A，B，C，D表示各项目）．
47．（2022·山西阳泉·统考一模）2022年1月初，平定县全面推开创建国家卫生县城活动，县教科局积极开展“小手拉大手，共创卫生城”劳动实践系列活动，全县师生踊跃行动，带动家长和社区群众一起参加，成为县城一道亮丽的风景. 此次活动中，某校为增加学生的环境保护知识，增强学生的环境保护意识，利用课余时间组织九年级一班50名学生参加“环境保护知识小竞赛”，已知每人5道题，班长小王抽查了部分同学的成绩，绘制出如下尚不完整的统计图．
(1)请补全条形统计图，并求出“答对3道”所对应的圆心角度数；
(2)被调查学生成绩的中位数是________；
(3)若该校九年级共有1000人，请你估计九年级答对题数超过2道的人数；
(4)为了增强学生的环境保护意识，班长计划开展环境保护知识交流会，将从所抽取的“答对4道”，“答对5道”的同学中随机抽取两人在会议上发言，请用列表或画树状图法求出所抽到的两人恰好都是“答对4道”的概率．
48．（2023·山东济宁·统考二模）某中学对该校学生进行了“你喜欢的运动项目”的情况问卷调查，在全部调查问卷中，随机抽取了部分学生的调查问卷进行了分析整理，得到了如下的样本统计图表和扇形统计图:
(1)求m，n的值；
(2)该校学生总数为500人，学校决定按比例在B，C，D类学生中抽取学生进行课余训练，其比例为B类20%，C，D类各取60%，请你估计该校参加课余训练的学生数；
(3)随机抽取的部分学生的调查问卷中,若C类运动项目的4位学生中有3位男生，1位女生，请用列举法求出在C类中随机抽出2位学生进行专家培训，其中有1位女生的概率．
49．（2023·安徽合肥·统考一模）为培养学生庭好的学习习惯，某校九年级年级组举行“整理错题集“的征集展示活动，并随机对部分学生三年“整理题集”中收集的错题数x进行了抽样调查，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．
分组 频数 频率
第一组（0≤x＜120） 3 0.15
第二组（120≤x＜160） 8 a
第三组（160≤x＜200） 7 0.35
第四组（200≤x＜240） b 0.1
请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中a＝ ，b＝ ，并将统计图补充完整；
（2）如果该校九年级共有学生360人，估计整理的错题数在160或160题以上的学生有多少人？
（3）已知第一组中有两个是甲班学生，第四组中有一个是甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈整理错题的体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？
50．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考三模）《中国汉字听写大会》唤醒了很多人对文字基本功的重视和对汉字文化的学习，我市某校组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分，为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列统计图表：
抽取的200名学生海选成绩分组表
组别 海选成绩x
A组 50≤x＜60
B组 60≤x＜70
C组 70≤x＜80
D组 80≤x＜90
E组 90≤x≤100
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）请把图1中的条形统计图补充完整；（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）
（2）在图2的扇形统计图中，记表示B组人数所占的百分比为a%，则a的值为 ，表示C组扇形的圆心角θ的度数为 度；
（3）规定海选成绩在90分以上（包括90分）记为“优等”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优等”的有多少人？
（4）经过统计发现，在E组中，有2位男生和2位女生获得了满分，如果从这4人中挑选2人代表学校参加比赛，请用树状图或列表法求出所选两人正好是一男一女的概率是多少？
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