中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一次函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·浙江温州·统考一模）一次函数 y＝－2x+2 经过点（a，2）则 a 的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】将点（a，2）代入y＝－2x+2，即可求出a的值.
【详解】解：将点（a，2）代入y＝－2x+2，得
－2a+2=2
解得a=0
故选B.
【点睛】本题主要考查了一次函数的图像特征，题目相对简单，正确计算即可.
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）直线向右平移4个单位后与直线的交点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】分别求解直线，直线与轴的交点坐标，再利用平移距离建立方程即可．
【详解】解：∵直线，
当时，，
∴直线与轴的交点为：，
∵直线，
当时，，
∴直线与轴的交点为：，
结合题意可得：，
解得：；
故选C．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，理解题意，再建立方程求解是解题关键．
3．（2022下·上海普陀·九年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据直线y=kx+b经过第一，三，四象限，可以判断k、b的正负，根据一次函数图象的性质，从而可以判断直线y=bx+k经过哪几个象限，不经过哪个象限．
【详解】解：∵直线y=kx+b经过第一，三，四象限，
∴k>0，b<0，
∴直线y=bx+k经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的性质，明确题意，熟练掌握并灵活运用一次函数的性质是解题的关键．
4．（2022·广西贵港·统考三模）将直线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定经过（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设平移后直线上一点（x，y），则点（x+2，y+1）在原直线上，代入原直线解析式可得平移后直线解析式，再代入坐标验证选项即可．
【详解】解：平移后的直线为：，
A．x=0，y=2，选项不符合题意；
B．x=0，y=2，选项不符合题意；
C．x=1，y=，选项不符合题意；
D．x=-1，y=，符合题意；
故选： D．
【点睛】本题考查了直线的平移，掌握坐标的平移规律是解题关键．
5．（2022·辽宁沈阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据题意可知一次函数的，y随x增大而增大，即可求解．
【详解】解：一次函数的，y随x增大而增大，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小．
6．（2022·陕西西安·校联考二模）一次函数y＝kx+b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝3x﹣2
【答案】C
【分析】根据题意可得：该一次函数图象还经过（3，6），然后将两点的坐标代入即可求出结论．
【详解】解：∵一次函数的图象经过点，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，
∴该一次函数图象还经过（3，6），
将点和（3，6）分别代入中，得，
解得：，
∴此函数表达式是，
故选C．
【点睛】本题考查的是求一次函数解析式，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键．
7．（2022下·浙江·八年级期中）如图，直线分别交轴于点，交轴于点，若点，点是直线上的两点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用待定系数法求直线AB的解析式，把P（2，m）、Q（n，2）分别代入直线解析式中求出m、n，然后利用两点间的距离公式求线段PQ的长．
【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（6，0），B（0，12）代入得，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+12，
∵点P（2，m）在直线y=-2x+12上，
∴m=8，
∴P点坐标为（2，8）；
∵点Q（n，2）在直线y=-2x+12上，
∴-2n+12=2，解得n=5，
∴Q点的坐标为（5，2），
∴PQ==，
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
8．（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）若正比例函数的图象经过，两个不同的点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】将，两点坐标代入解析式，从而可确定答案．
【详解】解：正比例函数的图象经过，两个不同的点，
，
解得：，
当时，，则，，符合题意，
当时，，则，，不合题意，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
9．（2022下·湖北荆门·七年级统考期末）已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，则的最大值为( )
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据关于x，y的方程组的解都为非负数，可以求得a的取值范围，再根据a+b=4，W=2a-3b和不等式的性质，可以得到W的最大值．
【详解】解：由方程组可得，，
∵关于x，y的方程组的解都为非负数，
∴，
解得，1≤a≤3，
∵a+b=4，W=2a-3b，
∴b=4-a，
∴W=2a-3（4-a）=5a-12，
∵1≤a≤3，
∴，
∴当a=3时，W取得最大值，此时W=3，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用不等式的性质解答．
10．（2022下·河南新乡·八年级统考期末）关于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．不经过第二象限 B．y随x的增大而增大
C．与y轴交于点 D．与x轴交于点
【答案】D
【分析】利用一次函数图像的性质解答即可．
【详解】解：A、k＝3＞0，b＝ 3＜0，经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、k＝3＞0，所以y随x的增大而增大，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、令x＝0，得y＝ 3，所以与y轴交于点（0， 3），该说法正确，故该选项不符合题意；
D、令y＝0，解得x＝1，所以与x轴交于点（1，0），不是（ 1，0），该说法错误，故该选项符合题意．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数图像及其性质，正确把握一次函数图像及其性质是解题关键．
11．（2023·广东广州·统考一模）如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（ ）
A． B． C．75 D．15
【答案】A
【分析】先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可
【详解】两条直线和相交于点，
解得
，
令，解得
由，令，解得，
故选A
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键．
12．（2022·四川南充·校联考一模）在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），则a的值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣3
【答案】C
【分析】根据平移的规律求出平移后的直线解析式，然后代入（a，0），即可求出a的值．
【详解】解：将将直线y＝-x向下平移2个单位长度后得到y＝-x 2，
把（a，2）代入，得-a-2=2，
解得a＝ 4，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为（ ）
t/min … 1 2 3 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 …
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出与之间的函数解析式，再求出时，的值即可得．
【详解】解：设与之间的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
则，
当时，，
即当时间为时，对应的高度为，
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．
14．（2022下·福建厦门·八年级统考期末）如图，点P在线段AB上，则点P的横坐标取值范围是（ ）
A．－3＜x＜1 B．－3≤x≤1 C．－1＜x＜3 D．－1≤x≤3
【答案】B
【分析】观察图象，知道点P的横坐标在-3和1之间即可得出答案．
【详解】解：观察图象，知道点P的横坐标在-3和1之间，即-3≤x≤1，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，考查数形结合思想，观察图象得到点P的横坐标在-3和1之间是解题的关键．
15．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地， 李颖从乙地前往甲地． 张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李颖速度是张华提速前速度的 B．李颖的速度为240m/ min
C．两人第一次相遇的时间是分钟 D．张华最终达到乙地的时间是分钟
【答案】D
【分析】由轴可知，李颖的速度是张华提速前速度的，可判断A选项不符合题意；
设张华提速前的速度是米/分，则李颖的速度为 米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距米，则有，即可解得张华提速前的速度为米/分，则李颖的速度为 （米/分），即可判断B选项不符合题意；
张华提速后的速度为米/分，故张华返回甲地所用的时间是4分钟，张华拿到物品后再次从甲地出事的时间是第分钟，设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得 ，解得两人第一次相遇的时间是分钟，可判断C选项不符合题意；
张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是
（分），可判断D选项符合题意．
【详解】解：A、张华先出发3分钟后李颖才出发，当张华行驶到6分钟时发现重要物品没带，立刻以原速的掉头返回甲地，此时由图轴可知，李颖和张华相距的路程不变，
李颖的速度是张华提速前速度的，
故此选项不符合题意；
B、设张华提速前的速度是米/分，则李颖的速度为 米/分，根据C点的坐标可知此时两人相距米，则有，解得，
张华提速前的速度为米/分，则李颖的速度为 （米/分），
故此选项不符合题意；
C、张华提速后的速度为米/分，
张华返回甲地的时间是（分），
张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，
设两人第一次相遇的时间是t分钟，可得
，
解得，
两人第一次相遇的时间是分钟，
故此选项不符合题意；
D、张华拿到物品后再次从甲地出发的时间是第分钟，即可得到张华最终达到乙地的时间是：
（分），
故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次方程等知识，解答本题的关键是明确题意，采用数形结合的思想就能迎刃而解．
二、填空题
16．（2022·吉林长春·校联考一模）小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，目前他已存有50元，从现在起他准备每个月存12元，请写出小张的存y款数（元）与从现在开始的月份数x（月）之间的函数关系式 .
【答案】y=50+12x.
【分析】根据题意列函数，注意自变量的取值范围.
【详解】设小明的存款数为y元,月份x.则有
y=50+12x
故答案为y=50+12x.
【点睛】考查一次函数解析式的确定，比较基础，难度不大.
17．（2022下·黑龙江牡丹江·八年级校考期末）已知（-1，），（4，）是一次函数y＝x＋1图象上的两个点，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【分析】根据，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合-1＜4，可得出．
【详解】解：∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵（-1，），（4，）是一次函数y=x+1图象上的两个点，且-1＜4，
∴＜．
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
18．（2022·贵州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为 ．
【答案】1≤k≤3
【分析】把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得k的最大值和最小值，易得k的取值范围．
【详解】解：把（1，3）代入y=kx，得k=3．
把（3，3）代入y=kx，得3k=3，解得k=1．
故k的取值范围为1≤k≤3．
故答案是：1≤k≤3．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k的最值是解题的关键．
19．（2023·重庆合川·校考一模）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为 ．
【答案】或
【分析】由题意可设函数解析式为，求出与坐标轴的交点坐标，再根据面积可得出关于k的方程，解出即可得出k的值，进而可以求出函数解析式．
【详解】解：设一次函数的解析式为，
令，得，则一次函数的图象与x轴交点坐标为，
∴，
解得：，
∴一次函数解析式为：或．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式，结合了三角形的知识，但难度中等，注意掌握坐标和线段长度的转化．
20．（2022·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知点在直线上，且直线经过第二三、四象限，当时，与的大小关系为 ．
【答案】
【分析】根据直线经过的象限确定k<0，利用函数的增减性确定答案.
【详解】∵直线经过第二、三、四象限，
∴k<0，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴，
故答案为：.
【点睛】此题考查一次函数的性质，根据函数所经过的象限确定系数的符号，熟记一次函数的性质是解题的关键.
21．（2022·四川成都·校联考一模）已知直线y=﹣2x+5，则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
【答案】
【分析】根据图象平移的规律先求出平移后的解析式，然后再求出平移后的图象与两坐标轴的交点，再根据三角形面积公式进行求解即可得.
【详解】平移后解析式为：y=﹣2（x﹣1）+5=﹣2x+4，即y=﹣2x+7，
当x=0时，y=7，
当y=0时，x=，
∴平移后得到的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：×7×= ，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟练掌握一次函数图象平移的规律是解题的关键.
22．（2022·江苏宿迁·统考一模）无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ．
【答案】（﹣1，﹣2）．
【分析】只要把点的坐标代入函数解析式，看看左边和右边是否相等即可．
【详解】由一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3变形为m（x+1）﹣x﹣y﹣3=0，
令，
解得，
故一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）
【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，主要是利用了过两条直线的交点的直线系方程求得定点，也可以利用m的两个不同值来确定交点坐标．
23．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为 ．
【答案】3或
【分析】根据一次函数解析式可求出A点和B点坐标，从而求出的两条直角边，并运用勾股定理求出．根据已知可得，分别从或时，即当时，，或时，，分别求得的值，即可得出结论．
【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别交与A、B两点，
当时，即，
解得：．
当时，，
∴．
∴．
∴．
∵，点C在射线上，
∴，即．
∵，
∴．
若以C、D、A为顶点的三角形与全等，则或，即或．
如图1所示，当时，，
∴；
如图2所示，当时，，
∴．
综上所述，的长为3或．
故答案为：3或．
【点睛】此题考查了一次函数的应用、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
24．（2022·山东枣庄·统考一模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点旋转后得到，则点的坐标是 ．
【答案】或．
【分析】根据直线解析式求得点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据旋转的性质得到△AOB≌，根据全等三角形对应边相等得到、的长度，然后分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况解答.
【详解】当y=0时，，解得x=2，当x=0时，解得y=3，
∴A(2，0)，B(0，3)，
∴OA=2，OB=3，
由旋转得到△AOB≌，
∴=OA=2，=OB=3，
①如果△AOB是顺时针旋转，则点的坐标是（5,2），
②如果△AOB是逆时针旋转，则点的坐标是（-1，-2）
故答案为：或．
【点睛】此题考查旋转的性质，坐标与图形的旋转变化，注意没有明确旋转方向时应分类讨论.
25．（2022·河北唐山·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 ，第2020个阴影三角形的面积是 ．
【答案】 32(或)
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，即可得出的值，根据边的长度的变化即可找出变化规律“”再根据三角形的面积即可得出，分别代入n=2、2019即可求出结论．
【详解】解：当x=0时，y=x+2=2，
∴
当x=2时，y=x+2=4，
∴
当x=2+4=6时，y=x+2=8,
∴
当x=6+8=14时，y=x+2=16，
∴
∴
∴．
当n=２时，
当n=2019时，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形以及规律型中数的变化规律，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等腰直角三角形的性质，找出等腰直角三角形的直角边长为“”是解题的关键．
三、解答题
26．（2023·四川自贡·统考中考真题）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当时，函数的值；
（3）当时，自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）11；（3）
【分析】（1）由题意可设．把、的值分别代入一次函数解析式，列出关于、的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）把代入上述解析式，可以求得相应的的值；
（3）由题意列出关于的不等式，通过解该不等式可以求得的取值范围．
【详解】（1）设，则由题意，得：
，
解得．
故这个一次函数的表达式是：；
（2）由（1）知，，
则当时，；
（3）由（1）知，，
所以当时，，
解得．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及求自变量或的值．这是中考经常考的一个考点．
27．（2022·云南曲靖·统考一模）水龙头关闭不严会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做如图①的试验，并根据试验数据绘制出如图②的容器内盛水量y（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：
(1)求y与t之间的函数关系式；
(2)计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升．
【答案】(1)y＝0.4t＋0.3
(2)9.6L
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）计算出t＝24时y的值，再减去容器内原有的水量即可．
【详解】（1）解：设y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b（k≠0），
将（0，0.3），（1.5，0.9）代入，得：，
解得：，
故y与t之间的函数关系式为y＝0.4t＋0.3；
（2）根据图象可知，t＝0时，y＝0.3，即容器内原有水0.3升，
当t＝24时，y＝0.4×24＋0.3＝9.9（升），
9.9 0.3＝9.6（升），
答：在这种滴水状态下一天的滴水量是9.6升．
【点睛】本考查了一次函数的应用，关键是利用待定系数法正确求出一次函数的解析式．
28．（2022·广东江门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点 ，与直线相交于点 ，
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点 的坐标
【答案】（1）；（2）12；（3）存在，
【分析】（1）将点A、B的坐标代入解析式，即可得到答案；
（2）先求出交点C的坐标，利用底乘高列式计算即可得到答案；
（3）先求出OC的长，分三种情况求出点P的坐标使是等腰三角形.
【详解】（1）由题意得，解得，直线的函数表达式；
（2）解方程组，得，
∴点的坐标，
∴ ；
（3）存在，
,
当OP=OC时，点P(10，0),(-10，0),
当OC=PC时，点P（12,0），
当OP=PC时，点P（），
综上，点P的坐标是(10，0)或(-10，0)或（12,0）或（）时，是等腰三角形.
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，求图象交点坐标，利用等腰三角形的定义求点坐标.
29．（2022·上海杨浦·统考三模）在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分别如图中线段OA和折线OBCD所示．
(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)
(2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．
【答案】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)小梅在起跑后秒时被追及．
【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；
（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间．
【详解】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；
(2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，
小莹的速度为： (米/秒)，
故线段OA的解析式为：y＝x，
设线段BC的解析式为：y＝kx+b，根据题意得：
，解得，
∴线段BC的解析式为y＝2.5x+150，
解方程，得，
故小梅在起跑后秒时被追及．
【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
30．（2022·云南保山·统考一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；
(2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)
(2)10小时
【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式；
（2）把代入中，即可求得结论．
【详解】（1）解：设线段解析式为
∵线段过点，，
∴，解得
∴线段的解析式为：
∵B在线段上当时，，
∴B坐标为，
∴线段的解析式为：，
设双曲线解析式为：
∵，
∴，
∴双曲线的解析式为：
∴y关于x的函数解析式为：
（2）把代入中，解得：，
∴（小时），
∴恒温系统最多可以关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的实际应用，根据图象求一次函数、反比例函数和常函数关系式．解答时应注意临界点的应用．
31．（2023·广东阳江·统考二模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水笔 乙水笔
每支进价（元） a
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
【答案】(1)甲、乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
(2)购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元
(3)169支
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程，函数关系式，以及不等式，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据“花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等”列出方程求解即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进x支，根据题意找出等量关系，列出一次函数表达式，根据一次函数的增减性，即可解答；
（3）设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，列出方程化简，得，根据，推出，再结合m、n均为正整数，得出当时，n取得最大值，此时，即可解答．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
（2）解：设利润为w元，甲种水笔购进x支，
，
∵，
∴w随x的增大而增大，
∵购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，
∴，
解得，
∵x为整数，
∴当时，w取得最大值，此时，，
答：该文具店购进甲种水笔266支，乙种水笔67支时，能使利润最大，最大利润是733元；
（3）解：设购进甲种水笔m支，则购进乙种水笔支，一共购进n支水笔，
，
化简，得
，
∵，
∴，
∴，
∵m、n均为正整数，
∴当时，n取得最大值，此时，
即该文具店至多可以购进这三种水笔共169支．
32．（2022上·四川达州·九年级统考期末）（1）证明命题：若直线与直线互相垂直，则．我们可以先证明“直线与直线互相垂直时，．”请利用图1完成证明．
（2）应用命题：如图2，中，，，BC在x轴上，点A在y轴正半轴上．
①求线段AB的垂直平分线的解析式；
②点M在平面直角坐标系内，点F在直线AC上，以A，B，F，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）、(3,0)、 （-3,8）
【分析】（1）分别在直线与直线上各取一点，再作x轴的垂线，根据“一线三垂直”模型证明相似即可；
（2）求出线段AB的中点及直线AB的解析式，根据直线垂直即可求出垂直平分线的解析式；
（3）根据AB为边和对角线分类讨论即可，具体计算可以根据菱形对角线互相垂直平分进行计算．
【详解】（1）设G，P，则点P在直线上，点G在直线上
过G作GH⊥x轴于H，过P作PQ⊥x轴于Q
∴
∵直线与直线互相垂直
∴
∴
∴
即
化简得
即直线与直线互相垂直时，
（2）∵，
∴OB=OC=3，OA=4
∴A（0，4），B（-3,0），C（3,0）
∴直线AB的解析式为
直线AC的解析式为
AB中点坐标为
设线段AB的垂直平分线的解析式为
∴且过点
∴，解得
∴线段AB的垂直平分线的解析式为
（3）当AB为对角线时，F为AB的垂直平分线与AC的交点，
联立，解得：
即F坐标为
当AB为菱形的边时，
∵BC关于y轴对称
∴F在直线AB右边时，F与C重合，此时F(3,0)
当F在直线AB左边时，
∵AB∥CM，
∴
∴AM1平分，BC平分
∴
∴A M1∥x轴，
∴F点坐标为（-3,8）
综上所述：F点坐标、(3,0)、 （-3,8）
【点睛】本题综合考查一次函数的性质、相似三角形的判定、菱形的性质，解题的关键是抓住材料中的“直线与直线互相垂直时，” ．
33．（2022·河南许昌·统考一模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 3 m 1 0 1 2 1 n …
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
【答案】（1）2，；（2）如图所示，见解析；（3）①＞，＞；②x＝0或x＝﹣2或x＝2；（4）﹣1＜b＜2或b＞3．
【分析】（1）将x=﹣3代入y＝|x+1|得m的值；将x＝3代入y＝中得n的值；
（2）用平滑的曲线连接坐标系中描的点可得；
（3）A与B在y＝上，C与D在y＝|x﹣1|上，分别根据函数增减性判断；
（4）如下图，求解出直线y＝﹣x+b与函数图象有一个交点的临界点，从而得出b的取值范围．
【详解】（1）x＝﹣3代入y＝|x+1|得，y＝2，
∴m＝2，
把x＝3代入y＝中得，y＝，
∴n＝，
故答案为2，；
（2）如图所示：
（3）由图象可知A与B在y＝上，y随x的增大而减小，所以y1＞y2；
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x1＞x2；
故答案为＞，＞；
②当y＝1时，x≤1时，有1＝|x+1|，
∴x＝0或x＝﹣2，
当y＝1时，x＞1时，有1＝，
∴x＝2，
故x＝0或x＝﹣2或x＝2；
（4）∵函数解析式为：y＝，图像如下
当直线y＝﹣x+b在向右平移的过程中，如下图，与函数的交点个数是在变化的：
由图形可知，当直线向右平移过程中，直线与函数交点个数为：①0个，②然后变为1个，③然后变为2个，④然后又变为1个
我们分别求出①②、②③、③④之间的临界点即可
有图形可知，①②之间的临界点为：x=－1
我们求出直线与函数有2个交点的情况：
联立解析式得：
当△＞0时，即直线与函数有两个个交点
△＞
解得b＞2或b＜－2
故而﹣1＜b＜2时，直线与含有有且仅有一个交点
还存在一种情况：如下图
由上面分析可知当b＞2时，直线是与函数有2个交点的
但是反比例函数的取值范围为x＞1的部分
∴如上图，反比例函数是点A(1，2)右侧的部分
∴当直线y=－x+b从A点继续向右平移时，直线与反比例函数仅有一个交点
将点A代入直线得：2=－1+b，解得：b=3
∴当b＞3时，直线与函数也仅有一个交点
综上得，﹣1＜b＜2或b＞3．
【点睛】本题考查分段函数，解题关键是依据分段函数划分的范围，选取合适的函数进行分析求解．
34．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
35．（2022下·四川攀枝花·八年级统考期中）如图，直线交x轴于点A，交直线于点B（2，m）．矩形CDEF的边DC在x轴上，D在C的左侧，EF在x轴的上方，DC=2，DE=4．当点C的坐标为（－2，0）时，矩形CDEF开始以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动，运动时间为t秒．（注：矩形就是长方形）
（1）求b、m的值；
（2）当矩形CDEF运动t秒时，请直接写出C、D两点的坐标（用含t的代数式表示）
（3）当点B在矩形CDEF的一边上时，求t的值；
（4）设CF、DE分别交折线OBA于M、N两点，当四边形MCDN为直角梯形时，求t的取值范围．
【答案】（1）b=4，m=3；（2）点C（2t2，0）、点D（2t4，0）；（3）当点B在矩形的一边上时，t的值为2秒或3秒；（4）t的取值范围为：2＜t＜5且t≠．
【分析】（1）把B点坐标分别代入和可求出m，b．
（2）C点向右移动2t个单位，则C点的横坐标要减2t，便可写出C，D两点坐标．
（3）首先判断B点在EF的下方，再讨论B点在DE或FC上，利用横坐标相等求t．
（4）通过端点确定范围，即C点到达A点，D点到达O点，还要去掉CM=DN时的t的值．
【详解】解：（1）把B（2，m）代入，得m=3．
再把B（2，3）代入，得b=4．
（2）因为点C向右移了2t个单位，则点C的横坐标加2t，纵坐标还是0，
D点的横坐标比点C要小2，
∴点C（2t-2，0）、点D（2t-4，0）；
（3）∵3＜4，
∴点B在EF的下方，不能在EF上，
点B在CF边上时2t-2=2，解得：t=2，
点B在DE边上时，2t-4=2，解得：t=3，
∴当点B在矩形的一边上时，t的值为2秒或3秒；
（4）点D与O重合时，2t-4=0，解得：t=2，
点C与点A重合时，2t-2=8，解得t=5，
CF交AB于M，DE交BO于N时，M（2t-2，5-t），N（2t-4，3t-6），
当CM=DN时，即5-t=3t-6，
解得t＝，
∴当t＝时四边形MCDN为矩形，
∴当四边形MCDN为直角梯形时，
t的取值范围为：2＜t＜5且t≠．
【点睛】考查了点在图象上则点的坐标满足图象的解析式；考查了平移下的点的坐标变换：左右平移只改变横坐标；考查了直角梯形的定义以及分类讨论思想的运用．
【能力提升】
36．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
(1)求直线的表达式：
(2)的面积为 ；
(3)连接，，
①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ；
②当时，请直接写出点P的坐标为 ．
【答案】(1)；
(2)3
(3)①或；②或
【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法可得直线的表达式：
（2）由直线可得，由直线得，即可得的面积；
（3）①设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，利用三角形的面积公式分别求解即可；
②设点的坐标为，分两种情况：Ⅰ点在轴正半轴时，Ⅱ点在轴负半轴时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点代入直线得，
，
点，
设直线的解析式是，
点，
，解得，
直线的表达式为；
（2）解：直线与轴相交于点，
，
直线与轴相交于点，
，
点，
，
，
故答案为：3；
（3）解：①设点的坐标为，
Ⅰ点在轴正半轴时，如图，
，
，
，
，
点的坐标为；
Ⅱ点在轴负半轴时，
，
，
，
，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或，
故答案为：或；
②设点的坐标为，
Ⅰ点在轴正半轴时，过点作轴于，
，
，
，
，
直线，令，则，
，
，
，，，
，
，
设点的坐标为；
Ⅱ点在轴负半轴时，
由图得当点与点重合时，，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
故答案为：或
【点睛】本题是三角形综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，数形结合以及分类讨论是解题的关键．
37．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
图① 图②
(1)直接写出点的坐标：（___，___），（___，___）；
(2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标；
(3)如图②，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值．
【答案】(1)，，，
(2)点的坐标为或
(3)存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或
【分析】本题考查了一次函数上点的坐标特征、三角形面积、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）在中，当时，，当时，，解得，由此即可得出答案；
（2）设点的坐标为，则，根据，求解即可；
（3）分三种情况：当，时，作轴于，轴于；当，时，作轴于，延长交直线于；当，时，作于，作轴于；分别利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得，
，，
故答案为：，，，；
（2）解：设点的坐标为，
，
，
解得：或，
点的坐标为或；
（3）解：存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，
如图，当，时，作轴于，轴于，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，，
，，
，
；
如图，当，时，作轴于，延长交直线于，
，
同理可得：，
，，
，
；
如图，当，时，作于，作轴于，
，
同理可得：，
，，
设，
，，
，，，，，
，
解得：，
；
综上所述，存在以为顶点的三角形是等腰直角三角形，的值为或或．
38．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于和两点，其中和是方程的两个实数根，且．
(1)如图（1），求线段的长；
(2)如图（2），点为第三象限一点，射线交于点，连接交轴负半轴于点，的垂直平分线交轴负半轴于点，连接，设的度数为，请用含的式子表示的度数；
(3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当，时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先解方程，可得，，再利用勾股定理解答即可；
（2）设的度数为，可得，再结合对顶角的性质与三角形的内角和定理可得答案；
（3）如图，过作于，过作于，证明，，设，，由等面积法可得，则，，可得（负根舍去），利用勾股定理，可得：，（负根舍去），可得，直线为，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得：，，
∴，，
∴；
（2）设的度数为，而，
∴，
∴，
∵的垂直平分线交轴负半轴于点，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过作于，过作于，
由（2）得，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
而，，
∴，设，，
∴，
∵，
∴，，
∴，解得，
由可得：，
∴，
解得：（负根舍去），
∴，
，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得：，（负根舍去），
∴,
∴直线为，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
解得：，
∴.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理的应用，求解一次函数的解析式及其交点坐标，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.
39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，，与直线交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)连接，求的面积；
(3)设点的坐标为，求最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，以及轴对称最短线路问题，
（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）先求出点E坐标，再根据，求出即可；
（3）根据将军饮马模型，作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，由坐标系中两点的距离公式计算即可．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把，代入得：，
解得：，
则直线解析式为；
（2）对于直线，
令，得到，令，得到，即，，
，，
，
联立得：，
解得：，即，，
，
则；
（3）作出关于的对称点，连接，与交于点，此时最小，
由对称可知得，
，
即最小值是．
40．（2023上·浙江·八年级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且．
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的表达式．
【答案】(1)4
(2)，6
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理：
（1）直接利用三角形面积公式，把数值代入计算即可作答；
（2）由（1）知，得到的值，故得到A点坐标，设直线的解析式为，把A点坐标和点C的坐标代入，得出，然后再把点代入，即可作答．
（3）过点P作轴，结合勾股定理，得出的值，结合P点的坐标，运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
∴
∴
∵
∴
故点A的坐标为；
∴直线的解析式为，
把和代入
得
解得
∴
则当时，；
∴
（3）解：过点P作轴，如图所示：
∵，
则设，
∴
即
解得
∴
∴直线的解析式为，
把和代入，
得
解得
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题02 一次函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·浙江温州·统考一模）一次函数 y＝－2x+2 经过点（a，2）则 a 的值为（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
2．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）直线向右平移4个单位后与直线的交点在轴上，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2022下·上海普陀·九年级校考期中）已知直线ykxb经过第一、三、四象限，那么直线ybxk一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022·广西贵港·统考三模）将直线向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到的直线必定经过（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·辽宁沈阳·统考一模）在平面直角坐标系中，已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．（2022·陕西西安·校联考二模）一次函数y＝kx+b的图象经过点A(2，3)，每当x增加1个单位时，y增加3个单位，则此函数表达式是（ ）
A．y＝3x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝3x﹣3 D．y＝3x﹣2
7．（2022下·浙江·八年级期中）如图，直线分别交轴于点，交轴于点，若点，点是直线上的两点，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）若正比例函数的图象经过，两个不同的点，则的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
9．（2022下·湖北荆门·七年级统考期末）已知关于，的方程组的解都为非负数，若，，则的最大值为( )
A．3 B． C．2 D．
10．（2022下·河南新乡·八年级统考期末）关于直线，下列说法不正确的是（ ）
A．不经过第二象限 B．y随x的增大而增大
C．与y轴交于点 D．与x轴交于点
11．（2023·广东广州·统考一模）如图，两条直线和相交于点，两直线与x轴所围成的的面积是（ ）
A． B． C．75 D．15
12．（2022·四川南充·校联考一模）在直角坐标系中，将直线y＝﹣x向下平移2个单位后经过点（a，2），则a的值为（ ）
A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣3
13．（2023下·河南驻马店·八年级校考阶段练习）漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为（ ）
t/min … 1 2 3 …
h/cm … 2.4 2.8 3.2 …
A． B． C． D．
14．（2022下·福建厦门·八年级统考期末）如图，点P在线段AB上，则点P的横坐标取值范围是（ ）
A．－3＜x＜1 B．－3≤x≤1 C．－1＜x＜3 D．－1≤x≤3
15．（2022·山东潍坊·统考二模）如图，张华、李颖两人沿同一条笔直的公路相向而行，张华从甲地前往乙地， 李颖从乙地前往甲地． 张华先出发3分钟后李颖出发，当张华行驶6分钟时发现重要物品忘带，立刻以原速的掉头返回甲地．拿到物品后以提速后的速度继续前往乙地，二人相距的路程y（米）与张华出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．李颖速度是张华提速前速度的 B．李颖的速度为240m/ min
C．两人第一次相遇的时间是分钟 D．张华最终达到乙地的时间是分钟
二、填空题
16．（2022·吉林长春·校联考一模）小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，目前他已存有50元，从现在起他准备每个月存12元，请写出小张的存y款数（元）与从现在开始的月份数x（月）之间的函数关系式 .
17．（2022下·黑龙江牡丹江·八年级校考期末）已知（-1，），（4，）是一次函数y＝x＋1图象上的两个点，则 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
18．（2022·贵州·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，3），（3，3），若直线y＝kx与线段AB有公共点，则k的取值范围为 ．
19．（2023·重庆合川·校考一模）已知一次函数的图像经过点且与两条坐标轴截得的直角三角形的面积为3，则一次函数的解析式为 ．
20．（2022·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知点在直线上，且直线经过第二三、四象限，当时，与的大小关系为 ．
21．（2022·四川成都·校联考一模）已知直线y=﹣2x+5，则将其向右平移1个单位后与两坐标轴围成的三角形面积为 ．
22．（2022·江苏宿迁·统考一模）无论m取任何实数，一次函数y=（m﹣1）x+m﹣3必过一定点，此定点为 ．
23．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与轴和轴分别交与A、两点，射线于点A，若点是射线上的一个动点，点是轴上的一个动点，且以、、A为顶点的三角线与全等，则的长为 ．
24．（2022·山东枣庄·统考一模）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把绕点旋转后得到，则点的坐标是 ．
25．（2022·河北唐山·九年级统考学业考试）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右第3个阴影三角形的面积是 ，第2020个阴影三角形的面积是 ．
三、解答题
26．（2023·四川自贡·统考中考真题）已知是关于的一次函数，且当时，；当时，．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）求当时，函数的值；
（3）当时，自变量的取值范围．
27．（2022·云南曲靖·统考一模）水龙头关闭不严会造成滴水，小明用可以显示水量的容器做如图①的试验，并根据试验数据绘制出如图②的容器内盛水量y（L）与滴水时间t（h）的函数关系图象，请结合图象解答下列问题：
(1)求y与t之间的函数关系式；
(2)计算在这种滴水状态下一天的滴水量是多少升．
28．（2022·广东江门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点 ，与直线相交于点 ，
（1）求直线 的函数表达式；
（2）求 的面积；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点 的坐标
29．（2022·上海杨浦·统考三模）在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分别如图中线段OA和折线OBCD所示．
(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案)
(2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．
30．（2022·云南保山·统考一模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求这天的温度y与时间的函数关系式；
(2)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
31．（2023·广东阳江·统考二模）某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如下表：
甲水笔 乙水笔
每支进价（元） a
每支利润（元） 2 3
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
(1)求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元．
(2)若该文具店准备拿出2000元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
(3)文具店为了吸引客源．准备下次再购进一种进价为12（元/支）的丙水笔，预算用1500元购进这三种水笔若干支（三种笔都需购买），其中甲水笔与乙水笔的数量之比为1∶2，则该文具店至多可以购进这三种水笔共多少支．
32．（2022上·四川达州·九年级统考期末）（1）证明命题：若直线与直线互相垂直，则．我们可以先证明“直线与直线互相垂直时，．”请利用图1完成证明．
（2）应用命题：如图2，中，，，BC在x轴上，点A在y轴正半轴上．
①求线段AB的垂直平分线的解析式；
②点M在平面直角坐标系内，点F在直线AC上，以A，B，F，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点F的坐标．
33．（2022·河南许昌·统考一模）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … 3 m 1 0 1 2 1 n …
其中，m＝ ，n＝ ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A（，y1），B（5，y2），C（x1，），D（x2，6）在函数图象上，则y1 y2，x1 x2；（填“＞”，“＝”或“＜”）
②当函数值y＝1时，求自变量x的值；
（4）若直线y＝﹣x+b与函数图象有且只有一个交点，请直接写出b的取值范围．
34．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
35．（2022下·四川攀枝花·八年级统考期中）如图，直线交x轴于点A，交直线于点B（2，m）．矩形CDEF的边DC在x轴上，D在C的左侧，EF在x轴的上方，DC=2，DE=4．当点C的坐标为（－2，0）时，矩形CDEF开始以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动，运动时间为t秒．（注：矩形就是长方形）
（1）求b、m的值；
（2）当矩形CDEF运动t秒时，请直接写出C、D两点的坐标（用含t的代数式表示）
（3）当点B在矩形CDEF的一边上时，求t的值；
（4）设CF、DE分别交折线OBA于M、N两点，当四边形MCDN为直角梯形时，求t的取值范围．
【能力提升】
36．（2022上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第四十三中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴相交于点A，点B，直线与相交于点，与x轴相交于点，与y轴相交于点E，点P是y轴上一动点．
(1)求直线的表达式：
(2)的面积为 ；
(3)连接，，
①当的面积等于面积的一半时，请直接写出点P的坐标为 ；
②当时，请直接写出点P的坐标为 ．
37．（2024上·陕西榆林·八年级统考期末）如图①，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．
图① 图②
(1)直接写出点的坐标：（___，___），（___，___）；
(2)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标；
(3)如图②，过轴正半轴上的动点作直线轴，点在直线上，若以为顶点的三角形是等腰直角三角形，请求出的值．
38．（2022下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴、轴于和两点，其中和是方程的两个实数根，且．
(1)如图（1），求线段的长；
(2)如图（2），点为第三象限一点，射线交于点，连接交轴负半轴于点，的垂直平分线交轴负半轴于点，连接，设的度数为，请用含的式子表示的度数；
(3)如图（3），在（2）的条件下，连接，当，时，求点的坐标．
39．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，直线：与轴交于点，与轴交于点．直线：经过点，，与直线交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)连接，求的面积；
(3)设点的坐标为，求最小值．
40．（2023上·浙江·八年级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且．
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的表达式．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
