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专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．（2022下·全国·九年级专题练习）如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2022下·辽宁大连·八年级统考期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（ ）
A．π B．r C．C D．r，C
4．（2022上·江西抚州·八年级统考期末）2021年10月16日神舟十三号飞船在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留183天后于2022年4月16日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ）
A．内蒙古中部 B．酒泉卫星发射中心东北方向处
C．东经 D．北纬
5．（2022下·福建泉州·八年级校联考期中）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·四川成都·八年级校考期中）若点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022上·河南郑州·八年级郑州四中校考开学考试）下列四个命题中，正确的个数有( )
①数轴上的点和有理数是一一对应的：②估计的值在4和5之间；③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5；④在平面直角坐标系中点(2，-3)关于x轴对称的点的坐标是(2，3)：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022下·广东东莞·七年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
10．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022下·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期中）平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，1），若轴，且B点在A点右侧，当时，B点坐标是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022上·八年级课时练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中正确的是（ ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为1000米
C．到达学校共用时间为10分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
13．（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
14．（2022上·甘肃白银·八年级统考期末）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为；②乙车用了到达城；③甲车出发时，乙车追上甲车
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
15．（2022下·广东汕头·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，．则点的坐标为( )
A． B． C． D．
16．（2022上·福建宁德·八年级校考阶段练习）若某点位于轴上方，距轴5个单位长，且位于轴的左边，距轴10个单位长，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·江西宜春·七年级校联考期末）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
18．（2022下·广西河池·七年级统考期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2 ，1） B．（－1，－1）
C．（﹣2，0） D．（2，0）
19．（2023下·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形的边与轴重合，点，，若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·河南新乡·河南师大附中校考三模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
21．（2022·浙江舟山·统考一模）函数的自变量的取值范围是 ．
22．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点到轴的距离为4，则点的坐标为 ．
23．（2022上·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）在来南宁旅游的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在如图的正方形网格中，她以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示石门森林公园的点坐标为，那么表示广西民族博物馆的点坐标为 ．
24．（2022下·河南许昌·七年级统考期中）若点在坐标轴上，则b的值为 ．
25．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点关于y轴的对称点是，则 ．
26．（2022下·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，有，，三点，若D点与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标 ．
27．（2022下·辽宁锦州·七年级统考期中）等腰三角形顶角的度数y是随着底角的度数x的变化而变化的，则y与x的关系式是 ．
28．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．如果，．请回答：
（1）点的坐标为 ．
（2）点经过的路径的长度为 ．（友情提示：已经有）
29．（2022上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，点A为反比例函数图象上一动点，连接，过点O作，，若点A的横坐标为m，对点B的坐标为 （用含m，n的代数式表示）．
30．（2022下·北京东城·七年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 ；若点A1的坐标为（a，b），且a，b均为整数，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则点A1的坐标为 ．
31．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为 ．
（2）当时，的值为 ．
32．（2023下·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
33．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，将已知抛物线向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．
34．（2022下·江西宜春·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O为原点，点，，点M从点O出发，沿平行四边形的边逆时针运动一周回到点O，当为等腰三角形时，点M的坐标为 ．
35．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时点的坐标为
三、解答题
36．（2022下·山东青岛·七年级统考期中）为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒（不少于6个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元．
(1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
37．（2022下·北京密云·八年级统考期末）“互联网+”的出现，在一定程度上推动了现代物流业尤其是快递业的发展．小丹打算网购一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品重量每千克6元计价外加包装费10元．设小丹网购物品的重量为x千克（x为正数），根据题意列表：
物品重量（千克） 0.5 1 1.5 2 … x
甲公司费用（y甲元） 20 20 22 a … y甲
乙公司费用（y乙元） 3 16 19 22 … y乙
(1)表格中a的值为 ；
(2)写出y乙与x的函数表达式，并在图中画出y乙的图象；
(3)若小丹网购物品的重量为4千克，如果想节省快递费用，结合函数图象，你认为小丹应选择的快递公司是 ．
38．（2022上·全国·八年级专题练习）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求D点坐标；(你还能求出点C的坐标？)
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为，且使，此时你能否判断出与的位置关系？若能，给出证明，若不能试说出理由 (你能求此时点C的坐标吗？还能…？)
39．（2022上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、点B在网格中的位置如图所示，
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A、点B的坐标分别为（﹣2，3）、（﹣1，﹣4）．
（2）点C的坐标为（﹣5，﹣1），在平面直角坐标系中标出点C的位置，连接AB、BC、CA．
（3）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（4）直接写出△ABC是何特殊的三角形．
40．（2022下·河北石家庄·八年级校考期中）下面的图象记录了某地1月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题．
（1）20时的温度是__℃，最暖和的时刻是___时，温度是0℃的时刻是___时，温度在﹣3℃以下的持续时间为______h．
（2）你从图象中还能获取哪些信息（写出2条即可）．
41．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的四个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点B，C的坐标分别为和．
(1)若点经平移后对应点为，将正方形ABCD作同样的平移得到正方形，画出平移后的正方形，并直接写出点的坐标；
(2)正方形ABCD的面积是______，正方形ABCD的边长是______；
(3)直接写出点B到的距离．
42．（2022下·福建福州·七年级统考期中）如图，把三角形ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′，其中点A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点．
(1)在图中画出三角形A'B′C'，并直接写出点B的坐标： ；
(2)若BC边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（m，n），用含有m，n的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可）
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
43．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB直接平移到MN，使点A移至点M的位置，点B移至点N的位置，设平移过程中线段AB扫过的面积为S．
（1）如图1，若点N的坐标是(3，1)，则点M的坐标为 ，请画出平移后的线段MN；
（2）如图2，若点M的坐标是(3，1)，画出平移后的线段MN并求出S的值；
（3）若S＝2.5，且点M在x轴上，请直接写出满足条件的M点的坐标．
44．（2022上·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 …
(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的____________；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是____________．（直接写出答案）
45．（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），的三个顶点均为格点，将沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：
(1)画出平移后的，并直接写出点，，的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
46．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）已知，请写出、的坐标：（______，______），（______，______）；
（2）将先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得，请画出平移后的，则点的对应点的坐标为：（______，______）；
（3）若的面积为3，则满足条件的格点有______个．
47．（2022上·广东云浮·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒．
(1)当点在线段上时，________；当点在线段的延长线上时，________；（用含的式子表示）
(2)连接，若的面积为3，求的值；
(3)过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，当点在运动过程中，是否存在这样点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
48．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考期末）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；
0 2 4 6
0
（3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（4）已知函数的图象如图所示，与的图象两交点的坐标分别是，，，，结合你画的函数图象，直接写出的解集．
49．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考三模）【定义】在平面直角坐标系中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．
【运用】已知点M的坐标为，点P的坐标为．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①， ；②， ；③，．
(2)如果四边形是点M，P的“阳光菱形”，点N在下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线与折线有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．
50．（2022上·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：若图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤1，则称点P为图形M的和谐点．已在点A(3，3)，B( 3，3)．
(1)在点( 2，2)， (0，3.5)， (4，0)中，直线AB的和谐点是 ；
(2)点P在直线y=x 1上，若点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；
(3)已知点C( 3， 3)，D(3， 3)，若直线y=x+b上存在正方形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是正方形ABCD的和谐点，且EF>，直接写出b的取值范围 ．
【能力提升】
51．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
(1)已知点A的坐标为．
①在点中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
(2)已知点C的坐标为，点D的坐标为，连接，点M为线段CD上一点，过点作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
52．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐 系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
53．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）平面直角坐标系中，等边的顶点A在轴正半轴上，顶点B、C都在轴上，给出如下定义：若点P为轴上一点，且点P与的一个顶点的距离恰好等于的边长，则称点P为的友好点，这个距离称为点P和的友好距离，记作．
(1)若点P和的友好距离，写出的顶点B的坐标______，顶点C的坐标______；
(2)如图，等边的顶点B坐标为，顶点C坐标为．
①在，，中，的友好点是______；
②已知点E坐标为，点F坐标为，若线段上恰有两个的友好点，直接写出的取值范围是______．
54．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
(1)当时，
①如果点的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________；
②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么整数k的最大值为______；
(2)已知在中，，，，．若，且在的边上存在点的4倍关联点Q，求b的取值范围．
55．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为．
①则点A的“长距”是 ．
②在点，，中，为点A的“等距点”的是______；
③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______；
(2)若，两点为“等距点”，求k的值．
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专题01 平面直角坐标系与函数概念（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·重庆·模拟预测）下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（ ）
A．y＝x﹣1 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】D
【分析】根据分式的概念，二次根式的概念进行判别即可．
【详解】解：A、自变量x取任意实数，故A选项错误，不符合题意；
B、x﹣1≠0，解得x≠1，故B选项错误，不符合题意；
C、x﹣1≥0，解得x≥1，故C选项错误，不符合题意；
D、x﹣1＞0，解得x＞1，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查分式的概念、二次根式的概念，解题的关键是掌握分式的概念、二次根式的概念．
2．（2022下·全国·九年级专题练习）如图所示，下列各曲线中表示是的函数的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由题意依据函数的定义对各个函数图形进行分析判断即可得出答案.
【详解】解：由对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应可知，
①、②、③表示是的函数，④不构成函数关系，共有3个.
故选：C．
【点睛】本题考查函数的识别，注意掌握在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.
3．（2022下·辽宁大连·八年级统考期末）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率（圆周长与半径之比）为π．则这个问题的变量是（ ）
A．π B．r C．C D．r，C
【答案】D
【分析】根据函数的定义：在一个变化的过程中，函数中的每个变量x的值，变量y按照一定的法则有一个确定的值与之对应，在这个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量，来解答．
【详解】根据函数的定义：函数中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，可知自变量是圆的半径r，因变量是圆的周长C．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的定义，熟知函数的定义是解题的关键．
4．（2022上·江西抚州·八年级统考期末）2021年10月16日神舟十三号飞船在甘肃酒泉发射升空，在太空驻留183天后于2022年4月16日返回地球，下列描述能确定飞船着陆位置的是（ ）
A．内蒙古中部 B．酒泉卫星发射中心东北方向处
C．东经 D．北纬
【答案】B
【分析】根据位置的表示法，直接判断即可．
【详解】ACD描述的并非具体位置，B点描述的是具体位置，
故选B．
【点睛】本题考查了用语言描述具体位置，描述的位置必须具体．
5．（2022下·福建泉州·八年级校联考期中）函数的自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的分母不等于即可得出答案．
【详解】解：函数的自变量的取值范围是，
故选：．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
6．（2022上·四川成都·八年级校考期中）若点在第二象限，点到轴的距离是7，到轴的距离是3，点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】∵点在第二象限，
∴，，
∵点到轴的距离是7，
∴，
∴，
∵点到轴的距离是3，
∴，
∴，
∴点的坐标是．
故选C．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
7．（2022上·河南郑州·八年级郑州四中校考开学考试）下列四个命题中，正确的个数有( )
①数轴上的点和有理数是一一对应的：②估计的值在4和5之间；③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5；④在平面直角坐标系中点(2，-3)关于x轴对称的点的坐标是(2，3)：
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】利用实数的性质、勾股定理、对称点的坐标及无理数的估算分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：①数轴上的点和实数是一一对应的，故错误，是假命题；
②5＜＜6，估计的值在5和6之间，故错误，是假命题；
③Rt△ABC中，已知两边长分别是3和4，则第三条边长为5或，故错误，是假命题；
④在平面直角坐标系中点（2，-3）关于x轴对称的点的坐标是（2，3），故正确，是真命题；
故选A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解实数的性质、无理数的估算、勾股定理、关于对称轴的点的坐标，难度不大．
8．（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）下列各图中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的定义：“在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量”．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：A、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
B、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意；
C、对于每一个x的值，不都是有唯一一个y值与其对应，有时有多个y值相对应，所以y不是x的函数，故本选项符合题意；
D、对于每一个x的值，都有唯一一个y值与其对应，所以y是x的函数，故本选项不符合题意．
故选：C．
9．（2022下·广东东莞·七年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点，轴，且，则点的坐标为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】线段轴，、两点纵坐标相等，又，点可能在点左边或者右边，根据距离确定点坐标．
【详解】解：∵轴，点，
∴、两点纵坐标都为，
又∵，
∴当点在点左边时，，
当点在点右边时，．
∴点的坐标为或．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行于轴的直线上的点纵坐标相等的特征，再根据两点相对的位置及两点距离确定点的坐标．正确理解和掌握平行于轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
10．（2022下·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，在边长为1的正方形ABCD的边上有一动点P沿A→D→C→B→A运动一周，则P的纵坐标y与P点走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将动点P的运动过程划分为AD、DC、CB、BA共4个阶段，分别进行分析，最后得出结论．
【详解】解：动点P运动过程中：
①当0≤s≤1时，动点P在线段AD上运动，此时y＝2保持不变；
②当1＜s≤2时，动点P在线段DC上运动，此时y由2到1逐渐减少；
③当2＜s≤3时，动点P在线段CB上运动，此时y＝1保持不变；
④当3＜s≤4时，动点P在线段BA上运动，此时y由1到2逐渐增大；
结合函数图象，只有A选项符合要求．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象问题，解决问题的关键是分解函数得出不同位置时的函数关系，进而得出图象．
11．（2022下·重庆·七年级重庆巴蜀中学校考期中）平面直角坐标系中，A点的坐标是（3，1），若轴，且B点在A点右侧，当时，B点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，得出点的纵坐标与点的纵坐标相同，再根据，点在点右侧，得出．
【详解】解：轴，
点的纵坐标与点的纵坐标相同是1，
，点在点右侧，
，
故选：A．
【点睛】本题考查坐标与图形性质，解题的关键是掌握平行于轴的直线上所有点的纵坐标相同．
12．（2022上·八年级课时练习）某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校．下图描述了他上学的情景，下列说法中正确的是（ ）
A．修车时间为15分钟 B．学校离家的距离为1000米
C．到达学校共用时间为10分钟 D．自行车发生故障时离家距离为1000米
【答案】D
【分析】根据横轴表示时间，纵轴表示离家距离来判断即可．
【详解】A：修车时，离家距离不变，即时长为5分钟，故错误，不符合题意；
B：学校距离家有2000米，故错误，不符合题意；
C：横轴上总共用了20分钟，故错误，不符合题意；
D：发生故障时，离家距离不变，离家有1000米，故正确，符合题意．
【点睛】本题考查利用函数图像解决实际问题，正确理解函数图像的意义，理解问题过程是解题关键．
13．（2023上·安徽合肥·八年级期中）如图，正方形的边长为4，点P为正方形边上一动点，若点P从点A出发沿A→D→C→B→A匀速运动一周．设点P走过的路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分点P在边上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出y与x的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：①点P在边上时，A、D、P共线，不能构成三角形，；
②点P在边上时，点P到的距离为，
；
③点P在边上时，点P到的距离不变，为4，
；
④点P在边上时，点P到的距离为，
；
纵观各选项，只有C选项图象符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据点P运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积y与x的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
14．（2022上·甘肃白银·八年级统考期末）甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，汽车离开城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的有（ ）
①甲车的速度为；②乙车用了到达城；③甲车出发时，乙车追上甲车
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】求出正比函数的解析式，k值的绝对值表示车的速度；横轴上两个时间点的差表示乙走完全程所用时间，求出一次函数的解析式，确定它与正比例函数的交点坐标，横坐标即为二车相遇时间．
【详解】设甲的解析式为y=kx，
∴6k=300,
解得k=50，
∴=50x，
∴甲车的速度为，
∴①正确；
∵乙晚出发2小时，
∴乙车用了5-2=3（h）到达城，
∴②错误；
设，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即甲行驶4小时，乙追上甲，
∴③正确；
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，函数图像，交点坐标的确定，解二元一次方程组，熟练掌握待定系数法，准确求交点的坐标是解题的关键．
15．（2022下·广东汕头·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．若点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，．则点的坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意计算点的坐标，发现规律求解即可．
【详解】解：∵，
根据题意可得，
则有；，
∴；
∵；，
∴；
∵，，
∴；
…
经过计算可得，点A四个一个循环，
∴2022÷4=505余2，
∴与的坐标相同，
∴，
故选：B．
【点睛】题目主要考查点坐标的规律探索，理解题意，找准点的规律是解题关键．
16．（2022上·福建宁德·八年级校考阶段练习）若某点位于轴上方，距轴5个单位长，且位于轴的左边，距轴10个单位长，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】应先判断出点所在的象限，进而利用这个点横纵坐标的绝对值求解．
【详解】解：根据题意，则
∵点位于轴上方，且位于轴的左边，
∴点A在第二象限，
∵点A距轴5个单位长，距轴10个单位长，
∴点A的坐标为；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了点在第二象限时坐标的特点，注意到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
17．（2023下·江西宜春·七年级校联考期末）如图1，四边形中，，，．动点Ｐ从点Ｂ出发沿折线方向以单位秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，的面积与运动时间（秒）的函数图象如图所示，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图1和图2得当时，点到达处，即，当时，点到达点处，即可求解．
【详解】解：当时，点到达处，即；
过点作交于点，如图所示：
，，
，
，
则四边形为长方形，
，
，
，
，
，
当时，点到达点处，则 ，
则，
由勾股定理得，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题，勾股定理的应用、等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，根据题意得出，是解题的关键．
18．（2022下·广西河池·七年级统考期中）如图，长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（ ）
A．（2 ，1） B．（－1，－1）
C．（﹣2，0） D．（2，0）
【答案】B
【分析】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，则物体甲与物体乙的路程比为1：2，可得到物体甲和物体乙第一次相遇点为（-1，1）；第二次相遇点为（-1，-1）；第三次相遇点为（2，0）；由此得出规律，即可求解．
【详解】根据题意得：矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，
∴物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
第一次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为 ，此时在BC边相遇，即第一次相遇点为（-1，1）；
第二次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在DE边相遇，即第二次相遇点为（-1，-1）；
第三次相遇物体甲与物体乙运动的路程和为 ，物体甲运动的路程为，物体乙运动的路程为，在A点相遇，即第三次相遇点为（2，0）；
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵ ，
故两个物体运动后的第2021次相遇地点的是：第二次相遇地点，即点（-1，-1）
故选：B
【点睛】本题主要考查了点的变化规律，以及行程问题中的相遇问题，通过计算发现规律就可以解决问题，解题的关键是找出规律每相遇三次，甲乙两物体同时回到原点．
19．（2023下·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，已知菱形的边与轴重合，点，，若固定点，，将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于点，则可得，，由勾股定理求出的长，由四边形是菱形，可得，在图2中再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：过点作轴于点，如图1所示，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
将菱形沿箭头方向推，当点落在轴上时，如图2所示，
∵，，
∴．
∴此时点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
20．（2022·河南新乡·河南师大附中校考三模）如图，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接、，设的长为x，，点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图像，图像最低点的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图1，连接，由对称的性质可得，所以，当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长，根据图2可计算，如图3，作辅助线，构建直角三角形，计算的长可解答．
【详解】解：如图1，连接，，交于F1，
∵在菱形中点A，点C关于对称，
∴，
∴，
当A、F、E三点在同一直线上时，y取最小值，y的最小值为线段的长，
如图2，当时，，
设，则，
∴，
∴，
∴，
由图2知：，
如图3，连接交于G，连接，过点E作于H，
∵四边形是菱形，
∴，，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即图像最低点的纵坐标是．
故选B．
【点睛】本题考查菱形的性质，动点问题的函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
21．（2022·浙江舟山·统考一模）函数的自变量的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据分式中分母不等于0的性质可求解即可．
【详解】解：函数中，分母
即：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟悉相关性质是解题得关键．
22．（2023下·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）已知点到轴的距离为4，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】根据点P到x轴的距离，可确定纵坐标为4或，从而可得答案．
【详解】∵点到x轴的距离为4，
∴或，
∴点P的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了点到坐标轴的距离与点的坐标之间的关系，解题的关键是明确到x轴的距离是纵坐标的绝对值．
23．（2022上·广西南宁·八年级南宁十四中校考开学考试）在来南宁旅游的过程中，小欣发现可以利用平面直角坐标系表示景点的地理位置，在如图的正方形网格中，她以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，如果表示石门森林公园的点坐标为，那么表示广西民族博物馆的点坐标为 ．
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度，进而可确定表示广西民族博物馆的点的坐标．
【详解】解析：解：如图：
由图知，每个小方格表示单位长度，青门山表示原点，则表示广西民族博物馆的点坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点的位置和每个小方格表示的单位长度．
24．（2022下·河南许昌·七年级统考期中）若点在坐标轴上，则b的值为 ．
【答案】﹣2
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于零，可得答案．
【详解】解：由点M（﹣1，b+2）在坐标轴上，得
b+2＝0．
解得b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上点的纵坐标等于零，y轴上点的横坐标为零．
25．（2023上·陕西西安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，若点关于y轴的对称点是，则 ．
【答案】0
【分析】本题考查了点坐标与轴对称变化，根据关于y轴对称的点的坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标变为相反数即可得，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标变换规律是解题关键．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点是，
，
，
，
故答案为：0．
26．（2022下·内蒙古呼和浩特·八年级呼和浩特市实验中学校考期中）在平面直角坐标系中，有，，三点，若D点与A、B、C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标 ．
【答案】或或
【分析】根据题意把，，在平面直角坐标系中表示出来，再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：将点，，在平面直角坐标系表示为如图所示：
则四边形、四边形和四边形为平行四边形，
则点D的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及根据已知求点的坐标，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
27．（2022下·辽宁锦州·七年级统考期中）等腰三角形顶角的度数y是随着底角的度数x的变化而变化的，则y与x的关系式是 ．
【答案】y＝180°﹣2x
【分析】等腰三角形的两个底角相等，根据内角和定理，y+2x=180°，可得到y与x的关系式．
【详解】解：∵y+2x=180°，
∴y=180°-2x．
故答案为：y=180°-2x．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理及列函数关系式，关键就是利用内角和得到关系式．
28．（2023上·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，将顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应．如果，．请回答：
（1）点的坐标为 ．
（2）点经过的路径的长度为 ．（友情提示：已经有）
【答案】 2
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可得到点的坐标；
（2）由旋转的性质可得，，再由弧长公式进行计算即可得到答案．
【详解】解：（1）根据题意画出图如图所示：
，
，
的坐标为，的坐标为，
故答案为：；
（2）由旋转的性质可得：，，
点经过的路径的长度，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、旋转的性质、利用弧长公式进行计算，熟练掌握旋转的性质以及弧长公式是解题的关键．
29．（2022上·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，点A为反比例函数图象上一动点，连接，过点O作，，若点A的横坐标为m，对点B的坐标为 （用含m，n的代数式表示）．
【答案】
【分析】作轴于点C，轴于点D，证明，可得，根据可得，由点A的横坐标为m，得A的坐标为，根据，得，即可得点B的坐标为．
【详解】解：如图，作轴于点C，轴于点D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵点A为反比例函数图象上，且点A的横坐标为m，
∴，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数和k的几何意义、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质和待定系数法确定反比例函数解析式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．
30．（2022下·北京东城·七年级校考期中）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（﹣y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，A3的伴随点为A4…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…，若点A1的坐标为（3，1），则点A3的坐标为 ；若点A1的坐标为（a，b），且a，b均为整数，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则点A1的坐标为 ．
【答案】 （﹣3，1） （0，1）
【分析】（1）根据“伴随点”的定义依次求出， ；（2）再写出点A1（a，b）的“伴随点”，然后根据x轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：∵A1的坐标为（3，1），
∴A2的横坐标为﹣1+1＝0，纵坐标为3+1＝4，
∴A2（0，4），
∴A3的横坐标为﹣4+1＝﹣3，纵坐标为0+1＝1，
∴A3（﹣3，1），
故答案为：（﹣3，1）；
（2）解∵点A1的坐标为（a，b），
∴A2（﹣b+1，a+1），A3（﹣a，﹣b+2），A4（b﹣1，﹣a+1），A5（a，b），
…，
依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，
∵对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，
，，
解得﹣1
∵a，b均为整数，
∴a＝0，b＝1，
∴A1的坐标为（0，1），
故答案为（0，1）．
【点睛】本题考查对新定义的理解和运用，以及考察解不等式组，能够对新定义的快速理解和运用是解决本题的关键．
31．（2022下·安徽合肥·八年级统考期末）如图．在正方形的边上有一点，连接．点从正方形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点．图是点运动时，的面积随时间变化的函数图象．
（1）正方形的边长为 ．
（2）当时，的值为 ．
【答案】
【分析】（1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P、D重合，y＝AD AB＝8，即可求解；
（2）先抓住关键点，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P、C重合，y＝EC AB＝6，得EC＝3，根据图象分析当x＝7时，点P在CD上，且PD＝3，再求△APE的面积．
【详解】解：（1）设正方形的边长为a，
由图象可知，当P、D重合时，△APE的面积为8，
∴y＝AD AB＝8，
∴a2＝8，
解得：a＝4（ 4舍去），
∴正方形的边长为4，
故答案为：4；
（2）当点在点时，，
解得：，即，，
当x＝7时，点P在CD边上，如图，
y＝S正方形ABCD S△ABE S△PEC S△APD
＝4×4 ×4×1 ×3×1 ×4×3＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解．
32．（2023下·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，如果以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，那么点的坐标是 ．
【答案】
【分析】先由，，证明轴，，再由以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，证明，轴，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：，，
∴轴，，
以，，，为顶点的四边形为平行四边形，且点在第三象限，
，，
∴轴，
，
点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查图形与坐标、平行四边形的判定等知识，由，证明轴，是解题的关键．
33．（2022上·四川成都·九年级统考期末）如图，将已知抛物线向右平移2个单位得到抛物线的图象，则阴影部分（抛物线向右平移时在x轴下方扫过的部分）的面积为 ．
【答案】6
【分析】连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，根据解析式得到BE=3，即可求出．
【详解】如图，连接AB，CD，作BE⊥x轴于E，
由题意知：四边形ABCD是平行四边形，且，
∵，
∴点B坐标为（-1，-3），
∴BE=3，
∵AD=2，
∴，
故答案为：6．
．
【点睛】此题考查抛物线平移的性质，平行四边形的性质，点到坐标轴的距离，将不规则图形转化为规则图形进行计算是解题的关键．
34．（2022下·江西宜春·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点O为原点，点，，点M从点O出发，沿平行四边形的边逆时针运动一周回到点O，当为等腰三角形时，点M的坐标为 ．
【答案】（4 ，0）或（2，2）或（6 ，2）或（4，2）
【分析】过点B作BD⊥OA于点D，求出AB的长，分四种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
【详解】解：过点B作BD⊥OA于点D，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴BC∥OA，
∴∠B＝∠BAD＝45°，
∴BD＝AD，
∵B（6，2），
∴BD＝2，OD＝6，
∴OA＝4，
∴AB＝，
若M在OA上，AB＝AM＝，
∴OM＝4 ，
∴M（4 ，0），
若M在OC上，且AM＝AB，此时点M与C重合，
∴M（2，2），
若M在BC上，AB＝BM＝，
∴M（6 ，2），
若M在BC上，AM＝BM＝2时，
∴M（4，2），
综上所述，点M的坐标为（4 ，0）或（2，2）或（6 ，2）或（4，2）．
故答案为：（4 ，0）或（2，2）或（6 ，2）或（4，2）．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的性质，正确进行分类是解题的关键．
35．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，，，以点为圆心，长为半径作圆，交轴正半轴于点，点D为上一动点，连接，以为边，在直线的上方作正方形，点从点出发，按顺时针方向以每秒个单位长度的速度在上运动，则第2022秒结束时点的坐标为
【答案】
【分析】先根据点的运动速度求出第2022秒结束时点的位置，再画出图形（见解析），证出，利用全等三角形的性质求出，的长，由此即可得．
【详解】解：∵，，
，
的周长为，
（秒），，
第2022秒结束时和第6秒结束时，点的位置相同，
，
第6秒结束时，点在轴下方的圆弧上，且，
如图，过点作轴于点，连接，则，
设，则，
解得，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
即第2022秒结束时点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点坐标的规律探索、正方形的性质、弧长的计算、三角形全等的判定与性质等知识，解题的关键是正确判断出第2022秒结束时点的位置．
三、解答题
36．（2022下·山东青岛·七年级统考期中）为表彰在“世界地球日，一起爱地球”主题活动中表现优秀的同学，某班需要购买6个书包和若干个文具盒（不少于6个）．某文具超市制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒，多于书包数的文具盒按原价收费；②书包和文具盒均按原价的9折收费．已知每个书包定价为30元，每个文具盒定价为5元．
(1)设需要购买x个文具盒，选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元，请分别写出，与x之间的关系式；
(2)购买多少个文具盒时，两种方案所需费用相同？
【答案】(1)，
(2)24个
【分析】（1）第一种方案购买所需费用等于6个书包的费用与个文具盒的费用之和；第二种方案购买所需费用等于6个书包的费用与个文具盒的费用之和的9折，由此即可得；
（2）求出时，的值即可．
【详解】（1）解：由题意得：，即，
，即．
（2）解：令，则，
解得，符合题意，
答：购买24个文具盒时，两种方案所需费用相同．
【点睛】本题考查了利用关系式表示变量间的关系、一元一次方程的应用，找准等量关系是解题关键．
37．（2022下·北京密云·八年级统考期末）“互联网+”的出现，在一定程度上推动了现代物流业尤其是快递业的发展．小丹打算网购一些物品，并了解到两家快递公司的收费方式．甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品重量每千克6元计价外加包装费10元．设小丹网购物品的重量为x千克（x为正数），根据题意列表：
物品重量（千克） 0.5 1 1.5 2 … x
甲公司费用（y甲元） 20 20 22 a … y甲
乙公司费用（y乙元） 3 16 19 22 … y乙
(1)表格中a的值为 ；
(2)写出y乙与x的函数表达式，并在图中画出y乙的图象；
(3)若小丹网购物品的重量为4千克，如果想节省快递费用，结合函数图象，你认为小丹应选择的快递公司是 ．
【答案】(1)24
(2)y乙=6x+10，（x≥0），画函数图象见解析；
(3)甲
【分析】（1）根据甲公司的收费方式，即可求解；
（2）根据“乙公司的费用=快递重量×单价+包装费用”即可写出y乙与x的函数表达式；
（3）根据函数图象直接回答即可.
【详解】（1）解：根据甲公司：物品重量不超过1千克的，需付费20元，超过1千克的部分按每千克4元计价可知：a=20+（2-1）×4=20+4=24（元）
故答案为：24；
（2）解：由题意得：y乙=6x+10，（x≥0），
画图，如下：
（3）解：由图象可知，网购物品的重量为4千克，y1故答案为：甲.
【点睛】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图象以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据数量关系，找出y乙与x的函数表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出y乙与x的函数图象经过的两点坐标；（3）观察函数图象解决问题．
38．（2022上·全国·八年级专题练习）已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．
（1）若折叠后使点B与点A重合，求D点坐标；(你还能求出点C的坐标？)
（2）若折叠后点B落在边OA上的点为，且使，此时你能否判断出与的位置关系？若能，给出证明，若不能试说出理由 (你能求此时点C的坐标吗？还能…？)
【答案】（1）D(1，2)；（2）平行，见解析
【分析】（1）B与A重叠，则D为AB的中点，故横纵坐标分别为OA、OB的一半；
（2）由于对折，所以△BB'C为等腰三角形，两底角相等；同理△BB'D两底角相等．再由已知推出结论．
【详解】解：（1）如图，
由折叠可得：为的中点，
D（1，2）
（2），理由：如图，
因为，
所以∠CBB'=∠BB'D，
又因为折叠后点B落在边OA上的点为，
所以∠CBB'=∠BBC', ∠DBB'=∠BB'D，
所以∠CBB'=∠DBB'，
所以．
【点睛】本题考查直角坐标系中图形的变化和规律，灵活运用三角形相关知识是本题解题关键．
39．（2022上·辽宁丹东·八年级统考期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、点B在网格中的位置如图所示，
（1）建立适当的平面直角坐标系，使点A、点B的坐标分别为（﹣2，3）、（﹣1，﹣4）．
（2）点C的坐标为（﹣5，﹣1），在平面直角坐标系中标出点C的位置，连接AB、BC、CA．
（3）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（4）直接写出△ABC是何特殊的三角形．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）△ABC是等腰直角三角形．
【分析】（1）首先确定原点的位置，然后再画出直角坐标系即可；
（2）利用直角坐标系确定C点的位置即可；
（3）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点的位置，再连接即可；
（4）利用勾股定理计算出AB、AC、BC的长，然后利用勾股定理逆定理可得答案．
【详解】（1）如图所示；
（2）如图所示；
（3）如图所示：△A1B1C1即为所求；
（4）∵ ， ， ，
∴ ，
，
，
∴ ，BC=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了作图-轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
40．（2022下·河北石家庄·八年级校考期中）下面的图象记录了某地1月份某天的温度随时间变化的情况，请你仔细观察图象后回答下面的问题．
（1）20时的温度是__℃，最暖和的时刻是___时，温度是0℃的时刻是___时，温度在﹣3℃以下的持续时间为______h．
（2）你从图象中还能获取哪些信息（写出2条即可）．
【答案】（1）﹣1，14时，12时和18时，8；（2）答案不唯一；如：①最冷的时刻是4时；②0时的温度是﹣3℃．
【分析】（1）先由图象可知：横轴表示时间、纵轴表示温度；然后根据图象解答即可；
（2）可在图象上寻找具体的时刻相对应的温度或者最值等信息即可．
【详解】解：（1）根据图象得：横轴表示时间、纵轴表示温度；
当时间为20时，温度是-1℃，最暖和的时刻是14时，温度是0℃的时刻是12时和18时，温度在-3℃以下的持续时间为8h．
故填-1，14，12时和18时，8；
（2）可在图象上寻找具体的时刻相对应的温度或者最值等信息：
答案不唯一，如：①最冷的时刻是4时，②0时的温度是-3℃．
【点睛】本题主要考查了函数图象，审清题意、明确图意、找到相应的等量关系是解答本题的关键．
41．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）如图，正方形ABCD的四个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系后，点B，C的坐标分别为和．
(1)若点经平移后对应点为，将正方形ABCD作同样的平移得到正方形，画出平移后的正方形，并直接写出点的坐标；
(2)正方形ABCD的面积是______，正方形ABCD的边长是______；
(3)直接写出点B到的距离．
【答案】(1)详见解析，
(2)25，5
(3)7.4
【分析】（1）由点B，C的坐标分别为和可建立坐标系，然后由点经平移后对应点为可知图形的平移方式为向右平移3个单位长度，进而问题可求解；
（2）根据格点可进行求解正方形的面积，然后边长可求解；
（3）延长交于点．利用面积法求出，可得结论．
【详解】（1）解：由点B，C的坐标分别为和可建立如下坐标系，由点经平移后对应点为可知图形的平移方式为向右平移3个单位长度，如图所示，
∴；
（2）解：由（1）图可知：正方形的面积是，则正方形的边长是5；
故答案为：25，5；
（3）解：延长交于点．
∴在△中，，
，
，
∴点到的距离．
【点睛】本题考查作图平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
42．（2022下·福建福州·七年级统考期中）如图，把三角形ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′，其中点A′、B′、C′分别为A、B、C的对应点．
(1)在图中画出三角形A'B′C'，并直接写出点B的坐标： ；
(2)若BC边上一点P经过上述平移后的对应点为P′（m，n），用含有m，n的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可）
(3)求出三角形A′B′C′的面积．
【答案】(1)（﹣5，2）
(2)点P的坐标为（m﹣3，n﹣4）
(3)S三角形A′B′C′
【分析】（1）根据平移的性质作出三角形A'B'C'，根据平面直角坐标系写出点B的坐标；
（2）根据平移的性质写出点P的坐标；
（3）根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】（1）（1）平移后的三角形A'B'C'如图所示，
由平面直角坐标系可知：点B的坐标为（﹣5，2），
故答案为：（﹣5，2）；
（2）∵点P平移后的对应点为P′（m，n），三角形ABC向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′，
∴点P的坐标为（m﹣3，n﹣4）；
（3）过点B'作A'C'的垂线B'D交直线A'C'于D，
则B'D＝5，A'C'＝5，
∴S三角形A′B′C′5×5．
【点睛】本题考查的是平移的性质、三角形的面积计算，掌握平移规律是解题的关键．
43．（2022下·河北唐山·七年级统考期中）如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段AB直接平移到MN，使点A移至点M的位置，点B移至点N的位置，设平移过程中线段AB扫过的面积为S．
（1）如图1，若点N的坐标是(3，1)，则点M的坐标为 ，请画出平移后的线段MN；
（2）如图2，若点M的坐标是(3，1)，画出平移后的线段MN并求出S的值；
（3）若S＝2.5，且点M在x轴上，请直接写出满足条件的M点的坐标．
【答案】（1）（5，0），画图见解析；（2）画图见解析，S=3；（3）（4.5，0）或（-0.5，0）
【分析】（1）根据平移的性质作出图形即可．
（2）根据平移的性质作出图形即可，利用割补法求解即可．
（3）根据S=2.5求出扫过的平行四边形的底，从而可得点M坐标．
【详解】解：（1）如图，M（5，0），线段MN即为所求．
（2）如图，线段MN即为所求．S=2×3-2××1×1-2××1×2=3，
（3）由题意：2.5÷1=2.5，
∵A（2，0），
∴当M在x轴上时，M（4.5，0）或（-0.5，0），
【点睛】本题考查作图平移变换，平行四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
44．（2022上·福建泉州·九年级泉州五中校考期中）小明用“描点法”画二次函数的图象，列表如下：
x … 0 1 2 …
y … 5 0 0 …
(1)由于粗心，小明算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的____________；
(2)在图中画出这个二次函数的图象；
(3)当时，y的取值范围是____________．（直接写出答案）
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）认真观察表格中的数据，根据抛物线的对称性，纵坐标相等的两个点，是抛物线上的两个对称点，从而寻找对称轴和顶点坐标，设抛物线的顶点式，求解析式，再逐一检验；
（2）利用描点、连线，画出函数图象即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：从表格可以看出，当或时，，
可以判断，是抛物线上的两个对称点，
就是顶点，设抛物线顶点式，
把代入解析式，，解得，
所以，抛物线解析式为，
当时，，
当时，，
所以这个错算的值所对应的，
故答案为：2；
（2）解：画出这个二次函数的图象如图：
（3）解：由图象可知：当时，随着增大而减小，
当时，随着增大而增大，
当时，取到最小值，
当时，，
当时，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找对称点，顶点坐标及对称轴，与轴轴）的交点，确定二次函数的解析式是解题的关键．
45．（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），的三个顶点均为格点，将沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：
(1)画出平移后的，并直接写出点，，的坐标；
(2)连接，，求四边形的面积．
【答案】(1)画图见解析，， ，
(2)25
【分析】（1）由题意直接根据图形平移的性质画出，并写出各点坐标即可；
（2）由题意可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
，
观察图象可知点、、的坐标分别为：， ，．
（2）解：如图，
∵将沿x轴向左平移5个单位长度得到，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
又高，
∴平行四边形的面积．
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，平行四边形的判定等，熟练掌握图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
46．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上．
（1）已知，请写出、的坐标：（______，______），（______，______）；
（2）将先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得，请画出平移后的，则点的对应点的坐标为：（______，______）；
（3）若的面积为3，则满足条件的格点有______个．
【答案】（1）-5；1；-2；0；（2）见解析；1；4；（3）10
【分析】（1）根据点在平面直角坐标系的位置直接写出坐标即可；
（2）分别确定平移后的对称点 再顺次连接即可，再根据的位置写出坐标即可；
（3）如图，由的面积都等于 所以分别过作的平行线，可得到与网格线交于格点的数量，从而可得答案.
【详解】解：（1）由点在平面直角坐标系的位置可得：，
（2）如图，即为所求作的三角形，且
（3）如图，由的面积都等于
所以分别过作的平行线，得到与网格线相交于个格点，
当的面积为3，则满足条件的格点有个.
【点睛】本题考查的是坐标与图形，平移的作图，网格图中等面积的三角形的特点，掌握以上知识是解题的关键.
47．（2022上·广东云浮·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，两点的坐标分别为，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动，设点的运动时间为秒．
(1)当点在线段上时，________；当点在线段的延长线上时，________；（用含的式子表示）
(2)连接，若的面积为3，求的值；
(3)过点作直线的垂线，垂足为，直线与轴交于点，当点在运动过程中，是否存在这样点，使与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)3或7
(3)存在，2或8
【分析】（1）根据题意，点在线段上时，，点在线段的延长线上时，，即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据三角形面积公式列出方程，解方程即可求解；
（3）根据全等三角形的性质，分类讨论，根据全等的性质列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，，当点在线段上时，
当点在线段的延长线上时，当点在线段的延长线上时，；
故答案为：，；
（2）当点在线段上时，
．
解得．
当点在线段的延长线上时，
．
解得．
∴当或时，的面积为3．
（3）存在点使与全等．
当点在线段上时，如图①．
∵，直线与轴交于点，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴当时，．
∴．解得．
当点在线段的延长线上时，如图②．
同上可得，．
∴当时，．
∴．
解得．
∴当或时，．
【点睛】本题考查了坐标与图形，列代数式，一元一次方程的应用，全等三角形的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
48．（2022上·辽宁抚顺·九年级统考期末）在函数学习中，我们经历了“确定函数表达式利用函数图象研究其性质运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时我们也学习了绝对值的意义，结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数中，当时，；时，．
（1）求这个函数的表达式；
（2）用列表描点的方法画出该函数的图象；请你先把下面的表格补充完整，然后在下图所给的坐标系中画出该函数的图象；
0 2 4 6
0
（3）观察这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（4）已知函数的图象如图所示，与的图象两交点的坐标分别是，，，，结合你画的函数图象，直接写出的解集．
【答案】（1）（2）见解析（3）函数关于直线对称（4）
【分析】（1）根据在函数中，当时，；时，，可以求得该函数的表达式；
（2）根据表格数据以及（1）中的数据求出当和时y的值，然后描点连线即可；
（3）根据图像得出图像性质即可；
（4）根据函数图像写出的图像在的图像下方时所对应的自变量取值范围即可．
【详解】解：（1）在函数中，
当时，；时，，
，
解得：，
这个函数的解析式为：；
（2）函数解析式为：，
当时，，
当时，，
故补全表格如下：
0 2 4 6
1 0 -1
描点、连线，画出函数图像如图：
（3）观察函数图像，得出函数的性质：
①函数关于直线对称；
②函数有最小值-3；
③函数在时，y随x增大而减小，
在时，y随x增大而增大；
任意写一条即可；
（4）图象两交点的坐标分别是，，，，
由图像可知，的解集为：
．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
49．（2022·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考三模）【定义】在平面直角坐标系中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线上，那么称该菱形为点A，C的“阳光菱形”，如图是点A，C的“阳光菱形”的一个示意图．
【运用】已知点M的坐标为，点P的坐标为．
(1)下列各组点，能与点M，P形成“阳光菱形”的是______．（直接填写序号）
①， ；②， ；③，．
(2)如果四边形是点M，P的“阳光菱形”，点N在下方，且面积为16．
①求点N、点Q的坐标；
②如果直线与折线有唯一公共点，直接写出满足条件的k的取值范围．
【答案】(1)①
(2)①点N的坐标为，Q的坐标为②或或
【分析】（1）根据“阳光菱形”的定义进行判断即可．
（2）①求出，根据四边形的面积为16，求出，得出，，作直线，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交直线于点，求出，，得出点在直线上，设，根据，解得：（舍去）或，得出点N的坐标为，根据中点坐标求出点；
②根据直线总是经过，求出当直线经过点M时，；当直线经过点P时，，当直线经过点N时， ；结合图象得出k的范围即可．
【详解】（1）解：∵点M的坐标为，点P的坐标为都在直线上，
∴为“阳光菱形”的对角线，
∴另外两个点的中点坐标与的中点重合，
∵，的中点为，且，
，
，
，
∴，
∴四边形是菱形，
故点E、F能与点M，P形成“阳光菱形”，故①正确；
∵，的中点为，
∴点G、H不能与点M，P形成“阳光菱形”，故②错误；
∵，的中点为，
∴I、J不能与点M，P形成“阳光菱形”，故③错误；
故答案为：①．
（2）解：①如图“点M的坐标为，点P的坐标为，
∴，
∵四边形的面积为16，
∴，
即，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，
作直线，交x轴于A，过点N作x轴的平行线交直线于点，
∵，
∴，
∴，
∵M和P在直线上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∵点在直线上，
∴设，
则，
解得：（舍去）或，
则点，故点N的纵坐标为：，
点N的横坐标为：，则点N的坐标为，
∵P、Q的中点E的坐标为，
∴点Q的坐标为：，
即；
②∵直线，当时，，
∴直线总是经过，
当直线经过点M时，，
解得：，
当直线经过点P时，，
解得：，
当直线经过点N时，，
解得：；
∴根据函数图象可知，或或时，直线与折线有唯一公共点．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，两点间距离公式，一次函数的性质，解题的关键是数形结合，理解题意．
50．（2022上·北京海淀·九年级101中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：若图形M上存在点Q，使得0≤PQ≤1，则称点P为图形M的和谐点．已在点A(3，3)，B( 3，3)．
(1)在点( 2，2)， (0，3.5)， (4，0)中，直线AB的和谐点是 ；
(2)点P在直线y=x 1上，若点P是直线AB的和谐点，求点P的横坐标x的取值范围；
(3)已知点C( 3， 3)，D(3， 3)，若直线y=x+b上存在正方形ABCD的和谐点E，F，使得线段EF上的所有点（含端点）都是正方形ABCD的和谐点，且EF>，直接写出b的取值范围 ．
【答案】(1)，
(2)3≤x≤5；
(3)-7＜b＜7
【分析】（1）作出直线AB图象、描出点，，，由和谐点定义结合图象即可；
（2）设出P的坐标，由和谐点的定义，找出直线y=x-1上是直线AB最远距离的和谐点，求出x的临界值，即得x范围；
（3）根据图象结合和谐点的定义找出临界位置的b,再由对称性，写全范围即可．
【详解】（1）解：如图，作出直线AB，由图可知，
到直线AB的距离为3不符合和谐点条件，
，到直线AB的距离分别是1和0.5，符合和谐点条件，
故答案为：，；
（2）解：∵点P为直线y=x-1上一点，P的横坐标为x，
∴P的坐标为（x，x-1），
要使P为直线AB的和谐点，则只需P到直线AB的距离最大为1，
∴|x-1-3|=1，
解得：x=5或3，
∴3≤x≤5；
（3）解：如图，
当b=7时，图中线段EF上的点都是正方形ABCD的和谐点，且EF=，
当直线EF穿过正方形中间时始终存在线段EF，使得它上的点都是正方形ABCD的和谐点，且EF＞，
再由对称性知，
b的范围为-7＜b＜7．
故答案为：-7＜b＜7．
【点睛】本题是函数新定义题，考查了新定义“和谐点”的概念，一次函数图象及平移，正确地理解新定义“和谐点”，画出图象及考虑对称性是本题的关键．
【能力提升】
51．（2024上·北京大兴·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横纵坐标的绝对值之和等于点Q的横纵坐标的绝对值之和，则称P，Q两点为“等和点”．下图中的P，Q两点即为“等和点”．
(1)已知点A的坐标为．
①在点中，与点A为“等和点”的是 （只填字母）；
②若点B在第一象限的角平分线上，且A，B两点为“等和点”，则点B的坐标为 ．
(2)已知点C的坐标为，点D的坐标为，连接，点M为线段CD上一点，过点作x轴的垂线l，若垂线l上存在点M的“等和点”，求n的取值范围．
【答案】(1)①、W；②
(2)
【分析】（1）①由“等和点”的定义进行判断即可；
②由“等和点”的定义可求解；
（2）先求出直线的解析式为，设点M的坐标为，求出，设直线l上任意一点的坐标为，根据“等和点”的定义得出，根据，得出，即可求出n的取值范围．
【详解】（1）解：①点A的坐标为，
，
点，
，，，
与点A是“等和点”的是、W，
故答案为：、W；
②∵点B在第一象限的角平分线上，
∴设点B的坐标为，
∵A，B两点为“等和点”，
∴，
解得：，
点，
故答案为：；
（2）解：∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵点M在线段上，
∴设点M的坐标为，
∴，
∵过点作x轴的垂线l，
∴设直线l上任意一点的坐标为，
∵直线l上存在点M的“等和点”，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，绝对值的意义，点的坐标规律，理解“等和点”的定义并运用是解题的关键．
52．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐 系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“之立信点”．例如：的“2之立信点”为，即．
(1)点的“3之立信点”的坐标为________．
(2)若点在轴的正半轴上，点的“之立信点”为点，且为等腰直角三角形，求的值；
(3)在（2）的条件下，若关于的分式方程无解，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)或．
【分析】（1）根据点为点P的“之立信点”的定义计算；
（2）根据x轴的正半轴上点的特征、点为点P的“之立信点”的定义计算；
（3）根据分式方程的解法、分式方程无解的概念，分情况计算．
【详解】（1）解：当时，
，
∴点的“3之立信点”的坐标为，
故答案为：；
（2）∵点P在x轴的正半轴上，
．
∴点P的坐标为，
∵点P的“k之立信点”为点，
∴点的坐标为，
时，
为等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为：1；
（3）当时，去分母整理得：，
∵原方程无解，
∴①，即，
②，即，则，；；
综上所述，或．
【点睛】本题考查的是三角形的综合题，等腰直角三角形的概念、分式方程的解法以及分式方程无解的判断，掌握点为点P的“k之立信点”的定义、分式方程的解法是解题的关键．
53．（2023上·北京东城·八年级北京一七一中校考期中）平面直角坐标系中，等边的顶点A在轴正半轴上，顶点B、C都在轴上，给出如下定义：若点P为轴上一点，且点P与的一个顶点的距离恰好等于的边长，则称点P为的友好点，这个距离称为点P和的友好距离，记作．
(1)若点P和的友好距离，写出的顶点B的坐标______，顶点C的坐标______；
(2)如图，等边的顶点B坐标为，顶点C坐标为．
①在，，中，的友好点是______；
②已知点E坐标为，点F坐标为，若线段上恰有两个的友好点，直接写出的取值范围是______．
【答案】(1)
(2)①，②且且
【分析】本题为新定义类型的综合题，考查了等边三角形的性质，平面直角坐标系．
（1）根据新定义的友好距离，得，再由等边三角形的性质即可；
（2）①根据新定义即可判断，② 的友好点分别是点再根据题意列不等式组即可．
本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
【详解】（1）解：点P与的一个顶点的距离恰好等于的边长，且，
，
等边的顶点A在轴正半轴上，顶点B、C都在轴上，
，
，
故答案为：；
（2）解：①等边的顶点B坐标为，顶点C坐标为，
，即，
，，
故，是的友好点．
，
在中，，
，
在中，，
故不是的友好点．
故答案为：，；
②由题意得：的友好点分别是点
，
解得：，
当或时，有三个友好点，
且，
故的取值范围是且且，
故答案为：且且．
54．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P，点M给出如下定义：如果点P与原点O的距离为a，点M与点P的距离是a的k倍（k为整数），那么称点M为点P的“k倍关联点”．
(1)当时，
①如果点的4倍关联点M在x轴上，那么点M的坐标为____________；
②如果点是点的k倍关联点，且满足，，那么整数k的最大值为______；
(2)已知在中，，，，．若，且在的边上存在点的4倍关联点Q，求b的取值范围．
【答案】(1)① 或；②6
(2)或
【分析】（1）①根据的4倍关联点M在x轴上，利用关联的定义求解即可；
②根据点 是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解；
（2）先说明点Q在以为圆心，2为半径的圆上，以点C在x轴下方为例分析，即可得到b的取值范围．
【详解】（1）解：①∵点的坐标为，
∴ 点到原点的距离为，
∴，
∴，
∵点的4倍关联点M在x轴上，
∴点M的横坐标为或，
∴点M的坐标是 或，
故答案为： 或．
②∵点是点的倍关联点，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴整数的最大值是6，
故答案为：6．
（2）解：∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∵点Q为点的4倍关联点，，
∴．
即点Q在以为圆心，4为半径的圆上，
当点C在x轴下方时，如图所示，
由图可知，或，
解得：或；
当点C在x轴上方时，结论相同，
∴b的取值范围是或．
【点睛】此题考查了点的坐标、无理数的估算、一元一次不等式组的解法、直角三角形的性质，读懂题意，数形结合是解题的关键．
55．（2023下·江西赣州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较大值称为点A的“长距”，当点P的“长距”等于点Q的“长距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为．
①则点A的“长距”是 ．
②在点，，中，为点A的“等距点”的是______；
③若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则m的值为______；
(2)若，两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①3；②③或．
(2)的值是或
【分析】（1）①根据定义分别求得点A到x轴，y轴的距离，即可求解；
②求出点E，F，G的“长距”，找到与点A是“等距点”的点；
③根据“等距点”的定义可得点的“长距”是3，从而得到，解方程即可求解；
（2）由于点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，又，为“等距点”，可分两种情况讨论：①若，则，②若，则，解之即可解答．
【详解】（1）①∵点A的坐标为，
∴点A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”是3．
故答案为：3
②∵点的“长距”是3，
点的“长距”是3，
点的“长距”是5，
∴点A的“等距点”是点E，F．
故答案为：E，F
③∵点A，B两点为“等距点”，且，
∴，
解得或．
故答案为：或
（2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为1，
点到x轴的距离为，到y轴的距离为4，
又，为“等距点”，
∴①若，则，
解得（舍去）或．
②若，则，
解得或（舍去）
综上所述，或．
【点睛】本题考查点到坐标轴的距离，绝对值方程，理解定义，分类讨论是解题的关键．
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