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专题01 平面直角坐标系与函数概念
考点类型
考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：（2022下·河北邯郸·七年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°） B．（75°，4） C．（4，90°） D．（4，60°）
考点2：求点的坐标
典例2：（2023上·四川德阳·八年级统考期中）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【变式1】（2022上·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点3：判断点所在的象限
典例3：（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式2】（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点4：象限点的应用——含参 ☆☆☆☆
典例4：（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·山东德州·七年级校考期中）已知点在第四象限，化简（ ）
A．8 B．2a C．2 D．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且Q在第四象限，它到x轴的距离为5，则Q关于y轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校中学部校考期中）已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．或
考点5：坐标与图形
典例5：（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的（不写画法）；
(2)求的面积；
(3)在轴上求作一点，使得的值最小．画出图形，不写画法．
【变式1】（2023上·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
(2)若两点为“等距点”，求k的值．
考点6：坐标规律
典例6：（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，有一系列有规律的点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，，依此规律，点的坐标为 ．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为，，，，…，则顶点的坐标是 ．
考点7：函数的定义
典例7：（2024下·全国·八年级假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【变式1】（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
考点8：函数的关系式
典例8：（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为( )
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，已知，BC边上的高线，动点由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），设的长为x，的面积为S，则S与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
考点9：自变量的取值范围
典例9：（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ．
【变式1】（2022下·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知，求自变量取值范围 ．
【变式2】（2022·湖北襄阳·统考一模）函数自变量x的取值范围是 ．
考点10：函数值计算
典例10：（2022上·上海·八年级校考期中）如果，那么 ．
【变式1】（2022上·浙江杭州·八年级校考期中）若函数，则当函数值时，自变量的值为 ．
考点11：实际问题与函数图像
典例11：（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）金鱼公园是白银市的主要城市公园，是白银市市民和外来游客健身、休闲、娱乐的主要场所．周末小斌在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回千米，再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·福建福州·八年级统考期中）函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
考点12：动点问题
典例12：（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C． D．
【变式1】（2023·广东东莞·校联考二模）如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（ ）
B．
C． D．
专题02 一次函数及其应用
考点类型
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图
【变式1】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
考点2：正比例函数图像性质
典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数图像上，求m的值．
【变式2】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
考点3：一次函数定义及求自变量取值 ☆☆☆☆
典例3：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．0
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数的图象分别交轴，轴于、两点．
(1)求出交点、的坐标；
(2)请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)若点坐标为，求的面积．
【变式1】（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知一次函数，一次函数图象经过点．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
(3)当时，求自变量x的取值范围．
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：（2023上·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知一次函数，当时，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【变式1】（2023上·河南郑州·八年级统考期中）已知一次函数．
(1)为何值时，函数图象经过点？
(2)为何值时，函数图象平行于直线？
(3)直接写出的两个值，使一次函数的值都是随值的增大而减小？
考点6：一次函数的解析式
典例6：（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上有一点，且，求点的坐标
【变式1】（2023上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图1，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)试探究在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点7：一次函数与一次方程
典例7：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
考点8：一次函数与不等式
典例8：（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②，；③不等式的解集是；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1】（2023上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是( )
①关于的方程的解是；
②关于，的方程组的解是；
③关于的不等式的解集是；
④当时，函数的值比函数的值大．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：（2022上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，函数 和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点10：一次函数实际应用
典例10：【分配方案】（2023上·河北石家庄·七年级阶段练习）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）．
(1)根据题意，将表格填写完整．
游泳次数 10 15 20 …
采用方式一付费（元） 250 325 __ …
采用方式二付费（元） 200 __ 400 …
(2)设方式一的总费用为元，方式二的总费用为元，分别用x表示和；
(3)通过计算说明，当和时，分别应选择哪种付费方式较合算？
【变式1】【分配方案】（2023上·山东济南·七年级统考期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣件（）．
(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；
(2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．
【变式2】【最大利润】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
进价（万元/套） 3 2.4
售价（万元/套） 3.3 2.8
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，其中购进种多媒体套（），当把购进的
两种多媒体全部售出，求购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【变式3】【最低费用】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【变式4】【行程问题】（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
考点11：一次函数的性质
典例11：（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，函数图象一定不经过第二象限
D．当时，函数图象经过第一、二、三象限
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点 B．值随着值增大而增大
C．当时， D．它的图像不经过第二象限
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为 B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
【变式3】（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于
C．与轴交于 D．随的增大而减小
专题03 反比例函数及其应用
考点类型
考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）若，两点都在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2023上·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
考点2：反比例函数图像
典例2：（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：（2023·广东广州·统考中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
典例4：（2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·北京朝阳·统考一模）点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．存在，使得
【变式2】（2022下·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知点、、都在反比例函数的图象上，且．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点5：反比例函数k的几何意义 ☆☆☆☆
典例5：（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【变式1】（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式2】（2023下·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( )
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【变式4】（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式5】（2023上·河北石家庄·九年级校考期末）如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式6】（2023下·山东济南·九年级统考开学考试）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点6：求反比例函数解析式
典例6：（2023下·天津河东·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
【变式1】（2023下·山东德州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是 ．
【变式2】（2023下·全国·八年级专题练习）如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝的图象于点B，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝2AC，则m的值是 ．
考点7：反比例函数与一次函数 ☆☆☆☆
典例7：（2023·全国·九年级专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式1】（2023下·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=(m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D的坐标；
(3)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围．
【变式2】（2023上·吉林延边·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：（2023·全国·九年级专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【变式1】（2023下·江苏·八年级专题练习）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
考点9：反比例函数与几何综合
典例9：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－
(1)求点A的横坐标；
(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【变式1】（2023下·江苏·八年级期末）如图，已知点P在反比例函数上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图像于点D．
(1)若点P（2，4），求；
(2)若CD＝1，，求反比例函数解析式．
专题04 二次函数及其应用
考点类型
考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：（2022下·八年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【变式1】（2022上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C． D．
考点2：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例2：（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【变式2】（2022·广东广州·统考一模）若二次函数，当时，，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
考点3：二次函数y=ax +bx+c的图像性质
典例3：（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：（2022·山东菏泽·统考中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022上·九年级单元测试）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．B．C．D．
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
典例6：（2022·广西·统考中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】（2022上·辽宁营口·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A． B．
C． D．
考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022上·吉林长春·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点8：二次函数对称性应用 ☆☆☆☆
典例8：（2022·广东广州·统考中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式1】（2022·辽宁大连·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·陕西咸阳·校考一模）二次函数的图象上有两点，．若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【变式3】（2022上·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考期中）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022·湖北恩施·统考一模）如图，二次函数的对称轴是直线，其图象经过．下列结论：①；②；③；④若和是抛物线上的两点，则当时，；其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式5】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点9：求二次函数解析式
典例9：（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【变式1】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
考点10：二次函数图像的平移
典例10：（2022上·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·安徽合肥·九年级校考期末）若二次函数图像向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度所得函数图像，则h、k的值分别为（ ）
A．3， B．4， C．3，2 D．，
考点11：二次函数图像最值问题 ☆☆☆☆
典例11：（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（ ）
A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5
【变式1】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【变式2】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点12：二次函数与一元二次方程
典例12：（2022上·河北沧州·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【变式1】（2022·湖北荆门·统考中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【变式2】（2022·四川甘孜·统考中考真题）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
考点13：二次函数与不等式
典例13：（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式1】（2023上·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③．
【变式2】（2022下·浙江·九年级期末）已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
考点14：二次函数的实际应用
典例14：（2022上·湖南长沙·九年级校考期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【变式1】（2022·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【变式2】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
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专题01 平面直角坐标系与函数概念
考点类型
知识一遍过
（一）平面直角坐标系中点的坐标特征
（1）各象限点的特征：
第一象限（+，+）；
第二象限（—，+）；
第三象限（一，一）；
第四象限（+，一）．
（2）特殊位置点的特征：
若点P在x轴上，则b=0；
若点P在y轴上，则a=0；
若点P在一、三象限角平分线上，则a=b；
若点P在二、四象限角平分线上，则a+b=0．
（3）坐标的对称点特征
点P（a，b）关于x轴的对称点P’（a，一b）
点P（a，b）关于y轴的对称点P’（一a，b）
点P（a，b）关于原点的对称点P’（一a，一b）．
（4）点P（a，b）、点M（c，d）坐标关系变化
①点P到y轴的距离为，到y轴的距离为．到原点的距离为．
②将点P沿水平方向平移m（m>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿水平向右方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a+m，b）；
点P沿水平向左方向平移m（m>0）个单位后坐标为（a-m，b）；
③将点P沿竖直方向平移n（n>0）个单位后坐标变化情况为：
点P沿竖直方向向上平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b+n）；
点P沿竖直方向向下平移n（n>0）个单位后坐标为（a，b-n）．
④若直线PM平行x轴，则b=d；若直线PM平行y轴，则a=c；
⑤点P到点M的距离：PM=
⑥线段PM的中点坐标：（）
（二）函数及自变量的取值范围
（1）常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．
（2）函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量x、y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么x是自变量，y是x的函数．
（3）函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法．
（4）函数解析式（用来表示函数关系的数学式子叫做解析式）与变自量的取值范围：
（5）描点法画图像的一般步骤：列表、描点、连线
（6）函数自变量取值范围
①函数表达式是整式，自变量的取值是__全体实数__；
②函数表达式是分式，自变量的取值要使得__分母不等于0__；
③函数表达式是偶次根式，自变量的取值要使得__被开方数__为非负数；
④来源于实际问题的函数，自变量的取值要使得实际问题有意义、式子有意义.
函数的有关知识及其图象：
（三）函数图像的分析与判断
分析实际问题判断函数图象的方法：
①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；
②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；
③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.
考点一遍过
考点1：用坐标表示位置
典例1：（2022下·河北邯郸·七年级统考期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标可得出原点的位置，建立起平面直角坐标系， 进而得出答案．
【详解】解：∵表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为，，
∴可得平面直角坐标系如图所示：
∴棋子“炮”的点的坐标为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
【变式1】（2023上·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）若正整数x，y满足，，则这样的正整数对有（ ）对
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】由平方差公式可知，与同为奇数或偶数，将64分为两个偶数的积，分别解方程组即可．
【详解】解：∵，，
∴或，
解得或，
∴满足条件的正整数对的个数是2，
故选：B．
【点睛】本题考查平方差公式的应用、解二元一次方程组，应明确两整数之和与两整数之积的奇偶性相同是解题的关键．
【变式2】（2023下·四川泸州·七年级统考期末）如图是某校的平面示意图，图中小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个主要位置恰好落在整格点，若实验楼的坐标为，校门的坐标为．则图书馆的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系即可解答．
【详解】解：由实验楼的坐标为，校门的坐标为，可建立如图所示坐标系：
则图书馆的坐标是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置并建立直角坐标系是解题关键．
【变式3】（2022下·湖北恩施·七年级统考期中）如图，已知∠AOC=30°，∠BOC=150°，OD平分∠BOA，若点A可表示为（2，30°），点B可表示为（3，150°），则点D可表示为（ ）
A．（4，75°） B．（75°，4） C．（4，90°） D．（4，60°）
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质得出∠AOD=∠BOD=60°，进而得出∠DOC的度数，利用A，B两点坐标得出2，4代表圆环上数字，角度是与CO边的夹角，根据∠DOC的度数，以及所在圆环位置即可得出答案．
【详解】解：∵∠BOC=150°，∠AOC=30°，
∴∠AOB=120°，
∵OD为∠BOA的平分线，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
∴∠DOC=∠AOD+∠AOC=60°+30°=90°，
∵A点可表示为（2，30°），B点可表示为（3，150°），
∴D点可表示为：（4，90°）．
故选：C
【点睛】此题主要考查了点的坐标性质以及角平分线的性质，根据已知得出A点，B点所表示的意义是解决问题的关键．
考点2：求点的坐标
典例2：（2023上·四川达州·八年级校考期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点上，“相”位于点上，则“炮”位于点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】此题主要考查了建立平面直角坐标系，根据“帅”与“相”所在位置的坐标可建立直角坐标系，然后写出“炮”所在位置的点的坐标即可，解题的关键是正确理解平面直角坐标系中，点与有序实数对一一对应．
【点睛】根据“帅”位于点上，“相”位于点上可建立如图的直角坐标系，
，
∴“炮”位于点，
故选：．
【变式1】（2023上·四川德阳·八年级统考期中）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角坐标系中的轴对称问题，根据对称性分情况讨论即可，掌握数形结合的思路是解题的关键．
【详解】解： 当时，和关于轴对称，如下图所示：
∴点的坐标是，
当，过作，过点作，如上图所示，
边上的高与的边上高相等，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
当过作，如上图所示，
边上的高与的边上高相等，
∴，，
∴，
∴点的坐标是，
综上所述，点的坐标是，或，
故选：．
【变式2】（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平面直角坐标系中，如果右眼的坐标是，那么这只“大白”的左眼的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据右眼的坐标是，向左平移一格即可得出点的坐标．
【详解】解： 的坐标是，左移1个单位得到点的坐标
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便．
【变式3】（2022上·陕西宝鸡·八年级统考期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点在轴上，且坐标是，点在轴上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，作辅助线；证明，得到，；求出、的长度，即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作轴于点；
四边形为正方形，
，而，
，
；
在与中，
，
，
，；
由题意得：，而，，
，，，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以坐标与图形的关系、全等三角形的判定及其性质的应用为考查的核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了一定的要求．
考点3：判断点所在的象限
典例3：（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）下列结论正确的是（ ）
A．点在第四象限
B．点在第二象限，且到轴和轴的距离分别为4和3，则点的坐标为
C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么
D．已知点，，则直线轴
【答案】C
【分析】本题考查了点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形，熟练掌握点的坐标特征是解题关键．根据点所在的象限、点到坐标轴的距离、点的坐标与图形的特点逐项判断即可得．
【详解】解：A、点在第二象限，则此项错误，不符合题意；
B、点在第二象限，且到轴和轴的距离分别为4和3，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么，则此项正确，符合题意；
D、已知点，，则直线轴，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2023上·北京·九年级北京八中校考期中）已知二次函数的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】直接根据函数图象，可以判断开口方向，对称轴的位置和抛物线与轴交点位置，
记忆方法：开口向下，，开口向上，，的符号结合对称轴位置即可判定，的符号可直接读取．
【详解】由题可知，抛物线开口向下；
∴；
∵对称轴，结合；
∴；
∵抛物线交轴负半轴；
∴；
∴，；
∴点位于第三象限；
故选
【变式2】（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点，点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据点坐标的轴对称变换可得，再根据横坐标大于0、纵坐标大于0即可得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点，
，
又点的横坐标，纵坐标，
∴点所在的象限是第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了点所在的象限、点坐标的轴对称变换，熟练掌握点坐标的轴对称变换规律是解题关键．
【变式3】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）点满足二元一次方程组的解，则点A在第（ ）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】先解方程组，后根据点的坐标特征，确定位置即可．
【详解】∵，
解得，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了解方程组，点的坐标与象限，熟练掌握解方程组，坐标与象限的关系是解题的关键．
考点4：象限点的应用——含参
典例4：（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）若抛物线的顶点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能够熟练的利用二次函数的顶点式，得到顶点坐标是解题的关键，利用，可得顶点坐标为，根据顶点在第二象限，即可得到的取值范围．
【详解】解：∵，
∴顶点为，
∴顶点在第二象限，
∴，，
∴，
故选：D．
【变式1】（2023下·山东德州·七年级校考期中）已知点在第四象限，化简（ ）
A．8 B．2a C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式组求出a的范围，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
，
∴，
∴，
∴原式
，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练正确求出a的范围，本题属于基础题型．
【变式2】（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知点与点在同一条平行于y轴的直线上，且Q在第四象限，它到x轴的距离为5，则Q关于y轴的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了点的坐标特征，以及点到坐标轴的距离，根据平行于于y轴的直线上的点横坐标相同，得到，再根据点到坐标轴的距离以及点的象限特征，得到，最后利用关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：点与点在同一条平行于y轴的直线上，
，
在第四象限，它到x轴的距离为5，
，
,
关于y轴的对称点坐标为，
故选：D．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级深圳实验学校中学部校考期中）已知P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）
A．2 B．6 C．2或6 D．或
【答案】C
【分析】根据到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程再解方程即可．
【详解】解：∵P点坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
∴或，
解得：或，
故选：C．
【点睛】本题考查了点的坐标，是基础题，列出绝对值方程是解题的关键．
考点5：坐标与图形
典例5：（2023上·辽宁铁岭·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中作出关于轴对称的（不写画法）；
(2)求的面积；
(3)在轴上求作一点，使得的值最小．画出图形，不写画法．
【答案】(1)画图见解析
(2)5
(3)画图见解析
【分析】本题考查作图—轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是：
（1）利用轴对称变换的性质作出A，B，C的对应点，，，再依次连接即可；
（2）利用割补法列式计算；
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）；
（3）如图，连接，交轴于点P即可．
．
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)已知点为轴上一点，若的面积为，求点的坐标；
(3)若是第一象限内以为直角边的等腰直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)点P的坐标为或
(3)点D的坐标或
【分析】本题主要考查轴对称变换，等腰直角三角形的判定，以及三角形的面积：
（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）先确定的高为1，根据面积为，由三角形面积公式可得底边长为3，从而可确定点P的坐标；
（3）先作出以为腰的等腰直角三角形，从而可确定点D的坐标
【详解】（1）如图，即为所作；
（2）如图，点P的坐标为或；
（3）如图，点D的坐标或
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“等距点”的是 ；
②若点B的坐标为，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 ；
(2)若两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)①E、F；②
(2)1或2
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
（1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可；
②先分析出直线上的点到x、y轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行解答即可；
（2）先分析出直线上的点到x、y轴距离中有4的点，再根据“等距点”概念进行解答即可．
【详解】（1）①点到x、y轴的距离中最大值为3，
与A点是“等距点”的点是E、F．
②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有，
这些点中与A符合“等距点”的是．
故答案为①E、F；②；
（2）两点为“等距点”，
①若时，则或
解得（舍去）或．
②若时，则
解得或（舍去）．
根据“等距点”的定义知，或符合题意．
即k的值是1或
【变式3】（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知三点分别是，，．
(1)试在图中作出关于x轴对称的，并写出点坐标；
(2)在图中作出点P，使的值最小，且点P在y轴上．
(3)已知点，且直线轴，求D点的坐标．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了坐标的对称及其作图，线段和最小值的作图，平行坐标轴的点的坐标计算，
（1）根据横不变，纵坐标相反，确定对称点，后依次连接即可．
（2）作出点B关于y轴的对称点M，连接，交y轴于点P，点P即为所求．
（3）根据直线轴，得到，计算即可．
【详解】（1）∵，，．
∴，，．
画图如下：
则即为所求，且．
（2）∵，，．
∴点B关于y轴的对称点，
连接，交y轴于点P，
则点P即为所求．
（3）∵，，直线轴，
∴，
解得．
故点．
考点6：坐标规律
典例6：（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，有一系列有规律的点，它们分别是以O为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，，依此规律，点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律．
根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第20个所在位置即可得出答案．
【详解】解：
数据每隔三个增加一次，得6余2，
故第20个数据坐标一定有7，且正好是3个数据中中间那一个，
依此规律，点的坐标为，
故答案为：．
【变式1】（2023下·七年级课时练习）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与坐标轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次为，，，，…，则顶点的坐标是 ．
【答案】（506，-506）
【解析】略
【变式2】（2023上·黑龙江佳木斯·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边与轴正半轴重合，顶点在轴正半轴上，，将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，每次旋转，那么经过第2023次旋转后，顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，旋转的性质以及旋转引起的坐标变化规律问题，根据正六边形的性质及它在坐标系中的位置，求出点E的坐标，再根据旋转的性质以及旋转的规律求出旋转2023次后顶点E的坐标即可．
【详解】解：延长交x轴于点Q，如图，
在正六边形中，
∴，
∴
∴，
∴，，
∴点E的坐标为，
将正六边形绕坐标原点顺时针旋转，第一次旋转后，点E的坐标为；第二次旋转后，点E的坐标为，第三次旋转后，点E的坐标为，第四次旋转后，点E的坐标为，
由此可得点E每旋转四次即回到原来位置，即四次一循环，
，
所以，正六边形经过第2023次旋转后，点E的坐标为，
故答案为：
【变式3】（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练习）如图，弹性小球从出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第一次碰到正方形的边时的点为，第二次碰到正方形的边时的点为…；第次碰到正方形的边时的点为，则的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是点的坐标、坐标与图形变化-对称，根据轴对称的性质分别写出点的坐标为、 点的坐标、点的坐标、点的坐标，从中找出规律，根据规律解答，正确找出点的坐标的变化规律是解题的关键．
【详解】由题意得，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
故答案为：．
考点7：函数的定义
典例7：（2024下·全国·八年级假期作业）下列是关于变量x，y的关系式：①②；③；④.其中是的函数的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．②④
【答案】B
【解析】略
【变式1】（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考阶段练习）下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的概念即可解答．
【详解】解：由函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数．则只有D选项符合题意
故选：D．
【点睛】题主要考查了函数的概念，在一个变化过程中有两个变量x与y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一本的值与其对应，那么就说y是x的函数．
【变式2】（2022上·山东聊城·九年级统考期末）下列式子：①②③④⑤．其中y是x的函数的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据以下特征进行判断即可：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应．
【详解】解：①，y是x的函数；
②，y不是x的函数；
③，y是x的函数；
④，当x取一个值时，有两个y值与之对应，故y不是x的函数；
⑤．y是x的函数；
所以其中y是x的函数的个数是3，
故选：B
【点睛】本题主要考查的是函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
【变式3】（2022下·山东济南·七年级济南育英中学校联考期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量x(kg)间有下面的关系：
x(kg) 0 1 2 3 4 5
y(cm) 10 10.5 11 11.5 12 12.5
下列说法不正确的是（ ）
A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．物体质量每增加1kg，弹簧长度增加0.5cm
C．所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm D．与的关系表达式是
【答案】D
【分析】由表中的数据进行分析发现与满足一次函数关系，根据图表求出表达式，然后逐个分析四个选项，可得出最终结果．
【详解】根据图表观察与满足一次函数关系，
设，
代入（0,10）和（2,11）两点，
得：，
解得：，
y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，
A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故A选项正确，不符合题意；
B、由图表知，物体质量每增加1kg，弹簧长度y增加0.5cm，故B选项正确，不符合题意；
C、由表达式知，当x= 7时，y = 13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故C选项正确，不符合题意；
D、y与x的关系表达式是y= 0.5x+ 10，D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的概念，属于基础题，能够根据所给的表进行分析变量的值的变化情况，同时求出表达式是解题的关键．
考点8：函数的关系式
典例8：（2023下·天津滨海新·八年级统考期末）若点是x轴上的一个动点，它与x轴上表示3的点的距离是y，则y关于x的函数解析式为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据距离的非负性判断即可．
【详解】根据题意，y关于x的函数解析式为，
故选D．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，距离的非负性，熟练掌握距离的非负性是解题的关键．
【变式1】（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）如图，在中，已知，BC边上的高线，动点由点C沿CB向点B移动（不与点B重合），设的长为x，的面积为S，则S与x之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先设的长为，得出的长为，然后再根据三角形的面积公式列出关系式即可．
【详解】解：设的长为，则的长为，
∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了求函数关系式，根据实际问题确定函数关系式的关键是读懂题意，建立函数的数学模型来解决问题．
【变式2】（2023下·福建厦门·八年级厦门市槟榔中学校考期中）已知两个变量x和y，它们之间的三组对应值如下表所示：
x 0 2
y 3 1
那么y关于x的函数解析式可能是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义以及函数图象上点的坐标特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A．表格中的三组的对应值均满足，因此选项A符合题意；
B．表格中满足，但与不满足，因此选项B不符合题意；
C．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项C不符合题意；
D．表格中的三组的对应值均不满足，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查函数关系式，理解函数的定义以及函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
【变式3】（2023·重庆·统考一模）油箱中存油升，油从油箱中均匀流出，流速为升/分钟，剩余油量（升）与流出时间t（分钟）的函数关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用油箱中存油量减去流出油量等于剩余油量，根据等量关系列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得：流出油量是，
则剩余油量：，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了列函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
考点9：自变量的取值范围
典例9：（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）函数的自变量x的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了函数的自变量、二次根式的被开方数的非负性，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性求解即可得．
【详解】解：，
，
即函数的自变量的取值范围是，
故答案为：．
【变式1】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）函数的定义域是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由，
∴，解得：，
故答案为：．
【变式2】（2022下·湖北武汉·九年级校考自主招生）已知，求自变量取值范围 ．
【答案】且
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0，零指数幂的底数不等于0列式求解即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，考虑被开方数为非负．
【变式3】（2022·湖北襄阳·统考一模）函数自变量x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由分母不为0结合被开方数为非负数可得，再解不等式组即可得到答案．
【详解】解：由题意得：
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
所以函数自变量x的取值范围是
故答案为：
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握“求解函数自变量的取值范围的方法”是解本题的关键．
考点10：函数值计算
典例10：（2023上·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）我们有时会将关于的函数表示为，其中（1）就表示当时的函数值，即．则 ； （结果用含n的代数式表示，其中n为正整数）
【答案】 /0.2
【分析】本题主要考查了数字的变化规律，求函数值，求代数式的值；
（1）将代入求解即可；
（2）根据和时函数值的和，得出算式的规律，然后进行计算即可；
明确和时函数值的和是定值，是本题解题的关键．
【详解】
，
故答案为：；
（2）
，
，
故答案为：．
【变式1】（2022上·上海·八年级校考期中）如果，那么 ．
【答案】
【分析】将代入计算即可得．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数的值、二次根式的分母有理化，熟练掌握求函数值的方法是解题关键．
【变式2】（2022上·浙江杭州·八年级校考期中）若函数，则当函数值时，自变量的值为 ．
【答案】或
【分析】将分别代入函数解析式，求出x的值，然后根据取值范围得出x的值．
【详解】解：当时，则时，
解得：，
∵，
∴；
当时，时，
解得：，符合题意，
∴综上所述：或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查的是求解函数自变量值，属于基础题型．根据取值范围确定自变量的值是解题的关键．
【变式3】（2022上·安徽合肥·八年级校考阶段练习）函数，当函数自变量 时， y = ；当时， x = ．
【答案】 或/或
【分析】根据函数自变量的范围，将代入，根据，分别解方程，结合自变量的取值范围即可求解．
【详解】解：当函数自变量 时，∵
∴，
当时，时，，
解得：或，
当，解得：，舍去
∴或，
故答案为：，或．
【点睛】本题考查了求函数自变量的值或函数值，根据平方根的定义解方程，注意自变量的取值范围是解题的关键．
考点11：实际问题与函数图像
典例11：（2022下·甘肃白银·七年级统考期末）金鱼公园是白银市的主要城市公园，是白银市市民和外来游客健身、休闲、娱乐的主要场所．周末小斌在这个公园里某笔直的道路上骑车游玩，先前进了a千米，休息了一段时间，又原路返回千米，再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据前进时离起点的距离s增加，休息时离起点的距离s不变，返回时离起点的距离s减少，再前进时路程增加，即可求解．
【详解】解：由题意得，离起点的距离s先增加，然后不变，再减少，最后又增加，
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象，理解题意，掌握路程与时间的关系是解题的关键．
【变式1】（2023上·辽宁锦州·八年级统考期中）小明和小张是邻居，某天早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小张比小明晚出发5分钟，乘公共汽车到学校．如图是他们从家到学校已走的路程y（米）和小明所用时间x（分钟）的函数图象．则下列说法中不正确的是（ ）
A．小张乘坐公共汽车后7：48与小明相遇
B．小张到达学校时，小明距离学校400米
C．小明家和学校距离1000米
D．小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为80米/分
【答案】A
【分析】本题考查了函数图象，根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得．
【详解】解：A、小张乘公共汽车的速度为：（米/分），
（分），
故小张乘坐公共汽车后7点48分36秒与小明相遇，故此选项符合题意；
B、小张到达学校时，小明距离学校（米），故此选项不符合题意．
C、由图象可知，小明家和学校距离1000米，故此选项不符合题意；
D、小明吃完早餐后，跑步到学校的速度为：（米/分），故此选项不符合题意；
故选：A．
【变式2】（2022下·福建福州·八年级统考期中）函数的图像大致是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据画图像的基本步骤，画图判断即可．
【详解】∵函数的图像大致是
，
故选C．
【点睛】本题考查了图像的画法，熟练掌握画图像的基本步骤是解题的关键．
【变式3】（2023·黑龙江绥化·统考模拟预测）一段笔直的公路长20千米，途中有一处休息点，长15千米，甲以15千米/时的速度匀速跑至点，原地休息半小时后，再以10千米/小时的速度匀速跑至终点；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点，下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程（千米）与时间（小时）函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别求出甲乙两人到达地的时间，再结合已知条件即可解决问题．
【详解】解；由题意得：甲跑到地所花费的时间为：，甲在地休息的时间为，甲从地跑到地花费的时间为：，总共花费时间为，
乙跑到地所花费的时间为：，
由此可知正确的图象是A，
故选：A．
【点睛】本题考查函数图象，路程、速度、时间之间的关系，解题的关键是理解题意求出两人到达地的时间，属于中考常考题型．
考点12：动点问题
典例12：（2023上·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，四边形是菱形，边长为，．点从点出发，沿方向以每秒个单位长度的速度运动，同时点沿射线的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点运动到达点时，点也立刻停止运动，连接．的面积为，点运动的时间为秒，则能大致反映与之间的函数关系的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．
【详解】解：①当在上时，作，如图所示：
由题知，，
，
，
，则，解得，
故 ，
当时，解得，（取不到），即在对称轴右边有部分图象不是二次函数图象．
②当在上时，即时，，
③当在上不与重合时，作，如图所示：
，，
，
，
则 ．
故选：B．
【变式1】（2023上·河南驻马店·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，于点，点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当在线段上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项错误；
II．当在线段上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图形的性质，矩形的性质；分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
【变式2】（2023·广东东莞·统考一模）如图菱形的边长为，，，动点P，Q同时从点A出发，都以的速度分别沿和的路经向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解，根据题意结合图形，分别求出两个时间段的函数关系式，由抛物线开口方向判断是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
过点B作于H，
∴，
∴，
当时，由题意得，，
∴是等边三角形，
同理可得，
∴
当时，
由菱形的性质可得，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：．
【变式3】（2023·广东东莞·校联考二模）如图，的半径为2，弦垂直直径于点E，且E是的中点，点P从点E出发（点P与点E不重合），沿的路线运动，设，，那么y与x之间的关系图象大致是（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，当点P在线段时，，推出当时，函数图形是反比例函数，当点P在上时，是定值，y是定值，由此即可判断．
【详解】解：连接，如图，
∵弦垂直直径于点E，且E是的中点，，
∴,
又，
∴当点P在线段时，，
∴当时，函数图形是反比例函数，
当点P在上时，是定值，y是定值，
故选：C．
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