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专题02 一次函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数的图象与性质
k，b符号 k＞0 k<0
b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0
大致 图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数中的字母与的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图
【答案】A
【分析】根据可得，则与成一次函数，再根据正方形的面积公式可得，则S与x满足的函数关系是二次函数关系．
【详解】解：由题意得：、 ，
∴与，与满足的函数关系分别为一次函数关系，二次函数关系．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的定义，掌握正方形面积公式和线段的和差是解本题的关键．
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【答案】A
【分析】根据正比例函数定义即可得答案．
【详解】A．根据正方形的周长公式可得，这是一个正比例函数；
B．根据速度路程时间可得，这是一个反比例函数；
C．根据剩下的长度总长减去的长度可得，这是一个一次函数；
D．根据正方体的体积公式，可得，是一个三次函数，不是正比例函数．
故选：A．
【点睛】本题考查正比例函数定义和表达式，掌握其概念是解题关键．
【变式2】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
【答案】C
【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可．
【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意；
、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意；
、当时，该函数为正比例函数，故符合题意；
、当该函数为二次函数时，，故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
【变式3】（2022下·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
【答案】D
【分析】按正比例函数的定义解答，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，叫做正比例函数．
【详解】∵函数，（m ，n是常数）是正比例函数，
∴，
解得，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正比例函数等，解决问题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，解方程或不等式．
考点2：正比例函数图像性质
典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一次函数的图象与性质以及二次函数图象与x轴交点问题．由在正比例函数中，y的值随x值的增大而减小，可得，再令，从而可判断关于x的一元二次方程根的判别式，即可得答案．
【详解】解：∵在正比例函数中，y的值随x值的增大而减小，
∴，
二次函数中，令，得，
关于x的一元二次方程根的判别式，
∵时，，
∴，
∴关于x的一元二次方程根有两个不相等的实数根，即二次函数的图象与x轴有两个交点，
故选：B．
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数图像上，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据y与 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将 ，代入求解即可；
（2）将代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值．
【详解】（1）解：由 与 成正比例可设： ；
将 ，代入得：，
解得：
与的函数解析式为：；
（2）解：将点 代入中得：
解得：．
【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键．
【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）已知是的正比例函数，当时，函数的值等于．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中作出函数图像，若点的图像上，求的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）将点代入（1）中解析式中求解即可．
【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，
∵当时，函数的值等于，
∴，则，
∴正比例函数的解析式为；
（2）解：在直角平面坐标系中作出函数图像，如图，
∵在函数图像上，
∴．
【点睛】本题考查待定系数法求正比例函数解析式、画正比例函数图像、正比例函数图像上点的坐标特征，正确求得正比例函数的解析式是解答的关键．
【变式3】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．数形结合是解题的关键．
如图，由题意知，根据，确定此时的值，然后根据正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，进行作答即可．
【详解】解：如图，
将分别代入，
解得，，，
由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，
∴正比例函数的图象与线段有交点，则或；
故选：D．
考点3：一次函数定义
典例3：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一次函数的定义：形如是常数的函数，叫做一次函数，解答即可．
【详解】①，当时，不是一次函数，故此选项不符合题意；
②，④，是一次函数，故此选项符合题意；
③，⑤，不是一次函数，
故选：B．
【点睛】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，列式求解即可得到答案．
【详解】解：∵是一次函数，
∴，且，解得，
故选：B．
【点睛】本题考查根据一次函数定义求参数，掌握一次函数定义：①含有一个未知数；②未知数最高次数为1次；③整式方程，并且注意，一次项系数不能为，准确列式是解决问题的关键．
【变式2】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握由的符号判断一次函数的增减性是解答的关键．
【详解】解：对于一次函数，
∵，
∴随的增大而减小，
∵当时，，当时，，
∴当时，，
故选：B．
【变式3】（2023下·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．0
【答案】A
【分析】把点代入，得出，将其代入进行计算即可．
【详解】解：把点代入得，
整理得：，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数的图象分别交轴，轴于、两点．
(1)求出交点、的坐标；
(2)请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)若点坐标为，求的面积．
【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）把，分别代入一次函数解析式中，可得点，的坐标；
（）利用两点法画出函数的图象即可；
（）求得直线的解析式，即可求得直线与轴的交点的坐标，然后根据求得即可；
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点坐标的求解方法是解题的关键．
【详解】（1）把，代入中，可得：，
∴点的坐标是；
把代入中，可得：，
∴点的坐标是；
（2）在坐标系里描，两点，连接即可，
∴一次函数的图象如图：
（3）设与轴的交点为，设直线的解析式为，
把代入得，，
解得：，
∴直线为，
令，则，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数满足下表：
… …
… …
(1)画出一次函数的图象；
(2)求出一次函数的关系式；
(3)求当为何值时，，．
【答案】(1)见解析图；
(2)一次函数的关系式为；
(3)当时，时；当时，；当时．
【分析】（）根据列表，描点，连线的方法即可画出图象；
（）利用待定系数法即可求解；
（）根据图象即可求解；
此题考查了一次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握一次函数图象及其应用．
【详解】（1）结合所给表格描点，连线如下：
（2）将，；，代入，得，
解得：
∴一次函数的关系式为；
（3）由图象可知，当时，；
当时，；
当时，．
【变式2】（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知一次函数，一次函数图象经过点．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
(3)当时，求自变量x的取值范围．
【答案】(1)，图象见解析
(2)4
(3)
【分析】（1）将点代入解析式求出k值即可，然后用两点法画出函数图象；
（2）根据一次函数解析式求出与坐标轴的交点坐标，依据三角形面积的计算公式计算即可；
（3）分别求出和时对应的x值，确定满足时自变量x的取值范围即可．
【详解】（1）将点代入解析式得，
，解得，
∴一次函数解析式为：，
当时，；
当时，，
∴一次函数图象是一条直线，且过点图象如下：
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴y随x的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，自变量x的取值范围．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形的性质，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
【变式3】（2023上·重庆开州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点C出发，沿着折线（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到的距离为y个单位长度．
(1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 ．
(3)根据图象直接写出当时t的取值范围： ．
【答案】(1)
(2)图像见详解，时，y随t的增大而增大（或当时y随t的增大而减小）
(3)
【分析】（1）根据“直角三角形中的角所对的边等于斜边的一半”和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可求出, ，．根据M点的运动速度可得M点从C点运动到D点和从D点运动到A点需要的时间．分两种情况讨论：和时分别求出y关于t的函数关系式即可；
（2）根据y关于t的函数关系式画出函数图象即可；
（3）观察图象即可得出当时t的取值范围．
【详解】（1）∵中，，，，
．
∵点D是的中点，
，
．
∵M点的运动速度为每秒1个单位长度，
∴M点从C点运动到D点需要4秒，从D点运动到A点需要4秒．
①如图，当时，
在中，，，
，
即；
②如图，当时，
在中，，，
，
即，
综上，y与t的函数关系式为：．
（2）
如图，y与t的函数图象如图所示，
由图知：当时，y随t的增大而增大，当时y随t的增大而减小．
故答案为：时，y随t的增大而增大（或当时y随t的增大而减小）．
（3）由图知：当时t的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，根据点的运动情况求一次函数的解析式，一次函数图象的性质，分段函数图象的画法，以及运用数形结合法求自变量的取值范围．熟练掌握直角三角形的性质和一次函数的性质是解题的关键．
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：（2023上·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知一次函数，当时，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象的平移．解题的关键是待定系数法求函数解析式．
（1）根据待定系数法解出解析式即可；
（2）把，代入解析式解答即可；
（3）根据一次函数的几何变换得出解析式，再求出交点坐标即可．
【详解】（1）解：把，代入中，
可得：，
解得：，
所以一次函数的解析式为：；
（2）解：把，代入中，
可得：，
解得：；
（3）解：一次函数的图象向上平移7个单位后的解析式为：，
把，代入，得
把代入，得，
∴图象与坐标轴的交点坐标为，
【变式1】（2023上·河南郑州·八年级统考期中）已知一次函数．
(1)为何值时，函数图象经过点？
(2)为何值时，函数图象平行于直线？
(3)直接写出的两个值，使一次函数的值都是随值的增大而减小？
【答案】(1)时，函数图象经过点
(2)时，函数图象平行于直线
(3)k的值为1，0（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质．
（1）把代入函数解析式求解即可；
（2）根据比例系数相同时两条直线平行即可求解；
（3）根据一次函数增减求出k的取值范围即可解答．
【详解】（1）解：因为一次函数图象经过点，
所以，，
解得．
所以时，函数图象经过点．
（2）解：因为函数图象平行于直线，
所以，，
解得
所以时，函数图象平行于直线．
（3）解：因为一次函数的值都是随值的增大而减小，
所以，
所以，
故k的值为1，0（答案不唯一）．
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的解析式；
(2)若正比例函数的图象向上平移个单位长度后经过点．求的值．
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（）先确定的坐标，然后根据待定系数法求解析式，可得到结论；
（）根据题意求得平移后的直线的解析式，把的坐标代入平移后的直线的解析式，即可求得的值；
此题考查了一次函数的图象及其性质和图象平移，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质的应用和图象“左加右减，上加下减”的平移规律．
【详解】（1）∵正比例函数的图象交于点，
∴，解得：，
∴点，
把，坐标代入可得：
，解得：，
∴一次函数的解析式；
（2）∵若正比例函数的图象向上平移个单位长度，
∴平移后解析式为，
把代入可得：，
解得：．
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点．
(1)求直线的解析式；
(2)将直线向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于于点D，交x轴于点E，请求出的面积；
(3)点P为线段上一点，点Q为线段延长线上一点，且，设点Q横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，再由待定系数法即可求的解析式；
（2）由直线的平移可得直线的解析式，进而可得点D、E的坐标，根据三角形的面积公式可得结论．
（3）过点P作，交于E，过点Q作，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴点，
设直线解析式为：，
把，代入得：
，
解得：，
∴直线解析式为：；
（2）解∵将直线向下平移3个单位长度得到直线L，
∴，
令，则，
解得：，
∴，
联立得：，
解得：，
∴，
∴
；
（3）解：如图，过点P作，过点Q作，过点P作交x轴于点E，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点Q横坐标为m，
∴点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，且，
∴，
，，
∴
∴，
∴的面积=四边形的面积的面积=四边形的面积的面积=四边形的面积，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
考点6：一次函数的解析式
典例6：（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上有一点，且，求点的坐标
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴围成的三角形面积问题，熟练掌握待定系数法是解题关键．
（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可确定为底边，为高，进而利用面积公式建立等式求解即可．
【详解】（1）解：（1）设直线的解析式为：，将点，点代入得：，
解得：，
直线的解析式为：；
（2）解：如图，以为底，为高，
，
，，
解得：或，
将代入中得：，
将代入中得：，
点的坐标为或．
【变式1】（2023上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图1，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)试探究在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)12
(3)或或或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形性质和一次函数的性质等．
（1）令求出点A坐标，利用待定系数法即可得直线的函数表达式；
（2）联立直线和直线求出，根据三角形的面积公式即可得出答案；
（3）由点A、P、C的坐标得，，再分、和三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，
∴，
设直线的函数表达式为：，
将、分别代入
得：，
解得：，
直线的函数表达式为：．
（2）联立，
解得：，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积为：．
（3）设点，
由点A、P、C的坐标得∶
，，，
当时，
即，
解得：，
即点P的坐标为：或；
当时，
则，
解得：（舍去）或16，
即点；
当时，
即，
解得：，即点，
综上，点P的坐标为：或或或．
【变式2】（2023上·安徽合肥·九年级期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且的面积为15，求点P的坐标．
【答案】(1),
(2)或．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法，求解反比例函数解析式等知识，
（1）分别将点和点的坐标代入反比例函数解析式中，求出的值，确定出反比例解析式，再将和的坐标代入一次函数解析式中即可求出的值
（2）设直线与轴交于点，根据，求出的长，得出点的坐标，进而得出点的坐标即可．
【详解】（1）将点代入，
可得，则，
再将代入，
可得，则，
∵，
，解得，
，，，
将点和点的坐标代入，
可得，解得，
；
（2）设直线与轴交于点，
，令，解得，
∴，
，，的面积为15，
，
，
，
或．
【变式3】（2023上·浙江·八年级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且．
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的表达式．
【答案】(1)4
(2)，6
(3)
【分析】本题考查了一次函数的图象性质以及待定系数法求一次函数的解析式，勾股定理：
（1）直接利用三角形面积公式，把数值代入计算即可作答；
（2）由（1）知，得到的值，故得到A点坐标，设直线的解析式为，把A点坐标和点C的坐标代入，得出，然后再把点代入，即可作答．
（3）过点P作轴，结合勾股定理，得出的值，结合P点的坐标，运用待定系数法求出直线的表达式，即可作答．
【详解】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：∵，，
∴；
∴
∴
∵
∴
故点A的坐标为；
∴直线的解析式为，
把和代入
得
解得
∴
则当时，；
∴
（3）解：过点P作轴，如图所示：
∵，
则设，
∴
即
解得
∴
∴直线的解析式为，
把和代入，
得
解得
∴
考点7：一次函数与一次方程
典例7：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律、一次函数与一元一次方程的关系．由与可得直线向右平移7个单位得到直线，从而可得直线与轴交点坐标，进而求解．
【详解】解：直线是由直线向右平移7个单位所得，
与轴交点为，
直线与轴交点坐标为，
的解为，
故选：C．
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
【答案】C
【分析】根据图象可直接判断A，B，C，求出与x轴的交点可判断D．
【详解】A．由图象可得直线与的图像交于点，
∴方程的解是，故正确；
B．由图象可知，不等式和不等式的解集相同，都是，故B正确；
C．方程组的解是，故错误；
D．将代入得，
解得，
∴，
将代入得，
解得，
∴时，直线在x轴下方且在直线上方，
∴的解集是，故正确；
故选C．
【点睛】本题考查求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图像的交点坐标与二元一次方程组的关系，利用函数图象解不等式，数形结合是解题的关键．
【变式2】（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，直线与x轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线经过第三象限
C．关于x的方程的解为
D．若，是直线上的两点，若，则
【答案】C
【分析】由直线的图象可知，即可判断A；又可得出，即得出直线经过第一、二、四象限，可判断B；进而由一次函数的性质可判断D；由直线与坐标轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解，可判断C．
【详解】解：由图象可知直线经过第一、二、三象限，且与y轴的交点位于x轴上方，
∴，故A错误，不符合题意；
∵，
∴．
又∵，
∴直线经过第一、二、四象限，故B错误，不符合题意；
∵直线与x轴交于点，
∴关于x的方程的解为，故C正确，符合题意；
∵直线经过第第一、二、四象限，
∴y随x的增大而减小．
∵，
∴，故D错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，由直线与坐标轴交点求方程的解．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
【变式3】（2023上·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：
①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．
其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴交点问题即可判断①②③④，逐项分析、判断即可求解．
【详解】解：①由一次函数的图象与轴点()知，当时，，即方程的解为，故此项正确；
②由一次函数的图象与轴点，当时，，即方程的解为，故此项正确；
③由图象可知，的点都位于轴的下方，即当时，，故此项正确；
④由图象可知，位于第二象限的直线上的点的纵坐标都大于，即当时，，故此项错误，
所以正确的是①②③，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，涉及一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与不等式的关系，解答的关键是会利用数形结合思想解决问题．
考点8：一次函数与不等式
典例8：（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键要能灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况，找到符合题意的那一种．
【详解】解：过的交点作y轴的平行线l，过的交点作y轴的平行线m，
由题意根据一次函数图象的性质可知，符合条件的y的取值如图所示，
∴y的最小值是交点坐标的纵坐标值，
联立两直线解析式：，
解得，
把代入或解析式求得．
故选：C．
【变式1】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②，；③不等式的解集是；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由两条直线的交点求不等式的解集，掌握一次函数的图象与性质并数形结合是解题的关键．
根据由图象与一次函数的性质可判断①②③的正误，由当时，，即，整理后可判断④的正误．
【详解】解：由图象与一次函数的性质可知，对于函数来说，y随x的增大而增大，正确，故①符合要求；
，，正确，故②符合要求；
由图象可知，，即的解集为，正确，故③符合要求；
当时，，即，整理得，，正确，故④符合要求；
故选：D．
【变式2】（2023上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是( )
①关于的方程的解是；
②关于，的方程组的解是；
③关于的不等式的解集是；
④当时，函数的值比函数的值大．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质；图象法解一元一次方程和解二元一次方程组的方法，根据两直线的交点坐标即可判断①②，根据图象即可判断③④．
【详解】解：∵两直线相交于点，
∴方程的解是，
方程组的解是：，
故①②正确；
∵当时，直线在直线的下方，
∴当时，，整理得：，故③错误；
∵当时，直线在直线的上方，
∴当时，函数的值比函数的值大，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④，故C正确．
故选：C．
【变式3】（2023下·广西南宁·八年级南宁三中校考阶段练习）如图，已知直线与相交于点，关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】观察函数图象得到当时，直线都在直线的上方，即不等式 的解集为，然后用数轴表示解集．
【详解】解：当时，，
所以关于的不等式的解集为，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：（2022上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，函数 和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数图象的交点与二元一次方程组的解之间的关系，根据两直线的交点坐标是对应方程组的解即可得出答案，熟练掌握两直线的交点坐标是对应方程组的解是解题的关键．
【详解】解：∵函数 和的图象交于点，点坐标为，
∴的解为，
故选：．
【变式1】（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论：
①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；
②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小；
③方程组与的解相同，都是
④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象性质：根据所经过的象限决定的取值范围，当经过第一、三、二象限，则，当经过第一、三、四象限，则，当经过第二、三、四象限，则，当经过第一、二、四象限，则，据此即可作答．
【详解】解：根据所经过的象限：
得的，则y的值随着x值的增大而增大，故①正确；
得中的，y的值随着x值的增大而减小，故②正确；
∵一次函数，，，的图象相交于点P，
∴方程组与的解相同，都是，故③正确；
∵观察，，，分别与轴的交点的位置，越在上方的b的值越大
∴，故④正确；
∵，，经过第一、三象限，
∴
∵比的倾斜程度大，
∴
∵，经过第二、四象限，
∴
∵比的倾斜程度大，
∴
∴
即，故⑤错误．
故选：C
【变式2】（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为（ ）
A． B． C． D．无解
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，先求出交点纵坐标再根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
【详解】解：如图，
对于，当时，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
把 代入得，，
解得，
∴方程组可变形为，
此时，方程组无解，
故选：D．
【变式3】（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】先求出的值，利用图象法解二元一次方程组和不等式，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵直线与直线相交于点，
∴，
∴，
∴；
∴方程组的解是；故①正确，
不等式的解集为；故②错误；
∵直线与x轴相交于，且随的增大而减小，
∴不等式的解集为，故③错误；
∵过，，
∴，解得：，
∴；故④错误；
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式．熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
考点10：一次函数实际应用
典例10：（2023上·河北石家庄·七年级阶段练习）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）．
(1)根据题意，将表格填写完整．
游泳次数 10 15 20 …
采用方式一付费（元） 250 325 __ …
采用方式二付费（元） 200 __ 400 …
(2)设方式一的总费用为元，方式二的总费用为元，分别用x表示和；
(3)通过计算说明，当和时，分别应选择哪种付费方式较合算？
【答案】(1)；
(2)，
(3)当时，选择方式二，当时，选择方式一
【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解题意列出代数式是解题的关键．
（1）根据题意直接写出方式一下的费用和方式二下的费用；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）将和分别代入两种方式，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，方式一：元，
当时，方式二：元；
（2）解：由题意，方式一的总费用：，
方式二的总费用：；
（3）解：当时，方式一：，
方式二：，
，方式二更划算；
当时，方式一：，
方式二：，
，方式一更划算．
综上所示，当时，选择方式二，当时，选择方式一．
【变式1】（2023上·山东济南·七年级统考期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣件（）．
(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；
(2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．
【答案】(1)，
(2)方案一：35000元，方案二：36000元，方案一更划算．
(3)方案一∶购买100件运动外套，方案二购买200件卫衣
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用以及性质，根据题意解题即可．
（1）根据题意即可列出代数式；
（2）将分别代入(1)中求得的代数式，比较得出的结果即可；
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买件运动外套使用方案二，再列出总费用的代数式，结合a的取值范围即可求解．
【详解】（1）解：方案一∶ 购买运动外套100件，送100件卫衣，则还需购买件卫衣，
方案一需付款元；
方案二∶ 购买运动外套100件，卫衣x件，均打8折，
方案二 需付款元．
（2）当时，
方案一需付款：（元）
方案二需付款：（元）
（3）设购买a件运动外套使用方案一，则购买件运动外套使用方案二，
购买a件卫衣使用方案一，购买件卫衣使用方案二，
设总费用为w元，
则，
∵，费用w随着a的增大而减小．
∴当时，w取的最小值46000，即总费用最小，
∴最省钱的方案：按照方案一购买100件运动外套再按照方案二购买200件卫衣．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
进价（万元/套） 3 2.4
售价（万元/套） 3.3 2.8
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，其中购进种多媒体套（），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【答案】(1)种多媒体20套，种多媒体40套；
(2)购进种多媒体10套时能获得最大利润，最大利润是23万元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设该教育科技公司计划购进种多媒体套，种多媒体套，利用总价单价数量，结合“该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为万元，利用总利润每台的销售利润销售数量（购进数量），可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设该教育科技公司计划购进种多媒体套，种多媒体套，
根据题意得：，
解得：．
答：该教育科技公司计划购进种多媒体20套，种多媒体40套；
（2）设把购进的两种多媒体全部售出后获得的总利润为万元，
根据题意得：，
即，
，
随的增大而减小，
又，
当时，取得最大值，最大值．
答：当取10套时能获得最大利润，最大利润是23万元．
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【答案】(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨
(2)
(3)要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元
【分析】本题主要考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值．
（1）根据表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意和题目中的数据，可以写出货车所需总费用w与a之间的函数关系；
（3）根据（1）中的函数关系式和a的取值范围，利用一次函数的性质，可以求得w的最小值．
【详解】（1）解：设甲、乙两种货车每辆分别能装货m吨、n吨，
由表格可得：，
解得．
答：甲、乙两种货车每辆分别能装货5吨、3吨．
（2）解：设甲种货车a辆，则乙种货车辆，
由题意可得：，
即货车所需总费用y与x之间的函数关系是；
（3）解：∵，
∴w随a的增大而增大，
∵，
∴当时，y取得最小值，此时，
答：要使所需总费用最低，安排5辆乙种货车拉货，最低总费用是2250元．
【变式4】（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【答案】(1)，
(2) 或
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识，正确求出两函数解析式是解题关键．
（1）直接运用待定系数法就可以求出、关于的函数图像关系式即可；
（2）分为两种情况：在相遇前，；当两车相遇后，，然后求解即可．
【详解】（1）解：设，将点代入，
可得，解得，
∴；
设，将点，代入，
可得，解得，
∴ ；
（2）①两车相遇前，可有，
即
解得；
②两车相遇后，可有，
即，
解得．
答：两车行驶 或 时两车相距300千米．
【变式5】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系．
(1)预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？
(2)为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？
【答案】(1)快艇在距离海岸 能追赶上可疑船只．
(2)快艇的速度为．
【分析】（1）本题考查的是实际问题与一次函数，设直线的解析式为，直线的解析式为，把函数图象中的已知坐标代入解析式求解．然后通过与的解析式，列方程求解即可．
（2）本题通过快艇与可疑船只离海岸距离相同，利用求出可疑船只所用的时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
当，时，有，解得，
直线的解析式为，
当快艇追赶上可疑船只时，
有，解得，
把代入中，有，
所以快艇在距离海岸 能追赶上可疑船只．
（2）解：快艇可比快艇B提前追赶上，
此时快艇与可疑船只距离海岸（），
即当时，有，解得，
【变式6】（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
(1)求点P的坐标．
(2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线，于点M，点N，设点Q的横坐标为m，
①求线段的长（用含m的代数式表示）；
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值；
③直接写出用含m的代数式表示的面积．
【答案】(1)点P的坐标为
(2)①②或8③
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式的运用，三角形面积．
（1）联立解析式，构成方程组，解方程组即可求解；
（2）①点Q的横坐标为m，由轴，得点Q，M，N三点横坐标都为m，即可求解；②先表示出Q，M，N三点坐标，分两种情况第一种情形：点N是的中点时，第二种情形：点M是的中点时，根据中点坐标公式即可求解；③先表示出点P到直线的距离为，然后利用三角形面积公式求得即可．
【详解】（1）∵直线与直线交于点P，
∴联立方程组，
解得，
∴点P的坐标为；
（2）解：①点Q的横坐标为m，
∵轴，
∴点Q，M，N三点横坐标都为m，
∴点M坐标为，点N坐标为，
∴；
②当时，，解得，则
，解得：，则，
当时，，
∴点M坐标为，点N坐标为，
∴，，
由①知，
第一种情形：点N是的中点时，，
∴，
解得：或16（舍去）；
第二种情形：点M是的中点时，，
∴，
解得：或（舍去）；
综上，或8；
③∵点Q的横坐标为m，点P的坐标为，
∴点P到直线的距离为，
由①知，
当时，，；当时，，；
∴的面积．
【变式7】（2023上·山东东营·七年级统考期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求点和点的坐标；
(2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标；
【答案】(1)点坐标为，点坐标为
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数的图像和性质是解题的关键．
根据坐标轴上的点的坐标特征即可解决问题．
由的面积为可求出点的横坐标，据此可解决问题．
【详解】（1）将代入得，
，
解得，
∴点坐标为．
将代入得，
，
∴点坐标为．
（2）由，得，
，
又∵的面积为，
则，
解得，
当时，
；
当时，
；
∴点的坐标为或．
【变式8】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）【发现并提出问题】
手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择．
套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；
套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．
小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？
【分析并建立模型】
小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系．
【解决问题】
(1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式．
(2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？
(3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表，
9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元）
小刚父亲 72 75 78
小刚母亲 38 42 28
根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由．
【答案】(1)，．
(2)当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
(3)根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式．
（1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可．
（2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可．
（3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，，．
（2）解：因为两种套餐费用相同，有，解得，
所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同．
（3）解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时，
有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱．
小刚父亲：当时，有，解得，
小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟，
选套餐不省钱．
小刚母亲：当时，有，解得，
小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟，
选套餐省钱．
综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱．
【变式9】（2022上·广东深圳·八年级统考期末）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同：三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如下表所示．
放水时间（分） 0 3 8 …
直饮水机的存水量（升） 25 17.5 5 …
(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为________L．
(2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如下图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
【答案】(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为
(2)①饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式为；②前25个同学接完水共需6min．
【分析】本题考查一次函数的实际应用，有理数的运算的应用．
（1）根据表格求出3分钟的放水量，再除以时间，即可；
（2）①饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式为，将、代入求解即可；
②由已知可得出：每名同学放水用的时间，从而得出：前25个同学接完水共需多少时间．
读懂题意，从图表中有效的获取信息，是解题的关键．
【详解】（1）∵三个放水管每个水管出水的速度相同，
由已知表格数据知：三个水管同时打开时，3分钟放水（升），
∴当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为；
（2）①设饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式为，把、代入，得，
解得：，
∴饮水机中的存水量与放水时间的函数关系式为；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，那么每名同学放水用时，
∴则前25个同学接完水共需．
考点11：一次函数的性质
典例11：（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，函数图象一定不经过第二象限
D．当时，函数图象经过第一、二、三象限
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系．
由可得抛物线经过定点，当时，随增大而减小，当时，直线经过第一，三，四象限．
【详解】解：∵，
∴时，，
∴直线经过点，选项A正确．
∵时，，直线经过第二，三、四象限，随增大而减小，
∴选项B错误，选项C错误，
当时，，直线经过第一，三，四象限，
∴选项D错误．
故选：A．
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点 B．值随着值增大而增大
C．当时， D．它的图像不经过第二象限
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A、当时，，函数图像过点，故此选项正确，不符合题意；
B、 ， 值随着值增大而增大，故此选项正确，不符合题意；
C、当时，，解得：，故此选项错误，符合题意；
D、 ，，函数图像不经过第二象限，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为 B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
【答案】D
【分析】根据一次函数中，时，，得到图象与x轴的交点为；根据，得到y的值随着x的值的增大而减小； 根据，，得到函数图象经过第一、二、四象限；根据当时，得到，，．逐项判断即可．
本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】A．图象与x轴的交点坐标为，
∵中，时，，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为，此选项正确，故选项A不符合题意；
B． y的值随着x的值的增大而减小，
∵中，，
∴y的值随着x的值的增大而减小，此选项正确，故选项B不符合题意；
C．图象经过第一、二、四象限，
∵中，，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，此选项正确，故选项C不符合题意；
D．当时，，
∵中，当时，，
∴，即，
∴一次函数，当时，，此选项错误，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式3】（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于
C．与轴交于 D．随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图像与几何变换，解题关键是根据变换规律（左加右减，上加下减）得出新直线方程，然后根据一次函数的性质进行分析即可．
【详解】解：解：将直线向上平移个单位长度后得到直线，
A．直线经过第一、二、三象限，故此选项不符合题意；
B．直线与轴交于，故此选项不符合题意；
C．直线与轴交于，故此选项符合题意；
D．直线，随的增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：C．
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专题02 一次函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）一次函数图像与定义
（1）形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（2）注意：理解一次函数概念应注意下面两点：
①解析式中自变量x的次数是1次
②自变量x的系数为常数
③正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数
形如y=kx＋b（k、b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，函数y=kx（k≠0）
叫做正比例函数。
（二）一次函数图像性质
（1）一次函数的图象与性质
k，b符号 k＞0 k<0
b＞0 b＜0 b=0 b>0 b<0 b=0
大致 图象
经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四
图象性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
（2）一次函数与坐标轴的交点坐标：
①求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是，
②求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故与y轴的交点是(0，b)；
③正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．
（三）一次函数的平移
（1）一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.
（2）左右平移变x，上下平移变等号右边的整体（口诀：左加右减；上加下减）
（四）待定系数法求解解析式
（1）关键：确定一次函数中的字母与的值。
（2）步骤：
①设一次函数表达式；
②根据已知条件将x，y的对应值代人表达式；
③解关于k，b的方程或方程组；
④确定表达式。
（3）若两条直线平行，那么它们的k相等
（五）一次函数与方程、不等式关系
（1）一次函数与方程：一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.
（2）一次函数与方程组：二元一次方程组的解两个一次函数和图象的交点坐标.
（3）一次函数与不等式
①函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集
②函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集
（六）一次函数的实际应用
（1）一般步骤
①设出实际问题中的变量；
②建立一次函数关系式；
③利用待定系数法求出一次函数关系式；
④确定自变量的取值范围；
⑤利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
⑥做答.
（2）方案问题
①“方案决策型”问题是指一个问题有多种不同方案的情形下，如何选择其中最科学、最合理、最能合乎要求的方案，通常涉及两个变量，其中一个变量最大或最小，一般利用这个最值解决问题。
②命题角度：
★求一次函数的解析式，利用一次函数的性质求最大值或最小值；
★利用一次函数进行方案选择；
★利用一次函数解决个税收取问题；
★利用一次函数解决水、电、煤气等资源收费问题。
（3）最值问题
通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值；确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。
考点一遍过
考点1：正比例函数定义
典例1：（2023上·河北廊坊·九年级新世纪中学校考阶段练习）如图，，点在线段上（点不与点A，重合），以为边作正方形．设，，正方形的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系图
【变式1】（2023下·全国·八年级专题练习）下列各关系中，符合正比例关系的是（ ）
A．正方形的周长C和它的一边长a
B．距离s一定时，速度v和时间t
C．长40米的绳子减去x米，还剩y米，x和y
D．正方体的体积V和棱长m
【变式2】（2022上·山东日照·九年级校考阶段练习）对于关于x的函数，下列说法错误的是( )
A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数
C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时，
【变式3】（2022下·四川南充·八年级四川省南充市高坪中学校考期中）已知函数，（m ，n是常数）是正比例函数，的值为（ ）
A． 或0 B． C．0 D．
考点2：正比例函数图像性质
典例2：（2023上·山西吕梁·九年级校联考阶段练习）在正比例函数中，若y的值随x的值的增大而减小，则二次函数的图象与x轴的交点情况是（ ）
A．有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．无法确定
【变式1】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）已知与成正比例，且当时，．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)若点在这个函数图像上，求m的值．
【变式2】（2022下·福建龙岩·八年级龙岩初级中学校考期中）已知是的正比例函数，当时，函数的值等于．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)在平面直角坐标系中作出函数图像，若点的图像上，求的值．
【变式3】（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是( )
A． B． 或
C． D． 或
考点3：一次函数定义
典例3：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）函数①；②；③；④；⑤．是一次函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2022上·湖北宜昌·八年级统考期中）如果是一次函数，那么m的值是（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2023上·安徽亳州·八年级统考阶段练习）一次函数中，当时，则函数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·福建泉州·八年级统考期中）若点在直线上，则代数式的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．0
考点4：一次函数图像性质——画图
典例4：（2023上·四川成都·八年级校考期中）已知一次函数的图象分别交轴，轴于、两点．
(1)求出交点、的坐标；
(2)请在平面直角坐标系中画出函数的图象；
(3)若点坐标为，求的面积．
【变式1】（2023上·江苏徐州·八年级校考阶段练习）已知一次函数满足下表：
… …
… …
(1)画出一次函数的图象；
(2)求出一次函数的关系式；
(3)求当为何值时，，．
【变式2】（2023上·四川成都·九年级校考期中）已知一次函数，一次函数图象经过点．
(1)求这个一次函数的解析式，并画出该函数的图象；
(2)若该一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的面积．
(3)当时，求自变量x的取值范围．
【变式3】（2023上·重庆开州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，，，点D是的中点，动点M从点C出发，沿着折线（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到的距离为y个单位长度．
(1)求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(2)在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 ．
(3)根据图象直接写出当时t的取值范围： ．
考点5：一次函数图像性质——平移
典例5：（2023上·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）已知一次函数，当时，．
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点在该函数的图象上，求a的值；
(3)将该函数的图象向上平移7个单位，求平移后的图象与坐标轴的交点坐标．
【变式1】（2023上·河南郑州·八年级统考期中）已知一次函数．
(1)为何值时，函数图象经过点？
(2)为何值时，函数图象平行于直线？
(3)直接写出的两个值，使一次函数的值都是随值的增大而减小？
【变式2】（2023上·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点．
(1)求的值及一次函数的解析式；
(2)若正比例函数的图象向上平移个单位长度后经过点．求的值．
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，过点B的直线交x轴于点C，且点．
(1)求直线的解析式；
(2)将直线向下平移3个单位长度得到直线L，此时直线L交于于点D，交x轴于点E，请求出的面积；
(3)点P为线段上一点，点Q为线段延长线上一点，且，设点Q横坐标为m，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）．
考点6：一次函数的解析式
典例6：（2024上·甘肃白银·八年级统考期末）如图所示，直线与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若直线上有一点，且，求点的坐标
【变式1】（2023上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图1，直线：和直线与轴分别相交于，两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．
(1)求点的坐标及直线的函数表达式；
(2)求的面积；
(3)试探究在轴上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2023上·安徽合肥·九年级期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且的面积为15，求点P的坐标．
【变式3】（2023上·浙江·八年级期末）如图，A，B分别是x轴上位于原点左右两侧的两点，点在第一象限内，直线交y轴于点，直线交y轴于点D，且．
(1)求；
(2)求点A的坐标及p的值；
(3)若，求直线的表达式．
考点7：一次函数与一次方程
典例7：（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）若一次函数（为常数且）的图像经过点，则关于的方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，两个一次函数与的图像交于点，则下列结论错误的是（ ）
A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同
C．方程组的解是 D．不等式组的解集是
【变式2】（2023上·广东佛山·八年级校考期中）如图，直线与x轴交于点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线经过第三象限
C．关于x的方程的解为
D．若，是直线上的两点，若，则
【变式3】（2023上·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：
①关于的方程的解为；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．
其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
考点8：一次函数与不等式
典例8：（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知直线的图象如图所示．若无论取何值，y总取中的最大值，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【变式1】（2022上·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期末）一次函数与的图象如图所示，下列说法：①对于函数来说，y随x的增大而增大．②，；③不等式的解集是；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式2】（2023上·安徽马鞍山·八年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）如图所示，一次函数与正比例函数(是常数，且)的图象相交于点，下列判断正确的是( )
①关于的方程的解是；
②关于，的方程组的解是；
③关于的不等式的解集是；
④当时，函数的值比函数的值大．
A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【变式3】（2023下·广西南宁·八年级南宁三中校考阶段练习）如图，已知直线与相交于点，关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
考点9：一次函数与一次方程组
典例9：（2022上·安徽六安·八年级六安市第九中学校考期中）如图，函数 和的图象交于点，则根据图象可得，那么关于的二元一次方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江西九江·八年级校考阶段练习）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数，，，的图象相交于点P，小逸根据图象得到如下结论：
①在一次函数中，y的值随着x值的增大而增大；
②在一次函数中，y的值随着x值的增大而减小；
③方程组与的解相同，都是
④；⑤．其中结论正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式2】（2023上·安徽合肥·八年级统考期中）如图，直线与交点的横坐标为1，若与轴的所夹角为，则方程组解为（ ）
A． B． C． D．无解
【变式3】（2023下·河南郑州·八年级期末）直线与直线相交于点，直线与x轴相交于，则①方程组的解是；②不等式的解集为；③不等式的解集为；④．以上说法正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点10：一次函数实际应用
典例10：（2023上·河北石家庄·七年级阶段练习）某游泳馆夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费15元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．设小明计划今年夏季游泳次数为x次（x为正整数）．
(1)根据题意，将表格填写完整．
游泳次数 10 15 20 …
采用方式一付费（元） 250 325 __ …
采用方式二付费（元） 200 __ 400 …
(2)设方式一的总费用为元，方式二的总费用为元，分别用x表示和；
(3)通过计算说明，当和时，分别应选择哪种付费方式较合算？
【变式1】（2023上·山东济南·七年级统考期中）随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式，某商家抓住机遇推出促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打8折．
运动外套每件定价300元，卫衣每件定价100元．在开展促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套100件，卫衣件（）．
(1)方案一需付款：______元，方案二需付款：______元；
(2)当时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
(3)当时，如果两种方案可以组合使用，你能帮助俱乐部设计一种最省钱的方案吗？请直接写出你的方案．
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级校考阶段练习）某教育科技公司销售，两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：
进价（万元/套） 3 2.4
售价（万元/套） 3.3 2.8
(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，共需资金156万元，该教育科技公司计划购进，两种多媒体各多少套？
(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共60套，其中购进种多媒体套（），当把购进的
两种多媒体全部售出，求购进种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？
【变式3】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）列二元一次方程组解应用题．2023年12月18日甘肃发生6.2级地震，辽宁省应急、交通等部门给予大力帮助．针对灾区房屋安全、电力供应、物资保障等方面进行全方位排查，现安排甲、乙两种货车从某医药公司仓库运输物资到地震灾区，两种货车的情况如表：
甲种货车/辆 乙种货车/辆 总量/吨
第一次 3 4 27
第二次 4 5 35
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)据了解，这次运输中，每辆车都装满，甲种货车拉每吨货物耗费100元，乙种货车拉每吨货物耗费150元，有5辆车参与运货，其中甲种货车a辆．求货车所需总费用w与a之间的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，要使所需总费用最低，该如何安排拉货？最低总费用是多少？
【变式4】（2024上·四川达州·八年级校考期末）一辆客车与一辆出租车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行．设客车离甲地的距离为千米，出租车离甲地的距离为千米，两车行驶的时间为小时，、关于的函数图像如图所示：
(1)根据图像，直接写出、关于的函数图像关系式；
(2)试计算：何时两车相距300千米？
【变式5】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）我边防局接到情报，如图1，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇追赶．图2中，，分别表示两船相对于海岸的距离与追赶时间之间的关系．
(1)预计快艇在距离海岸多少能追赶上可疑船只？
(2)为了对可疑船只实施有效检查，边防局同时派出快艇协助快艇追赶，快艇与快艇的出发地相同，且快艇可比快艇B提前追赶上，则快艇的速度为多少？
【变式6】（2024上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点P．点C为直线与x轴的交点．
(1)求点P的坐标．
(2)点Q是线段上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线，于点M，点N，设点Q的横坐标为m，
①求线段的长（用含m的代数式表示）；
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，直接写出m的值；
③直接写出用含m的代数式表示的面积．
【变式7】（2023上·山东东营·七年级统考期末）如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接．
(1)求点和点的坐标；
(2)若点是直线上一点，若的面积为，求点的坐标；
【变式8】（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）【发现并提出问题】
手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择．
套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元；
套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元．
小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？
【分析并建立模型】
小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系．
【解决问题】
(1)请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式．
(2)当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？
(3)小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表，
9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元）
小刚父亲 72 75 78
小刚母亲 38 42 28
根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由．
【变式9】（2022上·广东深圳·八年级统考期末）学校饮用水安全问题事关重大，直接影响到广大青少年的身体健康．为了全力保障校园饮水安全，让学生喝上放心水、健康水，星月学校在教学楼每个楼层都安装了饮水机．为了解饮水机的使用情况，小亮所在综合实践小组进行了调查研究，他们发现：饮水机的容量是25L，共有三个放水管，且每个水管出水的速度相同：三个水管同时打开时，饮水机的存水量（升）与放水时间（分）的关系如下表所示．
放水时间（分） 0 3 8 …
直饮水机的存水量（升） 25 17.5 5 …
(1)当三个放水管全部打开时，每分钟的总出水量为________L．
(2)某天课间休息时，同学们依次用饮水机接水．假设前后两人接水的间隔时间忽略不计，且水不发生泼洒，每个同学所接的水量相同．刚开始时，只打开了其中两个放水管，过了一会儿，来接水的同学越来越多，三个放水管全部打开．饮水机的存水量y（L）与放水时间x（min）的函数关系如下图所示．
①求饮水机中的存水量y（L）与放水时间的函数关系式；
②如果前3分钟恰好有10名同学接完水，则前25个同学接完水共需多少时间？
考点11：一次函数的性质
典例11：（2023上·山东济南·八年级校考阶段练习）对于一次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．函数图象一定经过点
B．当时，y随x的增大而增大
C．当时，函数图象一定不经过第二象限
D．当时，函数图象经过第一、二、三象限
【变式1】（2023上·江苏淮安·八年级淮安市浦东实验中学校考阶段练习）对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．它的图像过点 B．值随着值增大而增大
C．当时， D．它的图像不经过第二象限
【变式2】（2023上·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校联考阶段练习）下列关于一次函数的说法中，错误的是（ ）
A．图象与x轴的交点坐标为 B．y的值随着x的值的增大而减小
C．图象经过第一、二、四象限 D．当时，
【变式3】（2022上·福建漳州·八年级福建省长泰县第一中学校考期末）将直线向上平移个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说法正确的是（ ）
A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于
C．与轴交于 D．随的增大而减小
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