中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 反比例函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
【答案】A
【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵6＞0，
∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限．
故选：A
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键．
2．（2022·甘肃天水·校考一模）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=－2x2 B．y=2x2 C．y=2x－1 D．y=
【答案】A
【分析】由题意直接根据一次函数、反比例函数以及二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：A、∵y=-2x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而减小；当x＜0时，y随着x的增大而增大；
B、∵y=2x2，∴对称轴x=0，当x＞0时，y随着x的增大而增大；当x＜0时，y随着x的增大而减小；
C、∵k＞0，∴y随着x的增大而增大；
D、∵k＜0，∴在每一象限内y随x的增大而增大．
故选：A．
【点睛】本题综合考查二次函数、反比例函数、一次函数的增减性（单调性），熟练掌握一次函数、反比例函数以及二次函数图像的性质是解题的关键．
3．（2022·辽宁沈阳·校考一模）反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质可以确定的符号，再根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：反比例函数图象在二、四象限，
，
则一次函数图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数，（1）当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；（2）当时，在同一个象限内，随的增大而减小；当时，在同一个象限，随的增大而增大．
4．（2022上·山西朔州·九年级统考期末）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质得2-k＜0，然后解不等式即可．
【详解】根据题意得2-k＜0，
解得k＞2．
故选：C．
【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
5．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【分析】设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，根据中心在反比例函数y=上，求出中心的横坐标为，进而可得出BC的长度，根据矩形ABCD的面积即可求得．
【详解】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y=上，
∴x=，
∴矩形ABCD中心的坐标为（，）.
∴BC=2（ m）=-2m，
∵S矩形ABCD=8，
∴（-2m） n=8．
4k-2mn=8，
∵点A（m，n）在y=上，
∴mn=k，
∴4k-2k=8.
解得：k=4.
故选D．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．
6．（2022上·四川凉山·九年级阶段练习）点关于y轴的对称点在反比例函数的图像上，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．点在该函数的图像上
C．当时，
D．该函数图像与直线的交点是（，）和（-，-）
【答案】A
【分析】先确定对称点坐标为（-1，-3），将其代入反比例函数中求得k=3，得到函数解析式，根据函数的性质解答.
【详解】点关于y轴的对称点坐标为（-1，-3），
将（-1，-3）代入，得k=，
∴反比例函数解析式为，
∵k=3>0，
∴在每个象限内y随着x的增大而减小，故A错误；
当x=1时，y=3，故B正确；
当时，，故C正确；
解方程组，得或，
故函数图像与直线的交点是（，）和（-，-），
故D正确，
故选：A.
【点睛】此题考查待定系数法求反比例函数解析式，轴对称的性质，反比例函数的性质，函数图象交点问题.
7．（2022上·安徽宿州·九年级灵璧中学阶段练习）如图，反比例函数图像上一点A（2，2），过A作AB⊥轴于B，若S△AOB=（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．8
【答案】A
【分析】此题可先由点A的坐标求得反比例函数解析式，即得到k的值，再由反比例函数系数k的几何意义得到S△AOB的值．
【详解】解：由于点A位于反比例函数图象上，且坐标为（2，2）；
则k=2×2=4，S△AOB=|k|=2．
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成的三角形的面积为|k|．
8．（2022上·广东揭阳·九年级阶段练习）如果点A(－1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【详解】试题分析：根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点B和点C的纵坐标的大小即可．
∵反比例函数的比例系数为﹣1，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点A在第二象限，点B、C在第四象限，
∴y1最大，
∵1＜2，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3，
∴y1＞y3＞y2．
故选A．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
9．（2023·河北邯郸·校考二模）下列函数的图象与坐标轴没有交点的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、是二次函数，由知其图象与轴没有交点，但与轴有交点，故此选项不符合题意；
B、是反比例函数，与坐标轴没有交点，故此选项符合题意；
C、是二次函数，由知其图象与轴没有交点，但与轴有交点，故此选项不符合题意；
D、是正比例函数，与坐标轴有交点，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，正比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握所学函数的性质进行判断．更一般地说：一次函数和二次函数只要不限定自变量的取值范围，都与轴有交点.
10．（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）若双曲线图象的一个分支于第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象所在象限，列不等式即可．
【详解】解：∵双曲线图象的一个分支于第四象限，
∴＜0，
解得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是明确反比例函数图象在二、四象限时，比例系数小于0．
11．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C在x轴的正半轴上，，点D在AB边上，且，函数的图象经过点D．若点A、B的坐标分别为、，则k的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】作DE⊥BC于E，得出△ACB∽△DEB，根据点A、B的坐标和，求出点D坐标即可．
【详解】解：作DE⊥BC于E，
∵，
∴DE∥AC，
∴△ACB∽△DEB，
∵，
∴，
∵点A、B的坐标分别为、，
∴，，，
则D点坐标为，
，
故选：B
【点睛】本题考查了反比例函数和相似三角形的性质与判定，解题关键是恰当作辅助线，利用相似三角形的性质求出点的坐标．
12．（2022下·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）在已知反比例函数（k为常数）的图象上有三点，，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【分析】先判断出k的取值，再根据反比例函数的性质即可求得．
【详解】解：①当时，的图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴点A在第三象限，点C在第一象限
∴
而已知条件中，故不存在；
当时，的图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点A在第四象限，点C在第二象限
∴，
当时，则，当时，则，
故的取值范围为：或，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，当时，的图象分布在第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，的图象分布在第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．
13．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B的坐标分别为（－1，1）、（3，0），直角顶点C在第一象限．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点D在双曲线上，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．－6 D．6
【答案】D
【分析】根据旋转性质可得△ABC≌△ADE，∠CAE=90°；DE=BC，AC=AE，DE∥AC∥x轴；根据图形特点推出点D的纵坐标是：-3，点D的横坐标是：-1-1=-2，代入可得．
【详解】因为△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，
所以△ABC≌△ADE，∠CAE=90°；
所以DE=BC，AC=AE，DE∥AC∥x轴
又A、B的坐标分别为（－1，1）、（3，0），
所以点D的纵坐标是：-3，点D的横坐标是：-1-1=-2
所以D（-2，-3）
因为点D在双曲线上，
所以
故选：D
【点睛】考核知识点：旋转，反比例函数．理解旋转性质和反比例函数的性质是关键．
14．（2022下·全国·九年级统考期末）反比例函数y=（a是常数）的图象分布在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
【答案】C
【分析】先判断出-1-a2小于0，再根据反比例函数比例系数小于0时，函数图象位于第二、四象限即可解答．
【详解】∵a2＞0，
∴-a2＜0，
∴-1-a2＜0，
∴函数图象位于第二、四象限．
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，当k＞0，反比例函数图象位于一、三象限；当k＜0，反比例函数图象位于第二、四象限内．
15．（2022·广东广州·统考一模）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= 的图象都经过点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【详解】如图，∵点A坐标（2，﹣1），
又∵正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=都是关于原点对称，
∴它们的交点A、B关于原点对称，
∴点B坐标（﹣2，1），
∴由图象可知，y1＞y2时，x＜﹣2，或0＜x＜2，故选D．
二、填空题
16．（2022·河南·统考一模）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则长为 ．
【答案】
【分析】根据题意将点，代入双曲线，求得的值，然后将代入直线，求得直线解析式，分别令 ，求得点的坐标，即可求得的长，然后勾股定理即可求解．
【详解】解：∵直线与双曲线在第一象限交于点，
∴，
得，
，代入，得，
解得，
直线，
令，得 ，令，得，
，，
，
中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键．
17．（2022·浙江台州·统考一模）如图，反比例函数的图象经过点，则当函数值时，自变量x的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将A（-1，-1）代入反比例函数解析式求出k的值，再利用函数的性质和图象即可求出满足题意x的取值范围．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点A（-1，-1），
∴，
解得k=1，
∴
∴该函数图象在第一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
当x<0时，y﹤0；当x>0时，y﹥0，
当y=1时，，x=1，
x的取值范围为0＜x≤1，
故答案为：0＜x≤1．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是利用数形结合的方法．
18．（2022·湖北孝感·统考二模）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝3BC，则k的值为 ．
【答案】.
【分析】先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，再设A（3x， x），由于OA=3BC，故可得出B（x，+2），再根据反比例函数中k=xy为定值求出k.
【详解】
解：∵将直线y＝向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，
∴平移后直线的解析式为y＝x+2，
如图：分别过点A、B作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥BE于点F，设A（3x，x），），
∵OA＝3BC，BC∥OA，CF∥x轴，
∴△BCF∽△AOD，
∴CF＝OD，
∵点B在直线y＝x+2上，
∴B（x，x+2），
∵点A、B在双曲线y＝，
∴，解得x＝，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，设出A、B两点的坐标，再根据k=xy的特点求出k的值即可.
19．（2022下·江苏盐城·八年级阶段练习）已知A（m，2）与B（1，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，则k的值为 ．
【答案】-3
【详解】∵A(m,2)与B(1,m 3)是反比例函数图象上的两个点，
∴2m=m 3，
解得m= 3.
故答案为 3.
20．（2022·广西柳州·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过A、P两点，其中P为AB的中点，B点在x轴上，若△AOB的面积是9，则k的值为 ．
【答案】-6
【分析】过点A作AC⊥x轴，垂足为C，点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PO，根据k的几何意义，确定BD=DC=OC，根据△AOB的面积是9，计算AC×CO的值，根据图像的分布确定k值即可；
【详解】过点A作AC⊥x轴，垂足为C，点P作PD⊥x轴，垂足为D，连接PO，
∵反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过A、P两点，
∴，
∵AC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD∥AC，
∵AP=PB，
∴BD=DC，
∴PD=AC，
∴AC×CO=PD×DO，
∴AC×CO=×AC （DC+CO），
∴DC=CO，
∴BD=DC=OC，
∵△AOB的面积是9，
∴AC×BO=AC ×3CO=9，
∴AC×CO=6，
∴|k|=6，
∵图像的分布在第二象限，
∴k= -6，
故答案为：-6.
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握反比例函数k的几何意义，灵活运用三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理是解题的关键．
21．（2022·广东深圳·统考二模）如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为 ．
【答案】
【分析】先利用面积判断出BD＝AC，再判断出△AOC∽△ADO，进而建立方程求出AC＝BD，再判断出△ACE∽△ABO，进而求出CE，OE，即可得出结论．
【详解】解：由已知得OA＝2，OB＝4，根据勾股定理得出，AB＝2，
如图，过点C作CE⊥x轴于E，作CG⊥y轴G，过点D作DH⊥x轴于H，作DF⊥y轴于F，连接GH，GD，CH，
∵点C，D是反比例图象上的点，
∴S矩形FDHO＝S矩形GCEO，
∴S矩形FDHO＝S矩形GDEO．
∴S△DGH＝S△GHC．
∴点C，D到GH的距离相等．
∴CD∥GH．
∴四边形BDHG和四边形GHAC都是平行四边形．
∴BD＝GH，GH＝CA．
即BD＝AC；
设AC＝BD＝m，
∵∠AOC＝∠ADO，
CAO＝∠DAO，
∴△AOC∽△ADO，
∴，
∴AO2＝AC AD，
∴22＝m（2﹣m），
∴m＝±1（舍去+1），
过点C作CE⊥x轴于点E，
∴△ACE∽△ABO，
∴，
∴，
∴AE＝，CE＝，
∴OE＝OA﹣AE＝2﹣＝ OE＝＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解函数的图像和性质，结合相似三角形解决问题.
22．（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝的图像经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
【答案】3
【分析】把点的坐标分别代入解析，即可求得k及mn的值．
【详解】解：把点（1，3）代入y＝
得k=3
故反比例函数的解析式为
把点（m，n）代入
得mn=3
故答案为：3
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，理解在函数图像上的点的坐标一定满足函数解析式是解决本题的关键．
23．（2022·湖北黄冈·九年级统考自主招生）当时，函数的图象为曲线段CD，的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），则的取值范围为
【答案】
【分析】先求出点D的坐标，再将点D的坐标代入直线解析式即可得到答案.
【详解】当x=2时，代入中得y=，
∴D（2，），
当直线过点D时，得：-4-b=，
解得b=，
∵曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），
∴.
故填：.
【点睛】此题考查反比例函数的性质、一次函数的性质，当已知点坐标时可将点坐标代入对应的函数解析式，即可得到解析式中其它未知数的值.
24．（2022·广西河池·统考二模）如图，在第一象限中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A，C，若点A为，AB＝3， 轴，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据矩形性质得到，求出反比例函数解析式，从而得到点的纵坐标为，代入解析式即可求出结果．
【详解】解：反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A，
，即，
在矩形ABCD中A，AB＝3，则，
轴，
点的纵坐标为，
代入反比例函数，则，解得，
点C的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数综合，涉及到矩形性质、待定系数法求函数解析式、函数上点的坐标求解，熟悉矩形性质与反比例函数性质是求解问题的关键．
25．（2023·广东佛山·校考一模）如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③/③②
【分析】①根据菱形的性质和勾股定理计算点A的坐标即可判断；②根据①中的坐标，直接将代入即可判断；③先求出点B的坐标，再代入一次函数的解析式可判断；④根据菱形的面积=底边×高即可可解答．
【详解】解：如图：①中，当时，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵A与关于轴对称，
∴，，
∴，
∴；故①不正确；
②当时，点A的坐标为：，
∴，故②正确；
③∵，与关于轴对称，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，故③正确；
④菱形的面积，故④不正确；
所以本题结论正确的有：②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、坐标与图形性质、勾股定理，关于x轴对称、菱形的性质等知识点，掌握函数图象上的点满足对应函数的解析式是解本题的关键．
三、解答题
26．（2022·甘肃张掖·校联考二模）如图，已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，且A点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在x轴上取关于原点对称的P、Q两点，（P点在Q点的右边），试问四边形AQBP一定是一个什么形状的四边形？并说明理由.
【答案】（1）A（2，6），B（-2，-6）；（2）四边形AQBP是平行四边形．理由见解析.
【详解】分析：（1）设A点坐标为（2，t），把A（2，t）分别代入y=kx和y=，可求出k=3，t=6，则A点坐标为（2，6），再根据正比例函数图象和反比例函数图象的性质得到点A与点B关于原点对称，所以B点坐标为（-2，-6）；
（2）如图，由点A与点B关于原点对称得到OA=OB，由点P与点Q关于原点对称得到OP=OQ，则根据平行四边形的判定方法即可判断四边形AQBP为平行四边形.
详解：解：（1）将x=2分别代入y=kx及y=，
得：2k=，
解得k=3；
解方程组 ，
解得： ，，
∴A（2，6），B（-2，-6）；
（2）四边形AQBP是平行四边形．理由如下：
∵点P、点Q关于原点对称，
∴OP=OQ，
又∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴OA=OB，
∴四边形AQBP一定是平行四边形．
点睛：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数和正比例函数图象的性质、平行四边形和矩形的判定方法；会运用原点对称的性质．
27．（2022·广东惠州·九年级统考学业考试）如图，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于两点，且．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）若点E与点B关于轴对称，连接求的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；（2）
【分析】（1）先求出B点坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式，再求出C点坐标，用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先由对称性质求E点坐标，再联立方程组求得F点坐标，最后根据三角形面积公式求面积．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
把，分别代入，得
解得
∴一次函数的解析式为．
把代入，得．
∴． 把代入，得．
∴反比例函数的解析式为．
（2）点与点关于轴对称，由（1）知，
∴．
∴．
解方程组
得
∵，∴．
∵，
∴ ．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，三角形的面积等，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
28．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数 与反比例函数 的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数表达式为．
(2)或
(3)
【分析】（1）由的面积为3，可求出a的值，确定反比例函数的关系式，把点坐标代入可求b的值．
（2）结合图像观察，求一次函数图像位于反比例函数图像的下方时，自变量x的取值范围即可．
（3）作对称点关于x的对称点，直线与x轴交点就是所求的点，求出直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，，
，
，
结合图形，可得，
将代入得，
反比例函数的表达式为．
把代入反比例函数得，
，
将和代入解得：，，
一次函数表达式为．
（2）由图象可以看出的解集为或．
（3）解：如图，作点关于x轴的对称点，连接与x轴交于，此时最大．
，
，
设直线的关系式为，将，代入，
解得，，
直线的关系式为，
当时，解得，
．
【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质、一次函数、轴对称以及待定系数法求函数关系式等知识，理解轴对称知识作图是解题的关键．
29．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，已知反比例函数的图象与直线都经过点，，且直线交轴于点，交轴于点，连接，.
（1）直接写出，的值及直线的函数表达式；
（2）与的面积相等吗？写出你的判断，并说明理由；
（3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标.
【答案】（1），，； （2）相等.理由见解析；（3）.
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题.
（2）利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可判断.
（3）如图作点Q关于y轴的对称点Q’，理解PQ’交y轴于M,参数MQ+MP的值最小.求出最小PQ’的解析式即可解决问题.
【详解】解：（1）∵反比例函数的图象与直线都经过点，
∴，，，，
则有，解得，
∴直线的解析式为.
（2）相等.
理由：∵
∴当时，，即，当时，，即，
∴，
∴.
（3）如图作点关于轴的对称点，理解交轴于，参数的值最小.
∵，
∴，
直线的解析式为，则有，6
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴.
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于熟悉待定系数法的解题方法,联立关系式的常用方法.
30．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点．以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限．求点D的坐标．
【答案】
【分析】利用待定系数法求得一次函数的解析式，然后求得点A的坐标，利用勾股定理求得，由菱形的性质得出，即可求得点D的坐标为．
【详解】解：∵一次函数图象与x轴相交于点，
∴，解得，
∴一次函数为，
把点代入得，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求一阐述解析式，勾股定理，以及菱形的性质，求出点A的坐标是解答本题的关键．
31．（2023·江西抚州·统考一模）如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数y=x+1与反比例函数y=（x＞0）的图象相交于点B（m，2），可以求得点B的坐标，进而求得反比例函数的解析式；
（2）先求出点D坐标，再过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，延长EB、FD相交于A，则四边形AEOF是矩形，所以A(2,2)，根据求解即可．
【详解】（1）解：把B（m，2）代入y=x+1中，得2=m+1．
∴m=1．
∴点B（1，2）．
把B（1，2）代入y＝中，得2＝，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）解：把点D(2,n)代入反比例函数，得n＝=1，
∴，
如图：过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，延长EB、FD相交于A，
则四边形AEOF是矩形，
∴A(2,2)，
∴
=
=1.5．
【点睛】本题考查用待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的综合，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
32．（2022·山西大同·统考一模）如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当x为何值时，y1＜y2？
【答案】（1）一次函数解析式为y1=x+1，反比例函数解析式为y2=．
（2）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＜y2．
【详解】试题分析：（1）由反比例函数图象上点坐标的特点可求出k值的大小，从而得出反比例函数解析式；由三角形的面积公式可得出AB=4，结合点B坐标可得出点A的坐标，由A、P点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）令y1=y2，求出x的值，从而得出点Q的横坐标，结合两函数图象的位置关系即可得出结论．
试题解析：（1）∵点P的坐标为（2，2），
∴k=2×2=4，
∴反比例函数解析式为y2=．
∵S△ABC=AB PB=4，
∴AB=4，
∴点A（﹣2，0）．
∵点A、P在一次函数图象上，
∴有，解得．
∴一次函数解析式为y1=x+1．
（2）令y1=x+1=y2=，即x2+2x﹣8=0，
解得：x1=﹣4，x2=2．
即点Q横坐标为﹣4，点P横坐标为2．
结合两函数图象可知：
当x＜﹣4和0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象下方，
则当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＜y2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题
33．（2022上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点．
(1)求k的值；
(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）根据待定系数法确定一次函数关系式，从而求出点B的坐标为（1，8），再利用待定系数法确定k的值即可；
（2）设点C的坐标为，由于轴，得到点D的坐标，表示出，根据二次函数性质即可得出的面积的最大值．
【详解】（1）解：把代入，得，
解得，
∴直线的函数表达式为，
∴当时，，
∴，
把代入反比例函数，得．
（2）解：设点C的坐标为，
由于轴，所以点D的纵坐标为，
∴点，
∴，
∴当时，，
答：的最大值为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中三角形面积问题，熟练掌握函数的图像与性质，并能掌握相应题型的解题方法技巧是解决问题的关键．
34．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．
(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
【答案】(1)直线的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)6
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果．
【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，，即，
∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为．
（2）解：∵直线的图象与y轴交于点B，
∴当时，，
∴，
∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C，
∴点C的纵坐标为1，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
35．（2022上·辽宁鞍山·九年级统考期末）已知：如图．在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，，OB=4，OE=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△BOD的面积．
【答案】（1）y=﹣．（2）2．
【详解】试题分析：（1）根据已知条件求出C点坐标，用待定系数法求出反比例的函数解析式；
（2）根据已知条件求出A，B两点的坐标，用待定系数法求出一次函数的解析式，再和反比例的函数解析式联立可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．
解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x轴于点E．tan∠ABO=．
∴CE=3．（1分）
∴点C的坐标为C（﹣2，3）．
设反比例函数的解析式为y=，（m≠0）
将点C的坐标代入，得3=-．
∴m=﹣6．（4分）
∴该反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）∵OB=4，
∴B（4，0）．（6分）
∵tan∠ABO=，
∴OA=2，
∴A（0，2）．
设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A、B的坐标分别代入，得 ．
解得 ．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+2．
反比例函数的解析式y=﹣和直线AB的解析式为y=﹣x+2联立可得交点D的坐标为（6，﹣1），
则△BOD的面积=4×1÷2=2．
故△BOD的面积为2．
考点：反比例函数综合题．
【能力提升】
36．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．
(1)若的面积为4，求点的坐标；
(2)求证：；
(3)当时，求直线的函数解析式．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）待定系数法求出的值，根据反比例函数上的点的特点，得到之间的关系，再利用面积公式，列出方程求解即可；
（2）依题意可证，，得到，证明，得到，进而得到；
（3）由于，当时，有两种情况：①当时，四边形是平行四边形，由（2）得，点B的坐标是，设直线的函数解析式为，用待定系数法可以求出解析式；②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，可求点B的坐标是，设直线的函数解析式，用待定系数法可以求出解析式即可．
【详解】（1）∵函数（，是常数）的图象经过，
∴．
∴ ，
设交于点E，
由题意，可得：B点的坐标为，D点的坐标为，E点的坐标为，
∵，
∴，．
∵的面积为4，即，
∴，
∴点B的坐标为；
（2）据题意，点C的坐标为，，
∵，
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴当时，有两种情况：
①当时，四边形是平行四边形，
∴，
由(2)得，，，
∴，
∴，得．
∴点B的坐标是．
设直线AB的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得．
故直线的函数解析式是．
②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，
∴，
∴点B的坐标是．
设直线的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得 ，
故直线的函数解析式是．
综上所述，所求直线的函数解析式是或．
【点睛】此题考查反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，利用数形结合，分类讨论的思想求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于压轴题．
37．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并直接写出点的坐标；
(2)连接OC，求△OBC的面积；
(3)点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
(4)直接写出反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围 ．
【答案】(1)，
(2)8
(3)
(4)或
【分析】(1)把代入，得到，解得；得到，根据中心对称原理，得到．
(2)过点C作轴于点E，过点B作轴于点G，过点C作于点F，
则，四边形是矩形，根据计算即可．
(3)作出点B关于y轴的对称点M，连接，交点就是所求的点G，根据直线的解析式确定坐标即可．
【详解】（1）解：把代入，
得，
解得；
∴，
∴，
解得；
根据中心对称原理，
∴．
（2）解：过点C作轴于点E，过点B作轴于点G，过点C作于点F，
则，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
（3）解：作点B关于y轴的对称点M，连接，交点就是所求的点G，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
令，得，
故点．
（4）根据图像，当或时，反比例函数值大于正比例函数值，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，与正比例函数的相交，矩形的判定和性质，面积转化，线段和最小，不等式解集，数形结合思想，熟练掌握交点的意义，线段和最小是解题关键．
38．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上．
(1)若点的坐标是，求点的坐标；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点F作轴于G，设、交点为M，根据正方形和平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质证明得到，，再根据点在反比例函数的图象上的点的坐标特征求得，，进而求得，求得即可求解；
（2）过F作轴于H，先证明得到，，再证明得到，
设，则，，则，代入中求解a值即可
．
【详解】（1）解：过点F作轴于G，设、交点为M，如图，则
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵点的坐标是，
∴，
∵点B在反比例函数的图象上，四边形是正方形，
∴，则，
∴，，
∴点F的纵坐标为，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴当时，，则，
∴，则，
∴；
（2）解：过F作轴于H，如图，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，即，
∴，
∴，又，，
∴，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，则，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，解得（负值舍去），
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质、反比例函数比例系数k的几何意义、正方形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线构造全等和数形结合思想是解答的关键．
39．（2023上·湖南株洲·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，①当时，；②当时，
【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得到结论；
（2）过点作于，把代入得，得到，求得，求出，进而可得到结论；
（3）分两种情况求解即可：①当轴时，，②当时，．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为．
（2）解：过点作于，
把代入得，
，
，
，
，
，
．
（3）解：存在．理由如下：
，
，
①当轴时，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴ ，
，
②当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
，，
，
，
．
综上所述，满足条件点的坐标为，．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识，解题关键是正确的作出辅助线．
40．（2023·广东阳江·统考二模）如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
(1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
【答案】(1)，
(2)时，最大为
【分析】（1）先利用坐标与图形求得点F坐标，再利用待定系数法求解k值即可求解；
（2）易得，，利用坐标与图形和三角形的面积公式得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∵点F在反比例函数的图象上，
∴，
∴该函数的解析式为，
把代入中，
得，
∴；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为，，
∴
，
∵在边上，不与A，B重合，
∴，则，
∴当时，S有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质、坐标与图形、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解答的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 反比例函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（ ）
A．第一、第三象限 B．第一、第四象限
C．第二、第三象限 D．第二、第四象限
2．（2022·甘肃天水·校考一模）下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是（ ）
A．y=－2x2 B．y=2x2 C．y=2x－1 D．y=
3．（2022·辽宁沈阳·校考一模）反比例函数的图象分别位于第二、四象限，则直线不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022上·山西朔州·九年级统考期末）若反比例函数（为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C． D．且
5．（2022·江苏无锡·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．4
6．（2022上·四川凉山·九年级阶段练习）点关于y轴的对称点在反比例函数的图像上，下列说法不正确的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．点在该函数的图像上
C．当时，
D．该函数图像与直线的交点是（，）和（-，-）
7．（2022上·安徽宿州·九年级灵璧中学阶段练习）如图，反比例函数图像上一点A（2，2），过A作AB⊥轴于B，若S△AOB=（ ）
A．2 B．2.5 C．4 D．8
8．（2022上·广东揭阳·九年级阶段练习）如果点A(－1，y1)、B(1，y2)、C(2，y3)是反比例函数图象上的三个点，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
9．（2023·河北邯郸·校考二模）下列函数的图象与坐标轴没有交点的是( )
A． B． C． D．
10．（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）若双曲线图象的一个分支于第四象限，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B、C在x轴的正半轴上，，点D在AB边上，且，函数的图象经过点D．若点A、B的坐标分别为、，则k的值为（ ）
A． B．3 C．4 D．
12．（2022下·湖北武汉·九年级武汉一初慧泉中学校考阶段练习）在已知反比例函数（k为常数）的图象上有三点，，，若，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
13．（2022·吉林长春·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、B的坐标分别为（－1，1）、（3，0），直角顶点C在第一象限．将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点D在双曲线上，则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．－6 D．6
14．（2022下·全国·九年级统考期末）反比例函数y=（a是常数）的图象分布在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限
15．（2022·广东广州·统考一模）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2= 的图象都经过点A（2，﹣1），若y1＞y2，则x的取值范围是（ ）
A．﹣1＜x＜0 B．x＞2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
二、填空题
16．（2022·河南·统考一模）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则长为 ．
17．（2022·浙江台州·统考一模）如图，反比例函数的图象经过点，则当函数值时，自变量x的取值范围为 ．
18．（2022·湖北孝感·统考二模）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k＞0，x＞0）交于点A，将直线y＝x向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA＝3BC，则k的值为 ．
19．（2022下·江苏盐城·八年级阶段练习）已知A（m，2）与B（1，m﹣3）是反比例函数图象上的两个点，则k的值为 ．
20．（2022·广西柳州·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（k＜0，x＜0）的图象经过A、P两点，其中P为AB的中点，B点在x轴上，若△AOB的面积是9，则k的值为 ．
21．（2022·广东深圳·统考二模）如图，已知直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与双曲线y＝（x＞0）交于C、D两点，且∠AOC＝∠ADO，则k的值为 ．
22．（2022·江苏南京·校联考一模）已知反比例函数y＝的图像经过点（1，3）、（m，n），则mn的值为 ．
23．（2022·湖北黄冈·九年级统考自主招生）当时，函数的图象为曲线段CD，的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若曲线段CD在△AOB的内部（且与三条边无交点），则的取值范围为
24．（2022·广西河池·统考二模）如图，在第一象限中，反比例函数的图象经过矩形ABCD的顶点A，C，若点A为，AB＝3， 轴，则点C的坐标为 ．
25．（2023·广东佛山·校考一模）如图，点A在双曲线（，）上，点在直线：（，）上，A与关于轴对称，直线与轴交于点，当四边形是菱形时，有以下结论：①②当时，③④则所有正确结论的序号是 ．
三、解答题
26．（2022·甘肃张掖·校联考二模）如图，已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，且A点的横坐标为2.
（1）求A、B两点的坐标；
（2）在x轴上取关于原点对称的P、Q两点，（P点在Q点的右边），试问四边形AQBP一定是一个什么形状的四边形？并说明理由.
27．（2022·广东惠州·九年级统考学业考试）如图，直线与双曲线交于两点，与轴分别交于两点，且．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）若点E与点B关于轴对称，连接求的面积．
28．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于第二、四象限内的点和点．过点作x轴的垂线，垂足为点，的面积为3
(1)分别求出一次函数 与反比例函数 的表达式；
(2)结合图象直接写出的解集；
(3)在x轴正半轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．
29．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，已知反比例函数的图象与直线都经过点，，且直线交轴于点，交轴于点，连接，.
（1）直接写出，的值及直线的函数表达式；
（2）与的面积相等吗？写出你的判断，并说明理由；
（3）若点是轴上一点，当的值最小时，求点的坐标.
30．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点．以AB为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限．求点D的坐标．
31．（2023·江西抚州·统考一模）如图，一次函数y＝x＋1的图象与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点也在反比例函数图象上，求△DOB的面积．
32．（2022·山西大同·统考一模）如图，一次函数y1=mx+n的图象分别交x轴、y轴于A、C两点，交反比例函数y2=（k＞0）的图象于P、Q两点．过点P作PB⊥x轴于点B，若点P的坐标为（2，2），△PAB的面积为4．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当x为何值时，y1＜y2？
33．（2022上·安徽滁州·九年级校联考期中）如图，直线经过点，交反比例函数的图象于点．
(1)求k的值；
(2)点D为第一象限内反比例函数图象上点B下方的一个动点，过点D作轴交线段AB于点C，连接AD，求的面积的最大值．
34．（2023·江西·统考中考真题）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C．
(1)求直线和反比例函数图象的表达式；
(2)求的面积．
35．（2022上·辽宁鞍山·九年级统考期末）已知：如图．在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，CE⊥x轴于点E，，OB=4，OE=2．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求△BOD的面积．
【能力提升】
36．（2023上·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在直角坐标平面内，函数（，是常数）的图象经过，，其中．过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连结，，．
(1)若的面积为4，求点的坐标；
(2)求证：；
(3)当时，求直线的函数解析式．
37．（2023上·辽宁辽阳·九年级校考期末）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．
(1)求的值并直接写出点的坐标；
(2)连接OC，求△OBC的面积；
(3)点是轴上的动点，连接，，求的最小值；
(4)直接写出反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围 ．
38．（2023上·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考期中）如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过正方形的顶点，点在线段上，点在射线上，以，为边的平行四边形的顶点恰好在该反比例函数的图象上．
(1)若点的坐标是，求点的坐标；
(2)如图2，当点在的延长线上时，连接，若，，求点的长．
39．（2023上·湖南株洲·九年级校考阶段练习）如图，反比例函数 的图象经过点，射线与反比例函数的图象的另一个交点为，射线与轴交于点，与轴交于点，轴，垂足为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求的长；
(3)在x轴上是否存在点P，使得与相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标．若不存在说明理由．
40．（2023·广东阳江·统考二模）如图，在矩形中，，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E．
(1)当F为的中点时，求该反比例函数的解析式和点E的坐标．
(2)当k为何值时，的面积最大，最大面积是多少？
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
