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专题04 二次函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·模拟预测）函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）
A．B．C．D．
2．（2022·甘肃定西·统考一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
x 0 1 3
y 3 5 3
①；
②当时，y的值随x值的增大而减小；
③和3是方程的根；
④当时，
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为其中下列结论： 其中，结论正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
4．（2022上·湖北武汉·九年级统考期中）抛物线图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·山东济南·一模）若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9
7．（2022上·山东济南·九年级山东大学附属中学阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，方程有两个不同的实数根，，则，，，的大小关系为（ ）
A．p
C．m8．（2022·湖北黄石·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·四川成都·统考一模）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像和反比例函的图像在同一坐标系中大致是（ ）
A．B．C．D．
10．（2022·安徽宣城·校联考一模）若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
11．（2022·广东广州·统考一模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到抛物线，则原抛物线是( )
A． B．
C． D．
12．（2022·浙江·统考二模）点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．>> B．>= C．>> D．=>
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）若二次函数的图象经过，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|﹣1|＞|﹣1|，则＜
B．若a＜0且＜，则|1﹣|＜|1﹣|
C．若|﹣1|＞|﹣1|且＞，则a＜0
D．若+＝2（≠），则AB∥CD
14．（2022·福建·九年级统考学业考试）若二次函数的图像对称轴为直线经过不同的5点，，，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）二次函数可以由经过怎样的平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
二、填空题
16．（2022·福建厦门·校考模拟预测）抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为 ．
17．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
18．（2022·山东德州·校联考一模）已知，是抛物线上的两点，且，若，则 （填“”、“”或“”）
19．（2022·江苏泰州·校考一模）已知抛物线（），经过A，B，C，D四点，则与的大小关系是 （填“>”、“<”或“=”）．
20．（2022·江苏无锡·统考一模）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
21．（2023·上海·校考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
22．（2022·河南·模拟预测）把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y=x2-2x+3,则b的值为 .
23．（2023·上海松江·统考一模）已知一个二次函数的图像经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
24．（2022·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）沿着轴正方向看，抛物线在轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
25．（2022·贵州遵义·一模）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是 ．
三、解答题
26．（2022·江西·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
27．（2022·江苏无锡·统考二模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：
销售单价x（元） 30 35 40 ┄ 70 ┄
每天的销售量y（件） 100 90 80 ┄ 20 ┄
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？
28．（2022·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程的解为： ；
(3)若方程有四个实数根，则a的取值范围是 ．
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：(，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
(1)直接写出z关于x的函数关系式；
(2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；
(3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低而日销售量就比9月30日提高了(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：，，)
30．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
31．（2022·吉林长春·统考一模）如图，抛物线与x轴交于， 两点，与y轴相交于点C，直线经过点A，C．
(1)求抛物线和直线函数解析式；
(2)若点D是y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段绕点E逆时针旋转得到线段且刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2022·浙江温州·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
33．（2023·山西长治·校联考二模）年月日，成部嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉样物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”恤，经统计平均每天可售出件，每件盈利元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
(1)若每件商品降价元，平均每天的销售量为______件．
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
(3)店主想要获得每天元的利润，小明认为不可能，请说明理由．
34．（2022·贵州铜仁·中考真题）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
【能力提升】
35．（2022·上海崇明·统考二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
36．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、．
(1)求的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①；②是的中点；
(3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴于交两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作轴，交于点E．点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标．
38．（2023上·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）如图①，抛物线与轴交于两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6．
(1)求的值；
(2)求外接圆圆心的坐标______；
(3)如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且两点均在第三象限内，是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为的面积为，且，求点的坐标．
39．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．
(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
(3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
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专题04 二次函数及其应用（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022·陕西·模拟预测）函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据各选项中函数的图像可以得到a、b、c的关系,从而可以判断各选项中那个函数图像可能是正确的.
【详解】解： A:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y轴左侧,则b<0,则a+b<0,而图像与y轴交点为(0,a+b)在y轴正半轴,与a+b<0矛盾故此选项错误;
B:由图像可知,开口向下,则a<0,又因为顶点在y轴左侧,则b<0,则a+b<0,而图像与y轴交点为(0,1)在y轴正半轴,可知a+b=1与a+b<0矛盾,故此选项错误；
C：由图像可知开口向上,则a>0,顶点在y轴右侧,则b<0,a+b=1,故此选项正确；
D:由图像可知开口向上则a>0,顶点在y轴右侧,则b<0,与y轴交于正半轴则a+b>0,而图像与x轴的交点为(1,0),则a+b+a+b=0,即a+b=0与a+b>0矛盾,故此选项错误；
故选C.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,中等难度,逐项分析是解题关键.
2．（2022·甘肃定西·统考一模）二次函数（a，b，c为常数，且）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
x 0 1 3
y 3 5 3
①；
②当时，y的值随x值的增大而减小；
③和3是方程的根；
④当时，
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程的关系，有一定难度．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据表格数据求出a和c的符号，二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由表中数据可得出：y的值随x的增大先增大后减小，
∴二次函数开口向下，即．
当时，，即，
∴，故①正确；
∵当时，；当时，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
∵当时，，
∴．
∵，
∴．
当时，，
∴3是方程的根．
∵当时，，
∴，
∴．
当时，，
∴是方程的根，
∴和3是方程的根，故③正确；
设，
∵，则该函数开口向下．
∵和3是方程的根，
∴当时，函数图象位于x轴上方，
∴当时，，故④正确．
综上可知①③④正确，有3个．
故选B．
3．（2023·四川南充·统考三模）如图，二次函数的图象经过点且与x轴交点的横坐标分别为其中下列结论： 其中，结论正确的个数有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，
∴，
∵抛物线对称轴所在的直线在y轴和直线之间，
∵，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵当时，，
∴，故③正确；
∵抛物线顶点纵坐标大于2，
∵，
∴，故④错误；
当时，，
∴,
∵当时，，当时，,
∴，，
∴,
∴，，
∴，
∴，故⑤错误；
综上，①②③正确，共3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等，解答本题关键明确二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
4．（2022上·湖北武汉·九年级统考期中）抛物线图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将抛物线解析式化成顶点式，得出其顶点坐标，根据顶点坐标向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式写出解析式，再展开整理即可．
【详解】解：抛物线，
∴其顶点坐标为，
∵抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴将顶点，向左平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线顶点坐标为，
∴平移后抛物线的表达式，
展开得：．
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，正确利用抛物线的顶点的坐标变化求解是关键．
5．（2023·山东济南·一模）若抛物线向上平移个单位后，在范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据函数图象平移规则“上加下减求得平移后的函数解析式，根据二次函数的性质，结合函数的图象，进而可列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意，平移后的抛物线的表达式为，
∵平移后抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴要使在范围内与x轴只有一个交点，只需时对应图象上的点在x轴下方，时对应函数图象上的点在x轴上或x轴上方，如图，
∴，解得，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象的平移、二次函数与x轴的交点问题，解答的关键是掌握二次函数的性质，以及与方程、不等式的关系．
6．（2022·陕西西安·交大附中分校校考一模）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（ ）m．
A．3 B．6 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标(﹣2，0)代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣(﹣3)＝6（m）．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
7．（2022上·山东济南·九年级山东大学附属中学阶段练习）若关于的一元二次方程有两个不同的实数根，，方程有两个不同的实数根，，则，，，的大小关系为（ ）
A．pC．m【答案】A
【分析】画出y=x2+ax+b和y=2的图象，然后结合图象即可解答．
【详解】函数y=x2+ax+b如图所示：
结合图象可知：p＜m＜n＜q．
故选A.
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是作出抛物线的图象，数形结合进行答题．
8．（2022·湖北黄石·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的开口方向，与x轴的交点，以及当时，y值的符号进行判断即可．
【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴，，
∵，
∴，
∴，故A错误；
∵a、b的值无法确定，
∴的大小无法确定，故B错误；
由图可得，抛物线与x轴有两个交点，
∴，故C错误；
由图象可得，时，，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点与判别式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9．（2022·四川成都·统考一模）已知二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像和反比例函的图像在同一坐标系中大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据二次函数的图像开口向下和对称轴可知b＜0，由抛物线交y的正半轴，可知c＞0，由当x=1时，y＜0，可知a+b+c＜0，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】∵二次函数的图像开口向下，
∴a＜0，
∵- ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴相交于正半轴，
∴c＞0，
∴直线y=bx+c经过一、二、四象限，
由图像可知，当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴反比例函数的图像必在二、四象限，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
10．（2022·安徽宣城·校联考一模）若二次函数y＝2x2－ax－a＋1的图像的对称轴是y轴，则a的值是（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．2
【答案】A
【分析】根据对称轴为y轴列式，求得a值即可．
【详解】解：∵二次函数y=2x2+bx+1的对称轴为y轴，
∴
解得：a=0．
故选A．
【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴的公式．
11．（2022·广东广州·统考一模）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后得到抛物线，则原抛物线是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】抛物线平移．不改变二次项系数，平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律可推出原抛物线顶点坐标为（2，2），根据顶点式可求抛物线解析式．
【详解】平移后抛物线的顶点坐标为（0，0），
根据平移规律，得原抛物线顶点坐标为（2，2），
又平移不改变二次项系数，
∴原抛物线解析式为，
即．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
12．（2022·浙江·统考二模）点（-1，），（3，），（5，）均在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．>> B．>= C．>> D．=>
【答案】D
【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．
【详解】解：∵，a＝－1＜0，
∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下，
∴（3，），（5，）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴>，
根据二次函数图象的对称性可知，（-1，）与（3，）关于对称轴对称，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
13．（2022·浙江杭州·模拟预测）若二次函数的图象经过，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞0且|﹣1|＞|﹣1|，则＜
B．若a＜0且＜，则|1﹣|＜|1﹣|
C．若|﹣1|＞|﹣1|且＞，则a＜0
D．若+＝2（≠），则AB∥CD
【答案】D
【分析】根据D（m，n）、C（2-m，n）两点可确定抛物线的对称轴，再利用二次函数的性质一一判断即可．
【详解】解：∵抛物线过点D（m，n），C（2﹣m，n）两点，
∴抛物线的对称轴为x＝＝1，
若a＞0且|﹣1|＞|﹣1|，则＞，故选项A错误，
若a＜0且＜，则|1﹣|＞|1﹣|，故选项B错误，
若|﹣1|＞|﹣1|且＞，则a＞0，故选项C错误，
若+＝2（≠），则ABCD，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2022·福建·九年级统考学业考试）若二次函数的图像对称轴为直线经过不同的5点，，，，，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得二次函数图象的开口向下，在对称轴直线的右侧y随x的增大而减小，比较各点的横坐标即可得出结论．
【详解】解：∵二次函数的图像对称轴为直线
∴二次函数图象的开口向下，在对称轴直线的右侧y随x的增大而减小
∵＜0＜＜2
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是二次函数增减性的应用，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
15．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）二次函数可以由经过怎样的平移得到（ ）
A．先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
B．先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
C．先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度
D．先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度
【答案】D
【分析】找到两个二次函数的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为（0，0），二次函数的顶点坐标为（2，4），
∵点（2，4）向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到（0，0），
∴二次函数可以由先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
二、填空题
16．（2022·福建厦门·校考模拟预测）抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为 ．
【答案】（1，3）
【分析】根据顶点式判断顶点即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3
∴顶点坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点睛】本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．
17．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）抛物线y＝（k+1）x2﹣2x+1与x轴有交点，则k的取值范围是 ．
【答案】k≤0且k≠﹣1
【分析】利用二次函数的定义及根的判别式大于等于零列不等式组解答．
【详解】解：由题意得： ，
解得k≤0且k≠﹣1，
故答案为：k≤0且k≠﹣1．
【点睛】此题考查二次函数的定义及根的判别式，正确掌握二次函数的定义以及根的判别式判断抛物线与x轴交点个数的方法是解题的关键．
18．（2022·山东德州·校联考一模）已知，是抛物线上的两点，且，若，则 （填“”、“”或“”）
【答案】“”
【分析】先判断抛物线的对称轴，再确定抛物线的增减性，然后根据，可判断点A、B离对称轴的距离，问题即得解决.
【详解】解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴当x>2时，y随x的增大而增大，当x<2时，y随x的增大而减小，
又∵，，
∴A点离对称轴比B点离对称轴的距离近，即B点比A点在图象上的位置要高，
∴.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟知抛物线的性质是解题的关键.
19．（2022·江苏泰州·校考一模）已知抛物线（），经过A，B，C，D四点，则与的大小关系是 （填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【分析】根据A（﹣4，0）、B（2，0）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．
【详解】解：∵抛物线过A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，
∵a＜0，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∵比较可知C点离对称轴远，
∴对应的纵坐标值小，即y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．
20．（2022·江苏无锡·统考一模）用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为 .
【答案】y=（x﹣4）2﹣25
【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
【详解】解：y=x2-8x-9
=x2-8x+16-25
=（x-4）2-25．
故答案为y=（x-4）2-25．
【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
21．（2023·上海·校考一模）在平面直角坐标系中，将抛物线先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】∵，
∴抛物线的顶点为，
将抛物线先绕原点旋转180°抛物线顶点为，
旋转后的抛物线为，
再向下平移5个单位，即．
∴新抛物线的顶点
故答案是：．
【点睛】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，解题的关键是熟知函数图象旋转与平移的法则．
22．（2022·河南·模拟预测）把抛物线y=x2+bx+4的图象向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得到的图象的解析式为y=x2-2x+3,则b的值为 .
【答案】4
【分析】首先根据点的坐标平移规律是上加下减，左加右减，利用这个规律即可得到所求抛物线的顶点坐标，然后就可以求出抛物线的解析式．
【详解】∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，
∴新抛物线的顶点为（1，2），
∵向右平移3个单位，再向上平移2个单位，
∴原抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
∴原抛物线解析式为y=（x+2）2=x2+4x+4，
∴b=4．
故答案为4．
【点睛】此题主要考查了平移规律，首先根据平移规律求出已知抛物线的顶点坐标，然后求出所求抛物线的顶点坐标，最后就可以求出原抛物线的解析式．
23．（2023·上海松江·统考一模）已知一个二次函数的图像经过点，且在轴左侧部分是上升的，那么该二次函数的解析式可以是 （只要写出一个符合要求的解析式）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于二次函数的图象经过点，且在轴左侧部分是上升的，由此可以确定抛物线的对称轴为y轴或在y轴的右侧，且图象开口向下，由此可以确定函数解析式不唯一．
【详解】解：∵二次函数的图像经过点，且在轴左侧部分是上升的，
若二次函数的顶点坐标为，且图象开口向下，
∴二次函数解析式的二次项系数，
∴二次函数解析式不唯一，如：
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
24．（2022·上海黄浦·上海外国语大学附属大境初级中学校考一模）沿着轴正方向看，抛物线在轴左侧的部分是 的（填“上升”或“下降”）．
【答案】下降
【分析】画出函数图象，直观判断即可．
【详解】抛物线的图象如图所示：
可以看出，在y轴左侧部分下降，
故答案为：下降
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意画出正确图象是解决问题关键．
25．（2022·贵州遵义·一模）二次函数y＝x2+4x+5（﹣3≤x≤0）的最小值是 ．
【答案】1
【分析】先把解析式配成顶点式得到y＝（x+2）2+1，由于﹣3≤x≤0，根据二次函数性质得x=0时，y值最大；当x=-2时y值最小，然后分别计算对应的函数值
【详解】解：y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，
当x＝﹣2时，y有最小值1，
∵﹣3≤x≤0，
∴y有最小值1，
故答案为1．
【点睛】本题考查了二次函数的最值：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时其最值为抛物线的顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值
三、解答题
26．（2022·江西·二模）如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．
(1)求点B的坐标．
(2)已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①求抛物线的解析式．
②若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．
③设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，请直接写出线段QD长度的最大值和对应的点Q的坐标．
【答案】(1)点B的坐标为
(2)①；②或；③有最大值，点的坐标为，．
【分析】（1）根据对称轴和点坐标直接求出点坐标即可；
（2）①先根据对称轴求出，再用待定系数法求出，即可得出解析式；
②设点坐标为，根据面积关系求出的值即可；
③用待定系数法求出的解析式，设出点的坐标，根据的代数式求最值即可．
【详解】（1）解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
（2）解：①时，
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
将代入，
得，解得，
抛物线的解析式为；
②抛物线的解析式为，
抛物线与轴的交点的坐标为，，
设点坐标为，
，
，
即，
，
解得，
当时，，
当时，，
点的坐标为或；
③有最大值，点的坐标为，，
设直线的解析式为，
将，代入，
得，，
解得，
即直线的解析式为，
设点坐标为，，
则点坐标为，
，
当时，有最大值，
此时，．
【点睛】本题主要考查二次函数的知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
27．（2022·江苏无锡·统考二模）某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间有如表关系：
销售单价x（元） 30 35 40 ┄ 70 ┄
每天的销售量y（件） 100 90 80 ┄ 20 ┄
（1）求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式；
（2）若商店按照单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价x定为多少才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
（3）该商店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为保证捐款后销售该商品每天获得的利润不低于650元，则每天的销售量最少应为多少件？
【答案】（1）y＝－2x＋160；（2）50元，1200元；（3）20件
【分析】（1）设销售量y与销售单价x之间的关系式为y＝kx＋b（k≠0），将点（30，100）、（35，90）代入上式，即可求解；
（2）由题意得w＝（x－30）（－2x＋160）＝－2（x－55）2＋1250 ，即可求解；
（3）由题意得w＝（x－30）（－2x＋160）－150≥650，解不等式即可得到结论．
【详解】解：（1）由列表描点、连线知y是x的一次函数，
设y＝kx＋b，将任意两对值（30，100）、（35，90）代入得方程组，得
解得：
∴该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式：y＝－2x＋160；
（2）由题意得w＝（x－30）y
＝（x－30）（－2x＋160）
＝－2x2＋220x－4800
＝－2（x－55）2＋1250
∵－2＜0，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w取得增大值1200元；
∴销售单价定为50元才能使销售该商品每天获得的利润w最大，最大利润是1200元；
（3）由题意得w＝（x－30）（－2x＋160）－150≥650，令（x－30）（－2x＋160）－150＝650，
解得：x1＝40，x2＝70，
结合图像可知 （x－30）（－2x＋160）－150≥650时，40≤x≤70，
∴y＝－2x＋160≥20，
∴每天的销售量最少应为20件．
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次不等式的应用、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量×每件的利润＝w得出函数关系式是解题关键．
28．（2022·江苏徐州·校考二模）小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
(1)写出该函数的一条性质： ；
(2)方程的解为： ；
(3)若方程有四个实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)函数图象关于y轴对称
(2)x=-2或x=0或x=2
(3)-1＜a＜0
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据图象的性质，找到纵坐标等于-1，对应的横坐标的值，即可求得；
（2）根据图象的性质，即可得到结论．
【详解】（1）解：观察图象，该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；
故答案为：函数图象关于y轴对称；
（2）解：方程的解为：x=-2或x=0或x=2；
故答案为：x=-2或x=0或x=2；
（3）解：若方程有四个实数根，则a的取值范围是-1＜a＜0．
故答案为：-1＜a＜0．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
29．（2022·湖北黄冈·黄冈中学校考一模）小张投资开办了一个学生文具店．该店在开学前8月31日采购进一种今年新上市的文具袋．9月份(9月1日至9月30日)进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销售量y(个)与销售时间x(天)之间有如下关系：(，且x为整数)；又知销售价格z(元/个)与销售时间x(天)之间的函数关系满足如图所示的函数图象．
(1)直接写出z关于x的函数关系式；
(2)求出在这30天(9月1日至9月30日)的试销中，日销售利润W(元)与销售时间x(天)之间的函数关系式；
(3)“十一”黄金周期间，小张采用降低售价从而提高日销售量的销售策略．10月1日全天，销售价格比9月30日的销售价格降低而日销售量就比9月30日提高了(其中a为小于15的正整数)，日销售利润比9月份最大日销售利润少569元，求a的值．(参考数据：，，)
【答案】25．(1)由图像知，当1≤x≤20时，设z＝kx＋b则有
当20＜x≤30时z＝45
(2)当1≤x≤20时，
＝-x2＋10x＋1200
当20＜x≤30时，
W＝yz－20y＝45(－2x＋80)－20(－2x＋80)
＝－50x＋2000
(3)9月30日的价格为45元，日销售量为20个
9月份当1≤x≤20时日销售利润为
W＝－x2＋10x＋1200＝－(x2－10x＋25)＋1225＝－(x－5)2＋1225
当9月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W＝－50x＋2000，
当x增加时W减小，故为x＝21时最大．最大日销售利润为950元
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45(1－a%)·20(1＋6a%)－20×20(1＋6a%)＝1225－569
化简得18a2－700a＋5200＝0
a1＝10，
答：a的值为10．
【详解】考点：二次函数的应用．
分析：（1）根据图象得出销售价格z与销售时间x（天）的关系为一次函数关系进而求出即可；
（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而求出函数关系式即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函数的最值求法以及一次函数的增减性，得出9月份日销售利润最大为1225元，再利用已知列出等式方程45（1-a%） 20（1+6a%）-20×20（1+6a%）=1225-569进而求出a的值即可．
解：(1)由图像知，当1≤x≤20时，设z＝kx＋b则有
当20＜x≤30时z＝45
(2)当1≤x≤20时，
＝-x2＋10x＋1200
当20＜x≤30时，
W＝yz－20y＝45(－2x＋80)－20(－2x＋80)
＝－50x＋2000
(3)9月30日的价格为45元，日销售量为20个
9月份当1≤x≤20时日销售利润为
W＝－x2＋10x＋1200＝－(x2－10x＋25)＋1225＝－(x－5)2＋1225
当9月5日时日利润最大为1225元．
当20＜x≤30时，利润为W＝－50x＋2000，
当x增加时W减小，故为x＝21时最大．最大日销售利润为950元
综上9月份日销售利润最大为1225元．
由题意得45(1－a%)·20(1＋6a%)－20×20(1＋6a%)＝1225－569
化简得18a2－700a＋5200＝0
a1＝10，
答：a的值为10．
30．（2022·浙江温州·统考二模）已知抛物线y＝x2 ＋bx＋c经过点A（4，3），B（－1，8），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，求m，n的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）将点A，B代入抛物线解析式，解方程组求出b，c即可求出抛物线解析式；
（2）依题意PQ=3，点，抛物线的对称轴为，根据轴对称的性质，列出方程，得，将点P代入抛物线解析式即可求解．
【详解】（1）解：将点A，B代入抛物线线，
得 ，
解这个二元一次方程组，得 ，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当x=0时，=3，
所以点C（0，3），
把点C向下平移m（m＞0）个单位得到点M．若点M向右平移n（n＞0）个单位，将与该抛物线上的点P重合；若点M向右平移（n＋3）个单位，将与该抛物线上的点Q重合，
所以M（0，3-m），
则点，
，
抛物线的对称轴为：，
，解得，，
将点P代入，得，
解得，，
所以，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，二次函数的轴对称的性质，待定系数法求二次函数的解析式，点的平移规律等知识，利用二次函数的轴对称性质是解本题的关键．
31．（2022·吉林长春·统考一模）如图，抛物线与x轴交于， 两点，与y轴相交于点C，直线经过点A，C．
(1)求抛物线和直线函数解析式；
(2)若点D是y轴左侧抛物线上一点，且，求点D的坐标；
(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E，使线段绕点E逆时针旋转得到线段且刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)存在，或
【分析】(1)把点A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，即可求得二次函数的解析式，即可求得点C的坐标，再把点A、C的坐标分别代入一次函数的解析式，即可求得一次函数的解析式；
(2)设点D的坐标为，再根据DC=DA及两点间距离公式，即可求得点D的坐标；
(3) 当点E在x轴上方时，可求得对称轴与AC的交点为E的坐标，对称轴与x轴的交点为F，连接BE，可证得，即可求得点E的坐标．当点E在x轴下方时，设点E的坐标为，则A1M=EF=-n，AF=EM=，进而即可求解．
【详解】（1）解：把点A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，得
解得
故二次函数的解析式为
令x=0，则y=4
故点C的坐标为(0,4)
把A、C的坐标分别代入，得
解得
故一次函数的解析式为
（2）解：设点D的坐标为
，
化简得：
解得，(舍去)
故点D的坐标为
（3）解：存在；
当点E在x轴上方时，
抛物线的对称轴所在直线为
把代入，得，
如图：设对称轴与AC的交点为E，对称轴与x轴的交点为F，连接BE
点E的坐标为
存在点E，线段绕点E逆时针旋转得到线段且刚好落在抛物线上，此时点与点B重合
的坐标为，
当点E在x轴下方时，如图，则，A1M=EF，AF=EM，
设点E的坐标为，则A1M=EF=-n，AF=EM=，
∴点A1的坐标为，
∴，解得：n=或，
综上所述：的坐标为或
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，两点间距离公式，坐标与图形，旋转的性质，作出图形是解决本题的关键．
32．（2022·浙江温州·统考三模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线解析式，并根据该函数图象写出x＜0时y的取值范围；
（2）将线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′（m，n均为正数），若点O′，B′均落在此二次函数图象上，求m，n的值．
【答案】（1）；；（2）m=1；
【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，再求出C点坐标，然后写出在y轴左侧的二次函数值的范围即可；
（2）利用点平移的坐标变换规律写出O′（m，n），B′（4+m，n），把它们代入抛物线解析式得到，然后解方程组即可．
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A（2，0），B（4，0），
∴抛物线解析式为y=（x-2）（x-4），
即y=x2-6x+8，
当x=0时，y=x2-6x+8=8，即C（0，8），
所以当x＜0时，y＞8；
（2）∵线段OB向右平移m个单位，向上平移n个单位至O′B′，
∴O′（m，n），B′（4+m，n），
∵点O′，B′均落在此二次函数图象上，
∴，
解得，
即m的值为1，n的值为3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
33．（2023·山西长治·校联考二模）年月日，成部嘉祥外国语学校第二十一届秋季运动会拉开帷幕，本次运动会以“青春展风采，运动向未来”为主题，作为本次运动会吉样物“嘉乐宝”深受大家的喜爱． 嘉祥文创店准备生产并售卖印有“嘉乐宝”恤，经统计平均每天可售出件，每件盈利元，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件．
(1)若每件商品降价元，平均每天的销售量为______件．
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？
(3)店主想要获得每天元的利润，小明认为不可能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当每件商品降价元或元时，该商品每天销售利润为元；
(3)店主不能获得每天元的利润，理由见解析．
【分析】()由题意列式计算即可；
()设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为元，列出一元二次方程，解方程即可；
()设每件商品降价元时，根据该商店每天销售利润为元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：若每件商品降价元，则平均每天可多售出（件），
∴平均每天销售量为（件），
故答案为：；
（2）解：设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元，
由题意得：，
整理得，，
解得，，
答：当每件商品降价元或元时，该商品每天销售利润为元；
（3）解：店主不能获得每天元的利润，
理由如下：设每件商品降价元时，该商品每天的销售利润为元，
由题意得：，
整理得，，
∵，
∴此方程无实数根，
∴店主不能获得每天元的利润．
34．（2022·贵州铜仁·中考真题）铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备（安装时间不计），这样既改善了环境，又降低了原料成本，根据统计，在使用回收净化设备后的1至x月的利润的月平均值w（万元）满足w=10x+90．
（1）设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y，请写出y与x的函数关系式．
（2）请问前多少个月的利润和等于1620万元？
【答案】解：（1）y=w x=（10x+90）x=10x2+90x（x为正整数）．
（2）设前x个月的利润和等于1620万元，
则10x2+90x=1620，即：x2+9x﹣162=0．
解得：x1=9，x2=﹣18（舍去）．
答：前9个月的利润和等于1620万元．
【详解】试题分析：（1）利用“总利润=月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可．
（2）根据总利润等于1620列出方程求解即可．
【能力提升】
35．（2022·上海崇明·统考二模）如图．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为，对称轴为直线．点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交直线BC于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物的解析式；
(2)当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，求线段EF的长度：
(3)如果将沿直线CE翻折，点F恰好落在y轴上点N处，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)N的的坐标是
【分析】（1）根据抛物线过点A，对称轴为直线列方程计算即可；
（2）求出B、C坐标及直线BC解析式，由可得，再设E、F的坐标，根据相似计算即可；
（3）由翻折结合EF∥y轴可得，设E、F坐标计算即可．
【详解】（1）由题意得：
解得：
∴所求的抛物线的解析式是：
（2）由题意得：，
∴直线BC的解析式为：
∴，
∴
设，则
当以C、E、F为顶点的三角形与相似时，
①若，则，
∴或 （舍去）
∴
②若，则，
∴或 （舍去）
∴
（3）
∵是由沿直线CE翻折而得
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
设，则
∵，
解得：或 （舍去）
∴
∴
∴N的的坐标是
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
36．（2023上·吉林·九年级校考期末）如图，已知抛物线经过原点，与轴上另一交点为，它的对称轴为与轴交于点，直线经过抛物线上一点，且与轴、直线分别交于点、．
(1)求的值及该抛物线对应的函数关系式；
(2)求证：①；②是的中点；
(3)在该抛物线上是否存在一点，使得．若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，抛物线的解析式为；
(2)①证明见解析，②证明见解析；
(3)存在，点的横坐标m为或，理由见解析．
【分析】（1）将B点代入直线解析式得出m的值，然后得出点B的坐标，设，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①首先求得E点坐标，然后求得，进而得证；
②分别求得，，进而得到，D是的中点；
（3）若，则P点必在线段的垂直平分线上即直线上，可求出直线的解析式，联立抛物线即可求出P点的坐标．
【详解】（1）解：将代入得．
设，将、代入得，
，
抛物线的解析式为．
（2）证明：①当时，，
．
，
．
，
，
．
②，，
，
是的中点．
（3）存在．由（2）知直线是线段的垂直平分线，所以直线与抛物线的交点即为所求点．
设直线对应的函数关系式为，
将代入得：，
解得：，
∴直线对应的函数关系式为，
，
代入得，，
解得：，．
即点的横坐标为或．
【点睛】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、点的坐标与线段长度的转化，综合性较强，解答本题的关键是注意各知识点的融会贯通以及数形结合的数学思想方法的运用．
37．（2023上·辽宁阜新·九年级阜新实验中学校考阶段练习）如图，抛物线与x轴于交两点，交y轴于点C，连接，点D为上方抛物线上的一个动点，过点D作轴，交于点E．点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，若，求点P的坐标；
(3)求线段的最大值，并求出此时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)，
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、待定系数法求函数的解析式，以及二次函数和一元二次方程的关系等，解题的关键是设相关点的坐标，表示线段长度列方程，根据题意列出正确的方程．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求出的面积，再得出的面积即，利用三角形面积公式即可求出P的纵坐标；
（3）利用待定系数法求的解析式，设点，则点E的坐标是，用含t的代数式表示的长度，根据二次函数的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，抛物线的表达式为：，
则抛物线的表达式为：；
（2）当时，，
∴点C的坐标为
，
，
，
，
，
或，
∴当时，，
∴无解，
当时，
，
，
点坐标为或
（3）设直线的解析式为，
将代入
得，
解得，
∴直线的解析式为．
设点，则点E的坐标是，
，
∴当时，线段的最大值为，
∴此时点D的坐标为．
38．（2023上·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考阶段练习）如图①，抛物线与轴交于两点（点位于点的左侧），与轴交于点．已知的面积是6．
(1)求的值；
(2)求外接圆圆心的坐标______；
(3)如图②，是抛物线上一点，为射线上一点，且两点均在第三象限内，是位于直线同侧的不同两点，若点到轴的距离为的面积为，且，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)Q坐标为
【分析】（1）分别令，，求出三点的坐标，根据即可求解；
（2）分别求出线段、的垂直平分线的解析式，再求其交点坐标即可；
（3）作轴交轴于，作 ，可推出；结合可得四边形为平行四边形，,
，进而得；求出的解析式可得点的坐标，求出的解析式可设出点的坐标，即可求解．
【详解】（1）解：，
令，即，
解得，
由图象知：，
，
令，则，
∴，
，
，
解得：（舍去），
∴；
（2）解：由（1）得：，，
，
线段的垂直平分线过原点，
设线段的垂直平分线的解析式为：，
∵的中点坐标为：，
∴，
解得：，
线段的垂直平分线解析式为：，
由 得：
线段的垂直平分线为，
将代入得：
，
外接圆圆心的坐标．
故答案为：．
（3）解：作轴交轴于，作 ，
则
到的距离相等，
∴
由（2）得：，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，,
∴,
∴
由（2）可设直线的解析式为：
将代入得：，
∴直线的解析式为：
设直线解析式为：
将点代入得：
∴
∴直线的解析式为
联立
解得：或
点坐标为
∵点为射线上一点，设
由得：
解得：（舍去，此时）
坐标为
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与坐标轴的交点问题、三角形的外接圆、一次函数的解析式求解等知识点，综合性较强，掌握相关函数结论是解题关键．
39．（2023上·上海嘉定·九年级统考期末）定义：对于抛物线（、、是常数，），若，则称该抛物线是黄金抛物线，已知平面直角坐标系，抛物线是黄金抛物线，与轴交于点，顶点为．
(1)求此黄金抛物线的表达式及点坐标；
(2)点在这个黄金抛物线上．
①点在这个黄金抛物线的对称轴上，求的正弦值．
②在射线上是否存在点，使以点、、所组成的三角形与相似，且相似比不为1．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①，②存在，
【分析】（1）根据黄金抛物线的定义，列出方程求出值，进而求出顶点的坐标即可；
（2）①将点代入解析式，求出的值，求出对称轴，得到的值，进而求出的长，勾股定理逆定理，得到，利用正弦的定义，求解即可；
②分和，两种情况进行讨论求解即可．
本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质．利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键．
【详解】（1）解： 抛物线是黄金抛物线，
，
所求抛物线的表达式为，
配方得：，
点的坐标为；
（2）①由（1）得：抛物线的对称轴是直线，
点的坐标为，
点在这个黄金抛物线上，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
．
②存在
过点作，垂足为
抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
要使以点、、所组成的三角形与相似，有两种情况
第一种：，
又，，
∴与全等，相似比为1，不合题意，舍去；
第二种：，
∵，
，
，
，
，，
，
点在射线上，
点的坐标为．
40．（2023上·四川遂宁·九年级射洪中学校联考阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
(3)点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请直接写出点、的坐标；
【答案】(1)
(2)
(3)，或，
【分析】（1）把，代入，求出的值，即可作答．
（2）过点E作轴，交于点F，求出一次函数直线的解析式，设，利用铅垂高×水平宽×等于，代入数值计算化简，结合二次函数的图象性质，即可作答．
（3）设，结合平行四边形的性质：对边平行且相等，运用点的平移性质列式计算即可作答．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，
∴把，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图：过点E作轴，交于点F，
设直线的解析式为
把，代入，
得
解得
∴抛物线的解析式为；
设，
则
故
∵点E是第四象限内抛物线上的动点，
即
∴，开口向下，当时，有最大值，即；
（3）解：∵
∴对称轴直线；
∵点在抛物线的对称轴上，点在轴上，
∴设
∵以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，
∴当四边形是平行四边形时，如图：
∵，，
∴点向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B，
则向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点
即
解得，
此时，；
∴当四边形是平行四边形时，如图：
∵，，
∴点向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点B，
则向右平移三个单位，向上平移三个单位，到点
即
解得，
此时，；
综上：满足条件为：，或，
【点睛】本题考查了二次函数与特殊平行四边形综合，二次函数的图象性质与面积最大值、平行四边形的性质、平移性质、待定系数法求二次函数的解析式，难度较大，综合性强，熟练运用分类讨论是解决第（3）小问的关键
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