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专题03 反比例函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式
（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据反比例的三种形式判断即可．
【详解】解：反比例的三种形式分别为：，，．
①中的次数是，是一次函数，不是反比例函数；
②，③是反比例函数；
④中分母是，故不是反比例函数；
⑤是反比例函数；
⑥中没有，故不是反比例函数；
⑦分母是，故不是反比例函数；
⑧中的次数是，是一次函数，不是反比例函数．
故有三个是反比例函数．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）若，两点都在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】首先利用待定系数法求得该函数解析式，然后再将点代入求解即可．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴可有，解得，
∴该函数解析式为，
将点代入反比例函数，
可得
故选：A．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图像上点的特征，正确求得反比例函数解析式是解题关键．
【变式2】（2023上·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【分析】反比例函数的自变量次数为，y随x的增大而增大，说明反比例函数在第四象限，且，据此列出方程与不等式即可求得m的值．
【详解】由题意得： ．
∴且．
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义及其增减性，解题的关键根据反比例函数的定义及增减性列出方程与不等式．
【变式3】（2021·广东广州·统考三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（ ）
A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）
【答案】D
【分析】由方程根的情况可求得m的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，
∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m＜0，
解得m＜﹣1，
∴m+1＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，
∴反比例函数的图象可能经过点（﹣3，1），
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m的取值范围是解题的关键．
考点2：反比例函数图像
典例2：（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数和一次函数的图象和性质，进行判断即可．
【详解】解：当时，经过第一、三象限，经过第二、三、四象限，
故A、C不符合题意；
当时，经过第二、四象限，经过第一、二、三、象限，
故B符合题意，D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的图象和性质．
【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校考期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的解析式是，然后将，代入即可求得k的值，然后注意观察双曲线的形状和x的取值范围．
【详解】A、反比例函数的取值范围是，故不存在第三象限的部分图像，此选项错误；
B、反比例函数的图像是曲线型，不是直线型，此选项错误；
C、点不在图示的函数图像上，此选项错误；
D、点是满足函数的图像上的点，且是在第一象限的双曲线型，此选项正确．
故选：D．
【点睛】反比例函数的图象是双曲线，设，根据当时，，求出k，即可得出y与x的函数图象．解题的关键是：注意本题中，所以只取双曲线的第一象限的一支．
【变式2】（2022·浙江温州·统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图可求出压强与气体的体积的关系式为，为了不让气球爆炸，则需要，结合图象可知：若，则．
【详解】解：由图可知函数为反比例函数，且过，
设气球内气体的压强与气体的体积的关系为，
则，即，
为了不让气球爆炸，则需要，
当时，，如图：
结合图象可知：若，则，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键是结合函数图象求出压强与气体的体积的关系，并根据的取值求出的取值．
【变式3】（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得一次函数图象经过的象限以及反比例函数图象所在的象限．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴，
∴直线经过第一，二，四象限，反比例函数的图象分布在第二、四象限，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系，解题的关键是判断出a，b，c的符号．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：（2023·广东广州·统考中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据正比例函数的图象经过点，在第四象限，推出，根据反比例函数的图象位于第一、第三象限，推出，则一次函数的图象经过第一、二、四象限，即可解答．
【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，在第四象限，
∴正比例函数经过二、四象限，
∴，
∵反比例函数的图象位于第一、第三象限，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则一次函数的图象一定不经过第三象限，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数和反比例函数的图象和性质．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故不符合题意；
、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
、当时，随的增大而减小，故不符合题意；
故选：．
【变式2】（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得，而 时，，则，然后解不等式即可；
【详解】解：∵反比例函数的图象上有
当时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．
【变式3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
【答案】C
【分析】根据反比例函数的性质逐项排查即可解答．
【详解】解：A．的图像位于第一、三象限，故该选项不符合题意；
B． 的图像与坐标轴没有有公共点，故该选项不符合题意；
C． 的图像所在的每一个象限内，随的增大而减小，故该选项符合题意；
D． 由的图像经过点，则，计算得或，故该选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，明确题意、正确利用反比例函数的性质是解答本题的关键．
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
典例4：（2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小．
【详解】解：∵，
∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限，
如图所示：
当时，，
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小．
【变式1】（2022·北京朝阳·统考一模）点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．存在，使得
【答案】C
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
【变式2】（2022下·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知点、、都在反比例函数的图象上，且．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内的图象随的增大而增大，根据结合函数图像即可判断的大小．
【详解】解：∵的图象在二、四象限，且在每个象限内的图象随的增大而增大，
又∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，熟知当时，反比例函数图象的特点是解答此题的关键．
【变式3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
将点代入得：，
则反比例函数的解析式为，
所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，
又点在函数的图象上，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．
考点5：反比例函数k的几何意义
典例5：（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【详解】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S四边形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
【变式1】（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】如图所示，点在上，证明，根据的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，
∵，，
∴．
∴．
∴ ．
∵点在第二象限，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2】（2023下·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( )
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【答案】B
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】∵点E为OC的中点，
∴，
∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴，
∴S△OCD＝1，
则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】作AD⊥x轴，BC⊥x轴，由即可求解；
【详解】解：如图，作AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∵，
∴
∵
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识，结合图像进行求解是解题的关键．
【变式4】（2023下·八年级课时练习）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据轴可以得到，转换成反比例函数面积问题即可解题．
【详解】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵轴
∴AB⊥y轴，
∴，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线上，且B在第二象限
∴
∴
故选C
【点睛】本题考查反比例函数问题，熟记反比例函数面积与k的关系是解题的关键．
【变式5】（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=
【详解】∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，
且A，B两点的横坐标分别是2和4，
∴当x=2时，y=2，即A（2，2），
当x=4时，y=1，即B（4，1），
如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，
则S△AOC=S△BOD=×4=2，
∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，
∴S△AOB=S梯形ABDC，
∵S梯形ABDC=（BD+AC） CD=×（1+2）×2=3，
∴S△AOB=3，
故选B．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积，熟知反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S与k的关系为S=|k|是解题的关键．
【变式6】（2023上·河北石家庄·九年级校考期末）如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数的性质判断即可．在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值；在反比例函数的图像中任取一点，过这一个点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为，且保持不变．
【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积为6，第二个图形中阴影部分面积为3，第三个图形中阴影部分面积为6，第四个图形中阴影部分面积为
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，解题关键是能够理解并熟练运用反比例函数的系数k的几何意义．
【变式7】（2023下·山东济南·九年级统考开学考试）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据三角形的面积可求出，进而求出点的坐标，确定的值，再根据三角形的面积与的关系求出结果即可．
【详解】解：连接，
，
，
，三角形的面积为3，
，
，
点
，
，
故选：．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，确定点的坐标和的值，是正确解答的关键．
考点6：求反比例函数解析式
典例6：（2023下·天津河东·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
【答案】
【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴，解得：，
故答案为-
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【变式1】（2023下·山东德州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是 ．
【答案】
【分析】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可．
【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则，
∵点恰好在反比例函数的图像上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键．
【变式2】（2023下·江苏·九年级专题练习）一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度的变化，到达时所用的时间的变化情况如图所示，那么行驶过程中与的函数表达式为 ．
【答案】
【分析】观察图象可知与成反比例函数关系，可设与的关系式为：，将点代入求得，进而得到与的关系式．
【详解】解：由图象可知与成反比例函数关系，
设与的关系式为：，
将点代入得：，
∴，
∴与的关系式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意和熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【变式3】（2023下·全国·八年级专题练习）如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝的图象于点B，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝2AC，则m的值是 ．
【答案】
【分析】首先根据BC∥x轴，可设B（x，y），C（a，y），根据B在反比例函数y＝的图象上，可得xy＝m﹣3，再根据AB＝2AC可得，再把，代入xy＝m﹣3中求得ay＝，根据C在反比例函数y＝的图象上，得ay＝m+6，得到＝m+6，解方程即可．
【详解】解：∵BC∥x轴，
∴设B（x，y），C（a，y），
∵B在反比例函数y＝的图象上，
∴xy＝m﹣3，
∵AB＝2AC，
∴|x|＝2a，
∵x＜0，
∴，
∴﹣2ay＝m﹣3，
∴ay＝，
∵C在反比例函数y＝的图象上，
∴ay＝m+6，
∴＝m+6，
∴m＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数图像上点的坐标特点是解题的关键．
考点7：反比例函数与一次函数
典例7：（2023·全国·九年级专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【分析】先根据反比例函数图像的对称点求出点的坐标，然后根据的解集即为反比例函数在一次函数上方的部分可得答案．
【详解】解析：正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，
，
由图像可知，当时，x的取值范围是或，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据反比例函数的对称性得出点的坐标的坐标是解本题的关键．
【变式1】（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，m），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论．
【详解】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故选：D．
【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=(m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D的坐标；
(3)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围．
【答案】(1)一次函数的解析式为y1=x-1；反比例函数的解析式为y2=
(2)点D(0，-3)或(0，1)
(3)x>4或-2＜x＜0
【分析】（1）先求得反比例函数的解析式，根据平移的性质得到点B(4-2a，1-a)，再代入反比例函数的解析式，可求得a，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）利用S△ABD= S△ACD+ S△BCD列式求得CD=2，进一步计算即可求得点D的坐标；
（3）根据函数的图象和交点坐标即可求得．
【详解】（1）解：将A(4，1)代入y2=得：m=41=4，
∴反比例函数的解析式为y2=，
∵将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合，
∴点B(4-2a，1-a)，
把B(4-2a，1-a) 代入y2=得：
∴(4-2a) (1-a) =4，
解得：a=0(舍去)或a=3，
∴点B(-2，-2)，
将A(4，1)，B(-2，-2)代入y1=kx+b得：
，解得：，
∴一次函数的解析式为y1=x-1；
（2）解：由题意得：S△ABD= S△ACD+ S△BCD=CD4+CD2=6，
解得：CD=2，
∵y1=x-1，
当x=0时，y1=-1，
∴点C(0，-1)，
∵CD=2，
∴点D(0，-3)或(0，1)；
（3）解：A(4，1)，B(-2，-2)，
当y1>y2时，自变量x的取值范围：x>4或-2＜x＜
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．其知识点有平移的性质，待定系数法求解析式，解方程组等，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
【变式3】（2023上·吉林延边·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），；（2）；（3）或
【分析】（1）由题意先求出，然后得到点B的坐标，进而问题可求解；
（2）由（1）可得以PB为底，点A到PB的距离为高，即为点A、B之间的纵坐标之差的绝对值，进而问题可求解；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】解：（1）把点代入反比例函数解析式得：，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴，解得：，
∴，
把点A、B作代入直线解析式得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∵轴，
∴，
∴点A到PB的距离为，
∴；
（3）由（1）及图象可得：当时，x的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．
【变式4】（2023·广东茂名·校考一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)或
(3)8
【分析】（1）把的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，然后把代入即可求得的值，利用待定系数法可得一次函数的解析式；
（2）根据图象可得结论；
（3）求出点的坐标，根据即可求解．
【详解】（1），在的图象上，
，
反比例函数的解析式是．
．
，在函数的图象上，
，
解得：．
则一次函数的解析式是．
所以一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是；
（2）由图象得：当或时，；
（3）直线与轴相交于点，
的坐标是．
．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，根据待定系数法求出函数的解析式是解题关键．
【变式5】（2023·河南南阳·统考三模）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．
【分析】（1）分别令中x、y＝0求出点A、B的坐标，再根据三角形的面积公式结合△OBM的面积是1求出点M的纵坐标，将其代入一次函数解析式中求出点M的坐标，根据点M的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的解析式；
（2）找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，分和两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求出、的长度，结合点B的坐标即可得出结论．
【详解】（1）解：令x＝0，，
∴点A的坐标为；
令，解得：，，
∴点B的坐标为．即OB=1，
∵，
∴yM＝2，
当y＝－2x－2＝2时，x＝－2，
∴点M的坐标为（－2，2）．
∵点M在反比例函数（m≠0）的图象上，
∴m＝－2×2＝－4，
∴反比例函数的解析式为．
（2）：依照题意找出点P并过点M作MC⊥x轴于点C，如图所示．
当时，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵点B（－1，0），点M（－2，2），
∴点C（－2，0），
∴BC＝1，，
∴，
∴，
∴，
∴点P1的坐标为（－6，0）；
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点A的坐标为；
∴OA=2，
∵OB=1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点的坐标为（4，0）．
综上所述：点P的坐标为（－6，0）或（4，0）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质找出各边之间的比例关系是解题的关键．
【变式6】（2023下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（m，2），B（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；
(3)若点P在y轴上，且BPOA，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)△OAB的面积为3
(3)点P的坐标（0，3）或（0，5）
【分析】（1）把B（﹣1，4）代入y求得，将点A（m，2），代入，进而求得的值，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据直线解析式求得点的坐标，根据求解即可；
（3）设，根据BPOA，列出方程解方程求解即可求解．
【详解】（1）把B（﹣1，4）代入y，
，
反比例函数解析式为：
将点（m，2），代入，即，得
设直线解析式为
解得
一次函数的解析式为
（2）由，令，得
（3）设，，，
BPOA，
解得
点P的坐标（0，3）或（0，5）
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理求坐标系中两点距离，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键．
【变式7】（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数的解析式与点的坐标；
(2)连接、，求的面积；
(3)点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标．
【答案】(1)，点
(2)
(3)
【分析】（1）首先根据一次函数可求得A的坐标，再将A代入反比例函数中可求得反比例函数的解析式，联立二函数可得点B的坐标．
（2）求得与轴的交点坐标后即可求出面积．
（3）设点，由已知可得斜率，从而求出点D坐标．
【详解】（1）点在一次函数的图象上，，点，
点在反比例函数的图象上，，；
联立，解得：，，点；
（2）设与轴的交点为点，则点，，
；
（3）设点，，，
，，（舍），．
【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合知识，解题的关键在于找到关键点，从而突破思路．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【答案】(1)．
(2)该液体的密度为．
【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
【详解】（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用待定系数法即可完成；
（2）把V=3和V=9代入（1）所求得的解析式中，即可求得密度的变化范围．
【详解】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
（2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．
【变式2】（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；
(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
【答案】(1)4，6
(2)
(3)当时，
【分析】（1）由图象找到图象的最高点即可回答；
（2）设，把点代入得，由于从4小时后开始下降，得到，即可得到答案；
（3）求出当时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由图象可知抗生素服用4小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有6微克；
故答案为：4,6；
（2）解：∵血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，
∴可设，
把点代入得，，解得，
又∵从4小时后开始，
∴，
故y与x之间的函数解析式为；
（3）当时，，
∴该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法和求函数值是解题的关键．
【变式3】（2023上·河北张家口·九年级校考阶段练习）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)能在15天以内不超过最高允许的，理由见解析
【分析】（1）根据函数图象，分类讨论①当时，设线段对应的函数表达式为②当时，设 ，待定系数法求解析式即可求解；
（2）令，则，结合题意即可求解．
【详解】（1）分情况讨论：
①当时，
设线段对应的函数表达式为
把代入得，
解得：，
；
②当时，设 ，
把代入得：，
∴ ；
综上所述：当时，；时， ；
（2）能；理由如下：
令，则，
，
故能在天以内不超过最高允许的．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，求得解析式是解题的关键．
【变式4】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据图像设正比例函数解析式为，根据图像可知函数解析式。再利用待定系数法即可求出恒定温度；
(2)根据图像可知整个图像由三部分组成：正比例函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出函数解析式；
(3)根据各时间段的函数解析式算出时的值，用小时减去这些时间即可．
【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意，
∴可得方程，
∴，
∴直线,
∵当时，
∴恒定温度为：．
（2）解：由(1)可知：正比例函数解析式为，
根据图像可知：，
设小时内函数解析式为：，根据题意，
可得方程：，
∴，
∴函数解析式为：，
∴小时函数解析式为：，
（3）解：∵当时，，
∴，
∵当时，，
∴，
∴在之间是气温是低于的，
∴气温低于的总时间为：，
∴气温高于的适宜温度是：．
【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数和常函数解析式，解答时应注意临界点的应用．
【便是5】（2023下·江苏·八年级专题练习）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【答案】(1)
，A点对应的指标值为；
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设反比例函数解析式为，然后把点代入求解即可得到反比例函数解析式，然后令，求出的值，即可求得点A对应的指标值；
（2）由图知学生的注意力指标最高为15，由此解答即可．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为，
由图知，反比例函数过点，
代入解析式得，
解得，
∴反比例函数的关系式为，
当时，，
则A点对应的指标值为；
（2）解：不能，理由如下：
由图知学生的注意力指标最高为15，
故注意力指标达不到
【点睛】本题主要考查了函数图像的应用，一次函数与反比例函数综合，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数与反比例函数的相关知识．
考点9：反比例函数与几何综合
典例9：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－
(1)求点A的横坐标；
(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【答案】(1)A（-1，-2）
(2)
【分析】（1）将y=-2代入中即可求解；
（2）由题意可得B（2，），则C（-1，），由即可求解；
【详解】（1）解：将y=-2代入中，
，解得：，
∴A（-1，-2）．
（2）由题意可得B（2，），
∵轴，轴，
∴C（-1，），
∴
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数相关知识是解题的关键．
【变式1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值；
(2)如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）把点代入一次函数，得到n的值为3；再把点代入反比例函数，得到k的值为12；
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为，过点A作轴，垂足为G，根据勾股定理得到，再根据菱形的性质可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点代入一次函数，得：
；
∴点，
把点代入反比例函数，得：
，解得：；
（2）解：∵一次函数与轴相交于点B，
当时，，
解得，
∴点B的坐标为，
如图，过点A作轴，垂足为G，
∵，
∴，
∴，
在中，．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的综合，涉及了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
【变式2】（2023下·广东广州·九年级执信中学校考阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）点G的坐标为或，这两个点都在反比例函数图象上
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明 ，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【详解】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝ ，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝ ＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在RT△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
【点睛】本题主要考查反比例函数，解题关键是过点F作FH⊥y轴于点H.
【变式3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标．
【答案】(1)；
(2)（，）；
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
【详解】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为（0，m），
∴，
∵点B为，
∴，，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得，
∴点E的坐标为（，）；
【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
【变式4】（2023·江苏泰州·统考一模）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
(1)求，的值：
(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，将点A代入即可求得，证明△AOE≌△BOF，从而求得点B坐标，将点B代入求得；（2）由可得OC=OA=OB=OD，可得C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可求得坐标．
【详解】（1）如图，过点A作AE⊥y轴交于点E，过点B作BF⊥y轴交于点F，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠BOF=∠EAO，
又∵∠AEO=∠OFB，OA=OB，
∴△AOE≌△BOF（AAS），
∴AE=OF，OE=BF，
∵点A的坐标为，
∴AE=1，OE=4，
∴OF=1，BF=4，
∴B（4，-1），
将点A、B分别代入和，
解得，，；
（2）由（1）得，点A在图象上，点B在图象上，两函数关于x轴对称，
∵，
∴OC=OA=OB=OD，
只需C与B关于x轴对称，A与D关于x轴对称即可，如图所示，
∴点C（4，1），点D（1，-4）．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定和性质，熟知反比例函数的性质是解题的关键．
【变式5】（2023下·江苏·八年级期末）如图，已知点P在反比例函数上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图像于点D．
(1)若点P（2，4），求；
(2)若CD＝1，，求反比例函数解析式．
【答案】(1)8
(2)
【分析】（1）过点D作DE⊥PA于点E，证明四边形EAQD是矩形，根据DE=QA=PA=4，代入三角形面积公式解答；
（2）设P(m,n)，则D(m+n,m-1)，得到mn=(m+n)(m-1)，， 根据，推出AP：AE=3：1，得到n=3(m-1)，推出，求出m=3，n=6，k=18，即得答案．
【详解】（1）过点D作DE⊥PA于点E，
则∠AED=90°，
∵PA⊥x轴，垂足为点A，
∴∠PAQ=90°，
∵PB⊥y轴，垂足为点B，
∴PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
由旋转知，∠AQC=∠APB=90°，
∴∠EDQ=360°-（∠AED+∠EAQ+∠AQD）=90°，
∴∠EDQ=∠AED=∠EAQ=∠AQD=90°，
∴四边形EAQD是矩形，
∵P（2,4）
∴PA=4
∴DE=QA=PA=4，
∴；
（2）设P(m,n)，则D(m+n,m-1)，
∴mn=(m+n)(m-1)，
∴，
∵AQ=DE，AE=DQ，AD=DA，
∴△ADQ≌△DAE(SSS)，
∴，
∵，
∴
，
∴AP=3AE，
∴n=3(m-1)，
∴，，
∴m=1，或m=3，
∴n=0（舍去），或n=6，
∴k=18，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数，旋转，三角形面积，解决问题的关键是添辅助线构建矩形，熟练运用矩形的边角性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质，旋转的性质，同高三角形的面积的性质．
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专题03 反比例函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）反比例函数的概念
（1）定义：形如y＝（k≠0）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：y=，y=，xy=k.（其中k为常数，且k≠0）
（二）反比例函数图像性质
反比例函数
的符号
所在象限 一、三象限 二、四象限
大致图像
增减性 在一个支上（每一个象限内），随的增大而减小。 在一个支上（每一个象限内），随的增大而增大。
对称性 图像关于原点对称；关于y=x、y=-x对称
（三）待定系数发生求解析式
①设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；
②把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出解析式
（四）反比例函数k的几何意义
（1）意义：从反比例函数y＝（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：（基础）
（五）反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.
（六）反比例函数实际应用
（1）题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2）设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
考点一遍过
考点1：反比例函数定义
典例1：（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）若，两点都在反比例函数的图像上，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【变式2】（2023上·江西吉安·九年级统考期末）已知反比例函数，当时，y随x的增大而增大，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式3】（2021·广东广州·统考三模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实数根，则反比例函数的图象可能经过点（ ）
A．（3，1） B．（0，3） C．（﹣3，﹣1） D．（﹣3，1）
考点2：反比例函数图像
典例2：（2023上·湖南邵阳·九年级统考阶段练习）函数和在同一坐标系中的图象可以大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·广东深圳·九年级校考期末）一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）成反比例关系，当时，，则y与x的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·浙江温州·统考二模）某气球内充满一定质量的气体，温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积的关系是如图所示的反比例函数．当气球内气体的压强大于200kPa，气球就会爆炸．为了不让气球爆炸，则气球内气体的体积需满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023下·安徽蚌埠·九年级校考开学考试）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
考点3：反比例函数的增减性
典例3：（2023·广东广州·统考中考真题）已知正比例函数的图象经过点，反比例函数的图象位于第一、第三象限，则一次函数的图象一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小
【变式2】（2023上·广东广州·九年级广东广雅中学校考阶段练习）已知反比例函数的图象上有两点，当时，，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·湖北武汉·统考中考真题）关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A．图像位于第二、四象限
B．图像与坐标轴有公共点
C．图像所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图像经过点，则
考点4：反比例函数图像性质——比较大小
典例4：（2021·山东德州·中考真题）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·北京朝阳·统考一模）点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．存在，使得
【变式2】（2022下·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知点、、都在反比例函数的图象上，且．下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点5：反比例函数k的几何意义
典例5：（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【变式1】（2023·福建·统考中考真题）如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数和的图象的四个分支上，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式2】（2023下·江苏扬州·九年级校联考阶段练习）如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为( )
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【变式4】（2023下·八年级课时练习）如图，点A在曲线到上，点B在双曲线上，轴，点C是x轴上一点，连接、，若的面积是6，则k的值（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2023下·山东临沂·九年级校考阶段练习）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式6】（2023上·河北石家庄·九年级校考期末）如图四个都是反比例函数y的图像．其中阴影部分面积为6的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式7】（2023下·山东济南·九年级统考开学考试）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，轴于点C，轴于点D，连结若点，三角形的面积为3，则三角形的面积是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点6：求反比例函数解析式
典例6：（2023下·天津河东·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ．
【变式1】（2023下·山东德州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是 ．
【变式2】（2023下·江苏·九年级专题练习）一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度的变化，到达时所用的时间的变化情况如图所示，那么行驶过程中与的函数表达式为 ．
【变式3】（2023下·全国·八年级专题练习）如图，点A是y轴正半轴上一点，过点A作y轴的垂线交反比例函数y＝的图象于点B，交反比例函数y＝的图象于点C，若AB＝2AC，则m的值是 ．
考点7：反比例函数与一次函数
典例7：（2023·全国·九年级专题练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于、B两点，当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【变式1】（2023上·山东枣庄·九年级统考期末）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【变式2】（2023下·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)图象与反比例函数y2=(m≠0)图象交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A(4，1)，将点A向左平移2a(a>0)个单位，再向下平移a个单位刚好与点B重合．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)若点D是y轴上一点，且S△ABD=6，求点D的坐标；
(3)当y1>y2时，直接写出自变量x的取值范围．
【变式3】（2023上·吉林延边·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点．
（1）求对应的函数表达式；
（2）过点作轴交轴于点，求的面积；
（3）根据函数图象，直接写出关于的不等式的解集．
【变式4】（2023·广东茂名·校考一模）如图，一次函数与反比例函数的图像交于，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式：
(2)根据图象直接写出时，x的取值范围：
(3)求的面积．
【变式5】（2023·河南南阳·统考三模）如图，一次函数y＝－2x－2的图象分别交x轴、y轴于点B、A，与反比例函数（m≠0）的图象在第二象限交于点M，△OBM的面积是
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若x轴上的点P与点A，M是以AM为直角边的直角三角形的三个顶点，求点P的坐标．
【变式6】（2023下·黑龙江绥化·九年级绥化市第八中学校校考期中）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（m，2），B（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△OAB的面积；
(3)若点P在y轴上，且BPOA，请直接写出点P的坐标．
【变式7】（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数的解析式与点的坐标；
(2)连接、，求的面积；
(3)点是反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标．
考点8：反比例函数的实际应用
典例8：（2023·浙江台州·统考中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
【变式1】（2023·全国·九年级专题练习）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
(1)求密度关于体积V的函数解析式；
(2)若，求二氧化碳密度的变化范围．
【变式2】（2023上·上海徐汇·八年级校联考期末）据医学研究，使用某种抗生素可治疗心肌炎，某一患者按规定剂量服用这种抗生素，已知刚服用该抗生素后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成正比例药物浓度达到最高后，血液中的含药量y（微克）与服用的时间x成反比例，根据图中所提供的信息，回答下列问题：
(1)抗生素服用_______小时时，血液中药物浓度最大，每毫升血液的含药量有____微克；
(2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后，y与x之间的函数解析式及定义域；
(3)求出该患者服用该药物10小时时每毫升血液的含药量y．
【变式3】（2023上·河北张家口·九年级校考阶段练习）环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的．环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度与时间(天)的变化规律如图所示，其中线段表示前天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度与时间成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度与时间的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的？为什么？
【变式4】（2023上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．
请根据图中信息解答下列问题：
(1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少；
(2)求全天的温度与时间之间的函数关系式；
(3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？
【便是5】（2023下·江苏·八年级专题练习）研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示．
(1)求反比例函数的关系式，并求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
考点9：反比例函数与几何综合
典例9：（2023下·浙江·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－
(1)求点A的横坐标；
(2)记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S．
【变式1】（2023·安徽合肥·统考模拟预测）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与x轴相交于点B．
(1)求n和k的值；
(2)如图，以为边作菱形，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交于点E，连接，求．
【变式2】（2023下·广东广州·九年级执信中学校考阶段练习）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数（x0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【变式3】（2023·河南南阳·统考一模）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标．
【变式4】（2023·江苏泰州·统考一模）如图，，，点A，B分别在函数（）和（）的图象上，且点A的坐标为．
(1)求，的值：
(2)若点C，D分在函数（）和（）的图象上，且不与点A，B重合，是否存在点C，D，使得，若存在，请直接出点C，D的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式5】（2023下·江苏·八年级期末）如图，已知点P在反比例函数上，过点P分别作PA⊥x轴，垂足为点A，PB⊥y轴，垂足为点B，连接AB，将△PAB绕点A顺时针旋转90°到△QAC，交反比例函数图像于点D．
(1)若点P（2，4），求；
(2)若CD＝1，，求反比例函数解析式．
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