中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二次函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 (a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
②交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：（2022下·八年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【答案】D
【分析】根据两年后机器价值＝机器原价值×（1﹣折旧百分比）2可得函数解析式．
【详解】解：根据题意知y＝100（1﹣x）2，
故选：D．
【点睛】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图像要根据自变量的取值范围来确定．
【变式1】（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据二次函数的定义进行判断．
【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数；
②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
③，符合二次函数的定义，故②是二次函数；
④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．
所以，是二次函数的有①②③，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．
【变式2】（2022·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义判断即可．
【详解】①是二次函数；
②是二次函数；
③是二次函数；
④不是二次函数；
⑤不是二次函数；
⑥不是二次函数；
这六个式子中二次函数有①②③
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的定义，即一般地，形如（a，b，c是常数，）的函数，叫做二次函数．
【变式3】（2022上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由二次函数的定义可知且然后可求得m的取值．
【详解】函数是关于的二次函数，
且，
解得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的概念，掌握二次函数的概念是解题的关键．
考点2：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例2：（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，
y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，
∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
【变式1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当时，y随x的增大而减小，故C错误；
故选D．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
【变式2】（2022·广东广州·统考一模）若二次函数，当时，，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【答案】D
【分析】由二次函数的顶点式可得函数的最大值，进而依题意可求得a的值．
【详解】解：∵
∴二次函数的顶点坐标为
∵
∴二次函数在时取得最大值3-9a
∴依题意有，解得
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式3】（2022上·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）关于函数，下列描述错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．函数最大值是 D．当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】根据二次函数的性质，对选项逐个判断即可．
【详解】解：函数为，
则，开口向下，A正确，不符合题意；
对称轴为，B正确，不符合题意；
顶点坐标为，
又∵开口向下
∴函数有最大值为，C正确，不符合题意；
∵，开口向下，对称轴为
∴当时，y随x的增大而减小，D错误，符合题意；
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
【变式4】（2023上·九年级课时练习）二次函数的图象大致为（ ）
B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，开口向下，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式5】（2023下·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）下列关于抛物线性质的描述中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．函数y有最小值2
【答案】B
【分析】根据抛物线的图象和性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故A选项错误，不符合题意；
∴函数y有最大值2，故D选项错误，不符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，故B选项正确，符合题意；
∴抛物线的顶点坐标是，故C选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，属于二次函数基本性质的考查，难度不大．解答的关键是熟知二次函数的顶点式及其性质．
考点3：二次函数y=ax +bx+c的图像性质
典例3：（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先提取二次项系数 1，再根据完全平方公式整理即可．
【详解】解： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了把二次函数解析式化为顶点式，熟知配方法是解题的关键．
【变式1】（2022上·九年级单元测试）下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象对四个选项逐一判断即可得到答案．
【详解】抛物线y=-2x2-3x+1的图象，因为a=-2，所以开口向下，故CD错误；
抛物线y=-2x2-3x+1的对称轴是直线x=- ，故A错误；
故选B．
【点睛】考查了二次函数的图象，解题的关键是熟知二次函数的性质并作出正确的判断．
【变式2】（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】由题意可知：，，，
，
，即，得出，故①正确；
，
对称轴，
，
时，随的增大而减小，时，随的增大而增大，故②不正确；
，
关于x的方程有两个不相等的实数根，故③正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质并能应用求解．
【变式3】（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴对称轴为x＝＞0，
∵a＜0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②∵对称轴为x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，
∴9a＋3b+c＜0，
故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；
故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴，
故⑤正确．
综上所述，正确的结论是：④⑤．
故选：B．
【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
【变式4】（2022·四川成都·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【答案】D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】先求出抛物线的对称轴及抛物线与轴的交点坐标，再分两种情况：或，根据二次函数的性质求得的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数，
∴对称轴为，抛物线与轴的交点为，
∵点是该函数图象上一点，当时，，
∴①当时，对称轴，
此时，当时，，即，
解得；
②当时，对称轴，
当时，随增大而减小，
则当时，恒成立；
综上，的取值范围是：或．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2∴3＜x2＜4，①正确，
∵ = 1，
∴b=- 2а，
∴3a＋2b= 3a-4a= -a，
∵a＞0，
∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，
∴a＋c∵a＞0，
∴b=-2a<0，
∴a＋c<0，
∴b2 -4ac > a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，
∴a＞0，c<0，
∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，
∴3a+c<0，
∴c<-3a，
∴b=–2a，
∴b＞c，以④错误；
故选B
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
【变式1】（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项．
【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
【变式2】（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于点A、B，
∴抛物线对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，故①正确；
对称轴为，
整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，
x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，，故④正确．
∴正确的有①②④，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式3】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
【变式4】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．若实数，则
C． D．当时，
【答案】C
【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D．
【详解】解：∵抛物线的对称轴是，
∴，
∴，
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∴，故A说法正确，不符合题意；
∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，，
∴当实数，则，
∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意；
∵当时，，
∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意；
∵，
∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，
∴，故D说法正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．
【变式5】（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则，，
对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
当时，，
∵，
∴，即
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，
∴抛物线与x轴负半轴的交点为（，0），
∴，
∵，
两式相加，则，
∴，故③错误；
∵，，，
∴，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有，故④正确；
∴正确的结论有2个，
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：（2022·山东菏泽·统考中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，
∴a>0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a<0，b>0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，C错误；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．
【变式1】（2022上·九年级单元测试）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
【详解】解：．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D．由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法以及数形结合的方法是解题的关键．
【变式2】（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨的情况，即可求出答案.
【详解】解：二次函数为 ，
，
二次函数的开口方向向上，
排除C选项.
一次函数，
，
一次函数经过轴正半轴，
排除A选项.
当时，则，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数经过轴正半轴，
排除B选项.
当时，则
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数经过轴负半轴，
D选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图像的关系.
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一次函数的图象经过的象限可确定k的正负，进而验证二次函数图象与y轴交点的位置，结合二次函数图象的开口方向进行判断，即可求解．
【详解】解：A、由图象得：，，由得： ，抛物线的开口向上，交于轴负半轴，符合题意，故此项正确；
B、由得： ，抛物线的开口向上，故此项错误；
C、由图象得：，， 的图象应交于轴正半轴，故此项错误；
D、由得：图象交于轴的，故此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中k的正负是解题的关键．
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
典例6：（2022·广西·统考中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【变式1】（2022上·辽宁营口·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数图像的位置判断的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可
【详解】A、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；
B、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误；
C、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的右侧，与图像不符，故选项错误；
D、由反比例函数的图像可知，，则二次函数的图像开口向上，对称轴应位于轴的左侧，与图像相符，故选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．
【变式2】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数所经过的象限和反比例函数所在的象限．
【详解】解：∵二次函数的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，，c<0，
∴b>0，-c>0，
∴一次函数的图像经过第一、二、三象限，反比例函数的图像在第一，三象限，选项C符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
【变式3】（2022上·山东潍坊·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据k的取值范围，分为当k > 0时和当k < 0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质，二次函数图象和性质进行判断即可．
【详解】解：当k > 0时，反比例函数的图象经过第一、三象限，二次函数图象的对称轴在y轴右侧，并且二次函数的图象与y轴交于负半轴，则A选项不符合题意，C选项符合题意；
当k < 0时，反比例函数的图象经过第二、四象限，二次函数图象的对称轴在y轴左侧，并且二次函数的图象与y轴交于正半轴，则B、D选项均不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质及二次函数的性质，解题的关键是根据题意对k的取值进行分类讨论(当k > 0时和当k < 0时)，注意运用数形结合的思想方法，充分寻找图象中的关键点，结合函数解析式进行求解．
考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，，，，，，，
∴，
∵函数的图像开口大于函数的图像开口，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，
A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意；
B．图像开口向上，故此选项不符合题意；
C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意；
D．图像开口向上，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小．
【变式1】（2022上·吉林长春·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设A（m，m2），则B（m，m2），根据题意得出C（2m，m2），D（m，m2），即可求得BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得＝．
【详解】设A（m，m2），则B（m，m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（m，m2），
∴BD＝m﹣m＝m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
【变式2】（2015上·浙江杭州·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象．
【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
【变式3】（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】A
【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解．
【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，
如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，
∴AM=BM，AN=CN，
∴，
∵BC=10，
∴MN=5，
∴h+3=5，
∴h=2，
∵点B（3，3），
∴3＝（3-2）2＋k，解得： ，
∴，
∵BC∥x轴，
∴点A、C的纵坐标为3，
令，则，
解得：，
∴点A（1，3），
把点A（1，3）代入，得：
，解得： ，故①错误；
∵，且对称轴为直线x=2，
∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小，
∵，
∴，
∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为，
∴p＜n＜m，故②正确；
∵，
∴，
∵y1≥y2，
∴，
整理得：，
解得：或，故③错误；
∵，，
当x=0时，，，
∴点，
∴，故④正确；
∴正确的有②④．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．
考点8：二次函数对称性应用
典例8：（2022·广东广州·统考中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【分析】解法一：先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．
解法二：利用二次函数图象的对称性可知：和对应的函数值相等，从而得解．
【详解】解：∵抛物线经过点、，且与y轴交于点，
∴，
解方程组得，
∴抛物线解析式为，
当时，．
故选择A．
解法二：抛物线经过点、，
∴抛物线的对称轴为：，
又∵，
∴和的函数值相等，即均为，
故选择A．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．同时利用数形结合思想和对称性解题会起到事半功倍的效果．
【变式1】（2022·辽宁大连·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由函数的对称性可得结论．
【详解】解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
【变式2】（2023·陕西咸阳·校考一模）二次函数的图象上有两点，．若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【答案】B
【分析】根据可判断函数大致图象：对称轴为直线，图象开口向下，结合即可求解．
【详解】解：，
对称轴为直线，函数图象开口向下，
，，
且，
，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数取值范围及比较函数值大小，关键是要根据函数关系式判断函数大致图象，数形结合解决问题．
【变式3】（2022上·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考期中）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由点、的对称性，可求函数的对称轴为，再由B、D、E的坐标分析与对称轴的距离，即可判断．
【详解】解：∵经过、，
∴二次函数的对称轴，
∵、、与对称轴的距离B最远，D最近，
∵，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键．
【变式4】（2022·湖北恩施·统考一模）如图，二次函数的对称轴是直线，其图象经过．下列结论：①；②；③；④若和是抛物线上的两点，则当时，；其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置及其与y轴交点的位置可判断①符合题意；根据二次函数图象的对称性确定该函数图形经过，进而确定 ，再进行等价变形后即可判断②符合题意；根据二次函数图象经过和可用a来表示b和c，再代入即可确定③不符合题意；把二次函数解析式化成顶点式，结合不等式的性质即可判断④不符合题意．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴，
∴a>0，，c<
∴b>
∴abc<
故①符合题意．
∵二次函数的对称轴是直线，且该图象经过，
∴该二次函数图象经过．
∴当x=-3时，y<0；当x=3时，y>
∴，，即，．
∴．
∴．
∴．
故②符合题意．
∵二次函数的图象经过和，
把和代入二次函数解析式得
用a表示b和c得
∴．
∵a>0，
∴．
∴．
故③不符合题意．
∵二次函数的对称轴是直线，
∴．
∵和是抛物线上的两点，且，
∴．
∴，即．
故④不符合题意．
故①②符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象，二次函数的对称性，解二元一次方程组，二次函数的顶点式，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键．
【变式5】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，有最大值为，对称轴为直线，根据，，设的对称点为，得出，则在对称轴右侧，随的增大而减小，则当时，．
【详解】解：∵，
∴，
∴当时，有最大值为，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
设的对称点为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．
考点9：求二次函数解析式
典例9：（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．
【详解】解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，
∴抛物线开口向上，即，
∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，
∴，即，，
∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．
【变式1】（2022上·天津滨海新·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质得到CD=AB=4，即C点坐标为，进而得到A点坐标为，B点坐标为，利用待定系数法即可求得函数解析式．
【详解】∵四边形ABCD为平行四边形
∴CD=AB=4
∴C点坐标为
∴A点坐标为，B点坐标为
设函数解析式为，代入C点坐标有
解得
∴函数解析式为，即
故答案为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，和待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是求出A点或B点的坐标．
【变式2】（2022上·山东临沂·九年级统考期末）如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为 米．
【答案】10
【分析】设抛物线的解析式为，代入原点，确定解析式为，当y=米时，求得x的值即可．
【详解】设抛物线的解析式为，代入原点，得：
，
解得a=，
∴抛物线的解析式为，
当y=米时，
，
解得x=10，x=2（舍去），
足球飞行的水平距离为10米，
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，已知函数值求自变量值，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【变式3】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
【答案】3
【分析】根据题意可得交点式，然后把代入求出a值，即可求出二次函数表达式．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点、
∴抛物线的解析式为，
把代入得：，解得：，
∴函数的解析式为，
即，
∴当时，，
故答案为：
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键．
考点10：二次函数图像的平移
典例10：（2022·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．
【详解】解：函数向右平移3个单位，得：；
再向上平移1个单位，得：+1，
∵得到的抛物线正好经过坐标原点
∴+1即
解得：或
∵抛物线的对称轴在轴右侧
∴＞0
∴＜0
∴
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
【变式1】（2022上·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图像右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．
【详解】解：将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得图像的函数表达式是．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，函数图像右移减、左移加，上移加、下移减是解题关键．
【变式2】（2022上·安徽合肥·九年级校考期末）若二次函数图像向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度所得函数图像，则h、k的值分别为（ ）
A．3， B．4， C．3，2 D．，
【答案】A
【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式再根据平移规律即可得出结论；
【详解】解：
∵图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，
∴
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点式以及函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
【变式3】（2022上·内蒙古赤峰·九年级统考期末）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ）
A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6）
【答案】B
【分析】先求出平移后的函数解析式，然后顶点式可得顶点坐标．
【详解】解：将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的解析式为：
即
∴抛物线的顶点坐标为：
故选:B
【点睛】本题考查二次函数图象的平移，解题关键是掌握二次函数图象的平移规律，掌握二次函数的顶点式．
考点11：二次函数图像最值问题
典例11：（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（ ）
A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5
【答案】C
【分析】由，可知二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，当时，，计算求出满足要求的值即可；当，即时，，计算求出满足要求的值即可．
【详解】解：，
∴二次函数对称轴为直线，且图象开口向上，
∴当时，，解得，或（舍去），
当，即时，，解得，或（舍去），
综上，a的值为或6，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
【变式1】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【答案】C
【分析】根据二次函数可得对称轴为直线，由，可得抛物线开口向下，再由，所以当时，抛物线单调递增，从而可得时，y有最大值，时，y有最小值，把、和、分别代入解析式求得m的值，再根据m的取值范围进行判断①②即可；把、，代入解析式求得y的最大值即可判断③．
【详解】解：二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
因为，所以当时，函数单调递增，
若y的最大值为，则，解得或（舍去），故①错误；
若y的最小值为，则，解得或，此时不存在m，故②错误；
若，则，所以y的最大值为，故③正确，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而得到抛物线的顶点坐标为，由于当时，，根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是.
【详解】解：∵二次函数的图象经过点,，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式是，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴当时，抛物线有最大值4，
由于当时，，且在范围内有最大值为4，最小值为，
∴根据抛物线的对称性可得：a的取值范围是；
故选：C.
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，正确理解题意、熟练掌握抛物线的相关知识是解题关键.
【变式3】（2022·安徽滁州·统考一模）已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．–2 D．-4
【答案】C
【分析】将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得1+b+c=m，1-b+c=3m，得出b=-m，c=2m-1，再分情况讨论：①对称轴x=-≥1时，最小值在x=1处；②-1＜对称轴x=-≤1时，最小值在x=-处.
【详解】解：将点（1，m），（-1，3m）代入抛物线，得
1+b+c=m，1-b+c=3m，
∴b=-m，c=2m-1
则，
对称轴为，
∵a=1＞0
∴最小值在x=-处，最小值为-6，
∴=-6，
=4c+24，
将b=-m，c=2m-1代入，得
-8m-20=0
解得m=-2或m=10
又
∴m=-2
故选：C.
【点睛】本题主要考查抛物线的最值问题，通过讨论对称轴的位置进而确定最值，数形结合是解决问题的关键.
考点12：二次函数与一元二次方程
典例12：（2022上·河北沧州·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【答案】C
【分析】利用待定系数法求得c值，令y=0，解一元二次方程即可求得结论．
【详解】∵二次函数y=x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（-1，0），
∴1-6+c=
∴c=5，
∴二次函数y=x2+6x+
令y=0，则x2+6x+5=0，
解得：x1=-1，x2=-
∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（-5，0）．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一元二次方程的解法，令y=0，通过解一元二次方程求得抛物线与x轴的交点的横坐标是解题的关键．
【变式1】（2022上·山东滨州·九年级统考期中）抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】先根据判别式的值得到Δ＜0，根据Δ=决定抛物线与x轴的交点个数得到抛物线与x轴没有交点，由于抛物线与y轴总有一个交点，即可求解．
【详解】解：∵△=，
∴抛物线与x轴没有交点，
而抛物线与y轴的交点为（0，-1），
∴抛物线与坐标轴的交点个数为
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数（a,b,c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数（a,b,c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程根之间的关系，Δ=决定抛物线与x轴的交点个数：Δ=＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=＜0时，抛物线与x轴没有交点．
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：根据题意可得：当时，即，
解得：，
∵，
∴图象开口向上，
∵，
∴或
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．
【变式3】（2022·湖北荆门·统考中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【答案】D
【分析】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），
∴Δ=1﹣4a=0，
∴a=；
②函数为一次函数，
∴a=0，
∴a的值为或0；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
【变式4】（2022·四川甘孜·统考中考真题）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
【分析】根据抛物线开口向下可知a＜0，再根据其对称轴为直线，即可求出b＞0，可判断A；根据二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断B；根据二次函数的对称性和其对称轴为，可得出抛物线与x轴的另一个交点，再结合二次函数图象与一元二次方程的关系即可判断C；根据抛物线与x轴的两个交点，即可利用图象法解不等式，由此可判断D．
【详解】由图象可知，抛物线开口向下，所以a＜对称轴为直线，所以b＞0，故A正确；
因为抛物线与x轴有两个交点，所以，故B正确；
由图象和对称轴公式可知，抛物线与x轴交于点(5，0)和(-1，0)，所以方程的解是 ，故C正确；
由C选项结合图象可知，不等式的解集是，故D错误．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图象法确定不等式的解集．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
【变式5】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程 有两个根，其中一个根是则关于的方程 有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【答案】B
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断
选项．
【详解】二次函数的图象经过与两点，即方程的两个根是﹣3和1，
可以看成二次函数y的图象沿着y轴平移m个单位,得到一个根3，
由1到3移动2个单位，可得另一个根为﹣5.由于0＜n＜m，
可知方程的两根范围在﹣5~﹣3和1~3，
由此判断B符合该范围．
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象与一元二次方程的综合,关键在于方程加减任意数值可理解为在图像上进行平移．
考点13：二次函数与不等式
典例13：（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】根据图象写出抛物线在直线上方部分的的取值范围即可．
【详解】∵抛物线与直线交于，
∴不等式为：或，
故选：．
【点睛】此题考查了二次函数与不等式的关系，能利用数形结合求不等式的解集是解题的关键２
【变式1】（2023上·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③．
【答案】A
【分析】根据函数图象直接判断A，根据二次函数与坐标轴的交点分析，根据对称性可得轴与轴左边的交点为，即可判断B，根据图象可知当或时，原方程有两个实数根，据此即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，此图像关于轴对称，故①正确；
②对称性可得轴与轴左边的交点为，则不等式即的解集是或，故②正确；
③∵，当时，，顶点坐标为和，且与轴交于点，
∴当或时，方程有两个实数解，
故③不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【变式2】（2022下·浙江·九年级期末）已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得a的取值范围，从而可以求得a可能的值．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3，
∴该函数图象开口向下，当x＝1时，y取得最大值4，
∵当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，
当x＝2时，y＝3，当x＝0时，y＝3，
∴当0≤a＜1时，函数y的最大值与最小值的差为1，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【变式3】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】与关于y轴对称
抛物线的对称轴为y轴，
因此抛物线与直线的交点和与直线的交点也关于y轴对称
设与交点为，则 ，
即在点之间的函数图像满足题意
的解集为：
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解与关于y轴对称是解题的关键．
考点14：二次函数的实际应用
典例14：（2022上·湖南长沙·九年级校考期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可设该抛物线的函数解析式为，再把点A（-2，-2）代入，即可求解；
（2）根据题意可得水面AB下降1米，到CD处时，点D的纵坐标为-3，把y=-3代入，可得到水面的宽度，即可求解；
（3）根据题意可得当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，把y=-1代入，可得到水面的宽度，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可设该抛物线的函数解析式为，
∵当拱顶高水面2米时，水面宽4米．
∴点A（-2，-2），B（2，-2），
把点A（-2，-2）代入得：，
解得：，
∴该抛物线的函数解析式为；
（2）解：∵水面AB下降1米，到CD处，
∴点D的纵坐标为-3，
当y=-3时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度增加米；
（3）解：当水面AB上升1米时，水位线对应的纵坐标为-1，
当y=-1时，，
解得：，
∴此时水面宽度为米，
∴水面宽度减少米．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据图中信息得出函数经过的点的坐标是解题的关键．
【变式1】（2022·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）D的长为10m；（2）当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a
【分析】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，利用矩形的面积公式得到x（100﹣2x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算100﹣2x后与20进行大小比较即可得到AD的长；
（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S= x（100﹣x），配方得到S=﹣（x﹣50）2+1250，根据a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a≥50时，根据二次函数的性质得S的最大值为1250；当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，根据二次函数的性质得S的最大值为50a﹣a
【详解】（1）设AB=xm，则BC=（100﹣2x）m，
根据题意得x（100﹣2x）=450，
解得x1=5，x2=45，
当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；
当x=45时，100﹣2x=10，
答：AD的长为10m；
（2）设AD=xm，
∴S=x（100﹣x）=﹣（x﹣50）2+1250，
当a≥50时，则x=50时，S的最大值为1250；
当0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x=a时，S的最大值为50a﹣a2，
综上所述，当a≥50时，S的最大值为1250；当0＜a＜50时，S的最大值为50a﹣a
【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用．解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合a的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点．
【变式2】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)40元或20元；
(3)当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【分析】（1）直接由待定系数法，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
（3）根据题意，列出w与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
【详解】（1）解：由图可知，设一次函数的解析式为，
把点（25，50）和点（35，30）代入，得
，解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：根据题意，设当天玩具的销售单价是元，则
，
解得：，，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）解：根据题意，则
，
整理得：；
∵，
∴当时，有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的应用，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握题意，正确的找出题目的关系，从而进行解题．
【变式3】（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【答案】(1)的最高点坐标为，，；
(2)符合条件的n的整数值为4和
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的值；令，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为，求得n的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线，
∴的最高点坐标为，
∵点在抛物线上，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为，令，则；
（2）解：∵到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为，
当经过时，，
解得；
当经过时，，
解得；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和
【点睛】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
【变式4】（2022·浙江金华·统考中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【答案】（1）；（2）22米；（3）不会
【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；
（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；
（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论．
【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上．
当时，
．
（2）由题意得，D点在图象上．
令，得．
解得：（不合题意，舍去）．
（3）当时，，
，
∴不会碰到水柱．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质．
【变式5】（2022·江西·统考中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66
(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞；
(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【分析】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；
（2）①由a＝﹣ ，b＝，知y＝﹣x2+x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；
②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣×752+75b+66＞21，即可解得答案；
（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，
∴A（0，66），
把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：
c＝66，
故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y＝﹣×752+×75+66＝21，
∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣，
∴y＝﹣x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，
∴当x＝75时，y＞21，
即﹣×752+75b+66＞21，
解得b＞，
故答案为：b＞；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，
∴抛物线的顶点为（25，76），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，
把（0，66）代入得：
66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣×（75﹣25）2+76＝36，
∵36＞21，
∴他的落地点能超过K点．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
考点15：二次函数综合
典例15：（2022上·九年级单元测试）如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)D（5，8）或（﹣1，8）
(3)存在，（2，1）
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）先求出点C（0，3），可得AC=2，根据三角形的面积可得到n＝±8，再代入抛物线解析式，即可求解；
（3）根据抛物线的对称性可得当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，求出直线BC的解析式，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得∶，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：令y=0，则，
解得：，
∴点C（0，3），
∴AC=2，
设D（m，n），
∵△ACD的面积为8，
∴×2×|n|＝8，
∴n＝±8，
当n＝8时，，解得x＝5或﹣1，
∴D（5，8）或（﹣1，8），
当n＝﹣8时，，方程无解，
综上所述，D（5，8）或（﹣1，8）；
（3）解：连接BC与直线x＝2交于点P，
∵点A与点C关于x＝2对称，
∴AP=CP，
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=PC+PB+AB≤BC+AB，
∴当点P与点B，C共线时，△PAB的周长最小，为BC+AB，
当x=0时，y=3，
∴y＝x2﹣4x+3与y轴的交点为B（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b′，
把点B（0，3），C（3，0）代入得：
，解得，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x=2时，y=1
∴直线BC与x＝2的交点坐标为：（2，1）
∴点P的坐标为：（2，1）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【变式1】（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)证明见解析，；
(3)存在，点的坐标是（1，4），．过程见解析
【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；
（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；
（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．
【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，
-9+6m+3m=0，
∴m=1，
∴y=-x2+2x+3；
（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），
∴当2x+3=0时，即时，，
∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是；
（3）如图，
连接OP，
设点P（m，-m2+2m+3），
设PD的解析式为：y=kx+b，
∴，
∴，
∴PD的解析式为：y＝ ，
当x＝0时，y＝，
∴点N的坐标是（0，），
∴，
∵S=S△PAM-S△BMN，
∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，
∵
，
当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，
∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，
，
∴＝＝，
∴当时，，
当时，，
∴点的坐标是（1，4）．
【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．
【变式2】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【答案】（1），；（2），，；（3）
【分析】（1）求出A，B的坐标，用待定系数法计算即可；
（2）做点A关于BC的平行线，联立直线与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移，平移的距离为GC的长度，可得到直线，联立方程组即可求出P；
（3）取点，连接，过点作于点，过点作轴于点，过点作于点，得直线对应的表达式为，即可求出结果；
【详解】（1）将代入，
化简得，则（舍）或，
∴，
得：，则．
设直线对应的函数表达式为，
将、代入可得，解得，
则直线对应的函数表达式为．
（2）如图，过点A作∥BC，设直线与y轴的交点为G，将直线BC向下平移 GC个单位，得到直线，
由（1）得直线BC的解析式为，，
∴直线AG的表达式为，
联立，
解得：（舍），或，
∴，
由直线AG的表达式可得，
∴，，
∴直线的表达式为，
联立，
解得：，，
∴，，
∴，，．
（3）如图，取点，连接，过点作于点，
过点作轴于点，过点作于点，
∵，
∴AD=CD，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，则，．
设，
∵，，
∴．
由，则，即，解之得，．
所以，又，
可得直线对应的表达式为，
设，代入，
得，，，
又，则．所以．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键．
【变式3】（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)（-2，-4）
(3)P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，
【分析】（1）直接将B（0，-4），C（2，0）代入，即可求出解析式；
（2）先求出直线AB关系式为：，直线AB平移后的关系式为：，当其与抛物线只有一个交点时，此时点D距AB最大，此时△ABD的面积最大，由此即可求得D点坐标；
（3）分三种情况讨论，①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，将A（-4,0）代入得，解得：，此时P点坐标为：（-1,3）；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，将B（0，-4）代入得，，此时P点坐标为：（-1,-5）；③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，由于PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：， =-1，则此时P点坐标为：，．
【详解】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：．
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4,0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4,0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4,0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴ =-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形．
【点睛】本题主要考查的是二次函数图象与一次函数、三角形的综合，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式4】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【分析】（1）由二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，得二次函数顶点为，设顶点式，将点代入即可求出函数解析式；
（2）连接，根据求出S与t的函数关系式；
（3）设，分三种情况：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，由中点坐标公式求出n即可．
【详解】（1）解：二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，
二次函数顶点为，
设二次函数解析式为，
将点代入得，，
，
；
（2）如图，连接，
当时，，
或2，，
点P在抛物线上，
点P的纵坐标为，
；
（3）设，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
当为对角线时，由中点坐标公式得，，，，
综上：或或．
【点睛】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，抛物线与图形面积，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法及平行四边形是性质是解题的关键．
【变式5】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 二次函数及其应用
考点类型
知识一遍过
（一）二次函数的定义
（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义。
（二）二次函数的图像性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象 (a＞0) (a＜0)
开口方向 开口向上 开口向下
对称轴 直线x＝－ 直线x＝－
顶点坐标
增减性 当x＜－时，y随x的增大而减小；当x＞－时，y随x的增大而增大 当x＜－时，y随x的增大而增大；当x＞－时，y随x的增大而减小
最值 当x＝－时，y有最小值 当x＝－时，y有最大值
（三）二次函数图像与系数的关系
a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 某些特殊形式代数式的符号： a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. 2a+b的符号，需判 对称轴-与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小.
a、b 决定对称轴（x=-）的位置 当a，b同号，-＜0，对称轴在y轴左边； 当b＝0时，-=0，对称轴为y轴； 当a，b异号，-＞0，对称轴在y轴右边．
c 决定抛物线与y轴的交点的位置 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b2－4ac 决定抛物线与x轴的交点个数 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
（四）二次函数图像的平移
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（五）二次函数与方程不等式的关系
（1）平移步骤：
①将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（也可再一般式上进行平移）
②保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
（2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减，上加下减”．（左右对x，上下对y）
（六）二次函数的对称性
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是
①抛物线是关于对称轴x=- 成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析式中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=
（七）二次函数的最值
（1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=-时，y=
（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=-时，y=，
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．
（八）二次函数的解析式
（1）二次函数的解析式有三种常见形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．
②交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将关系式化为一般式．
③顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数化为一般式．
（九）二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
考点一遍过
考点1：二次函数定义
典例1：（2022下·八年级课时练习）一台机器原价100万元，若每年的折旧率是x，两年后这台机器约为y万元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝100（1﹣x） B．y＝100﹣x2 C．y＝100（1+x）2 D．y＝100（1﹣x）2
【变式1】（2022上·安徽·九年级校联考阶段练习）以x为自变量的函数：①；②；③；④．是二次函数的有（ ）
A．②③ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【变式2】（2022·陕西西安·西安市大明宫中学校考三模）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中二次函数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式3】（2022上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）函数是关于的二次函数，则的值为( )
A． B． C． D．
考点2：二次函数y=a（x-h） +k的图像性质
典例2：（2022·浙江宁波·统考中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A，两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【变式2】（2022·广东广州·统考一模）若二次函数，当时，，则a的值是（ ）
A．1 B． C． D．﹣1
【变式3】（2022上·广东广州·九年级广州市天河中学校考期末）关于函数，下列描述错误的是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是直线
C．函数最大值是 D．当时，y随x的增大而增大
【变式4】（2023上·九年级课时练习）二次函数的图象大致为（ ）
B．
C． D．
【变式5】（2023下·重庆·九年级重庆一中校考阶段练习）下列关于抛物线性质的描述中，正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标是 D．函数y有最小值2
考点3：二次函数y=ax +bx+c的图像性质
典例3：（2023上·山西大同·九年级大同一中校考期末）将二次函数化为的形式，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·九年级单元测试）下列是抛物线y=﹣2x2﹣3x+1的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·天津·统考中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）经过点，有下列结论：
①；
②当时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式3】（2022·贵州毕节·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式4】（2022·四川成都·统考中考真题）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【变式5】（2022·湖南岳阳·统考中考真题）已知二次函数（为常数，），点是该函数图象上一点，当时，，则的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
考点4：二次函数图像与系数关系
典例4：（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．
正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2022·广东深圳·统考中考真题）二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】（2022·四川巴中·统考中考真题）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
① ；②； ③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【变式4】（2022·广西梧州·统考中考真题）如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．若实数，则
C． D．当时，
【变式5】（2022·四川广安·统考中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（，y1）、C（，y2）、D（，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1 B．2 C．3 D．4
考点5：一次函数与二次函数图像判断
典例5：（2022·山东菏泽·统考中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·九年级单元测试）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023下·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期末）在同一坐标系中，一次函数与二次函数，的图象可能是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（ ）
A． B． C． D．
考点6：反比例函数与二次函数图像判断
典例6：（2022·广西·统考中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【变式1】（2022上·辽宁营口·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022·贵州黔东南·统考中考真题）若二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．C． D．
【变式3】（2022上·山东潍坊·九年级统考期末）在同一平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点7：二次函数与二次函数图像判断
典例7：（2023下·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2022上·吉林长春·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2015上·浙江杭州·九年级统考期中）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是( )
A．B．C． D．
【变式3】（2022·四川绵阳·统考三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝．
A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④
考点8：二次函数对称性应用
典例8：（2022·广东广州·统考中考真题）抛物线经过点、，且与y轴交于点，则当时，y的值为（ ）
A． B． C． D．5
【变式1】（2022·辽宁大连·中考真题）抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·陕西咸阳·校考一模）二次函数的图象上有两点，．若，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．与的大小不确定
【变式3】（2022上·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考期中）若二次函数的图象过不同的五点，，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2022·湖北恩施·统考一模）如图，二次函数的对称轴是直线，其图象经过．下列结论：①；②；③；④若和是抛物线上的两点，则当时，；其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【变式5】（2023·浙江宁波·校考二模）已知点，在抛物线（m是常数）上．若，，则下列大小比较正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点9：求二次函数解析式
典例9：（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ．
【变式1】（2022上·天津滨海新·九年级统考期中）如图，平行四边形ABCD中，，点的坐标是，以点为顶点的抛物线经过轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为 ．
【变式2】（2022上·山东临沂·九年级统考期末）如图，一次足球训练中，一球员从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线，当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米，当足球下落到离地面米时，足球飞行的水平距离为 米．
【变式3】（2023·江苏扬州·统考二模）已知：二次函数的图象经过点、和，当时，y的值为 ．
考点10：二次函数图像的平移
典例10：（2022·江苏苏州·统考中考真题）已知抛物线的对称轴在轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则的值是（ ）
A．或2 B． C．2 D．
【变式1】（2022上·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）将二次函数的图像向左平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得图像的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2022上·安徽合肥·九年级校考期末）若二次函数图像向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度所得函数图像，则h、k的值分别为（ ）
A．3， B．4， C．3，2 D．，
【变式3】（2022上·内蒙古赤峰·九年级统考期末）将抛物线向下平移1个单位，再向右平移两个单位后的顶点坐标是（ ）
A．（－4，4） B．（0，4） C．（0，6） D．（－4，－6）
考点11：二次函数图像最值问题
典例11：（2023下·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）当时，二次函数的最小值为8，则a的值为（ ）
A．或5 B．0或6 C．或6 D．0或5
【变式1】（2023·河北保定·统考模拟预测）对于二次函数，已知，当时，有下列说法：
①若y的最大值为，则；
②若y的最小值为，则；
③若，则y的最大值为．
则上达说法（ ）
A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③正确 D．均不正确
【变式2】（2023·浙江绍兴·校联考三模）二次函数的图象经过点,，在范围内有最大值为4，最小值为，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·安徽滁州·统考一模）已知抛物线过（1，m），（-1，3m）两点，若，且当时，y的最小值为-6，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．–2 D．-4
考点12：二次函数与一元二次方程
典例12：（2022上·河北沧州·九年级统考期末）已知二次函数y＝x2+6x+c的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点的坐标是（ ）
A．（﹣3，0） B．（3，0） C．（﹣5，0） D．（5，0）
【变式1】（2022上·山东滨州·九年级统考期中）抛物线与坐标轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【变式2】（2023上·全国·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式3】（2022·湖北荆门·统考中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣ D．a＝0或a＝
【变式4】（2022·四川甘孜·统考中考真题）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【变式5】（2022·贵州安顺·统考中考真题）已知二次函数的图象经过与两点，关于的方程 有两个根，其中一个根是则关于的方程 有两个整数根，这两个整数根是（ ）
A．或0 B．或2 C．或3 D．或4
【分析】由题意可得方程的两个根是﹣3，1，方程在y的基础上加m，可以理解为二次函数的图象沿着y轴平移m个单位,由此判断加m后的两个根,即可判断
考点13：二次函数与不等式
典例13：（2023·重庆·九年级统考学业考试）如图，已知抛物线与直线交于两点．则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【变式1】（2023上·浙江嘉兴·九年级统考期末）我们规定：形如的函数叫作“型”函数．如图是“型”函数的图象，根据图象，以下结论：
①图象关于轴对称；
②不等式的解集是或；
③方程有两个实数解时．正确的是（ ）
A．①②． B．②③． C．①③． D．①②③．
【变式2】（2022下·浙江·九年级期末）已知二次函数y＝﹣x2＋2x＋3，当自变量x的值满足a＜x≤2时，函数y的最大值与最小值的差为1，则a的值可以为（ ）
A． B． C．﹣1 D．1
【变式3】（2022·广西贺州·统考中考真题）如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或 C． D．
考点14：二次函数的实际应用
典例14：（2022上·湖南长沙·九年级校考期中）如图1，是抛物线形的拱桥，当拱顶高水面2米时，水面宽4米．如图建立平面直角坐标系，解答下列问题：
(1)如图2，求该抛物线的函数解析式．
(2)当水面AB下降1米，到CD处时，水面宽度增加多少米？（保留根号）
(3)当水面AB上升1米时，水面宽度减少多少米？（保留根号）
【变式1】（2022·福建·中考真题）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．
（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【变式2】（2022·辽宁锦州·统考中考真题）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现．，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
(1)求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
(3)设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【变式3】（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．
(1)写出的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
【变式4】（2022·浙江金华·统考中考真题）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．
（1）求雕塑高OA．
（2）求落水点C，D之间的距离．
（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，，．问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【变式5】（2022·江西·统考中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度为，基准点K到起跳台的水平距离为，高度为（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度与水平距离之间的函数关系为．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时，求基准点K的高度h；
②若时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
考点15：二次函数综合
典例15：（2022上·九年级单元测试）如图，抛物线交x轴于点A（1，0），交y轴交于点B，对称轴是直线x＝
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在抛物线上存在一点D，使△ACD的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（2022·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．
(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；
(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；
(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知．
（1）求m的值和直线对应的函数表达式；
（2）P为抛物线上一点，若，请直接写出点P的坐标；
（3）Q为抛物线上一点，若，求点Q的坐标．
【变式3】（2022·四川广安·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）．
(1)求此抛物线的函数解析式．
(2)点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．
【变式4】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，y轴上一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结，，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式；
(3)在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式5】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
