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专题07 锐角三角函数
考点类型
知识一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 = =
余弦
正切 ＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边 两直角边(a，b) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
典例1：（2024上·湖南娄底·九年级统考期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在中，，设所对的边分别为，则下列各项正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点2：特殊角三角函数值
典例2：（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A． B． C． D．
【变式2】（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【变式3】（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【变式4】（2024上·湖南张家界·九年级统考期末）在中，若∠B=90°，则的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【变式5】（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）下列计算错误的个数是（ ）
①； ；③；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【变式1】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）三角函数之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0【变式3】（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D在上，，．求的值．
【变式2】（2023上·山东青岛·八年级校联考期中）如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
【变式3】（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的面积（结果保留根号）．
【变式2】（2023上·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.
(1)若，求的长度；
(2)若，求．
【变式3】（2023·河南许昌·校考一模）如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长．
考点6：同角三角函数关系
典例6：（2023上·河南鹤壁·九年级校考期中）已知，是锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2019上·山东威海·九年级统考期中）如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2019·安徽宿州·统考一模）在中，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 ，，
参考数据 ，，， ，，．
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为（点A，B，D在同七、一条直线上），请帮小丽计算信标台的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
【变式2】（2024上·安徽亳州·九年级统考期末）如图，无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为，在B点测得底端C的俯角为，还测得两点间的距离为20米，已知，米，求大楼高度．参考数据：，，，，，．
【变式3】（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，某商场大厅阶梯式扶梯的倾斜角为，的长为，商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：（2023上·广西来宾·九年级统考期末）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向．
(1)求线段的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【变式1】（2023·广东广州·统考二模）如图，一艘轮船以每小时海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．
【变式2】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）
(1)求的长度；（结果精确到1米）
(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）
【变式3】（2024上·辽宁阜新·九年级统考期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．）
(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：（2024上·安徽六安·九年级统考期末）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，求此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度不计，结果保留根号形式）
【变式1】（2024上·广东茂名·九年级统考期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【变式2】（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）．
(1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
(2)求大树的高度（结果保留根号）．
【变式3】（2024上·上海崇明·九年级统考期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）
(1)求A、C两点的距离；
(2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：（2024上·湖南常德·九年级统考期末）常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：）
(1)求坐垫到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图1，某款台灯由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
(1)求悬臂端点到桌面的距离约为多少？
(2)已知光源到桌面的距离为时照明效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，）
【变式2】（2024上·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数）
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【变式3】（2023上·四川成都·九年级双流中学校考阶段练习）如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长度为米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
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专题07 锐角三角函数
考点类型
知识一遍过
（一）锐角三角函数
在Rt△ABC中，∠C=90°。则∠A的三角函数为
定义 表达式 取值范围 关系
正弦 = =
余弦
正切 ＞0
（二）特殊角三角函数
三角函数 30° 45° 60°
1
（三）直角三角形边角关系
设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：
①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).
②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.
③边角之间的关系：
， ，
④，h为斜边上的高.
（四）解直角三角形常见类型及解法
已知条件 解法步骤
Rt△ABC 两
边 两直角边(a，b) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
斜边，一直角边(如c，a) 由=，求∠A；
∠B=90°－∠A；
一
边
一
角 一直角边
和一锐角 锐角、邻边
(如∠A，b) ∠B=90°－∠A，
锐角、对边
(如∠A，a) ∠B=90°－∠A，
斜边、锐角(如c，∠A) ∠B=90°－∠A，
（五）解直角三角形的应用举例
(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成的形式.
(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.
(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.
(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°
考点一遍过
考点1：锐角三角函数定义
典例1：（2024上·湖南娄底·九年级统考期末）在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断．
【详解】解：如下图，
A. ，故该选项不成立，不符合题意；
B. ，故该选项不成立，不符合题意；
C. ，故该选项不成立，不符合题意；
D. ，故该选项成立，符合题意．
故选：D．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图，在中，，，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了锐角三角函数关系，正确把握锐角三角函数定义是解题关键．根据锐角三角函数关系的定义分析得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，
∴，
∴．
∴A，B，C正确，不符合题意，D错误，符合题意，
故选：D．
【变式2】（2022上·上海浦东新·九年级校考阶段练习）在中，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．
【详解】解：如图，
，
在中，，，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键．
【变式3】（2024上·福建泉州·九年级统考期末）在中，，那么下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题考查锐角三角函数的定义（锐角为自变量，以比值为函数值的函数），根据直角三角形中三角函数的求法得出答案．
【详解】解：如图：
、，则，故此选项结论错误，符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意；
、，则，故此选项结论正确，不符合题意．
故选：A．
【变式4】（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）在中，，则边的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理可得，，再根据三角函数的定义，求解即可．
【详解】解：由题意可得：，
∴为直角三角形，如下图：
由三角函数的定义可得，，即
可得
A选项符合题意，B、C、D选项不符合题意，
故选：A
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义．
【变式5】（2023下·山东济南·九年级统考阶段练习）在中，，设所对的边分别为，则下列各项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切和正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，所对的边分别为，
∴，
∴四个选项中只有B选项符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，熟知正切和正弦的定义是解题的关键．
考点2：特殊角三角函数值
典例2：（2024上·河南商丘·九年级校联考期末）已知实数，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别求出各三角函数值，然后比较他们的大小即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练掌握所有特殊角的三角函数值，实数比较大小．
【详解】∵，，，
∴．
故选:：A．
【变式1】（2023·湖南娄底·统考一模）定义一种运算：，例如：当，时，，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，可以计算出的值．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
【变式2】（2019上·广东梅州·九年级广东梅县东山中学校考期末）在中，、都是锐角，且，，则是（ ）.
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
【变式3】（2023上·辽宁盘锦·九年级校考期末）在中，、均为锐角，且，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可．
【详解】解：，
，，
，，
，，，
在中，，且，
是直角三角形．
故选：C．
【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质．
【变式4】（2024上·湖南张家界·九年级统考期末）在中，若∠B=90°，则的度数是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【分析】根据特殊角的函数值可得度数，进一步利用两个锐角互余求得度数．
此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键.
【详解】∵，，
∴∠A=30°，
∴
故选：C．
【变式5】（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）下列计算错误的个数是（ ）
①； ；③；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定．
【详解】解：，，
，故①错误；
，故②正确；
，故③错误；
，，
，故④正确；
综上分析可知，错误的有2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键．
考点3：锐角三角函数增减性
典例3：（2023·上海静安·校考一模）如果，那么与的差（ ）．
A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定
【答案】D
【分析】利用锐角三角函数的增减性分类讨论，即可得到答案．
【详解】解：当时，，
，
，
；
当时，，
，
，
；
当，，
，
，
，
综上所述，与的差不能确定，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，解题关键是掌握在之间（不包括和），角度变大，正弦值、正切值也随之变大，余弦值随之变小．注意分类讨论．
【变式1】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）三角函数之间的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先把转换成相同的锐角三角函数；再根据正弦值是随着角的增大而增大，进行分析，可以知道，又根据正切值随着角度增大而增大，因此，即可得出正确选项．
【详解】解：∵（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个角的正弦值等于它的余角的余弦值；以及正余弦值、正切值的变化规律是本题的关键．
【变式2】（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）若，则下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大 B．cos随的减小而减小 C．tan随的增大而增大 D．0【答案】B
【分析】如图，作半径为的，均为直径， 都在上，利用锐角三角函数的定义分析可得答案．
【详解】解：如图，作半径为的，均为直径，
都在上，
由
显然，＜，而＜，
所以当时，随的增大而增大，故A正确；
同理可得：
当时，cos随的减小而增大，故B错误；
当时，tan随的增大而增大，故C正确；
当，当点逐渐向移动，边逐渐接近，
逐渐接近
当时，0故选B．
【点睛】本题考查的是锐角的正弦，余弦，正切的增减性，掌握利用辅助圆理解锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【变式3】（2023上·黑龙江大庆·九年级校联考开学考试）已知，则锐角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据特殊角的三角函数值，，，再由余弦函数值在锐角范围内，随角度增大而减小即可得到答案
【详解】解： ，，
由可得，
在锐角范围内，余弦函数值随着角度的增大而减小，
，
故选：D．
【点睛】本题考查利用特殊角的三角函数值及余弦函数的性质比较角度大小，熟练掌握特殊角的三角函数值性质是解决问题的关键．
考点4：解直角三角形——直接法
典例4：（2023上·山东烟台·九年级统考期中）在中，，分别是的对边．若，试解这个直角三角形．
【答案】，，
【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，解题关键是熟记特殊角的三角函数值．由勾股定理可得，由的正切值即可求解．
【详解】解：在中，
，
．
【变式1】（2023上·江苏徐州·九年级校联考阶段练习）如图，在中，，点D在上，，．求的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，先解得到，再解可得．
【详解】解：中，，，
∴，
在中，，，
∴．
【变式2】（2023上·山东青岛·八年级校联考期中）如图，已知在中，，，点D在边上，，连接AD，．
(1)求边的长；
(2)求的值．
【答案】(1)9
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键．
（1）设，根据，可求出长度，再根据勾股定理可求出长度，即可得到长，最后由，可解出x的值．即得到长．
（2）作于点E，由，可求出长，再由勾股定理可求出，继而得到长，即可求出．
【详解】（1）解：设，
在中，，即，
∴．
∵，
∴，
∴，
在，，即，
解得，
经检验，是该分式方程的解．
∴．
（2）解：如图所示，过点D作于点E，
在中，，
∴，
∵，
由（1）知．
∴，
∴．
【变式3】（2023上·安徽滁州·九年级校考阶段练习）在中，和所对的边长分别为．若，解这个直角三角形．
【答案】，，．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理，三角函数的定义．先根据三角形内角和定理求出，根据直角三角形性质得出，根据三角函数定义得出，最后根据求出三边长即可．
【详解】解：在中，，
．
又，
，
，
，
．
，即，
解得，
则，
．
考点5：解直角三角形——化斜为直
典例5：（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，在中，．
(1)求的值．
(2)求的面积（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)的面积为
【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．
（1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可；
（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点作于点．
在中，，，
，
，
在中，
，
；
（2）解：由（1）知：在中，，，
，
．
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，．
(1)求的长；
(2)求的面积（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长；
（2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案．
【详解】（1）解：过点作于．
在中，
，，
，
∵在中，，
；
（2）∵在中，，
，
在中，根据勾股定理，
，
的面积．
【变式2】（2023上·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在中，，点为的中点，于点，连接．已知.
(1)若，求的长度；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，得到中各边长的比值关系，计算出的长度，根据中点的性质得到的长度，最后再用计算出即可．
（2）过点作于点，根据，，算出的长度，根据中点的性质得到的长度，就可以算出和的长度，得到的长度，勾股定理算出，即可得到结论．
【详解】（1），
，
，，
，
∴，
，
点为的中点，
．
在中，，
，
．
（2）过点作于点，
，，
，，
点为的中点，
，
在，，
，，
．
由勾股定理得：，
，
【点睛】本题考查了解直角三角形，主要利用锐角三角函数值，勾股定理进行长度计算，理解锐角三角函数的含义，并能运用到题目中是解题关键．
【变式3】（2023·河南许昌·校考一模）如图，AD是△ABC的高，，求△ABC的周长．
【答案】
【分析】根据，求出，根据，求出 ，再根据勾股定理求出即可求周长．
【详解】解：在中，，
∵，，
∴，，
∵在中，，
∴，即，
∴
∴，，
∴△ABC的周长为AB+AC+BD+CD=．
【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是熟练运用三角函数知识解直角三角形．
考点6：同角三角函数关系
典例6：（2023上·河南鹤壁·九年级校考期中）已知，是锐角，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案．
【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α，
由于，因此设BC=5k，则AC=12k，
由勾股定理得，，
∴，
故选 C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键．
【变式1】（2023上·全国·九年级专题练习）已知为锐角，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意设中，对应边分别为，然后根据条件求解，再结合正弦函数的定义求解即可．
【详解】解：设中，对应边分别为，
则，和，
∵，
∴，
设，则，
由，得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，理解基本三角函数的定义，熟练转换是解题关键．
【变式2】（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）在中，，是边上的高，如果，，那么的长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形，根据条件可得，，再根据即可求解．
【详解】解：∵在中，，是边上的高，，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即，
∴．
故选：C．
【变式3】（2023上·四川广元·九年级校考阶段练习）在中，，若，则的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案．
【详解】解：由题意，得，
故设
则，
故选：B．
【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键．
考点7：互余两角三角函数关系
典例7：（2022·福建南平·统考二模）如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造直角三角形，运用三角函数的定义求得线段BC和CD的表达式，进而求得矩形的周长．
【详解】解：如图，过D作DF⊥CE于点F，过B作BG⊥CE于点G，
∵，，DF=2，
∴，
∵矩形ABCD，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴矩形ABCD的周长为
故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，构造直角三角形，运用三角函数的定义求相应线段的表达式是解题关键．
【变式1】（2022上·河南南阳·九年级南阳市第十三中学校校考期末）在中，，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据得出，代入即可．
【详解】解：如下图，
∵，
又∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了互余两角三角函数的关系，解题关键是掌握互余两角三角函数的关系，即已知，能推出，，，．
【变式2】（2019上·山东威海·九年级统考期中）如图，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据可以知道，再根据AC=OB，即可求出.
【详解】
如图，作CA⊥x轴，BC⊥y轴，所以即，因为,OB=AC（均是点C纵坐标），所以，故答案选择A.
【点睛】本题考查的是锐角三角函数和坐标轴的结合，能够根据得知，是解题的关键.
【变式3】（2019·安徽宿州·统考一模）在中，，若，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质，结合题意，可得，通过假设并利用勾股定理计算得AB，最后根据三角函数定义，即可完成求解．
【详解】∵且
∴
假设，则
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形中三角函数和勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．
考点8：解直角三角形应用——仰角俯角
典例8：（2023上·吉林长春·九年级统考期末）榕榕在“测量教学楼高度”的活动中，设计并实施了以下方案：
课题 测量教学楼高度
图示
测得数据 ，，
参考数据 ，，， ，，．
请你依据此方案，求教学楼的高度（结果保留整数）.
【答案】，详见解析．
【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得四边形是矩形，则可得，然后分别在与中，利用三角函数的知识，求得与的长，进而可得，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是关键．
【详解】根据题意得：四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴m，
在中，，
∴，
∴，
答：教学楼的高度约为．
【变式1】（2024上·安徽合肥·九年级统考期末）“时代之舞，梦想领航”，合肥骆岗中央公园全向信标台成为合肥新地标．小丽同学想要通过测量及计算了解信标台的大致高度，如图1，当他步行至点A处，测得此时台顶C的仰角为，再步行20米至点B处，测得此时台顶C的仰角为（点A，B，D在同七、一条直线上），请帮小丽计算信标台的高度．（参考数据：，，，结果保留整数）
【答案】信标台的高约为60米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．在中，由锐角三角函数定义可得，再在中，由锐角三角函数定义可得，进而可得的高度．
【详解】解：设米，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
∵，米，
∴，
解得．
答：信标台的高约为60米．
【变式2】（2024上·安徽亳州·九年级统考期末）如图，无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为，在B点测得底端C的俯角为，还测得两点间的距离为20米，已知，米，求大楼高度．参考数据：，，，，，．
【答案】28米
【分析】本题主要考查了锐角三角形的实际运用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．
过点A作，作交的延长线于点F，首先根据三角函数求出，，然后证明出四边形是矩形，得到，，然后利用三角函数求解即可．
【详解】解：如图所示，过点A作于E，作交的延长线于点F，
∵在B点测得底端C的俯角为，
∴
∵，
∴，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，解得，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵无人机在A点测得大楼的顶端D的仰角为，
∴，
∴，解得，
∴（米）．
【变式3】（2023上·陕西宝鸡·九年级统考期末）如图，某商场大厅阶梯式扶梯的倾斜角为，的长为，商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式扶梯改造成斜坡式扶梯，改造后的斜坡式扶梯的坡角，求改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度．（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度约为
【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的应用；根据余弦和正切的定义求出，结合图形计算可得出答案．求出是解本题的关键．
【详解】解：作交的延长线于点C，则与均为直角三角形．
在中，，，
∴，
．
在中，，
∴，
∴．
∴改造后的斜坡式扶梯水平距离增加的长度约为．
考点9：解直角三角形应用——方位角
典例9：（2023上·广西来宾·九年级统考期末）由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达B处时，测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C点，这时测得小岛A在北偏东方向．
(1)求线段的长度；
(2)若小岛A周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
【答案】(1)线段的长度是20海里．
(2)如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
（1）过作于点，求出、的度数，求出和，根据等边对等角得出；
（2）根据含30度角的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）过点作，垂足为，
根据题意可知，，
，
，
海里；
（2）如果航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险，
理由如下：
在中，，，，
，
（海里）（海里），
航母不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险．
【变式1】（2023·广东广州·统考二模）如图，一艘轮船以每小时海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．
【答案】此时船与小岛的距离约为海里．
【分析】此题考查了直角三角形的应用——方向角问题，过点作于，设海里，由已知分别求出、、，然后根据锐角三角函数求出的值即可，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解题的关键．
【详解】如图，过点作于，
由题意得：（海里），，，
则是等腰直角三角形，
∴，
在中，设海里，
在中，海里，海里，
∴，
∴，解得：，
∴（海里），
答：此时船与小岛的距离约为海里．
【变式2】（2024上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期末）金秋十一月，阳光大草坪正处于草坪养护阶段，如图为草坪的平面示意图．经勘测，入口B在入口A的正西方向，入口C在入口B的正北方向，入口D在入口C的北偏东方向处，入口D在入口A的北偏西方向处．（参考数据）
(1)求的长度；（结果精确到1米）
(2)小明从入口D处进入前往M处赏花，点M在上，距离入口B的处．小明可以选择鹅卵石步道①，步行速度为，也可以选择人工步道②，步行速度为，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到）
【答案】(1)
(2)选择人工步道时间更快
【分析】本题考查解直角三角形的应用方向角问题；
（1）过点作于点，过点作于点，在中，根据可求出的长，进而可得的长，在中，根据可求出的长，最后由可得答案．
（2）分别求出两种步道的路程，进而可得求出所需时间，即可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，过点作于点，
则，，，，，
在中，，
，
在中，，
．
的长度为．
（2）由（1）知，，
，
，
在中，，
在中，，
．
鹅卵石步道的路程为，
所需时间为．
人工步道的路程为，
所需时间为．
，
他选择人工步道时间更快．
【变式3】（2024上·辽宁阜新·九年级统考期末）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度前行，在A处测得岛C在东北方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C周围25海里内有暗礁，（参考数据：，，，．）
(1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？说明理由．
【答案】(1)有触礁危险
(2)没有触礁危险
【分析】本题考查了解直角三角形的应用：
（1）过点作于，在中和在中利用解直角三角形进而可求解；
（2）过点于，在中，利用解直角三角形即可求解；
熟练掌握直角三角形边角关系及构造直角三角形利用数形结合解决问题是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作于，如图：
（海里），
设，
，，
，，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
解得：，
答：渔船继续向东航行，有触礁危险．
（2）过点于，如图：
由（2）得：（海里），
在中，，，海里，
，
答：没有触礁危险．
考点10：解直角三角形应用——坡比
典例10：（2024上·安徽六安·九年级统考期末）如图，某人在山坡坡脚处测得电视塔尖点的仰角为，沿山坡向上走到处再测得点的仰角为，已知，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比），且在同一条直线上，求此人所在位置点的铅直高度．（测倾器高度不计，结果保留根号形式）
【答案】点的铅直高度为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于点，解求出米，设米，由坡度得到米，再根据即可列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，解题的关键是正确构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
【详解】解：作于点，在中，，，
∴（米）,
设米，
∵，
∴米，
在中，，，，
∵，
∴，
解得，
答：点的铅直高度为米．
【变式1】（2024上·广东茂名·九年级统考期末）某校数学兴趣小组为了测量建筑物的高度，先在斜坡的底部测得建筑物顶点的仰角为，再沿斜坡走了到达斜坡顶点处，然后在点B测得建筑物顶点C的仰角为，已知斜坡的坡度．（参考数据：，）
(1)求点到地面的高度；
(2)求建筑物的高度．
【答案】(1)点到地面的高度为；
(2)．
【分析】（）作，利用坡度的定义求解即可；
（）在（）的基础之上，作，利用三角函数求解的长度即可；
此题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握坡度，仰角俯角等基本定义，灵活构造直角三角形是解题的关键．
【详解】（1）过点作于点，于点，
在中，，设，，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得：，
∴，
∴点到地面的高度为；
（2），过点作于点，如上图，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，∴，
即：，解得：，
∴，
答：建筑物的高度约为米．
【变式2】（2023上·山东枣庄·九年级滕州育才中学校考阶段练习）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸人树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜坡的坡比为（点住同一水平线上）．
(1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度；
(2)求大树的高度（结果保留根号）．
【答案】(1)4米
(2)米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡比，仰角问题，熟练掌握坡比，仰角的计算是解题的关键．
（1）作于H，解，即可求出；
（2）延长交于点G，解、，求出、，得到，再说明，在中，利用正切的定义求出即可．
【详解】（1）过D作于H，如图所示：
在中，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍去），
∴王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为4米．
（2）延长交于点G，设米，由题意得，，
∴，
∵斜坡的坡比为，
∴，
∴，
在中，
∵，
∴，
在中，
∴，
解得：，
故大树的高度为米．
【变式3】（2024上·上海崇明·九年级统考期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）
(1)求A、C两点的距离；
(2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：）
【答案】(1)
(2)树的高度约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等：
（1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到；
（2）先解得到，再解得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H，
∵，
∴，
∵小山的斜坡的坡度，
∴在中，，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：中，，
在中，，
∴，
∴树的高度约为．
考点11：解直角三角形应用——实物建模
典例11：（2024上·湖南常德·九年级统考期末）常德市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，车轮半径为，坐垫与点的距离为．（结果精确到，参考数据：）
(1)求坐垫到地面的距离；
(2)根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
（1）如图1，过点作于点，由题意知，，，则，根据单车车座到地面的高度约为，计算求解即可；
（2）如图2，过点作于点，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
由题意知，，，
∴，
∵，
∴单车车座到地面的高度约为；
（2）解：如图2，过点作于点，
由题意知，
∴，
∴，
∴的长为．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图1，某款台灯由底座、支撑臂、连杆、悬臂和安装在处的光源组成．如图2是该款台灯放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高照明效果．
(1)求悬臂端点到桌面的距离约为多少？
(2)已知光源到桌面的距离为时照明效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，）
【答案】(1)悬臂端点到桌面的距离约为
(2)夹角的度数约为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形．
（1）过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作于点F，则，，得出，根据，求出，最后根据，即可求解；
（2）过点D作于点G，于点G，推出，则，求出，得出，最后，即可求解．
【详解】（1）解：过点C作l的垂线，垂足为点E，过点B作于点F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即悬臂端点到桌面的距离约为；
（2）解：过点D作于点G，于点G，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【变式2】（2024上·浙江金华·九年级义乌市绣湖中学教育集团校考期末）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图．已知活动调节点可以上下调整高度，离地面的距离．设花洒臂与墙面的夹角为，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长．假设水柱垂直直线喷射，小华在离墙面处淋浴．
(1)当时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高．（结果保留一位小数）
(2)如果小华要洗脚，需要调整水柱，使点与点重合，调整的方式有两种：
①其他条件不变，只要把活动调节点向下移动即可，移动的距离与小华的身高有什么数量关系？直接写出你的结论．
②活动调节点不动，只要调整的大小，如图3，试求的度数．（结果保留一位小数，参考数据：，，，）
【答案】(1)125.4cm
(2)①；②61.7°
【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是正确理解题意以及灵活运用锐角三角函数的定义．
（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，利用含30度角的直角三角形的性质即可求出答案．
（2）①由平行四边形的判定与性质即可知道；
②由勾股定理可求出的长度，然后根据锐角三角函数的定义可求出与的度数，从而可求出的度数．
【详解】（1）过点作的延长线于点，交的延长线于点，
，
四边形为矩形，
，，，
在中，，，
，，
，
，
，
又，
，
cm；
（2）①，
如图，由平移可知：
，
∴四边形为平行四边形，
∴，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴；
②如图，连接，在中，
，
，
，
在中，．
，
，
，
．
【变式3】（2023上·四川成都·九年级双流中学校考阶段练习）如图，图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架水平横管的长度为米，求安装热水器的铁架竖直管的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，，，，，）
【答案】安装热水器的铁架竖直管的长度约为米．
【分析】本题考查了学生运用三角函数知识解决实际问题的能力．过作于．构建中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案． 然后根据的长可求出的长，再判定出四边形是矩形，可求出与的长，再用的长减去的长即可解答．
【详解】解：如图，过作交于点．
在中，，
则（米）．
在中，，
则（米）．
由题意得，四边形是矩形．
（米），（米），
（米），
在中，，
则（米），
（米），
答：安装热水器的铁架竖直管的长度约为米．
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