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专题10 圆的基本性质
考点类型
知识一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：（2022上·九年级单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【答案】A
【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．
【详解】解：图中的弦有，共2条．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键．
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是8；最短弦即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理即可求得的长，再根据勾股定理求得的长．
【详解】解：连接，如图所示：
根据题意得：，，于点，
则，
，
，
，
故选：D．
【变式2】（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中， ，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【答案】A
【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、勾股定理首先证明点在以为直径的上，当、、共线时最小，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图所示
，
，
，
，
点在以为直径的上，当、、共线时最小，
在中，，，
，
，
．
最小值为．
故选：A．
【变式3】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据图形的特征，四边形内角和为，可得四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
【详解】解：因为四边形内角和为，
所以四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积，
即这四个喷水池占去的绿化园地的面积为．
故选：C
【点睛】本题主要考查了四边形的内角和以及圆面积公式，解答本题的关键是根据四边形的内角和为°得到四个喷水池的面积之和正好等于一个半径为R的圆的面积．
考点2：垂径定理
典例2：（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧所在圆的圆心，点是上一点，，垂足为点，，，则弧所在圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出的长度．根据题意，可以推出，若设半径为r，则，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为；
故选择：B．
【变式1】（2023上·内蒙古通辽·九年级校联考期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
【详解】解：如图，作于E，于F，连，
则，
∵，
∴E、O、F三点共线，
在中，，
在中，，
当圆心O在弦与之间时，与的距离；
当圆心O在弦与的外部时，与的距离．
所以与的距离是14或
故选：C．
【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接OC、OA，构造出Rt△AOC，求出OA2-OC2的值，再乘以π即为环形的面积．
【详解】解：连接OC、OA，则OC⊥AB，
在Rt△AOC中，
OA2-OC2=AC2=（AB）2=9，
所以环形的面积为OA2π-OC2π=9π，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式．
【变式3】（2023·广西钦州·统考一模）如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
【答案】B
【分析】连接，则，根据垂径定理得到，由圆周角定理得到，根据弧长公式计算出的长，即可得到的长．
【详解】解：连接，则，
∵于点D，
∴，
∵，
∴，
∴的长为，
∴的长为．
故选：B．
【点睛】此题考查了垂径定理、圆周角定理、弧长公式等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键．
考点3：垂径定理的推论
典例3：（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查的是垂径定理．由题意可知为垂直于弦的直径，根据垂径定理即可做出正确的判断．
【详解】解：根据为的直径，且，垂足为，则是垂直于弦的直径，满足垂径定理．
所以是的垂直平分线，
因而，，，都是正确的．
所以选项B、不一定成立．
故选：B．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·九年级校考期中）如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆周角性质，圆心角、弧、弦的关系，垂径定理．根据圆心角、弧、弦的关系得到弧相等，再利用等边三角形的性质得到，再利用垂径定理得到弧相等进而得到平行线，据此逐一判断即可．
【详解】解：由题意得，
∴，，
∴，故D选项的结论错误；
∵，
∴，故选项的结论正确；
如图，连接
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故选项的结论正确；
作半径，如图，
∴，
∴，
∴，
∴，故选项的结论正确；
故选：D．
【变式2】（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理的逆定理，解题的关键是掌握垂径定理的逆定理．“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”．
【详解】解：A．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故A不符合题意；
B．根据无法判断，故B符合题意；
C．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故C不符合题意；
D．∵，是的直径，是非直径的弦，
∴，故D不符合题意．
故选：B．
【变式3】（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为，若将向上平移，则与x轴相切时点 P坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当P移到点时，与x轴相切，过P作直径与D，连接，
由垂径定理得：，
∵，
由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴的坐标是，
故选A．
【分析】本题考查垂径定理，切线的性质，勾股定理，能理解题意画出图形和正确作出辅助线是解题的关键．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．2米 D．1.5米
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理等知识．连接交于点．利用垂径定理以及勾股定理求出，可得结论．
【详解】解：连接交于点．
由题意，
∴（米），
在中，（米），
∴（米），
故选：C．
【变式1】（2023上·浙江温州·九年级统考期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】过O作于N，过D作于M，由垂径定理得，再证四边形是矩形，则，，设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：过O作于N，过D作于M，如图所示：
则米，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，,，
设该圆的半径长为r米，
根据题意得，
解得：,
即门洞的半径长为米，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，矩形的判定与性质，以及二元二次方程组的应用，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出的长．由垂径定理求出的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
【详解】解：如图，过点O做于点N，交于点M，
∵，
∴，
连接，，
∴，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴纸杯的直径为．
故选：C．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，设半径为，根据垂径定理得，，由勾股定理得：，即可求出答案．
【详解】解：如图，设圆心为，作于点，的延长线交圆弧为点，则为优弧的中点，设半径为 ，
，，
，
由勾股定理得：，
，
解得：，
故选：B．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理．熟练掌握同弧或等弧所对的圆心角相等，圆周角定理是解题的关键．
如图，连接，则，，由圆周角定理可得，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵点B是弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校考期中）如图，为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了圆周角定理，以及弦，弧，圆心角三者的关系，作出辅助线，找出未知角与已知角的联系，是解此题的关键；
根据圆周角定理和弦，弧，圆心角三者的关系即可得到结论．
【详解】连接，如图所示，
与所对的弧都是，，
，
，
又 ，
，
和所对的弧都是，
，
故选：B．
【变式2】（2023上·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系，在圆上截取，再根据“根据三角形的三边关系”可解，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系是解题的关键．
【详解】解：如图，
在圆上截取，
∵，
∴，
∴，
根据三角形的三边关系知，，
∴，
故选：．
【变式3】（2022上·河北廊坊·九年级校考期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由，可求得，继而可求得的度数．
【详解】解： ，
，
．
故选：C
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
考点6：圆周角定理
典例6：（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，是直径，C、D是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系判断求解即可，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键．
【详解】∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴平分，
∴垂直平分，
故②正确，符合题意；
∴，
故①正确，符合题意；
∴，
故③正确，符合题意；
根据题意，无法求解，
故④错误，不符合题意；
故选：A．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】①根据菱形的性质得出，根据相同的圆周角所对的弦相等，得出，即可判断①正确；
②根据菱形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，，从而得出，，但不能确定，判断②错误；
③先证明，根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，根据即可判断③正确．
【详解】解：①∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，故①正确；
②∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
不能确定，故②错误；
③∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，故③正确；
综上分析可知，①③正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，圆周角定理，圆周角和弦的关系，解题的关键是熟练掌握圆的基本性质和菱形的性质．
【变式2】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键．平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案．
【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径，
∴，，，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，，故选项B，C正确，不符合题意；
已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意．
故选：D．
【变式3】（2022上·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校考期中）如图，在中， 、、、是上四点，、交于、，且下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】连接，，可以利用判定，根据全等三角形的对应边相等，可得到，判断A选项正确；由全等三角形的对应角相等，可得到，即，根据圆心角、弧、弦的关系定理得出，判断B选项正确；连接．由，根据圆周角定理得出，则，判断D选项正确；由不一定等于，得出不一定等于，那么不一定等于，判断C选项不正确．
【详解】解：连接，，
，
．
在与中，
，
，
，故A选项正确；
，即，
∴，故B选项正确；
连接．
∵，
，
，故D选项正确；
不一定等于，
∴不一定等于，
∴不一定等于，故C选项不正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系定理，圆周角定理，平行线的判定，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合思想是解题的关键．
考点7：圆周角定理推论
典例7：（2024上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理及其推论、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，根据圆周角定理和直径所对圆周角是直角，结合三角形内角和定理即可得出答案，牢记各知识点是解题的关键．
【详解】解：
在中，为直径
平分
故选：．
【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，的圆心在上，且与边相切于点，与交于点，，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】连接，
∵与边相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
【变式2】（2024上·北京西城·九年级统考期末）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形两锐角互余得到，再由等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到，再由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解： 为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查圆中求角度，涉及圆周角定理、直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，等腰内接于，，连结，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连结，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等、全等三角形的判定与性质等知识点，连接，证可得，求出，再结合即可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵，，
∴
∴
∵，，
∴
∴
∵
∴
故选：A
【变式4】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．先根据圆周角定理得到，则利用互余计算出的度数，然后根据圆内接四边形的性质计算出的度数．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
．
故选：B．
【变式5】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）如图，是切线，点是 上的点，的直径，，面积为27，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】此题考查了圆切线的性质，圆周角的定理，弦、弧、圆心角的关系，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．连接，利用圆切线的性质定理、圆周角定理等性质可得，，再根据的面积为27，即可求解．
【详解】解：连接，如下图：
∵为直径
∴，
∵
∴，
∴、为等腰直角三角形，
∴，
∵与⊙O 相切
∴，
∴，
∴，为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
解得，
故选D．
【变式6】（2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【答案】B
【分析】由题意知，由，可得为的直径，由四点共圆，可求，则，然后求直径，求半径即可．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴半径为5，
故选：B．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形，三角形内角和定理等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，圆内接四边形对角互补，含的直角三角形是解题的关键．
【变式7】（2023上·全国·九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，，然后在中，根据锐角三角函数的定义求出的正弦值．
本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求的正弦值转化成求的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
【详解】解：如图，连接、．
和所对的弧长都是，
根据圆周角定理的推论知，．
在中，根据锐角三角函数的定义知，
，
，，
，
，
．
故选：D．
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：（2023·甘肃平凉·统考二模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案．
【详解】解：
连接，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，又，
∴，
∴为等边三角形，
∵， ，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．
【变式1】（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，根据等腰三角形的判定和性质，得到，再根据三角形外角的性质，得到，利用三角形内角和定理，得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质是解题关键．
【变式2】（2023下·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，则，，设，根据等边对等角以及三角形外角的性质可得，根据三角形内角和定理即可求得结果．
【详解】解：如图，连接，如图所示：
∵
，
∴，
设，
，
在中，
，
，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的弦，为半径．，垂足为，，，则为（ ）度
A．60 B．65 C．70 D．75
【答案】D
【分析】连接，则，由，则，再由，即可求出答案．
【详解】解：如图：连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
故选D．
【点睛】本题考查了圆，平行线的性质，等腰三角形的有关知识；正确作出辅助线、利用圆的半径相等是解题的关键．
考点9：圆的内接四边形
典例9：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，直角三角形两个锐角互余，根据圆内接四边形对角互补求得，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵为的直径，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外角定理，圆周角定理和圆内接四边形，连接，由三角形外角性质得出，然后由点为中点得到，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形性质是解题的关键．
【详解】连接，
∵，，，
∴，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【变式2】（2023·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；
【详解】解：连接BD，
∵ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A
∵
∴
∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°
∵
∴△CBE为等边三角形
∴∠BCE＝∠A=60°，
∵点C为的中点，
∴∠CDB＝∠DBC=30°
∴∠ABD=90°，∠ADB=30°
∴AD为直径
∵AB=2
∴AD=2AB=4
∴的面积是=
故答案选：D
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．
【变式3】（2023·陕西西安·西安交通大学附属中学航天学校校考三模）如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆内接四边形对角互补可得，根据一个角是的等腰三角形是等边三角形，可得是同圆中的内接正三角形，延长AO交圆于点E，，，计算出圆的直径，从而得到半径的长．
【详解】解：如图，连接BD，延长AO交圆于点E，连接ED，
∵为四边形的外接圆，，
∴，
∵，
∴的内接是等边三角形（一个角是的等腰三角形是等边三角形），
∴的角平分线经过圆心，
∴，
∵AE是直径，
∴（直径所对圆周角是），是直角三角形；
∵，，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求四边形外接圆的半径，圆内接四边形对角互补，等边三角形性质，圆的基本性质，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题关键．
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专题10 圆的基本性质
考点类型
知识一遍过
（一）圆的相关概念
（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.
（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.
（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.
（6）弦心距：圆心到弦的距离.
（7）确定圆的条件：过已知一点可作无数个圆，过已知两点可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作一个圆
（二）垂径定理及推论
（1）定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
如图:,弧BC=弧BD，弧AC=弧AD
（2）推论：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
（3）延伸：根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：
①弧AC=弧AD；②弧BD=弧CB；③CE=DE； ④AB⊥CD； ⑤AB是直径.
只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.
（三）弧、弦、圆心角的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等。
（四）圆周角定理及推论
（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,
∠A=∠O.
图a 图b 图c
（2）推论：
①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.
②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.
③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠ADC=180°.
考点一遍过
考点1：圆的基本概念
典例1：（2022上·九年级单元测试）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）若点P为内一点，过点P的最长弦长为8，最短弦长为4，则线段长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式2】（2023上·山东泰安·九年级东平县实验中学校考阶段练习）如图，在中， ，，，是内部的一个动点，满足，则线段的长的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【变式3】（2023下·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）
A． B． C． D．不能确定
考点2：垂径定理
典例2：（2023上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧），点是这段弧所在圆的圆心，点是上一点，，垂足为点，，，则弧所在圆的半径是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·内蒙古通辽·九年级校联考期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（ ）
A．2 B．14 C．2或14 D．7或1
【变式2】（2023上·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点，则，那么该圆环的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·广西钦州·统考一模）如图，点A，B，C，E在上，于点D，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．π
考点3：垂径定理的推论
典例3：（2023上·广西南宁·九年级南宁市第四十七中学校联考阶段练习）如图，点在上，直径于点，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·辽宁葫芦岛·九年级校考期中）如图，以为圆心的，、三等分，连、，下列结论错误的是（ ）
A． B．若，则
C． D．
【变式2】（2023上·甘肃武威·九年级校联考阶段练习）如图，是的直径，是非直径的弦，与相交于点M．从以下四个条件中任取一个，其中不能得到的有（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·山东济宁·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为，若将向上平移，则与x轴相切时点 P坐标为（ ）
A． B． C． D．
考点4：垂径定理的实际应用
典例4：（2024上·河北保定·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．3米 C．2米 D．1.5米
【变式1】（2023上·浙江温州·九年级统考期中）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞如图1，其数学模型为如图2所示．园林中的一个圆弧形门洞的地面跨径米，D为圆上一点，于点C，且米，则门洞的半径为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【变式2】（2024上·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考期末）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市丰潭中学校考期中）杭州亚运会开幕式出现一座古今交汇拱底桥，桥面呈拱形．该桥的中间拱洞可以看成一种特殊的圆拱桥，此圆拱桥的跨径（桥拱圆弧所对的弦的长），拱高（桥拱圆弧的中点到弦的距离）约为，则此桥拱的半径是（ ）
A． B． C． D．
考点5：弧、弦、圆心角关系
典例5：（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期末）如图，点A，B，C，D在上，，点B是弧的中点，则的度数是( )
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河南周口·九年级校考期中）如图，为的直径，C、D是上的两点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）如图所示，在中，，那么（ ）
A． B． C． D．无法比较
【变式3】（2022上·河北廊坊·九年级校考期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
考点6：圆周角定理
典例6：（2023上·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，是直径，C、D是上的两点，且，连接和，下列四个结论中：①；②垂直平分；③；④．所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级统考期中）如图，经过菱形的顶点A，B，C，顶点D在内，延长，与分别交于点E，F，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式2】（2023上·广东江门·九年级校考期中）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022上·湖南长沙·九年级长沙市雅礼实验中学校考期中）如图，在中， 、、、是上四点，、交于、，且下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点7：圆周角定理推论
典例7：（2024上·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，为直径，为圆上一点，的角平分线与交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·河北石家庄·九年级统考期末）如图，的圆心在上，且与边相切于点，与交于点，，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2024上·北京西城·九年级统考期末）如图，为的直径，弦交于点，．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校考阶段练习）如图，等腰内接于，，连结，过点作的垂线交于点，交于点，交于点，连结，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（2023上·吉林长春·九年级校考期末）如图，是半圆的直径，点在半圆上．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式5】（2023上·湖北武汉·九年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）如图，是切线，点是 上的点，的直径，，面积为27，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【变式6】（2023上·山东滨州·九年级统考期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点，点的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
【变式7】（2023上·全国·九年级期末）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点8：半径相等——等腰三角形
典例8：（2023·甘肃平凉·统考二模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【变式1】（2023·四川广元·统考一模）如图，为的直径，是的弦，、的延长线交于点E，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023下·浙江金华·九年级校考阶段练习）如图，在扇形中，D为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点C，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，是的弦，为半径．，垂足为，，，则为（ ）度
A．60 B．65 C．70 D．75
考点9：圆的内接四边形
典例9：（2023上·广东汕头·九年级统考期末）如图，为的直径，点，在上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·天津和平·九年级统考期末）如图，中，弦与交于点，点为中点，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023·广西贺州·统考二模）如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·陕西西安·西安交通大学附属中学航天学校校考三模）如图，已知为四边形的外接圆，，，则的半径长为（ ）
A． B． C． D．
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