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专题11 与圆有关的位置关系（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（ ）
A．6 B．4 C．4 D．8
2．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3个或3个以上
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西吕梁·统考一模）如图，四边形内接于，与相切于点，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西崇左·统考一模）已知的半径是，若，则点（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法判定
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
7．（2023·广东汕头·统考一模）如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
8．（2022·河南周口·校考二模）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
9．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．8cm
10．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，直线与相切于点，过点，分别作，，垂足为点，，连接，．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．.
11．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）在中，，，，以C为圆心，cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
12．（2023上·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
13．（2022·上海松江·校考三模）已知，以点为圆心，以为半径画圆，以点为圆心，半径为，画圆已知与外离，则的取值范围为（ ）
A．0 B．0 C．0 D．0
14．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·广东深圳·深圳市观澜第二中学校考模拟预测）如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
16．（2023·辽宁抚顺·校联考一模）已知 的半径为为线段的中点，当的长度为时，点与 的位置关系为 ．
17．（2023·广西防城港·统考一模）已知的半径为6，且点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是 ．
18．（2023上·广西·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，，以点为圆心为半径作圆，如果与有唯一公共点，则半径的值是 ．
19．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，是的直径，点P是延长线上的一点，是的切线，C为切点．若，．则的半径为 ．
20．（2023·福建宁德·统考二模）如图，点A为⊙O上一点，点P为AO延长线上一点，PB切⊙O于点B，连接AB，若∠APB=40°，则∠A的度数为 ．
21．（2023·云南昆明·统考二模）已知直线，若的半径为1，圆心在轴上，当与直线相切时，则点的坐标是 ．
22．（2023·浙江宁波·校考三模）已知，中，，，．点D在的一边上，是以D为圆心，为半径，并与的一边相切，则 ．
23．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，切于点，直径的延长线交于点，，，的正切值为 ．
24．（2023·安徽芜湖·校联考二模）如图，在中，，，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点）．当与直线只有一个公共点时， ；当时，线段长度的最小值为 ．
25．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ．
三、解答题
26．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．
27．（2023·河南·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)已知BC＝4．填空．
①当DE＝ 时，四边形DOCE为正方形；
②当DE＝ 时，△BOD为等边三角形．
28．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，、为的直径，弦于点，点在延长线上，交弦于点，为的中点， ．
(1)求证：为的切线；
(2)求 ，求图中阴影部分的面积．
29．（2023·天津东丽·统考二模）如图，是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，和过E的切线互相垂直，垂足为D，切线交的延长线于点C．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
30．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径；
31．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
32．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，已知是的直径，于点，连接，弦，直线交直线于点．
（1）求证：直线是的切线：
（2）若，，，求的长．
33．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
34．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
35．（2023·辽宁·统考一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，交于点，且为的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
【能力提升】
36．（2023上·湖南湘西·九年级校考期中）如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点E，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，,
①求的长；
②求的半径．
(3)求C、D两点间的距离.
37．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的半径的长；
(3)求线段的长．
38．（2023上·广东珠海·九年级校考阶段练习）如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．
(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)如果，，求的长．
(3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形．
39．（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．
(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．
求证：______．
证明：
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；
(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．
40．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长．
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专题11 与圆有关的位置关系（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023上·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中）如图，P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，，，则线段OP的长为（ ）
A．6 B．4 C．4 D．8
【答案】D
【分析】连接，通过直角三角形的性质求解即可．
【详解】连接，
∴，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴∠OAP=90°，
∵，
∴OP=2OA=8，
故选D．
【点睛】此题考查了圆的切线的性质，涉及了直角三角形的性质，解题的关键是掌握圆切线的有关性质．
2．（2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习）已知⊙O的半径等于8cm，圆心O到直线l的距离为9cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3个或3个以上
【答案】A
【分析】圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案.
【详解】解： ⊙O的半径等于为8cm，圆心O到直线l的距离为为9cm，
直线l与相离，
所以直线l与⊙O的公共点的个数为0，
故选A
【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键.
3．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，AB是的直径，BC是的切线，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据切线的性质，得∠ABC=90°，再根据直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB是的直径，BC是的切线，
∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，
∵，
∴=90°-35°=55°，
故选C．
【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质，掌握圆的切线的性质定理，是解题的关键．
4．（2022·山西吕梁·统考一模）如图，四边形内接于，与相切于点，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OB、OC，利用圆内接四边形的性质，利用∠D可求出∠ABC，则在△ABC中，求出∠CAB，因为BE与⊙O相切，则可证得∠CBE=∠BAC，即可得解．
【详解】连接OB、OC，如图，
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠D=120°，
∴∠D+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∵∠ACB=40°，
∴在△ABC中，∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=80°，
∵BE与⊙O相切，
∴∠CBE+∠OBC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵根据圆周角定理有∠COB=2∠BAC，
又∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∴2∠OBC+2∠BAC=180°，
∴∠OBC+∠BAC=90°，
又已证得∠CBE+∠OBC=90°，
∴∠CBE=∠BAC=80°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质以及圆的切线等知识，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
5．（2022·广西崇左·统考一模）已知的半径是，若，则点（ ）
A．在上 B．在内 C．在外 D．无法判定
【答案】C
【分析】点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径．
【详解】解：，
点在外，
故选：C．
【点睛】考查了点与圆的位置关系，解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系．
6．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，中，，，，以点为圆心，为半径作，当时，与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据中，， ，求出AC的值，再根据勾股定理求出BC 的值，比较BC与半径r的大小，即可得出与的位置关系．
【详解】解：∵中，， ，
∴cosA=
∵，
∴AC=4
∴BC=
当时，与的位置关系是：相切
故选：B
【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形，勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识，利用勾股定理解求出BC是解题的关键．
7．（2023·广东汕头·统考一模）如图，与相切于点，交于点，点在上，连接、，，若，则的度数为（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
【答案】B
【分析】先根据切线的性质得到∠OAB＝90°，则利用互余可计算出∠O＝50°，然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵，
∴∠O＝90° 40°＝50°，
∴∠ADC＝∠O＝×50°＝25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
8．（2022·河南周口·校考二模）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，过点B作BD∥AO交⊙O于点D，连接CD．若∠DCO＝25°，则∠A的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．55°
【答案】B
【分析】连接OB，由切线的性质得出∠OBA＝90°，根据平行线的性质得到∠OBDC的度数，由圆周角定理得出∠AOB＝50°，则可得出答案．
【详解】解：连接OB，如图，
∵AB切⊙O于点B，
∴OA⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵BDOA，
∴∠DCO＝∠BDC＝25°．
∴∠BOC＝2∠BDC＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键．
9．（2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习）如图，⊙O半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l交⊙O于A，B两点，AB=8cm，将直线l沿OC所在直线向下平移，若l恰好与⊙O相切时，则平移的距离为（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．8cm
【答案】B
【分析】连接OA，由垂径定理和勾股定理得OH=3，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得CH=OC-OH=2cm．
【详解】解：连接OA，
∵OH⊥AB，
∴AH=4，OA=OC=5，
∴OH=3，
∵当点H平移到点C时，直线与圆相切，
∴CH=OC-OH=2cm，
即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切．
故选：B．
【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键．
10．（2023·河南信阳·统考一模）如图，是的直径，直线与相切于点，过点，分别作，，垂足为点，，连接，．若，，则的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．.
【答案】C
【分析】连接OC，根据切线的性质和三角函数求得∠ACD＝30°，从而得到△AOC是等边三角形，进而即可求解．
【详解】解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵直线DE与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴AD∥OC∥BE，
∵OA＝OB，
∴DC＝CE＝，
∵AD＝1，
∴tan∠ACD＝，
∴∠ACD＝30°，
∴∠ACO＝90° 30°＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝AC，
∵AC=2AD=2，
∴OA=AC=2．
故选C．
【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，30°角的直角三角形的性质等，求得∠ACD＝30°是解题的关键．
11．（2023上·山东济宁·九年级统考期末）在中，，，，以C为圆心，cm长为半径的圆与AB的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不能确定
【答案】A
【分析】利用面积法求出直角三角形ABC的斜边AB上的高，即得到圆心到直线的距离，然后比较它和圆的半径的大小，得到直线与圆的位置关系
【详解】解：∵，，，
∴，
设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h，
，
∵，即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径，
∴直线与圆的位置关系是相切．
故选：A．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法．
12．（2023上·甘肃定西·九年级校联考阶段练习）已知，点在的平分线上，，以点为圆心，为半径作，则与的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】A
【分析】过点作于点，根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，又因为大于半径，即可得到与的位置关系．
【详解】解：过点作于点，
，点在的平分线上，
，
在中，，
，
，
与的位置关系是相离，
故选：A．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，30度角所对的直角边等于斜边一半，直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题关键．
13．（2022·上海松江·校考三模）已知，以点为圆心，以为半径画圆，以点为圆心，半径为，画圆已知与外离，则的取值范围为（ ）
A．0 B．0 C．0 D．0
【答案】C
【分析】设半径为，则cm，根据两圆外离的条件得到，从而得到的范围．
【详解】解：设半径为，则，
与外离，
，
，
即，
，
故选：C．
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为、两圆的半径分别为，两圆外离；两圆外切；两圆相交；两圆内切；两圆内含．
14．（2023·湖北鄂州·校考模拟预测）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，若，，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先由勾股定理求出AB的长，再判定四边形CEOF是正方形，由切线长定理建立方程求出圆的半径，进而计算扇形面积即可解答；
【详解】解：由题意△ABC中，
∠C=90°，OF⊥AC，OE⊥BC，
∴四边形CEOF是矩形，
OE=OF，
∴矩形CEOF是正方形，
由切线长定理可得CF=CE，AF=AD，BE=BD，
∴AB=AD＋DB=AF＋BE，
设圆的半径为x，则（3－x）＋（4－x）=5，解得x=1，
扇形EOF面积==π，
∴阴影面积=正方形CEOF面积－扇形EOF面积=1-π，
故选：D；
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定和性质，切线长定理，扇形面积计算；结合图形求出内切圆半径是解题关键．
15．（2022·广东深圳·深圳市观澜第二中学校考模拟预测）如图，如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．下列四个结论：①平分；②；③若，则阴影部分的面积为；④若，则．其中正确的是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】①连接，根据是的切线，，推出，得到，根据，推出，得到，得到平分，此结论正确；
②根据是的直径，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，推出，得到，根据平分，推出，根据，，推出，得到，得到，此结论正确；
③根据若，推出是斜边上的中线，推出，根据，推出，得到是等边三角形，得到，连接，则，根据，推出，得到，推出 ，此结论不正确；
④根据，，，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，得到，根据，推出，此结论正确．
【详解】①连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
故平分正确；
②∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故正确；
③∵若，
∴是斜边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故若，则阴影部分的面积为不正确；
④∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴,
∵，
∴,
∴，
∵，
∴．
故若，则正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线，角平分线，圆周角，勾股定理，平行线，相似三角形，等边三角形，扇形面积，锐角三角函数等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆的切线的性质，角平分线的定义，圆周角定理的推论，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算公式，正切的定义．
二、填空题
16．（2023·辽宁抚顺·校联考一模）已知 的半径为为线段的中点，当的长度为时，点与 的位置关系为 ．
【答案】点在圆内 ．
【分析】知道的长，点是的中点，得到的长与半径的关系，求出点与圆的位置关系．
【详解】解：是线段的中点，
，小于圆的半径，
点在圆内．
故答案为点在圆内．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，根据的长和点是的中点，得到，小于圆的半径，可以确定点的位置．
17．（2023·广西防城港·统考一模）已知的半径为6，且点到圆心的距离是5，则点与的位置关系是 ．
【答案】A在内
【分析】根据当时，点在圆内解答．
【详解】解：∵，
∴点A在内，
故答案为：A在内．
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
18．（2023上·广西·九年级统考阶段练习）如图，在中，，，，以点为圆心为半径作圆，如果与有唯一公共点，则半径的值是 ．
【答案】
【分析】由题意易知与AB有唯一公共点，说明与直线AB相切，即过点C作CD⊥AB，CD的长即为的半径r．
【详解】解：由题意得：与AB有唯一公共点，说明与直线AB相切，过点C作CD⊥AB，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，即；
故答案为．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及切线定理，熟练掌握直线与圆的位置关系及切线定理是解题的关键．
19．（2023上·河北唐山·九年级统考期末）如图，是的直径，点P是延长线上的一点，是的切线，C为切点．若，．则的半径为 ．
【答案】2
【分析】如图，连接，由，设圆的半径为，证明 ，再求解 ，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，连接，
PC是的切线，
，
而，
， 设圆的半径为， 则，
，
，
， 解得：
的半径为．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，锐角三角函数的应用，解题的关键熟练掌握切线的性质以及锐角三角函数．
20．（2023·福建宁德·统考二模）如图，点A为⊙O上一点，点P为AO延长线上一点，PB切⊙O于点B，连接AB，若∠APB=40°，则∠A的度数为 ．
【答案】25°
【分析】连接OB，由切线的性质可以算出∠BOP的度数，再利用圆周角定理即可算出∠A的度数．
【详解】连接OB，
∵PB切⊙O于点B
∴∠OBP=90°，
又∵∠APB=40°
∴∠BOP=90°-40°=50°
∴
故答案为：25°
【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理，连接OB，构造除直角三角形是解题的关键．
21．（2023·云南昆明·统考二模）已知直线，若的半径为1，圆心在轴上，当与直线相切时，则点的坐标是 ．
【答案】或
【分析】先计算直线与两坐标轴交点A、B，再根据勾股定理得到AB=，设P坐标为（0，m）（m＞0），即OP=m，若P在B点下边时，BP=2-m，根据切线的性质得到∠PN′B=90°，根据相似三角形的性质得到，此时P；若P在B点上边时，同法求得P．
【详解】解：令x=0,得y=2,令y=0，得x=4
∴直线l经过点A(4，0)，B(0，2)，
∴AB=，
设P坐标为(0，m)(m＞0)，即OP=m，
若P在B点下边时，BP=2﹣m，
当AB是⊙O的切线，
∴∠PN'B=90°．
∵∠PBN'=∠ABO，∠PN'B=∠BOA=90°，
∴△PBN'∽△ABO，
∴，
此时P(0，)；
若P在B点上边时，BP=m﹣2，
同理△BPN∽△BAO，则有，
，
，此时P(0，)，
综上所述：P(0，)或P(0，)，
故答案为：(0，)或(0，)．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，解答本题的关键是画出示意图，熟练掌握切线的性质，难度一般．
22．（2023·浙江宁波·校考三模）已知，中，，，．点D在的一边上，是以D为圆心，为半径，并与的一边相切，则 ．
【答案】2或
【分析】根据题意，进行分类讨论，①当点D在上时，与边相切，根据中点的定义进行解答；②当点D在边上时，与边相切，根据相似三角形性质进行解答；③当点D在边上时，不符合题意，舍去．
【详解】解：根据勾股定理可得：，
①当点D在上时，
∵，
∴；
②当点D在边上时，
设，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
③当点D在边上时，不符合题意，舍去．
综上：或，
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握切线的判定定理和相似三角形对应边成比例．
23．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试）如图，切于点，直径的延长线交于点，，，的正切值为 ．
【答案】
【分析】连接OA，设半径OA=OC=x，则，由切线的性质可得∠OAP=90°，进而根据勾股定理列方程求得OA=8，最后再根据正切值的定义计算即可．
【详解】解：如图，连接OA，
设半径OA=OC=x，则，
∵切于点，
∴∠OAP=90°，
∵在RtOAP中，，
∴，
解得：，
∴OA=8，
∴在RtOAP中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切值的定义，熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
24．（2023·安徽芜湖·校联考二模）如图，在中，，，的半径为，点是边上的动点，过点作的一条切线（其中点为切点）．当与直线只有一个公共点时， ；当时，线段长度的最小值为 ．
【答案】 3
【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理可得，设与直线的切点为点，连接，再根据圆的切线的性质可得，且，然后利用三角形的面积公式求出长即可得；连接，先根据圆的切线的性质可得，，再利用勾股定理可得，从而可得当时，取得最小值，线段长度最小，同上可得的最小值为，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
当与直线只有一个公共点时，则与直线相切，
如图，设与直线的切点为点，连接，
则，且，
，
，
即；
如图，连接，
与的相切于点，
，，
在中，，
要使线段长度最小，则只需取得最小值即可，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
由上可知，的最小值为，
则线段长度的最小值为，
故答案为：，3．
【点睛】本题考查了含角的直角三角形、勾股定理、圆的切线的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．
25．（2022·江苏盐城·校考一模）如图，在中，，，点、分别在边、上，点为边的中点，，连接、相交于点，则面积最大值为 ．
【答案】
【分析】作交的延长线于点，则，得，所以，再证明，则，所以，可知当最大时，则最大；作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，可证明当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；当点在的延长线上，连接、，则，由勾股定理求得，而，所以，即可求得，．
【详解】解：如图1，作交的延长线于点，则，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当最大时，则最大；
作的外接圆，作于点，于点，于点，连接，
，
四边形是矩形，
，
，
，
即，
当点与点重合，即、、三点在同一条直线上时，最大，此时最大；
如图2，的外接圆，于点，点在的延长线上，连接、，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
面积最大值为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题
26．（2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测）如图，已知AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使DC=BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：AB=AC；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）若⊙O的半径为6，∠BAC=60°，则DE=________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）连接AD，由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得结论；
（2）连接OD，由中位线的性质可得OD∥AC，由平行的性质与切线的判定可证；
（3）易知是等边三角形，由等边三角形的性质可得CB长及度数，利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.
【详解】（1）连接AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
又∵DC=BD，
AD是BC的垂直平分线
∴AB=AC．
（2）连接OD．
∵DE⊥AC，
∴∠CED=90°．
∵O为AB中点，D为BC中点，
∴OD∥AC．
∴∠ODE=∠CED=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（3）由（1）得
是等边三角形
在中，
根据勾股定理得
【点睛】本题考查了圆与三角形的综合，涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
27．（2023·河南·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D，E为AC的中点，连接DE
(1)求证：DE为⊙O的切线；
(2)已知BC＝4．填空．
①当DE＝ 时，四边形DOCE为正方形；
②当DE＝ 时，△BOD为等边三角形．
【答案】(1)证明见解析；(2)①2；②2．
【分析】（1）连接CD，根据圆周角定理得出∠CDB＝90°，根据直角三角形性质得出DE＝CE＝AE，求出∠ACD+∠DCO＝∠EDC+∠CDO，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE＝2；
②若△BOD为等边三角形，则∠DOE＝60°，则Rt△ODE中，则DE＝2．
【详解】(1)如图，连接CD，OE，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线，
在△COE与△DOE中，OD＝CC，OE＝OE，DE＝CE，
∴△COE≌△DOE，
∴∠OCE＝∠ODE＝90°，
DE为⊙O的切线；
(2)①若四边形DOCE为正方形，则OC＝OD＝DE＝CE，
∵BC＝4，
∴DE＝2．
②若△BOD为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠COD＝180°﹣∠BOD＝120°，
∴∠DOE＝60°，
∴Rt△ODE中，DE＝OD．
故答案为2，2．
【点睛】本题为圆的综合题，涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质，等边三角形的性质以及切线的判定和性质，熟练掌握圆的相关性质以及等边三角形、正方形的性质是解题的关键．
28．（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）如图，、为的直径，弦于点，点在延长线上，交弦于点，为的中点， ．
(1)求证：为的切线；
(2)求 ，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据特殊角的三角函数值得出，进而证明是等边三角形，是直角三角形，即可得出结论；
（2）根据勾股定理求得，进而求得 ，，根据图中阴影部分的面积，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
．
，
，
，
，
∵
∴，
∴，
是等边三角形，
，
为的中点，
，
∴，
∴,
∴，
是直角三角形，
，
是的半径，
为的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
图中阴影部分的面积．
【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，扇形面积公式，特殊角的三角函数值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
29．（2023·天津东丽·统考二模）如图，是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，和过E的切线互相垂直，垂足为D，切线交的延长线于点C．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，可推出，故；根据、即可求解；
（2）在中可求出，进而可确定； 在中即可求出的长．
【详解】（1）解：连接，
∵与相切
∴
∵
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴
在中：
∴
∴
在中：
∴
【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识．熟记相关结论即可．
30．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径；
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）直接根据“”证明即可得出结论；
（2）设的半径为，则，然后根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为，
则，
在中，，
即，
解得：，
故的半径为.
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用所学知识点是解本题的关键．
31．（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH=．
【分析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB＝∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，即可得出BD是⊙O的切线；
(2) 连接BE，由圆周角定理得出∠AEB＝90°，设BH=5x，EH=3x，在Rt△BEH 中，即可进行求解．
【详解】（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB sin∠BAE＝，
∵，
∴，
∴sin∠CBE=sin∠A=，
∴，
设BH=5x，EH=3x，
在Rt△BEH 中，
，解得，x=，
∴BH=．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
32．（2023·安徽合肥·统考三模）如图，已知是的直径，于点，连接，弦，直线交直线于点．
（1）求证：直线是的切线：
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）连接OB．利用SAS证明△POB≌△POA，根据全等三角形对应角相等得出∠PBO＝∠PAO＝90°，即直线PB是⊙O的切线；
（2）根据△POB≌△POA得出PB＝PA，由已知条件“BD＝2PA”、等量代换可以求得BD＝2PB；然后由相似三角形的对应边成比例可以求得，进而即可求解．
【详解】（1）证明：如解图，连接.
∵，
∴，.
又∵，
∴，
∴.
在与中，
，
∴ ．
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理．
33．（2023·四川攀枝花·统考二模）如图，是四边形的外接圆，是的直径，，交的延长线于点平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，求出，然后得出，根据切线的判定即可得出结论；
（2）根据圆内接四边形的性质得出，再证得，得出比例式，从而可得结论
【详解】（1）证明：连接，如图，
平分，
．
，
．
为的半径，
是的切线；
（2）四边形为的内接四边形，
．
，
，
，
．
是的直径，
，
．
，
，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
34．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB=∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
(1)试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．
【答案】(1)PC与⊙O相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）先证明∠ACB=90°，然后推出∠PCB=∠OCA，即可证明∠PCO=90°即可；
（2）先证明，再证明△PBC∽△PCA，从而求出，AB=3，，，最后证明△PBC∽△POD，求出，则CD=6，由此求解即可．
【详解】（1）解：PC与⊙O相切，理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCB+∠OCA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠PCB=∠OAC，
∴∠PCB=∠OCA，
∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，即∠PCO=90°，
∴PC与⊙O相切；
（2）解：∵∠ACB=90°，，
∴，
∵∠PCB=∠OAC，∠P=∠P，
∴△PBC∽△PCA，
∴，
∴，
∴AB=6，
∴，
∴，
∵，
∴△PBC∽△POD，
∴，即，
∴，
∴CD=6，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等边对等角证明，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆切线的判定是解题的关键．
35．（2023·辽宁·统考一模）如图，是的直径，点是上一点，过点的直线交的延长线于点，过作的垂线，垂足为，交于点，且为的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的直径．
【答案】（1）证明见解析；（2）的直径为6．
【分析】（1）根据题意连接，通过证明即可得到是的切线；
（2）根据题意连接，，过作于点，通过证明，，进而即可得解.
【详解】（1）证明：如下图，连接，
∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如下图，连接，，过作于点，
∵为的中点，
∴，
由（1）知，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
即的直径为6．
【点睛】本题主要考查了切线的判定及三角形全等的应用，熟练掌握相关证明辅助线作法是解决本题的关键.
【能力提升】
36．（2023上·湖南湘西·九年级校考期中）如图，与相切于点C，经过上的点D，交于点E，，是的直径．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，,
①求的长；
②求的半径．
(3)求C、D两点间的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)①；②的半径是
(3)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，即可得出，进而证得，得到，即可证得结论；
（2）①先由勾股定理求得的长，然后再求得的长．
②在中，利用勾股定理可解得半径．
（3）先由勾股定理求得的长度，然后再利用与可求得的长．
【详解】（1）证明：连接，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）①∵
∴，又
∴在中，，
∴
②设的半径，则
在中，，
即：，解得：
∴的半径是．
（3）连接
∵，
∴垂直平分．
∵
∴
∴
【点睛】本题主要考查了等边对等角、平行线的性质、切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等，解题的关键是熟知相关的性质与定理并能综合解题．
37．（2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习）如图，线段经过的圆心O，交于A、C两点，，为的弦，连接，，连接并延长交于点E，连接交于点M．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求的半径的长；
(3)求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求出，求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）解直角三角形得到，，根据勾股定理得到，根据圆周角定理可证，根据即可得到结论．
【详解】（1）证明：，，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（2）由（1）可知，
在中，，
，
，
，
的半径的长1；
（3）如图，连接，
，
，，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，切割线定理，正确的识别图形是解题的关键．
38．（2023上·广东珠海·九年级校考阶段练习）如图，是圆O的直径，O为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点E．
(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；
(2)如果，，求的长．
(3)在（2）的条件下，将线段以直线为对称轴作对称线段，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形为菱形．
【答案】(1)是的切线，理由见解析；
(2)1；
(3)证明见解析．
【分析】本题考查了切线的性质和判定，正切，菱形的判定，平行线的判定，对称，同弧所对的圆周角相等，含30度角的直角三角形性质，切线长定理。
（1）连接，由是圆O的直径可得，进而求得，即可得出直线为的切线；
（2）求出，解直角三角形求出，根据含角直角三角形求出即可；
（3）根据折叠和已知求出，根据平行线的判定推出，求出，，推出，求出，根据切线长定理可得，，进而结论得证．
【详解】（1）直线为的切线，理由如下：
如图1，连接，
∵是的直径，
，
，
∵，
，
，
∴，即，
∵是的半径，
直线为的切线；
（2）为切线，
，
，
，
在中，，，
∴，
，
∵，
∴；
（3）如图2，连接，
由题意得：，，
，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
，
为切线，
，
，
四边形为平行四边形，
∵、为切线，
∴，
四边形为菱形．
39．（2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．
(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．
求证：______．
证明：
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；
(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）通过证明三角形全等即可得到，从而证明切线．
（2）证明，结合，可得，从而可得答案；
（3）如图，由，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，证明，可得，可得．
【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是小圆O的切线．
（2）由（1）得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
而，
∴
∴．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线是解本题的关键．
40．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中）【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则______．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，求的长．
【答案】（1）45；（2）；（3）见解析；（4）①；②
【分析】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识．
（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取的中点O，连接．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出，则可得出答案；
（3）作出等边三角形，由圆周角定理作出图形即可；
（4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；②作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，，
；
故答案为：45；
（2）如图2，的中点O，连接．
，
，
，
∴点A、B、C、D共圆，
，
，
；
（3）作图如下：由图知，；同理．
（4）①．
在上截取，连接，以为直径，交于E，交于F，连接，过圆心O作于H且交圆O于G，过G作的切线交于K交于Q，如图所示：
，
，
的半径为，即，
，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
②如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接．
，
．
在中，，
．
，O为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，
，
．
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