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专题10 圆的基本性质（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·河南·统考二模）已知：如图，是的两条半径，，点C在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·模拟预测）如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，点A，B，C是上的三点，已知，那么的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2023下·重庆綦江·九年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形的顶点．以点O为圆心，半径为1画圆．P是⊙O上的点且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
6．（2022上·河南商丘·九年级校考阶段练习）已知点O是的外心，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
7．（2023·福建·校联考一模）如图，在中，半径，点是优弧上的一点，点是的中点，连接，，则的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．45°
8．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A、B、C在圆O上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山东淄博·统考一模）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ）
A．70° B．60° C．40° D．20°
11．（2023·甘肃白银·统考一模）如图，、是的两条相交弦，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·山东聊城·统考二模）如图，已知AB是圆⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝12，BC＝5，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，弦所对的圆周角，，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，，的半径为4，的长为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为 ．
17．（2022·湖南永州·统考二模）如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、．若，则的大小是 ．
18．（2023·湖南娄底·统考二模）一块直角三角板的30°角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于、两点，若弦，则⊙O的半径为 ．
19．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，，若，则 ．
20．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为E，，则直径的长为 cm．
21．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，为直径，平分，连接、，若，则的度数为 ．
22．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，点从点沿边运动至点停止，这个过程中，点，所经过的路径与边围成的图形的周长为 ．
23．（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为（﹣，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是 ．
24．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，是⊙O的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为 ．
25．（2023·江苏扬州·校考二模）已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
26．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
27．（2019·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值
28．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
29．（2023·广西南宁·校考二模）如图，四边形ABDC是的内接四边形，AD是对角线，过点A作交DB的延长线于点E，．
(1)求证：；
(2)连接BC，若BC为的直径，求证：．
30．（2019·河南郑州·三模）如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
（1）求证：CE=AE
(2)若AE=6，DE=9，求EF的长.
31．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若， ，求的半径．
32．（2023上·浙江温州·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4，弦CD⊥AB于点G，点E是上的一点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE．
(1)求证：∠ACF＝∠CAF．
(2)点P在上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝，且DP＝3FQ时，求CP的长．
33．（2022·安徽六安·统考一模）如图，已知AB为☉O的直径，AC，CD是弦．AB⊥CD于E．OF⊥AC于F．连接BC．
(1)求证：；
(2)若BE＝2cm，，求AC的长．
34．（2023·浙江温州·统考一模）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=6，⊙O的半径为5，求BC的长．
35．（2023·河南南阳·校联考三模）（1）【特例感知】
如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 ，点D到直线AB的距离为 ．
（2）【类比迁移】
如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】
如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，，BD平分∠ABC，BD＝，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 ．
【能力提升】
36．（2024上·广东汕头·九年级统考期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
(1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，直接写出的度数；
(2)如图2，四边形内接于，为的直径， ，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长．
(3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．
37．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，等边三角形内接于圆O，点P是劣弧上任意一点（不与C重合），连接，求证：．
[初步探索]小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
(1)根据小明的思路，请你完成完整证明过程：
(2)若圆的半径为4，则的最大值为_________；
(3)[类比迁移]如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，则线段之间有什么样的数量关系？请你写出证明过程并求周长的最大值．
38．（2023上·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中的的内部找到一个格点，连接、，使．
(2)在图②中的的外部找到一个格点，连接、，使．
(3)在图③中的边上找到一点，连接，使．
39．（2024上·广东广州·九年级统考期末）是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，．
(1)如图①，是直径，交于点C，，求的度数；
(2)如图②，连接，，过点O作交于点D．求证：；
(3)如图③，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
40．（2023上·吉林长春·九年级校考期末）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)图①中，画出的圆心；
(2)图②中，在边上找到一点，使得平分；
(3)图③中，在上找到一点（不与点重合），使得．
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专题10 圆的基本性质（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2023·河南·统考二模）已知：如图，是的两条半径，，点C在上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理求解即可．
【详解】圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，理解并熟记圆周角定理是解题关键．
2．（2023·浙江·模拟预测）如图，是是直径，是弦且不是直径，，则下列结论不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于, 根据垂径定理有, , 不能得出, 圆的半径都相等.
【详解】解：如图所示，
∵,
∴, ,
的半径都相等，那么
,
不能得出.
故选:.
【点睛】本题考查了垂径定理.解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容.
3．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）如图，点A，B，C是上的三点，已知，那么的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】D
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB=110°，
∴∠ACB=∠AOB=55°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，是的直径，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．
5．（2023下·重庆綦江·九年级重庆市綦江中学校考阶段练习）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A，B，O是小正方形的顶点．以点O为圆心，半径为1画圆．P是⊙O上的点且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ）
A．22.5° B．30° C．45° D．60°
【答案】C
【分析】直接利用圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵∠APB是所对的圆周角
∴∠APB=∠AOB=×90°=45°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半成为解答本题的关键．
6．（2022上·河南商丘·九年级校考阶段练习）已知点O是的外心，若，则的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意画出图形，分两种情况当点O在的内部时，当点O在的外部时，运用等弧所对的圆周角是圆心角度数的一半即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵O是的外心，，
∴，
∴的度数为：或．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握知识点并能够用分类讨论的思想是解题的关键．
7．（2023·福建·校联考一模）如图，在中，半径，点是优弧上的一点，点是的中点，连接，，则的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．45°
【答案】B
【分析】连接OC，求出∠AOC的度数，再根据圆周角的性质直接求出的度数即可．
【详解】解：连接OC，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角的性质和弧与圆心角的关系，解题关键是熟练掌握圆周角的性质和弧与圆心角的关系，准确进行推理计算．
8．（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A、B、C在圆O上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可求出结果．
【详解】解：∵是的外接圆，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
9．（2023·山东淄博·统考一模）如图，是的弦，半径于点，连接并延长，交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理求出，再根据三角形面积公式进行计算即可．
【详解】∵是的直径，
∴，
∵，是的半径，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
由于，可设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得或（舍去），
即，
∴，
，
，
故选：．
【点睛】此题考查了垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理，掌握垂径定理，三角形中位线定理以及勾股定理是解决问题的前提，求出的长是解题的关键．
10．（2022·湖北黄石·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ）
A．70° B．60° C．40° D．20°
【答案】D
【分析】由AB是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C的度数，又由∠ABC=70°，利用直角三角形中两锐角互余，即可求得∠BAC的度数．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90，
∵∠ABC=70，
∴∠BAC=90-70=20，
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握直径所对的圆周角是直角定理的应用，注意数形结合思想的应用．
11．（2023·甘肃白银·统考一模）如图，、是的两条相交弦，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】圆周角定理和已知得出，证出为等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
【详解】解：，，
，
为等边三角形，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
12．（2023·山东聊城·统考二模）如图，已知AB是圆⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，AC＝12，BC＝5，则sin∠ABD＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，由AB是圆⊙O的直径知，，由知，所以，进而得到，中，勾股定理求得，运用正弦求得，所以．
【详解】
如图，∵AB是圆⊙O的直径
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
中，
∴
故选Ｃ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理及推论、直角三角形两税角互余及三角函数知识；能够灵活运用相关知识进行角的等量代换是解题关键．
13．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，弦所对的圆周角，，，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AO、BO、CO，根据圆周角定理得，根据三角形AOB是等腰直角三角形求出AO的长，即可证明三角形COB是等边三角形，即可得到的度数，再由圆周角定理得出结果．
【详解】解：如图，连接AO、BO、CO，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练运用圆周角定理．
14．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，点为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则的长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】C
【分析】由题意可得，，由勾股定理可得，即可得到的长．
【详解】解：如图，连接、，
，
是小圆的切线，点为切点，
，
，
大圆半径为2，小圆半径为1，
，，
在中，，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理，熟练运用垂径定理是解本题的关键．
15．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在中，，的半径为4，的长为，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弧长公式求出的度数，得出，过点B作，求出,
过点A 作交延长线于点F,求出，再把数值代入中进行计算即可求出．
【详解】如下图所示：
设，根据弧长公式得：
过点B作
在等腰直角中,
过点A 作交延长线于点F
故选：A．
【点睛】本题主要考查了扇形面积，三角形面积，弧长公式，直角三角形求边长等知识，熟练掌握公式且利用数形结合的方法表示阴影面积是解题的关键．
二、填空题
16．（2023上·江苏宿迁·九年级统考期中）如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】连接BC，利用圆周角性质求出∠DCB，利用直径所对的圆周角为90°求出∠ACB，利用三角形内角和求出∠ABC，再利用外角的性质可求出；
【详解】解：连接BC，则∠DCB=
∵是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-90°=50°
∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=50°+30°=80°
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三角形的性质解决问题．
17．（2022·湖南永州·统考二模）如图，是的直径，点、在上，且在异侧，连接、、．若，则的大小是 ．
【答案】25°/25度
【分析】利用圆周角定理和补角的概念即可解答；
【详解】解：∵∠BOC=130°，
∴∠AOC=180°-∠BOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°，
故答案为：25°．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；掌握定理是解题关键．
18．（2023·湖南娄底·统考二模）一块直角三角板的30°角的顶点落在⊙O上，两边分别交⊙O于、两点，若弦，则⊙O的半径为 ．
【答案】2
【分析】连接、，由题意易得，则有是等边三角形，然后问题可求解．
【详解】解：连接OB、OC，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，即的半径为1；
故答案为1．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
19．（2023·海南海口·海口市第九中学校考二模）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，，若，则 ．
【答案】
【分析】连接，根据半径相等得出，根据等边对等角以及圆周角定理得出，进而即可求解．
【详解】解：连接，如图所示，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握是解题的关键．
20．（2023上·广东广州·九年级校考期中）如图，为的直径，弦垂直平分半径，垂足为E，，则直径的长为 cm．
【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，本题先证明，设，则，，再利用勾股定理建立方程求解即可，熟记垂径定理的内容并灵活应用是解本题的关键．
【详解】解：连接，
∵弦垂直平分半径，垂足为E，，
∴．
设，则，，
∴，解得，
∴．
故答案为．
21．（2023上·河南驻马店·九年级统考期末）如图，是的内接三角形，为直径，平分，连接、，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】由为直径，可得∠BAC=∠BDC=90°由平分，可证BD=DC，可得∠DBC=∠DCB=45°，，可求∠ABC=90°-∠ACB=25°，可求∠ABD=∠ABC+∠DBC=70°即可．
【详解】解：∵是的内接三角形，为直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°
∵平分，
∴∠BAD=∠CAD，
∴，
∴BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∵，
∴∠ABC=90°-∠ACB=90°-65°=25°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=25°+45°=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质，掌握圆的性质，直径所对圆周角性质，角平分线性质，直角三角形性质是解题关键．
22．（2023·辽宁沈阳·统考二模）如图，在正方形中，，点在边上，连接，作于点，于点，点从点沿边运动至点停止，这个过程中，点，所经过的路径与边围成的图形的周长为 ．
【答案】
【分析】连接AC、BD交于点O．根据题意结合圆周角定理可推出，点M的运动轨迹为以AD为直径的圆 ；点N的运动轨迹为以CD为直径的圆．再根据弧长公式即可求出结果．
【详解】如图，连接AC、BD交于点O．
由题意可知，在P点运动过程中，和的大小不变，且为，
∴点M的运动轨迹为以AD为直径的圆，即 ；点N的运动轨迹为以CD为直径的圆，即，如图．
∴所求周长．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，弧长公式以及正方形的性质．总结出点M与点N的运动轨迹是解答本题的关键．
23．（2023·江苏扬州·校联考一模）如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为（﹣，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是 ．
【答案】（，）
【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题；
【详解】连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BCO=2∠BAO=120°，
过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，
∵B（-，0），
∴BD=OD=
在Rt△COD中．CD=OD tan30°=，
∴C（-，），
故答案为C（-，）．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
24．（2023上·江苏盐城·九年级校考阶段练习）如图，是⊙O的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】5
【分析】作点B关于直径MN的对称点C，然后连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解．
【详解】解：作点B关于直径MN的对称点C，连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，如图所示：
=，
，
∠AON=40°，
点为弧的中点，
与的度数为20°，
∠CON=20°，
∠AOC=60°，
OA=OC，
△AOC是等边三角形，
MN=10，
AC=OA=5，
即的最小值为5，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查最短路径及圆的基本性质，熟练掌握圆心角、圆周角及弧的等量关系是解题的关键．
25．（2023·江苏扬州·校考二模）已知点、是半径为的上两点，且，点是上一个动点，点是的中点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小，利用特殊角的三角函数以及勾股定理即可求解．
【详解】由题意知弦AM的中点P在以AO为直径的⊙C上，连接BC与⊙C的交点为P，此时BP的值最小，
作CE⊥AB于E，作OD⊥AB于D，
∵⊙O的半径为2，
∴OA=OB=2，OC=CA=OP=1，
∵∠AOB=120，
∴∠OAB=∠OBA=30，
∴，
，
，
，
，
根据勾股定理：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、锐角三角形函数、等腰三角形的判定和性质等知识点，根据题意得出BP最短时，即为连接BC与⊙C的交点是解题的关键．
三、解答题
26．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）已知，作出的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】见解析
【分析】作的垂直平分线与交于点M，以M为圆心，为直径画圆即可．
【详解】解：如图所示，即为所求；
．
【点睛】本题主要考查了尺规作图—画圆，熟练掌握角所对的弦是直径是解题的关键．
27．（2019·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考三模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，点K为弧AC上的一个动点（K不与A，C重合），AK，DC延长线交于点F，连接CK．
（1）求证：△ADF∽△CKF
（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）证明∠1=∠D，又∠F=∠F，可说明△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，利用垂径定理即勾股定理求出OE长，则AE可知，在Rt△ADE中，tan∠ADE值可求，又∠CKF=∠ADE，所以tan∠CKF可求．
【详解】（1）∵四边形ADCK内接于⊙O，
∴∠D+∠2=180°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠D．
又∠F=∠F，
∴△ADF∽△CKF；
（2）连接OD，
∵AB=10，
∴AO=DO=5．
∵直径AB⊥CD，CD=6，
∴DE=CD=3．
在Rt△ODE中，利用勾股定理可得
，
∴AE=OA+OE=9．
在Rt△ADE中，，
∴ ，
∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、垂径定理、解直角三角形，解决这类问题“求某角的三角函数”时一般转化角，用间接的方法求解．
28．（2023·广东惠州·校考二模）如图1，是的直径，点C是上一点（不与点A，B重合），连接．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作的切线，分别交的延长线于点E，F．
①求证：；
②过C作于M，交于点N，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接，由圆周角定理证出，由切线的性质得出，则可得出结论；
②过点作于，交于，证出四边形是矩形，得出，求出的长，则由可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接，
平分，
，
，
，
又是的切线，
，
，
∴；
②过点作于，交于，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
是的直径，，，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌握切线的性质是解题的关键．
29．（2023·广西南宁·校考二模）如图，四边形ABDC是的内接四边形，AD是对角线，过点A作交DB的延长线于点E，．
(1)求证：；
(2)连接BC，若BC为的直径，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得出结论；
（2）连接，根据圆周角定理得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形ABDC是的内接四边形，
∴，
∵，
∴；
（2）连接BC，
∵BC为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（ASA），
∴．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，正确识别图形是解题的关键．
30．（2019·河南郑州·三模）如图所示,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC至点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE、CE,BE交AC于点F.
（1）求证：CE=AE
(2)若AE=6，DE=9，求EF的长.
【答案】（1）见解析；（2）4.
【分析】（1）根据内接四边形的性质和圆周角定理，由AAS得到△ABE≌△CDE，即可得到答案；
（2）证明△AEF∽△DEC，推出即可求得EF的长．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为所对的圆周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，∴△ABE≌△CDE（AAS）
(2)∵△ABE≌△CDE，
∴AE=EC=6，ED=BE=9，
即，且∠AEB=∠CED，
∴△AEF∽△DEC，
∴.
∴EF==4.
【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质.
31．（2023·广东深圳·校考一模）如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为，，垂足为．连接．
(1)求证：平分；
(2)若， ，求的半径．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）连接，直线是的切线，切点为，，根据平行线的性质可得，根据半径相等可得，进而可得，即可求解；
（2）连接，由（1）得：，在中，，得出，进而勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
直线是的切线，切点为，
，
又，垂足为，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得：，
，
在中，，
∴,
，
在中， ，
∴．
【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正切，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
32．（2023上·浙江温州·九年级校考期中）如图，AB是⊙O的直径，OA＝4，弦CD⊥AB于点G，点E是上的一点，AE与CD相交于点F，且AC＝CE．
(1)求证：∠ACF＝∠CAF．
(2)点P在上，连接PC交AE于Q，当∠ACG＝，且DP＝3FQ时，求CP的长．
【答案】(1)见解析
(2)12
【分析】（1）利用垂径定理，圆周角定理即可证明；
（2）证明△CFQ∽△CPD，可得，只要求出CF，可得结论．
【详解】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∵AC＝CE，
∴＝＝，
∴∠ACF＝∠CAF；
（2）解：连接CO，OD．
∵AB⊥CD，
∴∠AGC＝，
∵∠ACG＝，
∴∠CAG＝，
∵OC＝OA，
∴△ACO是等边三角形，
∴AC＝OA＝4，
∴AG＝AC＝2．CG＝AG＝6，
∵∠CAF＝∠ACF，
∴AF＝CF＝2FG，
∴CF＝CG＝4，
∵＝，
∴∠AOC＝∠AOD＝，
∴∠COD＝，
∴∠P＝∠COD＝，
∵∠CFQ＝∠FAC+∠FCA＝，
∴∠CFQ＝∠P，
∵∠FCQ＝∠PCD，
∴△CFQ∽△CPD，
∴，
∴CP＝3 CF＝12．
【点睛】本题主要考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
33．（2022·安徽六安·统考一模）如图，已知AB为☉O的直径，AC，CD是弦．AB⊥CD于E．OF⊥AC于F．连接BC．
(1)求证：；
(2)若BE＝2cm，，求AC的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意知∠ACB＝90°，即BC⊥AC，根据OF⊥AC，可证；
（2）由垂径定理得，在中，由勾股定理得，求出的值，证明，则，即，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又∵OF⊥AC，
∴．
（2）解：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得；
∴的长为cm．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为90°，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于证明．
34．（2023·浙江温州·统考一模）如图，AB是O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若AD=6，⊙O的半径为5，求BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接AC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出∠BAC=∠BCE；由C是弧BD的中点，得到∠DBC=∠BAC，延长∠BCE=∠DBC，即可得到结论；
CF=BF．
（2）连接OC交BD于G，由圆周角定理得出∠ADB=90°，由勾股定理得出BD=8，由垂径定理得出OC⊥BD，DG=BG=BD=4，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AD=3，求出CG=OC-OG=2，在Rt△BCG中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接AC，如图1所示：
∵C是弧BD的中点，
∴∠DBC=∠BAC，
在ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF；
（2）解：连接OC交BD于G，如图2所示：
∵AB是O的直径，AB=2OC=10，
∴∠ADB=90°，
∴BD==8，
∵C是弧BD的中点，
∴OC⊥BD，DG=BG=BD=4，
∵OA=OB，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG=AD=3，
∴CG=OC-OG=5-3=2，
在Rt△BCG中，
由勾股定理得：BC=．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
35．（2023·河南南阳·校联考三模）（1）【特例感知】
如图①，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为直径，BD平分∠ABC交⊙O于点D，CD＝5，BD＝12，则点D到直线BC的距离为 ，点D到直线AB的距离为 ．
（2）【类比迁移】
如图②，∠ABC是⊙O的圆周角，BC为⊙O的弦，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，探索线段AB、BE、BC之间的数量关系，并说明理由．
（3）【问题解决】
如图③，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，，BD平分∠ABC，BD＝，AB＝12，则△ABC的内心与外心之间的距离为 ．
【答案】（1），；（2）AB+BC＝2BE，理由见解析；（3）
【分析】（1）如图①中，作DF⊥AB于F，DE⊥BC于E，利用面积法求出DE，再利用角平分线的性质定理可得DF＝DE解决问题；
（2）如图②中，结论：AB+BC＝2BE，只要证明 （ASA），推出AF＝CE，（HL），推出AF＝BE即可解决问题；
（3）如图③中，由（2）可知：四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM，由切线长定理可知：AN＝，推出ON＝10﹣8＝2，由面积法可知内切圆半径为4，在中，理由勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，作DE⊥BC于点E，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DE⊥BC，
∴DF＝DE，
∵BC是直径，
∴，
∴BC＝，
在△BCD中，BC DE＝BD DC，
∴DE＝，
∴DF＝DE＝；
（2）AB+BC＝2BE，理由如下：
如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，连接AD，DC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，
∴DF＝DE，，
∴，
∴，
又∵，
∴∠ADC＝∠EDF，
∴∠FDA＝∠CDE，
∵，
在△DFA和△DEC中
，
∴（ASA），
∴AF＝CE，
在和中
，
∴（ HL），
∴BF＝BE，
∴AB+BC＝BF﹣AF+BE+CE＝2BE；
（3）如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于点F，DE⊥BC，交BC于点E，连接AC，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM，
由（1）（2）可知，四边形BEDF是正方形，BD是对角线，
∵BD＝14，正方形BEDF的边长为：＝14，
由（2）可知BC＝2BE﹣AB＝16，
∴AC＝＝20，
由切线长定理可知AN＝，
∴ON＝＝2，
设内切圆的半径为r，则，
解得r＝4，即MN＝4，
在中，OM＝．
【点睛】本题考查了切线的性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【能力提升】
36．（2024上·广东汕头·九年级统考期末）圆内接四边形若有一组邻边相等，则称之为等邻边圆内接四边形．
(1)如图1，四边形为等邻边圆内接四边形，，，直接写出的度数；
(2)如图2，四边形内接于，为的直径， ，，若四边形为等邻边圆内接四边形，，求的长．
(3)如图3，四边形为等邻边圆内接四边形，，为的直径，且．设，四边形的周长为，试确定与的函数关系式，并求出的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，二次函数的应用等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）利用圆周角定理可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得答案;
（2）首先利用勾股定理求出和、的长，过点A作于H，则，解即可．
（3）连接、交于点H，过点O作于G，利用三角函数表示出的长，进而得出，再根据三角形中位线定理可得的长，即可解决问题．
【详解】（1）
故答案为：
（2）连接，过点作，交于点．如图：
在中，
，，
，
此时为等腰直角三角形，，
在中，
，，
，
．
（3）如图，连接，
，，
垂直平分，
为中点，
为的中位线，有，，
设，则，，，
在中，，
在中，，
于是有：，整理得，，
，
当时，
37．（2023上·山东济宁·九年级校考期中）如图，等边三角形内接于圆O，点P是劣弧上任意一点（不与C重合），连接，求证：．
[初步探索]小明同学思考如下：如图1，将绕点A顺时针旋转到，使点C与点B重合，可得P、B、Q三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
(1)根据小明的思路，请你完成完整证明过程：
(2)若圆的半径为4，则的最大值为_________；
(3)[类比迁移]如图2，等腰内接于圆O，，点P是弧BC上任一点（不与B、C重合），连接，若圆的半径为4，则线段之间有什么样的数量关系？请你写出证明过程并求周长的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)8
(3)；
【分析】（1）可证得P、B、Q三点在同一条直线上，进而证得是等边三角形，进一步得出结论；
（2）当是的直径时，的值最大，即最大，进而求得结果；
（3）将绕点A顺时针旋转90°到，使点C与点B重合，P、B、Q三点在同一条直线上，进而证明是等腰直角三角形，类比（2）可得出结果．
【详解】（1）证明：由旋转得，，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
；
（2）是的弦，且的半径为4，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
的最大值是8；
（3）如图2，，，
∵BC是的直径，且圆心在BC上，
∴，，
将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，
则，，，
，
，
、、三点在同一条直线上，
，
，
当经过圆心，即是的直径时，，此时的值最大，
，
的最大值是，
，
周长的最大值是．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转性质，勾股定理的应用，圆周角定理的应用，圆内接四边形性质等知识，解决问题的关键是类比证明和计算．
38．（2023上·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中的的内部找到一个格点，连接、，使．
(2)在图②中的的外部找到一个格点，连接、，使．
(3)在图③中的边上找到一点，连接，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）取的外心，即格点D，连接、即可；
（2）取格点D关于的对称点，连接、即可；
（3）连接交于点G，连接并延长，交于点F，连接即可．
【详解】（1）解：如图，点D即为所求作的点，
连接，
∵，
∴点为的外心，
∴；
（2）解：如图：点E即为所求作的点，
连接、，
∵点D与点E关于对称，
∴．
（3）解：如图，连接交于点G，连接并延长，交于点F，连接，点F即为所求作的点，
根据解析（1）可知，点D为的外心，
∴点D在的垂直平分线上，
∵四边形为矩形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，轴对称的性质，勾股定理与网格问题，三角形外角的性质，矩形的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本的性质，数形结合．
39．（2024上·广东广州·九年级统考期末）是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，．
(1)如图①，是直径，交于点C，，求的度数；
(2)如图②，连接，，过点O作交于点D．求证：；
(3)如图③，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是定值16，理由见解析
【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知，，即可求出结论；
（2）如图2，连接，，，利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：；根据等腰的性质知：；结合的内角和定理得到：，即；
（3）设，．如图3，延长至点，使，连接，作于点E．构造全等三角形：，则该全等三角形的对应边相等，，由勾股定理知，，代入化简即可得到该结论．
【详解】（1）解：如图1，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，作于点E．
设，．
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵于点E．
∴．
∴
∵，
∴．
化简得，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要熟练以上各部分内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
40．（2023上·吉林长春·九年级校考期末）由小正方形构成的网格中，每个正方形的顶点叫做格点．的顶点都在格点上，经过A、B、C三点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求作图（不写作法，保留作图痕迹）．
(1)图①中，画出的圆心；
(2)图②中，在边上找到一点，使得平分；
(3)图③中，在上找到一点（不与点重合），使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由为可得为直径，利用格点找出的中点即可得到圆心；
（2）利用格点找出的中点G，根据等弧所对的圆周角相等可得，即平分，因此与的交点即为所求的点D；
（3）在格点上找到点H，使得，延长交圆于点E，由垂径定理可得，进而可证．
【详解】（1）解：如图，点O即为所求：
（2）如图，点D即为所求：
（3）如图点E即为所求：
【点睛】本题考查尺规作图——作角平分线和垂线，格点作图，圆周角定理，垂径定理等，掌握格点作图的特点，综合运用上述知识点是解题的关键．
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