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专题13 图形的性质综合检测（基础版）
考试范围：图形的性质；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取的中点，连接，则，从而得到，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可得，从而得到，最后再由三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可算出的度数．
【详解】解：如图，取的中点，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，是解题的关键．
2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
【答案】C
【分析】由旋转的性质可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性质可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．
【详解】解：∵将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，
∴BC＝BP＝BA，
∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，
∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，
∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，
∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，
∴∠PAH的度数是定值，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，则DF+GF的最小值为（ ）
A． ﹣1 B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】先确定点F的位置：取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点作F能够使得FG+FD最小，再确定点E的位置：E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，可得结论．
【详解】取AB的中点O，点O、G关于BC的对称点分别为O'、G'，
∵G与G'关于BC对称，
∴FG＝FG'，
∴FG+DF＝FG'+DF，
∴当G（也就是G'）固定时，取DG'与BC的交点F，此时能够使得FG+FD最小，且此时FG+DF的最小值是DG'，
现在再移动点E（也就是移动G），
∵BG⊥AE，
∴∠AGB＝90°，
∴当点E在BC上运动时，点G随着运动的轨迹是以O为圆心，OA为半径的90°的圆弧，点G'随着运动的轨迹是以O'为圆心，O'B为半径的90°的圆弧，
∴当取DO'与交点为G'时，能够使得DG'达到最小值，
且DG'的最小值＝DO'﹣O'G'＝，
即DF+GF的最小值为﹣1．
故选A．
【点睛】考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、轴对称性质及动点运动问题等知识，对于动点题型，要动手多画几个图形仔细观察判断点、线、角的关系，根据两点之间线段最短和三角形的三边关系综合解决问题．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】连接AF，利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，则∠BAF=90°，再根据线段垂直平分线的性质得到FA=FC，则∠FAC=∠C=30°，然后在Rt△AED中就是出AE=，在Rt△AEF中就是出EF=AE=1，AF=2EF=2，最后在Rt△ABF中就是出BF．
【详解】连接AF，如图，
∵AB=AC，∠BAC=120°．
∴∠B=∠C=30°，
∵ED垂直平分AC，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠C=30°，
∴∠AFD=60°，∠D=30°，
∴∠BAF=90°，
在Rt△AED中，AE=ED=，
在Rt△AEF中，EF=AE=1，AF=2EF=2，
在Rt△ABF中，BF=2AF=4．
故选：A．
【点睛】此题考查含30度角的直角三角形, 线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质,解题关键在于掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之比为1：：2．
5．将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【分析】延长交于点D，交于点E，连接、、、，根据圆心角、弧、弦、的关系由得到，可以判断是的垂直平分线，则，再利用勾股定理求出，所以，然后利用点C和点D关于对称得出，最后计算即可得出答案．
【详解】解：延长交于点D，交于点E，连接、、、，如图，
∵C为折叠后的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
在中，,
∴，
∵沿折叠得到，，
∴点C和点D关于对称，
∴，
∴，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
6．如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC=40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【详解】解：∵OD⊥BC，∠ABC=40°，∴在Rt△OBE中，∠BOE=50°（直角三角形的两个锐角互余）．又∵∠DCB=∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∴∠DCB=25°．故选B．
点睛：本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
【答案】B
【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得正六边形和正五边形的每一个内角的度数，再根据多边形的内角和公式求得∠APG的度数．
【详解】(6﹣2)×180°÷6＝120°，
(5﹣2)×180°÷5＝108°，
∠APG＝(6﹣2)×180°﹣120°×3﹣108°×2
＝720°﹣360°﹣216°
＝144°，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，关键是熟悉多边形内角和定理：(n﹣2) 180 (n≥3)且n为整数)．
8．如图，为的边上一点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知证明△ADB∽△ABC,利用代值求解即可．
【详解】∵，
∴∠A=∠C，∠DBC=∠BDC，
∵∠DBC=2∠A，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
∴∠ABD=∠A=∠C，
∴△ADB∽△ABC，AD=BD
∴，
设BD=AD=x，则，即，
解得：（不符题意，舍去），
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键．
9．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别求出BM，FM可得结论．
【详解】解：连接AF，过A作AM⊥BF，
∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，
∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，
∵AB＝AB′
∴△AB′B为等边三角形，
∵AB′＝BB′＝B′F，∠AB′F＝90°，
∴△AB′F是等腰直角三角形，
∴∠AFB′＝45°，
∵BB′＝B′F，，
∴，
∴∠AFM＝30°，∠ABM＝45°，
在Rt△ABM中，AM＝BM＝AB cos∠ABM＝2×＝，
在Rt△AMF中，MF＝，
则BF＝．
故选：A．
【点睛】此题考查了旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形、等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．
10．如图，在△ ABC中，∠C＝90°，以OA为半径的半圆经过Rt △ABC的顶点B，交直角边AC于点E，且B，E是半圆的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．6－π D．6－π
【答案】D
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出BC，AC的长，利用图中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=∠EBA=30°，
∴BE//AD，
∵的长为，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积＝．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据题目已知得出：△BOE和△ABE面积相等是解题关键．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，已知，，P是BC边上的一动点（P不与点B，C重合），连接AP，，边PE与AC交于点D，当为等腰三角形时，PB的长为 .
【答案】2或
【分析】分三种情况进行讨论：①当AP=PD时，易得△ABP≌△PCD．②当AD=PD时，根据等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形的面积公式求得答案．③当AD=AP时，点P与点B重合．
【详解】∵，∴
∵，
∴
①当时，，
则，故．
②当时，∴．
∵，∴，
∴．
如图，过P作于H，过A作于G，
∴，，
∴．
设，
∴，
∴，．
∵，∴，
解得（负值舍去），
∴，∴．
③当时，点P与点B重合，不合题意．
综上所述，PB的长为2或.
【点睛】此题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
12．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若，则 ．
【答案】2
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质，得，然后由三角形的中位线定理，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，
∵在中，∠ACB=90°，
∵点是AB的中点，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴；
故答案为：2
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形中位线定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行解题．
13．如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当ADE为等腰三角形时，AD的长度为 ．
【答案】1或
【分析】分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，则∠EDA＝∠BAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BC＝1，∠B＝60°，证出△BCD是等边三角形，得出AD＝AB－BD＝1；②当点E在射线CA上，AE＝AD时，得出∠E＝∠ADE＝15°，由三角形内角和定理求出∠ACD＝∠CDA，由等角对等边得出AD＝AC＝即可．
【详解】解：分两种情况：①当点E在AC上，AE＝DE时，
∴∠EDA＝∠BAC＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴BC＝AB＝1，∠B＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝1，
∴AD＝AB－BD＝1；
②当点E在射线CA上，AE＝AD时，如图所示：
∵∠BAC＝30°，
∴∠E＝∠ADE＝15°，
∵DE⊥CD，
∴∠CDA＝90° 15°＝75°，
∴∠ACD＝180° 30° 75°＝75°＝∠CDA，
∴AD＝AC＝，
综上所述：AD的长度为1或；
故答案为：1或．
【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识；灵活运用各性质进行推理计算是解决问题的关键．
14．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为 ．
【答案】48°
【分析】将BE与CD交点记为点F，由两直线平行同位角相等得出∠EFC度数，再利用三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，将BE与CD交点记为点F，
∵AB∥CD，∠B＝75°，
∴∠EFC＝∠B＝75°，
又∵∠EFC＝∠D+∠E，且∠E＝27°，
∴∠D＝∠EFC﹣∠E＝75°﹣27°＝48°，
故答案为：48°．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等这一性质．
15．如图，点是四边形的边上一点，沿折叠四边形，使点落在边上的点处，再沿，折叠这个四边形，若点，恰好同时落在上的点处．
（1）与的位置关系是 ；
（2） ．
【答案】 平行（）
【分析】∵沿折叠四边形，使点落在边上的点处，再沿，折叠这个四边形，若点，恰好同时落在上的点处．可得，，进而得出，即可判定，
（2）根据平行线的性质得出，根据折叠的性质得出，，进而根据折叠的性质得出 ，即可求解．
【详解】解：（1）∵沿折叠四边形，使点落在边上的点处，再沿，折叠这个四边形，若点，恰好同时落在上的点处．
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：平行（）；
（2）由（1）可知，
∴
∵折叠，
∴
∴
∴
∵折叠，
∴，，
∴
∵
∴
∴ ，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
16．如图，直线l为y＝x，过点A（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；则点A2的坐标为 ．再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于A3……，按此作法进行下去，则点An的坐标为 ．
【答案】 (2,0) （2n﹣1，0）
【分析】根据题意，由A（1，0）和直线l关系式y＝x，可以求出点B1的坐标，在Rt△OA1B1中，根据勾股定理，可以求出OB1的长；再根据OB1＝OA2确定A2点坐标，同理可求出A3、A4、A5……，然后再找规律，得出An的坐标．在Rt△OA1B1中，可以求出∠B1OA1＝60°，∠OB1A1＝30°，由30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出相应的A的坐标，再找规律也可．
【详解】解：当x＝1时，y＝x＝，即A1B1＝
在Rt△OA1B1中，由勾股定理得OB1＝2，
∵OB1＝OA2，
∴A2（2，0）
同理可求：A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……
由点：A1（1，0）、A2（2，0）、A3（4，0）、A4（8，0）、A5（16，0）……
即：A1（20，0）、A2（21，0）、A3（22，0）、A4（23，0）、A5（24，0）……可得An（2n﹣1，0）
故答案为（2，0）, An（2n﹣1，0）
【点睛】考查一次函数图象上的点坐标特征，勾股定理，以及点的坐标的规律性，也可采用解直角三角形教学解答．在找规律时，A点的横坐标的指数与A所处的位数容易搞错，应注意．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.
（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形.
【答案】（1）平行四边形（2）见解析
【分析】（1）通过中位线定理得出GFEH且GF=EH，所以四边形EGFH是平行四边形；
（2）当添加了条件EF⊥BC，且EF=BC后，通过对角线相等且互相垂直平分（EF⊥GH，且EF=GH）就可证明是正方形．
【详解】证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GFEC且GF=EC．
又∵H是EC的中点，EH=EC，
∴GFEH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）连接GH，EF．
∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GHBC且GH=BC．
又∵EF⊥BC且EF=BC，
∴EF⊥GH，
又∵EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和正方形的性质．正方形对角线的特点是：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角．
18．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，线段OE与CD之间有怎样的数量关系，线段DF与CF之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析图（2）CD=DF
【详解】试题分析：（1）以点O为圆心，以任意长为半径画弧分别与OA、OB相交，再分别以这两点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点作射线OP即可；分别以C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，在CD的两边画弧相交于两点，过这两点作直线EF即可；
（2）过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CF=DF，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得FM=FN，然后利用“HL”证明△CFM和△DFN全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CFM=∠DFN，再求出∠CFD=90°，根据等腰直角三角形的判定证明即可．
试题解析：（1）∠AOB的平分线OP；线段CD的垂直平分线EF如图所示；
（2）如图，过点F作FM⊥OA于M，FN⊥OB于N，
∵EF垂直平分CD，
∴CF=DF，
∵OP是∠AOB的平分线，
∴FM=FN，
在△CFM和△DFN中，
，
∴△CFM≌△DFN（HL），
∴∠CFM=∠DFN，
又∵∠AOB=90°，FM⊥OA，FN⊥OB，
∴∠CFD=∠MFN=360°-3×90°=90°，
∴△CDF为等腰直角三角形．
考点：1．段垂直平分线,2．等腰直角三角形的判定,3．全等三角形判定与性质
19．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE．
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAC＝，求tan∠AFO的值．
【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4＝∠2，再利用AB为直径得到∠2+∠BAE＝90°，则∠4+∠BAE＝90°，然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线；
（2）先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则sin∠BAC＝，设BC＝3k，AC＝4k，所以AB＝5k．连接OE交OE于点G，如图，利用垂径定理得OE⊥AC，所以OE∥BC，AG＝CG＝2k，则OG＝k，EG＝k，再证明△EFG∽△BFC，利用相似比得到，于是可计算出FG＝CG＝k，然后根据正切的定义求解．
【详解】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠3，∠3＝∠4，
∴∠4＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠2+∠BAE＝90°
∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，
∴AD⊥AB，
∴AD为⊙O切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵sin∠BAC＝，
∴设BC＝3k，AC＝4k，则AB＝5k．
连接OE交OE于点G，如图，
∵∠1＝∠2，
∴，
∴OE⊥AC，
∴OE∥BC，AG＝CG＝2k，
∴OG＝BC＝k，
∴EG＝OE﹣OG＝k，
∵EG∥CB，
∴△EFG∽△BFC，
∴，
∴FG＝CG＝k，
在Rt△OGF中，tan∠GFO＝，
即tan∠AFO＝3．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上．
(1)以O为位似中心，在点O的同侧作，使得它与原三角形的位似比为1：2；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到，作出，并求出点C旋转的路径的长．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析，
【分析】连接找到的中点，顺次连接即可得出；
将对应点A，B，C分别绕O顺时针旋转 ，找到对应点连接即可，再利用弧长公式求出点C旋转的路径的长．
【详解】（1）如图所示：
（2）如图所示： ，
点C运动的路径为弧．
【点睛】此题考查了图形的位似变换以及旋转变换和弧长公式应用；掌握画图的方法和图形的特点是关键；注意图形的变化应找到对应点或对应线段的变化是解题关键．
21．如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F，G，.
(1)求的度数；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）先根据“”证明，得进而得出，可得答案；
（2）根据矩形的性质说明，再根据相似三角形的性质得，进而得出，然后根据两角相等的两个三角形相似得，即可得出，再结合，得，最后综合两个比例式得出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）证明：在矩形ABCD中，，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
由（1）得，
又，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等，灵活的选择判定定理是解题的关键．
22．已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，与相交于点，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由是的中点，根据垂径定理的推论，得，，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）由，利用同角的余角相等得到，，在，即可得到的值．
【详解】（1）解：设，则
是中点
且
在中，
，
解得：，
；
（2）解： ，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂径定理以及推论，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
23．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）点、在运动过程中是否存在的值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）t=3或
【分析】（1）根据题意可得：AD=4tcm，BE=2tcm，再由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得AE=DF，由，可得到，即可求解；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得到关于t的方程，即可求解；
（3）根据是直角三角形，可分两种情况讨论：当∠FDE=90°时和当∠DEF=90°时，即可求解．
【详解】（1）证明：根据题意得：AD=4tcm，BE=2tcm，
∵，
∴CD=（60-4t）cm，
∵， ，
∴∠C=30°，
∴ ，
∵，
∴， ，
∴AE=（30-2t）cm，
∴AE=DF，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： 若点恰好在的垂直平分线上，则AD=DF，
∴4t=30-2t，
解得：t=5，
即当为5秒时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）解：存在，理由如下：
如图，当∠FDE=90°时，
∵∠DFC=∠B=∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF=BE=2t，DE∥BC，
∴∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE=60-4t，
又∵AD=4t，
∴4t=60-4t，
解得：；
如图，当∠DEF=90°时，
∵四边形AEFD是平行四边形，
∴AD∥EF，
∴∠ADE=∠DEF=90°，
∵∠A=60°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，即30-2t=2×4t，
解得：t=3；
综上所述，当t=3或时，是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了动点问题，平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
24．问题解决
（1）如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．
类比归纳
（2）在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
（3）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设（），，则的值等于 ．
（用含的式子表示）
【答案】（1）；（2），，；（3）．
【详解】试题分析：如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．由轴对称的性质知MN垂直平分BE．有BM=EM，BN=EN．由于四边形ABCD是正方形，则有∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．由得，CE=DE=1；设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，由勾股定理知NE2=CN2+CE2．即x2=（2﹣x）2+12可解得x的值，从而得以BN的值，在Rt△ABM和在Rt△DEM中，由勾股定理知AM2+AB2=BM2，DM2+DE2=EM2，有AM2+AB2=DM2+DE2．
设AM=y，则DM=2﹣y，y2+22=（2﹣y）2+12可求得y的值，得到AM的值从而得到；
（2）先算当（为整数）时，的值，然后代入即可得到n=3，n=4时，的值；
（3）先用含m，n代数式表示出AM，BN，然后求出的值即可．
试题解析：（1）如图（1﹣1），连接BM，EM，BE．
由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称，∴MN垂直平分BE，
∴BM=EM，BN=EN，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=∠C=90°，设AB=BC=CD=DA=2．
∵，∴CE=DE=1．
设BN=x，则NE=x，NC=2﹣x．在Rt△CNE中，．
∴，解得，即BN=．
在Rt△ABM和在Rt△DEM中，，，
∴．
设AM=y，则DM=2﹣y，
∴，解得：，即AM=，∴．
（2）如图1，当四边形ABCD为正方形时，连接BE，，
不妨令CD=CB=n，则CE=1，设BN=x，则EN=x，，，；
作MH⊥BC于H，则MH=BC，
又点B，E关于MN对称，则MN⊥BE，∠EBC+∠BNM=90°；而∠NMH+∠BNM=90°，故∠EBC=∠NMH，则△EBC≌△NMH，
∴NH=EC=1，AM=BH=BN﹣NH=，则：．
故当，则的值等于；若，则的值等于；
（3）若四边形ABCD为矩形，连接BE，，不妨令CD=n，则CE=1；
又，则BC=mn，同样的方法可求得：BN=，
BE⊥MN，易证得：△MHN∽△BCE．故，，
HN=，故AM=BH=BN﹣HN=，
故．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质；3．正方形的性质．
25．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交点P求证：PC＝PB．
（2）如图2，过点B作BG⊥AD，交DE于点H，垂足为G，点O和点A都在DE的左侧，且DH＝1．
①求BC的长；
②若AB＝，∠OHD＝80°，求∠CAD的大小．
【答案】（1）见解析；（2）① 1；②20°
【分析】（1）先判断出BC∥DF，再利用同角的补角相等判断出∠F=∠PCB，即可得出结论；
（2）①先判断出四边形DHBC是平行四边形，得出BC=DH=1；②用锐角三角函数求出∠ACB=60°，进而判断出DH=OD，求出∠ODH=20°，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
∴∠DEA=∠ABC，
∴BC∥DF，
∴∠F=∠PBC，
∵四边形BCDF是圆内接四边形，
∴∠F+∠DCB=180°，
∵∠PCB+∠DCB=180°，
∴∠F=∠PCB，
∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB；
（2）①∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥DC，
∵BC∥DE，
∴四边形DHBC是平行四边形，
∴BC=DH=1；
②如图2，连接OD，BD
在Rt△ABC中，AB=，tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
∴∠BAC=30°
∴BC=AC=OD，
∴DH=OD，
在等腰三角形DOH中，∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°，
设DE交AC于N，
∵BC∥DE，
∴∠ONH=∠ACB=60°，
∴∠NOH=180°-（∠ONH+∠OHD）=40°，
∴∠DOC=∠DOH-∠NOH=40°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠DOC=20°，
∴∠CBD=∠OAD=20°，
∴∠CAD=∠CBD=20°．
【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，还考查了学生的运算能力，推理能力，空间观念与几何直观，判断出DH=OD是解本题的关键．
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专题13 图形的性质综合检测（基础版）
考试范围：图形的性质；考试时间：120分钟；总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、单选题
1．如图，点在上，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．随着θ的增大而增大
B．随着θ的增大而减小
C．不变
D．随着θ的增大，先增大后减小
3．如图，点E、F是正方形ABCD的边BC上的两点（不与B、C两点重合），过点B作BG⊥AE于点G，连接FG、DF，若AB＝2，则DF+GF的最小值为（ ）
A． ﹣1 B． C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，线段AC的垂直平分线交BC于点F，交AC于点E，交BA的延长线于点D．若DE＝3，则BF＝（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．
5．将半径为5的如图折叠，折痕长为8，C为折叠后的中点，则长为（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．如图，已知AB是⊙O直径，BC是弦，∠ABC=40°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（ ）
A．141° B．144° C．147° D．150°
8．如图，为的边上一点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ ABC中，∠C＝90°，以OA为半径的半圆经过Rt △ABC的顶点B，交直角边AC于点E，且B，E是半圆的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．6－π D．6－π
第II卷（非选择题）
评卷人得分
二、填空题
11．如图，在中，已知，，P是BC边上的一动点（P不与点B，C重合），连接AP，，边PE与AC交于点D，当为等腰三角形时，PB的长为 .
12．如图，在中，点、、分别是、、的中点，若，则 ．
13．如图，在ABC中，ACB 90，BAC 30， AB2，D是AB边上的一个动点（点D不与点A、B重合），连接CD，过点D作CD的垂线交射线CA于点E．当ADE为等腰三角形时，AD的长度为 ．
14．如图，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，则∠D的度数为 ．
15．如图，点是四边形的边上一点，沿折叠四边形，使点落在边上的点处，再沿，折叠这个四边形，若点，恰好同时落在上的点处．
（1）与的位置关系是 ；
（2） ．
16．如图，直线l为y＝x，过点A（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2；则点A2的坐标为 ．再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画圆弧交x轴于A3……，按此作法进行下去，则点An的坐标为 ．
评卷人得分
三、解答题
17．如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点.
（1）证明四边形EGFH是平行四边形；（2）若EF⊥BC，且EF=BC，证明平行四边形EGFH是正方形.
18．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，线段OE与CD之间有怎样的数量关系，线段DF与CF之间有怎样的数量关系，并说明理由．
19．如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且∠DAE＝∠FAE．
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若sin∠BAC＝，求tan∠AFO的值．
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上．
(1)以O为位似中心，在点O的同侧作，使得它与原三角形的位似比为1：2；
(2)将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到，作出，并求出点C旋转的路径的长．
21．如图，在矩形中，点E在边的延长线上，，连接，分别交边、对角线于点F，G，.
(1)求的度数；
(2)求证：．
22．已知：如图，是的直径，是上一点，，垂足为点，是的中点，与相交于点，，．
(1)求的长；
(2)求的值．
23．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以/秒的速度向点匀速运动，设点、运动的时间是秒（），过点作于点，连接、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当为何值时，动点恰好在的垂直平分线上；
（3）点、在运动过程中是否存在的值，使是直角三角形，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
24．问题解决
（1）如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN．当时，求的值．
类比归纳
（2）在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）
联系拓广
（3）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设（），，则的值等于 ．
（用含的式子表示）
25．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，DE⊥AB，垂足为E．
（1）如图1，延长DE交⊙O于点F，延长DC，FB交点P求证：PC＝PB．
（2）如图2，过点B作BG⊥AD，交DE于点H，垂足为G，点O和点A都在DE的左侧，且DH＝1．
①求BC的长；
②若AB＝，∠OHD＝80°，求∠CAD的大小．
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