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专题01 图形的初步（1）（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·河南郑州·七年级校考期中）金水河是郑州最古老的河流．2500年来，金水河像一条飘带，由西向东，流淌在郑州市民身边，和郑州这座城市结下了不解之缘．近年来，市政府在金水河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，这一做法的主要依据是（ ）
A．两点之间，射线最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】根据线段的基本事实——两点之间，线段最短，即可求解．
【详解】解：根据题意得：这一做法的主要依据是两点之间，线段最短．
故选：D
【点睛】本题主要考查了线段的基本事实，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键．
2．（2022·陕西西安·二模）如图，在第24届北京冬奥会的口号“一起向未来”五个字及会徽被分开印刷在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与北京冬奥会会徽相对的面上的字是（ ）
A．一 B．起 C．向 D．未
【答案】C
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，即可判断．
【详解】解：在该正方体中与北京冬奥会会徽相对的字是：向，
故选：C
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
3．（2022上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）正方体的六个面上分别写有“重庆南开中学”这六个字，将正方体按三种不同的方式摆放，如图为从前米看到的三个不同的图形，则可以确定“南”字对面的字是（ ）
A．重 B．庆 C．开 D．中
【答案】A
【分析】先确定与“南”字相邻的字，再求解．
【详解】解：如图，与“南”相邻的字为“开”、“中”、“学”、“庆”，
在原正方体中与“南”字对面的字是“重”．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，从相邻面入手分析是解题的关键．
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】设① 的直角边为，则各边长度如图所示，表示矩形的两边分别为：，，再利用割补法求解空白部分的面积即可．
【详解】解：设① 的直角边为，则各边长度如图所示，
由题意可得：，∴，
而矩形的两边分别为：，，
∴矩形内空白处的面积是
，
故选A
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，利用割补法求解图形的面积，理解题意，选择合适的解题方法是关键．
5．（2022·宁夏银川·校考二模）图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】将图1折成正方体，然后判断出、在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点和点为同一个面的正方形的对角线两个端点，
故．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理，解题的关键是掌握展开图折成几何体，判断出点和点在几何体中的位置关系．
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在中，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．128
【答案】B
【分析】根据题意知点关于直线的对称点为点，故当点与点重合时，的最小值，求出长度即可得到结论．
【详解】解：设交于点，连接CP，
垂直平分，
、关于对称，
∴，
∵
∴，
当和重合时，的值最小，最小值等于的长，
周长的最小值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称最短路线问题的应用，线段垂直平分线的性质，解此题的关键是找出的位置．
7．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）如图所示是一个正方体包装盒的表面展开图，如在其中的三个正方形，，内分别填上适当的数，使得这个表面展开图折成正方体后，相对面上的数相加和为，则填在，，内的三个数依次是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了正方体展开图的知识，根据题意，首先是要找到与分别相对的面，这就要根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，进而可知与相对，与相对，与相对，再根据相对面上的两数之和为，即可求出答案，解题的关键是掌握正方体相对两个面，在展开图中一定相隔一个面．
【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
∴ 与相对，与相对，与相对，
∵相对面上的两数之和为，
∴，，，
故选：．
8．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由轴对称性质可知：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，再求出直线的解析式，即可求得P点坐标．
【详解】解：如图所示：作D点关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，此时值最小，且最小值为，
∵直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，
∴令x=0，则y=8，则 ，
令y=0，则x=-8，则 ，
∵点C，D分别为线段AB，OB的中点，
， ，
D点关于x轴的对称点为，
，
设直线 解析式为 ，
将，代入得： ，
解得： ，
∴直线 解析式为 ，
∵P为直线与x轴交点，
∴令y=0，则x=-2，
．
故选C．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点，中点坐标，轴对称中的最短路径问题，熟练掌握轴对称中的最短路径问题和求一次函数解析式是解题的关键．
9．（2023·广东广州·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．直线BA与直线AB是同一条直线 B．延长直线AB
C．射线BA与射线AB是同一条射线 D．直线AB的长为2cm
【答案】A
【详解】解：A选项中，因为“直线AB和直线BA是同一直线”的说法是正确的，所以可以选A；
B选项中，因为“延长直线AB”的说法是错误的，所以不能选B；
C选项中，因为“射线BA和射线AB是同一射线”的说法是错误的，所以不能选C；
D选项中，因为“直线AB的长为2cm”的说法是错误的，所以不能选D.
故选A.
10．（2023·黑龙江佳木斯·校考二模）中，AC=BC=4,,D是BC边上的中点，E是AB上的一个动点，则EC+ED的最小值为（ ）
A．4 B． C．4 D．2+2
【答案】B
【分析】首先确定DC'=DE+EC'=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计算.
【详解】解：
如图：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C'，使OC'=OC，连接DC'，交AB于E，连接C'B，此时DE+CE=DE+EC'=DC'的值最小.
连接BC’，由对称性可知∠C'BE=∠CBE=45°，
∴∠CBC'=90°，BC'⊥BC，∠BCC'=∠BC'C=45°，
∴BC=BC′=4，
∵D是BC边的中点，
∴BD=2，
根据勾股定理可得： ，
∴EC+ED的最小值是V√5.
故选B.
【点睛】本题考查了轴对称求最短路线的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键.
11．（2023·河北沧州·统考一模）如图，是某几何体的展开图，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆柱展开图底面圆的周长等于侧面矩形的长直接计算即可
【详解】解：由题意可知：2πr=16π，
解得r=8
故选：C
【点睛】本题考查圆柱平面展开图，熟知圆柱展开图底面圆的周长等于侧面矩形的长是关键
12．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（ ）
A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱
C．几何体的侧面是三角形 D．几何体的底面是三角形
【答案】D
【分析】根据三棱柱的特征，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵该几何体是三棱柱，
∴底面是三角形，侧面是四边形，有3条侧棱，
∴D说法正确，A、B、C说法错误，
故选D．
【点睛】本题考查了认识立体图形，熟练掌握三棱柱的特征是解题的关键．
13．（2023·北京平谷·统考一模）展开图可能是如图的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥
【答案】A
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．
故选A．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体的知识，熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．
14．（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“赤”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．建 B．设 C．美 D．丽
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征判断相对面即可．
【详解】解：由正方体的展开图可知：：美和建是相对面，赤和设是相对面，峰和丽是相对面，
故与“赤”字所在面相对的面上的汉字是“设”
故选B．
【点睛】此题考查的是根据正方体的展开图，判断一个面的相对面，掌握正方体相对面的判断方法是解决此题的关键．
15．（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断，也可对展开图进行还原成正方体进行判断．
【详解】解：A．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
B．不可以作为一个正方体的展开图，符合题意；
C．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
D．可以作为一个正方体的展开图，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．
二、填空题
16．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ．
【答案】5
【分析】由于点M是AC中点，所以MC=AC，由于点N是BC中点，则CN=BC，而MN=MC+CN=（AC+BC）=AB，从而可以求出MN的长度．
【详解】解：∵M是AC的中点，N是CB的中点，
∴MC=AC，CN=CB，
∴MN=MC+CN=AC+CB=（AC+CB）=×10=5．
【点睛】本题考查了两点间的距离．不管点C在哪个位置，MC始终等于AC的一半，CN始终等于BC的一半，而MN等于MC加上（或减去）CN等于AB的一半，所以不管C点在哪个位置MN始终等于AB的一半．
17．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别是AB，AD的中点，，，用这四块纸片拼成一个与正方形ABCD不重合的长方形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则长方形MNPQ的周长是 ．
【答案】10
【分析】根据题意，将三角形和四边形移动位置，即可得到长方形MNPQ；再根据正方形纸片ABCD边长为2，通过计算即可得到长方形MNPQ的边长，从而完成求解．
【详解】∵点E，F分别是AB，AD的中点，，
∴如下图，将三角形和四边形移动位置，即可得到长方形MNPQ；
∵正方形纸片ABCD边长为2
结合题意，得，
∴
∴长方形MNPQ的周长
故答案为：10．
【点睛】本题考查了平面图形的知识；解题的关键是熟练掌握平面图形的性质，从而完成求解．
18．（2023上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个；各面都没有涂色的有 个．
【答案】 12 1
【分析】根据题意可知一共分成了27个小正方体，两面都涂色是中间那层，边上的部分共有12个，各面都没有涂色的只有最中间那个，所以只有一个．
【详解】两面都涂色是中间那层，边上的部分共有12个，各面都没有涂色的只有最中间那个，所以只有一个．
故答案为：12；1．
【点睛】本题主要考查正方体表面的涂色问题，掌握两面涂色的正方体是原正方体各条棱上中间的小正方体，是解题的关键．
19．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据30°直角三角形性质求出AB，利用勾股定理求BC，然后利用面积桥求出CD，根据点E为A′C中点求出CE，当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短即可求解．
【详解】解： 过C作CD⊥AB于D，
∵，，，
∴AB=2AC=4，BC=，
∴，
∴，
∵点E是A′C的中点，A′C=AC=2，
∴CE=，
当点P运动到点D时，C、E、D三点共线时EP最短，
EP最短=CD-CE=．
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转性质，30°直角三角形性质， 勾股定理，点的直线的距离最短，掌握旋转性质，30°直角三角形性质， 勾股定理，点的直线的距离最短是解题关键．
20．（2023上·云南曲靖·七年级阶段练习）如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是 (填序号，任填一组即可)．
【答案】④⑤或④⑥或⑤⑥或③⑥
【分析】观察所给图形结合正方体的平面展开图的特点进行填涂即可．
【详解】根据正方体的展开图的特点，按如下方式进行填涂后可以构成正方体表面的展开图：
故答案为：④⑤或④⑥或⑤⑥或③⑥．
【点睛】本题主要考查正方体展开图的2-3-1型和2-2-2-型，掌握正方体的展开图是解题关键．
21．（2023·湖南永州·中考真题）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】分别作出点P关于OA和OB的对称点和，连接 ，分别与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为周长的最小值．
【详解】解：分别作出点P关于OA和OB的对称点和，则（4，-3），连接 ，分别与OA和OB交于点M和N，此时， 的长即为周长的最小值．
由可得直线OA的表达式为，由⊥OA，可设直线的解析式为 ，然后把点P代入得：，解得：，
直线的解析式为 ，
联立直线OA和的解析式可求的中点坐标，即：
，
解得：，
设点由中点坐标公式可得：，
，
由两点距离公式可得：
．
即周长的最小值．
故答案为．
【点睛】本题考查了轴对称变换中的最短路径问题及一次函数，解题关键在于找出两个对称点，利用方程求出点的坐标．
22．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝6，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为 ．
【答案】3+6
【分析】连接DE．首先证明△BCN是等腰直角三角形，再求出BC．作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J，利用面积法求出EH，TE，EH即可解决问题．
【详解】解：连接DE．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE＝AB，DC＝AC，
∴BE＝CD，
∵BC＝CB，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠ECB＝∠DBC，EC＝BD，
∴BN＝CN，
∴EN＝DN，
∵BD⊥EC，
∴△EDM，△BCN都是等腰直角三角形，
∵AE＝EB，AD＝DC，
∴DE//BC，DE＝BC，
∴＝＝，
∴CN＝2EN，
∴BN＝2EN，
∵AE＝BE＝3，
∴EN＝3，BN＝6，
∴BN＝CN＝6，
∴BC＝6，
作点A关于直线BD的对称点H，连接EH交BD于M，连接AM，此时AM+EM的值最小，最小值＝线段EH的长，过点H作HT⊥AB于T，延长BD交AH于J．
∵AJ//EN，AE＝EB，
∴BN＝NJ＝6，
∴AJ＝JH＝2EN＝6，
∵S△ABH＝ AB HT＝ AH BJ，
∴HT＝＝，
∴AT＝＝，
∴ET＝AE﹣AT＝3﹣＝，
∴EH＝＝＝3，
∴AM+EM+BC的最小值为3+6．
故答案为3+6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题 。
23．（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，直线是一条河，A，两地到的距离和分别长为，，且，欲在上的某点处修建一个水泵站，向A，两地供水，其中铺设最短的管道长是 ．
【答案】
【分析】作点A关于直线的对称点，连接，延长，作，交的延长线于，利用对称的性质以及勾股定理解答即可．
【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，延长，作，交的延长线于，则线段的长度计算所求．
由题意可知，，，
∴，
故铺设最短的管道长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了最短问题以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为 ．
【答案】
【分析】先连接，再根据，将转化为，最后根据两点之间线段最短，求得的长，即为的最小值．
【详解】解：连接，
等边中，是边上的中线，
是边上的高线，即垂直平分，
，
当、、三点共线时，，
等边中，是边的中点，
直角三角形中，，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质．解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．
25．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在中，点、分别为边、的中点，的平分线交线段于点，若AB=6，BC=9，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】由于，可先证得是的中位线，求得的长度，再利用平行线的性质和角平分线的定义证得，即可求解．
【详解】解：∵点、分别为边、的中点，AB=6，
∴，，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵的平分线交线段于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了中位线的性质定理及平行线的性质和角平分线的定义，根据图形得到是解题的关键．
三、解答题
26．（2023上·江西抚州·八年级江西省临川第三中学校考阶段练习）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
【答案】（1）cm；（2）；（3）.
【分析】（1）根据表面积，由算术平方根的求法可得正方体的棱长；
（2）长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，根据勾股定理求出长方体纸箱的对角线长度，再用细木棒的长度减去长方体纸箱的对角线长度即可；
（3）由正方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程．
【详解】解：（1）正方体有六个表面，表面积为．
每个表面的面积为；
设棱长为为xcm（），即，
∴，
即棱长为；
（2）如图1所示：
由题意知：插入细木棒后，看不见的部分恰好是正方体的对角线，
∵
；
又∵，
，
则细木棒露在外面的最短长度为．
（3）如图2所示：
在Rt△AGB中，AG=GD=DB=，AB=，
蚂蚁爬行的路径，
蚂蚁爬行的最短距离是．
【点睛】本题重点考查了正方体的性质、正方形的性质、空间想象能力及勾股定理的应用．解题的关键是熟悉勾股定理并两次应用勾股定理．
27．（2022·河北邢台·统考一模）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．
(1)求线段AB的长；
(2)若点A与点C关于点B对称，求x的值．
【答案】(1)10；
(2)-16．
【分析】（1）由数轴上两点间距离公式直接可得答案；
（2）根据中点定义，列出方程，即可解得答案．
【详解】（1）∵数轴上点A，B所表示的数分别是4，-6，
∴线段AB的长为|4-（-6）|=10；
（2）∵点A与点C关于点B对称，
∴点B是线段AC的中点，
∴AB=BC，
∴4-（-6）=-6-x，
解得x=-16，
答：x的值是-16．
【点睛】本题考查数轴上两点间距离，解题的关键是掌握两点间距离公式．
28．（2023·江苏泰州·高港实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【分析】（1）过点G作GM∥AD交AB于点M，则可得AD=MG，然后证明△GME≌△ABF即可；
（2）①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，由（1）可得EM=BF=2，从而可求得AM，在Rt△AMG中由勾股定理即可求得AG的长；
②过点F作FP∥EG，FP=EG，连接AP,则易得GP=EF，当A、G、P三点共线时，AG+EF最小，在Rt△AFP中由勾股定理即可求得AP的长即可．
【详解】（1）过点G作GM∥AD交AB于点M
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BAD=∠B=90゜，AB∥CD，AD=AB
∴∠EMG=∠BAD=∠B=90゜
∵AB∥CD，GM∥AD
∴四边形AMGD是平行四边形
∵∠BAD=90゜
∴四边形AMGD是矩形
∴MG=AD
∴MG=AB
∵AF⊥EG
∴∠AEH+∠EAH=90゜
∵∠EAH+∠AFB=90゜
∴∠AEH=∠AFB
在△GME和△ABF中
∴△GME≌△ABF(AAS)
∴AF=EG
（2）①过点G作GM∥AD交AB于点M，连接AG，如图
由（1）知，△GME≌△ABF
∴EM=BF=2
∵AB=6，BE=3
∴AE=AB－BE=3
∴AM=AE－EM=1
在Rt△AMG中，GM=AD=6，由勾股定理得：
②过点F作FP∥EG，FP=EG，连接AP,如图
则四边形EFPG是平行四边形
∴GP=EF
∵AG+GP≥GP
∴当A、G、P三点共线时，AG+EF=AG+GP最小,最小值为线段AP的长
∵AF⊥EG，FP∥EG
∴FP⊥AF
在Rt△ABF中，由勾股定理得
∵AF=EG，EG=FP
∴FP=AF=
在Rt△AFP中，由勾股定理得
所以AG+EF的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，灵活运用这些知识是解决的关键，确定AG+EF最小值是线段AP的长是难点．
29．（2023·陕西西安·统考三模）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形的边长为6，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值是_________．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为的正方形场地中，游戏者从边上的点E处出发，分别先后赶往边上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l与一点，该点即为所求P点；
（2）根据点B关于AC是对称点为点D，连接BM交AC与点N，则此时DN+MN的值最小，则有DN+MN= BN+MN=BM，根据勾股定理求解BM即可；
（3）作点G关于点C的对称点，则，作，作点H关于点C的对称点，则，作，作点E关于点C的对称点，则，作点关于点的对称点，则，由两点之间线段最短可知，当在一条直线上时，路程最小，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图1，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，该点即为所求．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B关于AC是对称点为点D，
如图，连接BM交AC与点N，则此时DN+MN的值最小，
∴DN+MN=BN+MN=BM，
∵CD=BC=6，DM=2，
∴MC=4，
∴；
（3）如图2，延长到，使，
作点G关于点C的对称点，则，
作，作点H关于点C的对称点，则，
作，作点E关于点C的对称点，则，
作点关于点的对称点，则，
∴，
过点作，交的延长线于点K，则，
容易看出，当在一条直线上时，路程最小，
最小路程为．
答：游戏者所跑的最少路程是．
【点睛】本题考查正方形的性质以及最短路程问题，解题的关键是正确画出图形，根据两点之间线段最短的道理求解．
30．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图所示，已知、是线段上的两个点，、分别为、的中点．
(1)若，，求的长及、的距离．
(2)如果，，用含、的式子表示的长．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)根据列式进行计算即可求解，根据中点定义求出的长度，再根据代入数据进行数据计算即可求解；
(2)根据(1)的求解，把、的长度换成、即可．
【详解】解：(1)，，
，
、分别为、的中点，
，
；
(2)根据(1)的结论，
，
．
【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解决的关键．
31．（2023上·山西太原·七年级成成中学校考阶段练习）、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是__________，数轴上表示和的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和的两点之间的距离是__________．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是_________；如果，那么为__________．
（3）求的最小值．
【答案】（1）4；2；5；（2）；1或（3）3
【分析】（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式：计算即可；
（2）先利用数轴上两点之间的距离公式：计算和之间的距离，再解绝对值方程即可；
（3）由表示到的距离加上到2的距离和，再画出图形，利用两点之间，线段最短可得答案.
【详解】解：（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是：；
数轴上表示和的两点之间的距离是：；
数轴上表示2和的两点之间的距离是：；
故答案为：4；2；5
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是：；
当，即
或
或
C对应的数可能是1或
（3）表示到的距离加上到2的距离和，
如图，
当-时原式有最小值为
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，掌握利用数形结合的方法解题是解题的关键.
32．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出关于直线对称的；
(2)在直线上画一点，使得的周长值最小，周长最小值为_________．（简要叙述点的画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据轴对称变换的性质找出对应点，顺次连接即可；
（2）连接交直线于点，则点即为所求，连接，此时的周长值最小，再根据轴对称的性质，得出的周长最小值为，再根据勾股定理结合网格即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，连接交直线于点，则点即为所求，连接，此时的周长值最小，
点与点关于直线对称，点在直线上，
，
∴的周长最小值，
∵每个小正方形的边长均为1个单位，
∴，，
∴的周长最小值为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作轴对称图形、轴对称变换的性质、勾股定理，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
33．（2023·河北石家庄·校考三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是： ；点B表示的数是： ．
（2）A，B两点间的距离是 个单位，线段AB中点表示的数是 ．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
【答案】（1）-20，100．（2）120，40；（3）28．
【分析】（1）根据点的位置确定符号和值即可；
（2）用两个点表示的数相减即可，求出中点到A的距离，再求中点表示的数；
（3）求出相遇的时间，再求出C点与A的距离，即可求出C点表示的数．
【详解】解：（1）∵点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位，
∴点A表示的数是：-20；点B表示的数是：100．
故答案为：-20，100．
（2）A，B两点间的距离是100-（-20）=120；
线段AB中点到A的距离是120÷2=60，
线段AB中点表示的数为-20+60=40；
故答案为：120，40；
（3）两只电子蚂蚁在数轴上相遇的时间为120÷（4+6）=12（秒）
点C距A的距离为12×4=48，
点C表示的数为-20+48=28．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，解题关键是理解数轴上点表示的数的意义，会求两点间的距离．
34．（2023上·七年级课时练习）在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？
【答案】能，图见解析
【分析】先展开正方形的侧面，根据两点之间线段最短即可得．
【详解】解：下图是正方体的侧面展开图（侧面展开图不唯一），蚂蚁爬到顶点B处的最短路线为线段AB；爬到顶点C处的最短路线为线段AC（路线AC不唯一）．
【点睛】本题考查了最短路径问题，解题的关键是掌握两点之间线段最短．
【能力提升】
35．（2022上·河南周口·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知点C在线段上，且，，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点C是直线上任意一点，且，，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；（用a、b的代数式表示）
【答案】（1）5cm；（2）当点C在B点的右边时，，当点C在A点的左边时，，点C在线段AB上时，．
【分析】（1）由线段中点的定义可知：，，从而可求得的长；
（2）由线段中点的定义分三种情况：当点C在B点的右边时，当点C在A点的左边时，点C在线段AB上时，进而解答即可．
【详解】解：（1）∵点M、N分别是、的中点， 且，，
∴，．
∴．
（2）①当点C在B点的右边时，，，点M、N分别是、的中点，如图，
得，．
由线段的和差，得；
②当点C在A点的左边时，，，点M、N分别是、的中点，如图，
得，．
由线段的和差，得 ；
③点C在线段AB上时，如图，
同理可得：．
【点睛】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离，明确线段中点的定义是解题的关键．
36．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
【答案】(1)-6
(2)8
(3)秒或秒
【分析】（1）根据，且，两点表示的数互为相反数，直接得出即可；
（2）设经过秒点是的中点，根据题意列方程求解即可；
（3）设点运动了秒时，分情况列方程求解即可．
【详解】（1）AB=12，且，两点表示的数互为相反数，
点表示的数是，
故答案为：；
（2）AB=12，，
，，
设经过秒点是的中点，
根据题意列方程得，
解得，
故答案为：8；
（3）设点运动了秒时，
①当点在点左侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
②当点在点右侧时，即，
根据题意列方程得，
解得；
综上，当运动了秒或秒时．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的知识，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
37．（2022上·贵州黔西·七年级统考期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是．
【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由．
【答案】(1)①，；②4或2
(2)线段的长度为定值，6
【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数；
②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可；
（2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出；
【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是，
故答案为：，；
②因为点P表示的数为，点Q表示的数为，
∵
∴，
解得：或2；
（2）（2）线段的长度为定值，的长度为6．
∵分别为线段的中点，
∴，
∴．
∵，
∴．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键．
38．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又，________，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．左侧 B．线段上 C．线段上（不含点） D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
【答案】(1)画图见解析，最短路程为
(2)①；②B；③画图见解析，最短路程为300米
【分析】此题考查了轴对称 最短路径问题，勾股定理，三角形三边的关系等知识，解题的关键是正确画出图形．
（1）作点A关于l的对称点，然后连接交l于点P，即为所求，得到的长度即为的最小值，过点A作交的延长线于点C，求出，，然后利用勾股定理求解即可；
（2）①根据三角形两边之和大于第三边求解即可；
②作点A关于l的对称点，然后根据①中证明的结论求解即可；
③首先根据题意画出图形，然后表示出相应线段的长度，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，
∴，
∴的长度即为的最小值，
∵，，，
∴，，
∴，
∴；
（2）①证明：如图4，延长交于点，
，，
，
又，，
，
；
②如图所示，作点A关于l的对称点，
∴，，
由①中证明的结论可得，
，
∴超市的位置应位于线段上，
故选：B；
③如图所示，过点A作，过点B作，作点A关于l的对称点，连接交l于点P，过点作交延长线于点E，过点D作，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴最短路程为300米．
39．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积：
， ， ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距150米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值= ．
【答案】小试牛刀：，，，；知识运用：170；知识迁移：41
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理，解题的关键是：
小试牛刀：根据梯形的面积公式，三角形是面积公式计算即可解决问题．
知识运用：作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求；根据勾股定理可得的长，从而解答即可；
知识迁移：将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，在三点共线时有最小值．
【详解】解：小试牛刀：
，，，
则它们满足的关系式为，
故答案为：，，，；
知识运用：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求；
作交的延长线于．
在中，米，米，
（米），
则该最短距离为170米．
故答案为：170；
知识迁移：
如图，，，，，，
则，，
∴的最小值即为G、B、D三点共线时，
则就是代数式的最小值，
，
代数式的最小值为41．
故答案为：41．
40．（2023·浙江金华·七年级期中）如图1，在直线上依次取点，点分别是线段的中点，．
（1）求线段的长．
（2）如图1，若线段以速度沿直线向左运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段的长度，如果不变，通过图2计算说明理由．
（3）如图1，若线段以速度沿直线向右运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段的长度，如果不变，通过图3计算说明理由．
【答案】（1）；（2）的长度不变，；（3）的长度不变，．
【分析】（1）由，可得 再利用点分别是线段的中点，求解再利用线段的和差可得答案；
（2）如图2，以为原点建立数轴，则对应的数为，设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为 再利用中点坐标公式分别表示对应的数，再利用两点间的距离公式可得答案；
（3）如图，以为原点建立数轴，则对应的数为，设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为 运动后对应的数分别为再利用中点坐标公式分别表示对应的数，再利用两点间的距离公式可得答案．
【详解】解：（1） ，
点分别是线段的中点，
（2）如图2，以为原点建立数轴，则对应的数为，
设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为
运动后对应的数分别为
分别是线段的中点，
点对应的数为： 点对应的数为
的长度不变为
（3）如图3，以为原点建立数轴，则对应的数为，
设运动开始时对应的数为 由，可得对应的数为
运动后对应的数分别为
分别是线段的中点，
点对应的数为： 点对应的数为
的长度不变为
【点睛】本题考查的是线段的和差，线段的中点的含义，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上线段中点对应的数的规律，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．
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专题01 图形的初步（1）（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022上·河南郑州·七年级校考期中）金水河是郑州最古老的河流．2500年来，金水河像一条飘带，由西向东，流淌在郑州市民身边，和郑州这座城市结下了不解之缘．近年来，市政府在金水河治理过程中，有时会将弯曲的河道改直，这一做法的主要依据是（ ）
A．两点之间，射线最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短
2．（2022·陕西西安·二模）如图，在第24届北京冬奥会的口号“一起向未来”五个字及会徽被分开印刷在一个正方体的六个面上，其平面展开图如图所示，那么在该正方体中与北京冬奥会会徽相对的面上的字是（ ）
A．一 B．起 C．向 D．未
3．（2022上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）正方体的六个面上分别写有“重庆南开中学”这六个字，将正方体按三种不同的方式摆放，如图为从前米看到的三个不同的图形，则可以确定“南”字对面的字是（ ）
A．重 B．庆 C．开 D．中
4．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，如图1，它有五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形，共七块板，可组成一个面积是1的大正方形．图2是一个用七巧板拼成的装饰图，将其放入矩形ABCD内，则矩形内空白处的面积是（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022·宁夏银川·校考二模）图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）
A． B． C． D．1
6．（2023上·福建福州·八年级福建省福州格致中学校考期中）如图，在中，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．128
7．（2023上·山东淄博·六年级统考期中）如图所示是一个正方体包装盒的表面展开图，如在其中的三个正方形，，内分别填上适当的数，使得这个表面展开图折成正方体后，相对面上的数相加和为，则填在，，内的三个数依次是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022·山东济南·济南育英中学校考模拟预测）如图，直线y＝x＋8分别与x轴、y轴交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·广东广州·统考一模）下列说法正确的是（ ）
A．直线BA与直线AB是同一条直线 B．延长直线AB
C．射线BA与射线AB是同一条射线 D．直线AB的长为2cm
10．（2023·黑龙江佳木斯·校考二模）中，AC=BC=4,,D是BC边上的中点，E是AB上的一个动点，则EC+ED的最小值为（ ）
A．4 B． C．4 D．2+2
11．（2023·河北沧州·统考一模）如图，是某几何体的展开图，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·广东佛山·七年级统考期末）对于如图所示的几何体，说法正确的是（ ）
A．几何体是三棱锥 B．几何体有6条侧棱
C．几何体的侧面是三角形 D．几何体的底面是三角形
13．（2023·北京平谷·统考一模）展开图可能是如图的几何体是（ ）
A．三棱柱 B．圆柱 C．四棱柱 D．圆锥
14．（2023上·内蒙古赤峰·七年级统考期末）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“赤”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．建 B．设 C．美 D．丽
15．（2023·河南南阳·统考二模）下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考期末）如图，，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 ．
17．（2023上·福建泉州·七年级统考期末）把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图的四块，其中点E，F分别是AB，AD的中点，，，用这四块纸片拼成一个与正方形ABCD不重合的长方形MNPQ（要求这四块纸片不重叠无缝隙），则长方形MNPQ的周长是 ．
18．（2023上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图，一个表面涂满颜色的正方体，现将棱三等分，再把它切开变成若干个小正方体，两面都涂色的有 个；各面都没有涂色的有 个．
19．（2022·江苏苏州·统考一模）如图，在中，，，，点是边上的一动点．，将绕点按逆时针方向旋转，点是边的中点，则长度的最小值为 ．
20．（2023上·云南曲靖·七年级阶段练习）如图，请你在有序号的方格中选出两个画出阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起可以构成正方体表面的展开图，你选择的两个正方形是 (填序号，任填一组即可)．
21．（2023·湖南永州·中考真题）在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，在内有一点，M，N分别是边上的动点，连接，则周长的最小值是 ．
22．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝6，BD、CE为△ABC的两条中线，且BD⊥CE于点N，M为线段BD上的动点，则AM+EM+BC的最小值为 ．
23．（2022上·宁夏银川·八年级校考阶段练习）如图，直线是一条河，A，两地到的距离和分别长为，，且，欲在上的某点处修建一个水泵站，向A，两地供水，其中铺设最短的管道长是 ．
24．（2023下·广东河源·八年级统考期末）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边的中点，则EM+CM的最小值为 ．
25．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在中，点、分别为边、的中点，的平分线交线段于点，若AB=6，BC=9，则线段的长为 ．
三、解答题
26．（2023上·江西抚州·八年级江西省临川第三中学校考阶段练习）如图，已知正方体纸盒的表面积为12cm2；
（1）求正方体的棱长；
（2）剪去盖子后，插入一根长为5cm的细木棒，则细木棒露在外面的最短长度是多少？
（3）一只蚂蚁在纸盒的表面由A爬到B，求蚂蚁行走的最短路线.
27．（2022·河北邢台·统考一模）已知数轴上点A，B，C所表示的数分别是4，﹣6，x．
(1)求线段AB的长；
(2)若点A与点C关于点B对称，求x的值．
28．（2023·江苏泰州·高港实验学校校考二模）如图，在正方形ABCD中，F为BC为边上的定点，E、G分别是AB、CD边上的动点，AF和EG交于点H且AF⊥EG．
（1）求证：AF＝EG；
（2）若AB＝6，BF＝2．
①若BE＝3，求AG的长；
②连结AG、EF，求AG＋EF的最小值．
29．（2023·陕西西安·统考三模）问题提出
（1）如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上作一点P，使得的值最小．
问题探究
（2）如图2，正方形的边长为6，点M在上，且，N是上的一动点，则的最小值是_________．
问题解决
（3）现在各大景区都在流行“真人CS”娱乐项目，其中有一个“快速抢点”游戏，游戏规则如图3，在用绳子围成的一个边长为的正方形场地中，游戏者从边上的点E处出发，分别先后赶往边上插小旗子，最后回到点E．求游戏者所跑的最少路程．
30．（2023上·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考期末）如图所示，已知、是线段上的两个点，、分别为、的中点．
(1)若，，求的长及、的距离．
(2)如果，，用含、的式子表示的长．
31．（2023上·山西太原·七年级成成中学校考阶段练习）、两点之间的距离表示为，点、在数轴上分别表示有理数，，在数轴上，两点之间的距离．
请用上面的知识解答下列问题：
（1）数轴上表示2和6的两个点之间的距离是__________，数轴上表示和的两点之间的距离是__________，数轴上表示2和的两点之间的距离是__________．
（2）数轴上表示和的两点和之间的距离是_________；如果，那么为__________．
（3）求的最小值．
32．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上．
(1)在网格中画出关于直线对称的；
(2)在直线上画一点，使得的周长值最小，周长最小值为_________．（简要叙述点的画法）
33．（2023·河北石家庄·校考三模）已知A，B是数轴上两点，点A在原点左侧且距原点20个单位，点B在原点右侧且距原点100个单位．
（1）点A表示的数是： ；点B表示的数是： ．
（2）A，B两点间的距离是 个单位，线段AB中点表示的数是 ．
（3）现有一只电子蚂蚁P从点B出发以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从点A出发以4个单位/秒的速度向右运动．设两只电子蚂蚁在数轴上的点C处相遇，求点C表示的数．
34．（2023上·七年级课时练习）在桌面上放了一个正方体盒子，如图，一只蚂蚁在顶点A处，它要爬到顶点B处找食物，你能帮助蚂蚁设计一条最短的爬行路线吗？要是爬到顶点C呢？
【能力提升】
35．（2022上·河南周口·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知点C在线段上，且，，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点C是直线上任意一点，且，，点M、N分别是、的中点，求线段的长度；（用a、b的代数式表示）
36．（2022上·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；
(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；
(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
37．（2022上·贵州黔西·七年级统考期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是．
【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为．
(1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒．
①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________；
②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______．
(2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由．
38．（2024上·广东深圳·八年级统考期末）如下图，某学校计划在校内一道路旁建造超市，将地图简化，如图1所示，宿舍楼与校内道路的距离为50米，教学楼与校内道路的距离为160米，米，现要在校内道路旁建造一超市．
(1)请在图1中画出点（点在道路上，道路宽度忽略不记），使学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短，并求出最短路程．
(2)如图2所示，若宿舍楼和教学楼之间有一面70米长的校园文化墙，文化墙垂直于校内道路，到校内道路的距离为40米，米，米，现在依然要求学生从宿舍楼走到超市，再走到教学楼所走路程最短．
①众所周知，“两点之间，线段最短”，但由于文化墙这个障碍物的存在，需要研究两点之间不同折线长度的大小关系，他认为，并进行了证明，请你将下述证明过程补充完整：
证明：如图4，延长交于点，
，
又，________，
②如图5，延长交校内道路于点，过作于点，是上右侧的一点，利用①中证明的结论，可判断超市的位置应位于________（从以下四个选项中选择）．
A．左侧 B．线段上 C．线段上（不含点） D．右侧
③请在图6中画出超市的位置，并求出最短路程．
39．（2023上·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期中）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
【小试牛刀】
把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为，，．显然，，．请用，，分别表示出梯形，四边形，的面积：
， ， ，
再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为 ，化简后，可得到勾股定理．
【知识运用】
如图2，河道上，两点（看作直线上的两点）相距150米，，为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为，，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点，使得抽水点到两个菜园，的距离和最短，则该最短距离为 米．
【知识迁移】
借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值= ．
40．（2023·浙江金华·七年级期中）如图1，在直线上依次取点，点分别是线段的中点，．
（1）求线段的长．
（2）如图1，若线段以速度沿直线向左运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图2求线段的长度，如果不变，通过图2计算说明理由．
（3）如图1，若线段以速度沿直线向右运动，设运动时间为，试探究线段的长度是否与（1）相同，如果改变，利用图3求线段的长度，如果不变，通过图3计算说明理由．
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