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专题11 与圆有关的位置关系
考点类型
知识一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d＞r 点P在的外
点在圆上 点在圆周上 d＝r 点P在上
点在圆内 点在圆的内部 d＜r 点在的内
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=（两直角边和-斜边长）
考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（ ）
A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定
【变式1】（2024上·广东广州·九年级统考期末）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法确定
【变式2】（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·广东江门·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
考点2：三角形的外接圆
典例2：（2023上·江苏南通·九年级南通市实验中学校考期末）如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【变式2】（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（ ）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
【变式3】（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步 B．15步 C．16步 D．17步
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点B在内 B．点A在上
C．边与相切 D．边与相离
【变式1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2012·北京海淀·统考中考模拟）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
考点4：切线的判定综合
典例4：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，再以为圆心，为半径作一圆．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的半径．
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的值．
【变式2】（福建省龙岩市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
【变式3】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）如图，四边形是的内接正方形，E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：．
【变式4】（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，是的直径，是弦，点是上一点，，连接交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧的长度．
【变式5】（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求阴影部分的面积．
【变式6】（2023上·江西新余·九年级统考期末）如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：直线与⊙O相切．
(2)若，求的长．
【变式7】（2024上·四川绵阳·九年级校考期末）如图，为的直径，为的弦，，延长至，且，的半径为．
(1)求证：直线与相切；
(2)如图，若，求阴影部分面积；
(3)如图，若，求的值．
考点5：切线的性质综合
典例5：（2024上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
【变式1】（2022上·北京·九年级清华附中校考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接．
(1)求证：平分； (2)若，，求的长．
【变式2】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
【变式3】（2024上·新疆吐鲁番·九年级统考期末）如图，点，，在上，是直径，是弦，点是外一点，分别作射线，，其中是的切线，线段．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的度数．
【变式4】（2024上·河南洛阳·九年级统考期末）如图，与的边相切于点B，与边相切于点D，与边交于点E，是的直径．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
【变式5】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）如图，在中，，为的中点，与半圆相切于点．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，点是的内心，点与点之间的距离是2，则半圆的半径是______．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：（2023上·吉林松原·九年级校考期末）如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
(1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若的半径长为，，求的长．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级校联考期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【变式2】（2024上·天津河西·九年级统考期末）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径长为，，求的长．
【变式3】（2024上·北京昌平·九年级统考期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
考点7：切线长定理
典例7：（2023上·全国·九年级期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，、、分别与相切于点A，B，E，与、分别相交于C，D两点，若，则的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
【变式2】（2023上·九年级课时练习）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2022·内蒙古包头·二模）已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
考点8：三角形的内切圆
典例8：（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C． D．
【变式1】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【变式2】（2023上·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（ ）
A． B． C． D．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：（2023下·山西晋城·九年级校联考阶段练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴 过圆外一点作圆的切线 我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法一（如图1）： 连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； 作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接． 由作图可知， ∴，．（依据） 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． 作法二（如图2）： 连接，交于点A，过点A作的垂线； 以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B； 连接，交于点C； 作直线，则直线是的切线． 证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
【变式1】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切；
(2)若恰好交于边的中点，求的半径长．
【变式2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切：
(3)当，时，求劣弧的长．
【变式3】（2023上·重庆江津·九年级统考期末）如图，内接于，BC是的直径，D是AC延长线上一点．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，过点P作，垂足为E．则PE与有怎样的位置关系？请说明理由．
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专题11 与圆有关的位置关系
考点类型
知识一遍过
（一）与圆有关的位置关系
（1）点与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 d＞r 点P在的外
点在圆上 点在圆周上 d＝r 点P在上
点在圆内 点在圆的内部 d＜r 点在的内
（2）直线与圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
相离 直线与圆没有公共点 d＞r 直线与相离
相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点 d＝r 直线与相切
相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线 d＜r 直线与相交
（二）切线的判定与性质
（1）切线的定义：直线和圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．
（2）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；
（3）切线的判定：①作垂直，证半径；②连半径，证垂直
（三）切线长定理
（1）切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
（四）三角形与圆
（1）三角形与外接圆
①经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
②三角形外心的性质：
★三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，外心到三角形各顶点的距离相等；
★三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
③直角三角形外接圆的圆心在直角三角形斜边的中点
（2）三角形与内切圆
①概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心；内心是三角形三个角平分线的交点；它到三角形的三边的距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形，
②普通三角形与内切圆的关系：R为内切圆的半径
S△ABC=×R×（AB+BC+AC）
③直角三角形的三边与内切圆的关系
R=（两直角边和-斜边长）
考点一遍过
考点1：点与圆的位置关系
典例1：（2022上·陕西商洛·九年级统考期末）如图，在中，，，，，以点A为圆心，为半径画圆，则点D与的位置关系是（ ）
A．点D在外 B．点D在上 C．点D在内 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内．
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离．
【详解】解：根据勾股定理求得斜边，
则，
∵，
∴点D在内．
故选：C．
【变式1】（2024上·广东广州·九年级统考期末）在中，，，，以点C为圆心，为半径作，则点A与的位置关系是（ ）
A．点A在内 B．点A在上 C．点A在外 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
∵，
∴点A在内，
故选：．
【变式2】（2023下·上海·九年级专题练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可．
【详解】解：连接交于，如图，
在 中，由勾股定理得：，
则，
，
，
与相交，且点在外，必须，
即只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键．
【变式3】（2022·广东江门·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，OA=10，BC=16，D是弧AC上一个动点，连接BD，过点C作CM⊥BD，连接AM，在点D移动的过程中，AM的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取BC的中点E，连接AE、AC．在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM，利用勾股定理求出AE即可解决问题．
【详解】解：如图，取BC的中点E，连接AE、AC．
∵CM⊥BD，
∴∠BMC=90°，
∴在点D移动的过程中，点M在以BC为直径的圆上运动，
∴CE=BC=8，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∵BC=16，AB=2OA=20，
∴AC=12，
在Rt△ACE中，AE=，
∵EM+AM≥AE，
∴当E、M、A共线时，AM的值最小，最小值为AE-EM=4-8，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点M的运动轨迹是以BC为直径的圆上运动．
考点2：三角形的外接圆
典例2：（2023上·江苏南通·九年级南通市实验中学校考期末）如图，点是的内心，也是的外心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外心与内心，三角形内角和定理，圆周定理，连接，，由点是的内心，，结合三角形内角和定理得出，再根据点也是的外心，结合圆周角定理即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，
，
点是的内心，，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
点也是的外心，
，
故选：B．
【变式1】（2024上·河北唐山·九年级统考期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的外心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，勾股定理等知识点，根据三角形三边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可，解答本题的关键是明确三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点．
【详解】由图可知，，
∴，
∴F点在三边的垂直平分线上，
∴点F是外心，
故选：C．
【变式2】（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，直角坐标系中，，，经过，，三点的圆，圆心为，若线段，则点与的位置关系为（ ）
A．点在上 B．点在外 C．点在内 D．无法确定
【答案】C
【分析】连接，作和的垂直平分线，交点为，则圆心的坐标为，然后求出的半径，比较即可解答．
【详解】解：如下图，
连接，作和的垂直平分线，交点为，
∴圆心的坐标为，
∵，
∴，
∵线段，
∴半径，
∴点在内．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、坐标与图形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，确定圆心的位置是解题的关键．
【变式3】（2023上·浙江湖州·九年级校考阶段练习）《九章算术》中“今有勾八步，股有十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步．问该直角三角形的容圆（外接圆）直径是多少？”（ ）
A．14步 B．15步 C．16步 D．17步
【答案】D
【分析】本题主要考查三角形的外接圆及勾股定理．设三角形，由勾股定理可求得直角三角形的斜边，外接圆直径即斜边，可求得直径．
【详解】解：设三角形为，，，，
，
，
该直角三角形的容圆（外接圆）直径即斜边，
外接圆的直径是17步，
故选：D．
考点3：直线与圆的位置关系
典例3：（2023上·河北廊坊·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，以点C为圆心，3为半径作圆，则下列判断正确的是（ ）
A．点B在内 B．点A在上
C．边与相切 D．边与相离
【答案】C
【分析】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系．熟练掌握点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系是解题的关键．
由，可判断点B在上，进而可判断A的正误；由，可判断点A在外，进而可判断B的正误；由，，可判断边与相切，进而可判断C的正误；由边过的圆心，可得边与相交，进而可判断D的正误．
【详解】解：∵，
∴点B在上，A错误，故不符合要求；
∵，
∴点A在外，B错误，故不符合要求；
∵，，
∴边与相切，C正确，故符合要求；
由题意知，边与相交，D错误，故不符合要求；
故选：C．
【变式1】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）在中，，，．若与相离，则半径为r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质，
根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到和的长度，再根据与相离可知半径小于点C到的距离，即可进行求解．
【详解】解：∵，，，
∴
∴，
∵
∴，解得：，
∴
设点C到的距离为h，则，
∴，
∴，
∵若与相离，
∴
故选：C．
【变式2】（2012·北京海淀·统考中考模拟）如图，已知是以数轴原点为圆心，半径为1的圆，，点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与有公共点，设，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交，相切时，设切点为C，连接，根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是．
【详解】解：设切点为，连接，则
圆的半径，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，原点左侧的距离也是，且线段是正数
所以x的取值范围是
故选：B．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及直径所对的圆周角是直角等知识，解题关键是求出相切的时候的x值，即可分析出x的取值范围．
【变式3】（2023·辽宁盘锦·统考二模）如图，半径的⊙M在轴上平移，且圆心M在x轴上，当⊙M与直线相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．(0，0) B．(2，0) C．（-6，0） D．(2，0) 或（-6，0）
【答案】D
【分析】根据题意，进行分情况讨论，分别为圆位于直线右侧并与直线相切和位于直线左侧并于直线相切两种情况，进而根据相切的性质及等腰直角三角形的相关性质进行求解即可得解．
【详解】①当圆位于直线右侧并与直线相切时，连接MA，如下图所示：
∵
∴，，是等腰直角三角形，
∴
∵
∴是等腰直角三角形，
∴⊙M与直线AB相切于点A
∵
∴
∴圆心M的坐标为；
②当圆位于直线左侧并与直线相切时，过点M作于点C，如下图所示：
∵⊙M与直线AB相切，
∴
根据直线AB的解析式：可知
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴圆心M的坐标为，
综上所述：圆心M的坐标为或，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质及动圆问题，熟练掌握相关几何求解方法并进行分类讨论是解决本题的关键．
考点4：切线的判定综合
典例4：（2023上·辽宁盘锦·九年级统考期末）如图，在中，，于点，于点，，相交于点，再以为圆心，为半径作一圆．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过点作于点，利用等腰三角形的三线合一的性质得到为的平分线，利用角平分线的性质得到，再利用圆的切线的定义解答即可；
（2）利用勾股定理求得线段的长度，再利用直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，列出比例式解答即可．
【详解】（1）证明：过点作于点，如图，
，，
为的平分线，
，
，，
，
为的半径，
为的半径，
是的切线；
（2）解：，，，
．
．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，圆的切线的定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质，过圆心作直线的垂线段是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键
【变式1】（2024上·湖南长沙·九年级湖南师大附中博才实验中学校考期末）如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）连接，根据得，从而得到，得到即可证明结论；
（2）连接，证明，得到，设，，列出等式进行求值．
【详解】（1）解：证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，
是的直径，
由（1）知：
又 ，
又
，即：
又 且，
为边的中线
又 于点
在中，
又
可设，
、分别为、中点
且
，即
解得，故
【变式2】（福建省龙岩市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，是直径，点C是的中点，过点C作于点E，连接，交于点F，在的延长线上取一点P，使，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角的性质，得出，，再由直角三角形两锐角互余，得出，即可证明结论；
（2）连接，由平行线的性质，得到，由垂径定理，可得，进而求出，再利用圆周角定理，即可求出的度数．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
由（1）可知，，
∵，
∴，
∴
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．
【变式3】（2024上·重庆合川·九年级统考期末）如图，四边形是的内接正方形，E是外一点，平分，连接并延长交于点F，连接交于点G．
(1)求证：为的切线；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质，正方形的性质，圆的切线的判定定理；
（1）利用正方形的性质，圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用正方形的性质和全等三角形的判定定理得到即可．
【详解】（1）∵四边形是的内接正方形，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴为切线；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴.
在和中，
∴.
∴.
【变式4】（2024上·山西吕梁·九年级统考期末）如图，是的直径，是弦，点是上一点，，连接交于点，是延长线上的一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弧的长度．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】本题考查了切线的判定，求弧长；
（1）如图，连接，．证明即可；
（2）设的半径为 ，在中，勾股定理可得，再根据弧长公式可解决问题．
【详解】（1）证明：连接
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
是的切线 ．
（2）设的半径为 ，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
解得：，
∴弧的长为．
【变式5】（2024上·广东肇庆·九年级统考期末）如图所示，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知．
(1)求证：是的切线；
(2)若时，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识；
（1）如图1，连接，由等腰三角形的性质可证，由直角三角形的性质可求，可得结论；
（2）分别求出的长度和的度数，再由可求解；
【详解】（1）解：如图1，连接，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵
过O作，
则，
【变式6】（2023上·江西新余·九年级统考期末）如图，为⊙O的直径，过圆上一点作⊙O的切线交的延长线于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：直线与⊙O相切．
(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)的长为．
【分析】（）连接，根据切线的性质和平行线的性质可得，，进而可得，则可以利用证明，得，可以得到结论；
（）设的半径为，根据勾股定理进行列出方程进行求解即可；
本题考查了切线的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解题的关键．
【详解】（1）如图，连接，
∵直线与相切与点，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
又∵是半径，
∴直线与相切；
（2）设的半径为，
在中，，即，
解得：，
∴，
∴，
由（）得，
∴，
在中，，即，
∴，
解得：，
∴的长为．
【变式7】（2024上·四川绵阳·九年级校考期末）如图，为的直径，为的弦，，延长至，且，的半径为．
(1)求证：直线与相切；
(2)如图，若，求阴影部分面积；
(3)如图，若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，平行线的性质和判定，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解决问题的关键．
由切线的判定可得出结论；
过点作于点，连接，证明四边形为矩形，得出，，求出，，由扇形的面积公式及梯形的面积公式可得出答案；
设，则，过点作于点，则四边形为矩形，由勾股定理求出，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，，
，
为圆的半径，
直线与相切；
（2）解：过点作于点，连接，
，
四边形为矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴
又
∴是等边三角形.
∴,又
，
在中,，
，
阴影部分的面积
．
（3）解：过点作于点，由垂径定理可知,点F为的中点,设，因,则，
过点作于点，因,则四边形为矩形，
，，
，
，
又，
，
（另一解不合题意,舍去）.
．
考点5：切线的性质综合
典例5：（2024上·陕西渭南·九年级统考期末）如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，由切线的性质得到，由圆周角定理得到，由等腰三角形性质得到，对上述角进行等量代换，即可解题．
（2）本题设，在中，利用勾股定理求得，证得是等边三角形，得到，再根据弧长公式即可求解．
【详解】（1）解：证明：如下图，连接，
直线与相切于点C，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
；
（2）解：设，
，，，
，
，
点D为的中点，
又，
，
是等边三角形，
，
的长为．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形性质与判定、弧长公式，解题的关键在于熟练掌握相关的公式定理，并灵活运用．
【变式1】（2022上·北京·九年级清华附中校考阶段练习）如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证；
（2）连接交于点F，证四边形是矩形，根据相似三角形的判定和性质，求出，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵与相切于点E，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）解∶连接交于点F，
∵是的直径，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，点O是的中点，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键．
【变式2】（2024上·湖北武汉·九年级统考期末）菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果；
（2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值；
由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
即；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N；
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
设圆的半径的r，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键．
【变式3】（2024上·新疆吐鲁番·九年级统考期末）如图，点，，在上，是直径，是弦，点是外一点，分别作射线，，其中是的切线，线段．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理；
（1）证明，得出，即可得证；
（2）根据圆周角定理可得，进而得出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，．
是的切线
在和中
又是半径
是的切线
（2）
四边形中
【变式4】（2024上·河南洛阳·九年级统考期末）如图，与的边相切于点B，与边相切于点D，与边交于点E，是的直径．
(1)求证：；
(2)若的半径是，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）连接，根据切线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，求得，根据平行线的判定定理得到结论；
（2）先利用勾股定理得到，则，再证明，则利用相似比可求出，然后利用得出的长即可．
【详解】（1）证明：连接，
与的边相切于点B，与边相切于点D，
，，
在和中，
，
，
∵，
，
，
；
（2）在中，
，
，
∵，
，
，即，
解得：，
，
．
【变式5】（2023上·河北张家口·九年级统考期末）如图，在中，，为的中点，与半圆相切于点．
(1)求证：是半圆的切线；
(2)若，点是的内心，点与点之间的距离是2，则半圆的半径是______．
【答案】(1)见解析；
(2)3
【分析】（1）如图所示，由切线的性质得到，由等边对等角得到，据此证明，得到，即可证明是半圆的切线；
（2）先证明是等边三角形，再由点是的内心，为的中点，得到三点共线，，则，即可得到，即半圆的半径是
【详解】（1）证明：如图所示，过点O作于E，连接，
∵与半圆相切于点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是半圆的切线；
（2）解：如图所示，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵点是的内心，为的中点，
∴三点共线，，
∵点与点之间的距离是2，
∴，
∵与半圆相切于点，
∴，
∴，
∴半圆的半径是3，
故答案为
【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，内心的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知切线的性质和判定定理是解题的关键．
考点6：切线的判定与性质综合
典例6：（2023上·吉林松原·九年级校考期末）如图，在中，，在上，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，交于点，过作，垂足为．
(1)与有什么位置关系，请写出你的结论并证明；
(2)若的半径长为，，求的长．
【答案】(1)与相切，证明详见解析；
(2)．
【分析】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点即为半径，再证垂直即可．
（1）由已知可证得，为圆的半径，所以与相切；
（2）连接，，由已知可得四边形为矩形，从而得到的长，再利用勾股定理求得的长，从而可求得的长，此时就不难求得了．
【详解】（1）解：与相切；
理由如下：
连接，
，
；
，
，
，
∴；
，
，
与相切．
（2）连接，；
，是的切线，
，，
又，
四边形为矩形，
；
在中，，
，
，，
．
答：长度为．
【变式1】（2023上·江苏南京·九年级校联考期末）如图，，是的切线，，为切点，连接．
(1)若与相切于点，求证；
(2)若，求证与相切．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证；
（）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证；
此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点，
∴ ，，
∵，
∴；
（2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，，
∵，，
∴ ，
∵，是的切线，，为切点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴与相切．
【变式2】（2024上·天津河西·九年级统考期末）如图，中，，D为上一点，以为直径的与相切于点E，交于点F，，垂足为G．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径长为，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图1，连接，由等边对等角可得，，即，，则，进而结论得证；
（2）如图2，连接，证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图2，连接，
∵以为直径的与相切于点E，
∴，为半径，
∴四边形是正方形，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
∴的长为．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判定与性质．熟练掌握切线的判定与性质，等边对等角，平行线的判定，勾股定理，正方形的判定与性质是解题的关键．
【变式3】（2024上·北京昌平·九年级统考期末）如图，是的直径，点在上，点为的中点，过点作的切线，交延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)作射线交的延长线于点F，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆、矩形的判定和性质、切线的性质；
（1）连接OC，由垂径定理证明，由直径所对圆周角等于90°，以及切线性质可以等到四边形DECP的三个内角等于90°，由三个角是直角的四边形是矩形得出结论．
（2）解中，，，在中，求出，进而求出，平行线分线段成比例定理可得，由此得出．
【详解】（1）证明：连接OC
∵AB为直径，C为上一点，
∴，∴，
∵点D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵DP是的切线，D为切点，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）如图补全图形，
在中，，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵矩形DECP对边平行，
∴，
∴，
∴．
考点7：切线长定理
典例7：（2023上·全国·九年级期末）如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为，的长是，则的周长是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
【答案】A
【分析】本题考查了切线长定理，理解定理，找出图形中存在的相等的线段是关键．根据切线长定理，可得，，，，则，据此即可求解．
【详解】解： 、、、都和相切，
，，，，
，
．
故选：A．
【变式1】（2023上·安徽六安·九年级校考阶段练习）如图，、、分别与相切于点A，B，E，与、分别相交于C，D两点，若，则的度数为（ ）
A．50° B．62° C．66° D．70°
【答案】C
【分析】由、、分别切于A、B、E，交、于C、D两点，根据切线长定理即可得：，，然后由等边对等角与三角形外角的性质，可求得，，继而求得答案．
【详解】解：∵、、分别切于A、B、E，交、于C、D两点，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
即，，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了切线长定理、等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】（2023上·九年级课时练习）如图，是的两条切线，切点分别为交于点．下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，根据切线长定理和半径相等，得到是线段的中垂线，逐一进行判断即可．
【详解】解：连接，
则：，
∵是的两条切线，
∴，
∴是线段的中垂线，
∴，
∴；
∴，
条件不足，无法得到，
∴；
综上，只有选项D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查切线长定理：从圆外一点，引圆的两条切线，则该点到两个切点间的距离相等．
【变式3】（2022·内蒙古包头·二模）已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（ ）
A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据切线长定理，证△COB≌△COD，可得∠COB=∠BOD，根据圆周角定理即可得出∠DAB=∠COB，由此可证得AD∥OC；连接DE、BE；上面已证得弧DE=弧BE，根据弦切角定理以及圆周角定理相等，易求得DE、BE分别平分∠CDB和∠CBD；根据三角形内心的定义，即可得出结论②正确；若FE=FC，则∠OCB=∠CEF=∠OEA=∠OAE，在Rt△OBC中，BD⊥OC，易得∠DBA=∠OCB，即∠DBA=∠EAB；因此弧BE=弧AD，而这个条件并不一定成立．故③不正确；先证明FB=GB，然后证明△ABG∽△CEF，从而可得出④正确．
【详解】连接OD，DE，EB，
∵CD与BC是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB，
∵OC=OC
∴Rt△CDO≌Rt△CBO，
∴∠COD=∠COB，
∴∠COB=∠DAB=∠DOB，
∴AD∥OC，故①正确；
∵CD是⊙O的切线，
∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE，
∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线，
因此E为△CBD的内心，故②正确；
若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA，
∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确；
设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG=∠EBF，
又∵BE⊥GF，
∴FB=GB，
由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE=∠BCE，
又∵∠MDA=∠DCE（平行线的性质）=∠DBA，
∴∠BCE=∠GBA，
而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所对的圆周角相等），
∴∠AGB=∠CFE，
∴△ABG∽△CEF，
∴CE GB=AB CF，
又∵FB=GB，
∴CE FB=AB CF
故④正确．
因此正确的结论有：①②④．
故选：D．
【点睛】本题利用了切线长定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，内心的概念，以及对相似三角形的性质求解．
考点8：三角形的内切圆
典例8：（2023上·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在中，，是的内切圆，则阴影部分面积是（ ）
A．2 B．π C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理求出，设与分别相切于，连接，利用切线的性质和等面积法求出，再证明四边形是正方形，得到，最后根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
如图所示，设与分别相切于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了直角三角形内切圆半径与直角三角形三边的关系，勾股定理，正方形的性质与判定，求不规则图形面积，正确求出圆O的半径长是解题的关键．
【变式1】（2022上·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，中，，，，点是的内心，则的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，勾股定理，三角形的外接圆与外心，根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，，，，，利用勾股定理可得，设，则，根据切线长定理可求得，设，根据，可得，即，问题随之得解．
【详解】根据点是的内心，画出的内切圆，如图，过点作，，，垂足为，，，连接，
根据内切圆的性质可知垂足，，也是三边与的切点，
，，，，
，，，
，
设，则，
，，，
，
，
，
设，
，
，
，
，
．
故选：C．
【变式2】（2023上·广西南宁·九年级南宁十四中校考期中）如图，的内切圆与分别相切于点，，，，则的内切圆半径r为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】连接、、，，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，
【详解】解：连结接、、，，，，设半径为，
，，，
，
的内切圆与，，分别相切于点，，，
，，，且，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
【变式3】（2023上·全国·九年级专题练习）已知中，．是的内切圆，下列选项中，的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求圆的半径，因为相切，我们通常连接切点和圆心，证明四边形是正方形，再利用圆的性质和直角三角形性质表示其中关系，得到方程，求解即得半径．
【详解】解：设圆O的半径是x，圆切于E，切于D，切于F，如图，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质及通过设边长，表示其他边长关系再利用直角三角形求解等常规考查点，其中掌握三角形内切圆的性质是解题关键．
考点9：圆的切线应用——尺规作图
典例9：（2023下·山西晋城·九年级校联考阶段练习）阅读与思考
下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日晴 过圆外一点作圆的切线 我学习了圆的有关定理，知道“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，并学会了如何用尺规过圆上一点作圆的切线，那么能否用尺规过圆外一点作出圆的切线呢？经过反复思考，我想出了两种作法．具体如下（已知点P是外的一点）： 作法一（如图1）： 连接，作线段的垂直平分线，交于点A； 以点A为圆心，以的长为半径作弧，交于点B； 作直线，则直线是的切线． 证明：如图1，连接． 由作图可知， ∴，．（依据） 在中，∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴直线是的切线． 作法二（如图2）： 连接，交于点A，过点A作的垂线； 以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点B； 连接，交于点C； 作直线，则直线是的切线． 证明：……
任务：
(1)“作法一”中的“依据”是指______．
(2)请写出“作法二”的证明过程．
【答案】(1)同一个三角形中，等边对等角
(2)见解析
【分析】（1）根据题意和等边对等角的性质求解即可；
（2）由作法可得到，，然后证明，得到，从而得到，由切线的判定定理得出结论．
【详解】（1）根据题意可得，“作法一”中的“依据”是指，同一个三角形中，等边对等角，
故答案为：同一个三角形中，等边对等角；
（2）由作法可得，，，
∴
在和中
∴
∴
∴
而是的半径
∴直线是的切线．
【点睛】此题考查了切线的判定定理，全等三角形的性质和判定，等边对等角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式1】（2023上·广东广州·九年级统考期末）如图，在中，，．完成以下两个小题的解答：
(1)用尺规作的中点，并以为半径作（不写作法，保留作图痕迹），求证：与边相切；
(2)若恰好交于边的中点，求的半径长．
【答案】(1)图见解析，证明见解析
(2)
【分析】（1）作的平分线交于点D，再以为半径作，再根据等腰三角形 的性质可得，即可；
（2）设边的中点为点E，的半径为r，可得，在中，根据勾股定理求出r，即可求解．
【详解】（1）解：如图，点D和即为所求；
证明：∵，为的中点，
∴，
∵为的半径，
∴与边相切；
（2）解：设边的中点为点E，的半径为r，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即的半径为．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，尺规作图，勾股定理，熟练掌握切线的判定，等腰三角形的性质，作已知角的平分线，灵活运用勾股定理是解题的关键．
【变式2】（2023·湖北·校联考三模）如图，在中，，平分交于D点，O是上一点，经过B、D两点的分别交、于点E、F．
(1)用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：与相切：
(3)当，时，求劣弧的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作的垂直平分线交于，以为半径画圆分别交、于点E、F，则即为所求；
（2）连接，得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和得到，根据勾股定理得到，从而得到半径根据弧长的公式即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：连接，则，
，
，
，
，
，
，
即，
与相切；
（3）如图，连接，
是的直径，
，
，
，
在中，，
的半径，
劣弧的长．
【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，平行线的判定，基本作图，作出辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
【变式3】（2023上·重庆江津·九年级统考期末）如图，内接于，BC是的直径，D是AC延长线上一点．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图形中，过点P作，垂足为E．则PE与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)作图见解析
(2)是的切线，理由见解析
【分析】（1）如图1所示，以点为圆心，大于为半径画弧，交于点，交于点；分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，交点为，连接即为角平分线，与的交点即为点．
（2）如图2所示，连接，由题意可知，，，，；在四边形中，，，求出，得出，由于是半径，故有是的切线．
【详解】（1）解：如图1所示
（2）解：是的切线．
如图2所示，连接
由题意可知，，
，，
在四边形中
∵
∴
∴
又∵是半径
∴是的切线
【点睛】本题考查了角平分线的画法与性质，切线的判定，圆周角等知识点．解题的关键在于将知识综合灵活运用．
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