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专题01 图形的初步（1）
考点类型
知识一遍过
（一）立体图形的认识
（1）立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
（2）平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等
（二）点、线、面、体的关系
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
（三）几何体展开图
（四）正方体展开图
（五）直线、线段、射线的相关概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a
直线AB（BA） 射线AB 线段a
线段AB（BA）
作法叙述 作直线a
作直线AB 作射线AB 作线段a
作线段AB（BA）
延长叙述 两端可无限延伸 延长射线AB 延长线段AB
反向延长线段BA
（六）直线与线段的性质
①经过一点有无数条直线
②经过两点有且只有一条直线
③经过不共线的三点画不出直线；经过共线的三点有且只有一条直线
④两点之间，线段最短。线段的长度表示两点之间的距离。
（七）线段的中点性质
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；
如图：M为线段AB的中点，则AM=BM=AB
考点一遍过
考点1：认识立体图形
典例1：（2023上·河南周口·七年级统考阶段练习）下列几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何体的识别，根据立体图形的相关知识点逐项判断即可得出答案，熟练掌握几何体的相关定义是解此题的关键．
【详解】解：A、此几何体是圆锥，故不符合题意；
B、此几何体是圆台，故不符合题意；
C、此几何体是圆柱，故符合题意；
D、此几何体是凌台，故不符合题意；
故选：C．
【变式1】（2024上·广东清远·七年级统考期末）如图是我国航天载人火箭的实物图，可以看成的立体图形为（ ）
A．棱锥与棱柱的组合体 B．圆锥与圆柱的组合体
C．棱锥与圆柱的组合体 D．圆锥与棱柱的组合体
【答案】B
【分析】本题考查常见几何体的识别，根据所给图形可直接得出答案．
【详解】解：所给图形上部为圆锥，下部为圆柱，可以看作圆锥与圆柱的组合体，
故选B．
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示的图形中，属于棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查棱柱的概念，解题的关键是掌握棱柱的定义．根据棱柱的定义逐一判断即可求出结果．
【详解】解：图中第一个几何体是三棱柱，属棱柱；
第二个几何体是四棱柱，属于棱柱；
第三个几何体是圆柱，不属于棱柱；
第四个几何体为圆锥，不属于棱柱；
所以属于棱柱的有2个．
故选：B．
【变式3】（2022上·安徽滁州·七年级校考阶段练习）下列图形：圆锥、圆柱、圆、球中平面图形有m个，立体图形有n个，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D． 2
【答案】D
【分析】首先判断出平面图形与立体图形的个数，即可求得m、n的值，再求代数式的值即可．
【详解】解：圆锥是立体图形，
圆柱是立体图形，
圆是平面图形，
球是立体图形，
故平面图形有1个，立体图形有3个，
故，，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面图形与立体图形的识别，代数式求值问题，熟练掌握和运用平面图形与立体图形的识别方法是解决本题的关键．
考点2：立体图形展开图
典例2：（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示均为几何体的展开图，则从左到右的图形对应的几何体分别为（ ）
A．圆锥、三棱锥、圆柱、正方体 B．圆锥、四棱锥、圆柱、正方体
C．圆锥、四棱柱、圆柱、正方体 D．圆锥、三棱柱、圆柱、正方体
【答案】D
【分析】根据常见的几何体的展开图进行判断即可．
【详解】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥、三棱柱、圆柱、正方体，
故选：D．
【点睛】本题考查常见几何体的展开图，熟记常见几何体的平面展开图的特征是解题的关键．
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．
【详解】解：B、C、D中间三个长方形能围成三棱柱的侧面，上、下两个三角形围成三棱柱的上、下两底面，故均能围成三棱柱，均是三棱柱的表面展开图；A围成三棱柱时，两个三角形重合为同一底面，而另一底面没有，
故A不能围成三棱柱，
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．
【变式2】（2023上·云南昆明·九年级统考期末）要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据四个选项的图形折合，看是否能折叠成圆柱形即可获得答案．
【详解】解：A、可折叠出圆锥体，故不符合题意；
B、可折叠出无盖圆柱体，故不符合题意；
C、可折叠出圆柱体，故符合题意；
D、可折叠出长方体，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图的应用，熟练掌握简单几何体的展开图是解题关键．
【变式3】（2022上·河南周口·七年级期末）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形即可得出答案．
【详解】解：由图形可知作为一个三棱柱的展开图有B、C、D；
故不能作为一个三棱柱的展开图的是：A；
故选：A．
【点睛】此题考查了三棱柱的展开图,掌握三棱柱的展开图是解题的关键．
考点3：正方体展开图
典例3：（2024上·江苏无锡·七年级期末）如图，下列图形不属于正方体的表面展开图的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体展开图“一线不过四，田凹应弃之”（即不能出现同一行有多余4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）是解题的关键．
根据正方体的展开图的特点进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，从左到右，第1，2，5不属于正方体的表面展开图，第3，4，6属于正方体的表面展开图；
故选：C．
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1 4 1型共6种，1 3 2型共3种，2 2 2型一种，3 3型一种，由此判定找出答案即可．
【详解】解：根据题意可得：
补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，
共6个，
故选：D．
【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”．
【变式2】（2022上·四川成都·七年级校考期中）在下面的图形中是正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．注意带“田”“凹”字的不是正方体的平面展开图，选项C折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．
【详解】解：由正方体的展开图的特征可知，图形中D是正方体的展开图；图形中A出现了“田”字，不能围成正方体，图形中B出现了“凹”字，选项C折叠后缺少一个底面，故不是正方体的展开图．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．
【变式3】（2022上·山东烟台·六年级统考期中）图中是正方体的展开图的有（ ）个
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】正方体的展开有以下4种类型：1-4-1型（分3行，中间4个，上下各1个，共6种情况），1-3-2型（分3行，中间3个，上行1个，下行2个连在一起，共3种情况），2-2-2型（每行2个，和尾相连，1种情况），3-3型（每行3个，下一行跟末尾一个相连），利用正方体展开图的特点即可得出结论．
【详解】解：属于正方体展开图的是第2个、第7个图，第8个图，其他都不是正方体的展开图，
∴图中是正方体的展开图的共有3个．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，熟记正方体展开图的11种形式是解题的关键，利用不是正方体展开图的“一线不过四、田凹应弃之”（即不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况）判断也可．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
考点4：点、线、面、体的联系
典例4：（2023上·河南平顶山·七年级统考期中）下列说法正确的有（ ）
①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面；
②点动成线，线动成面，面动成体；
③圆锥的侧面展开图是一个圆；
④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点，根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可．
【详解】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意．
②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意．
③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意．
④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符合题意．
综上所述，说法正确的有2个，
故选：B．
【变式1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
【答案】A
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、流星划过夜空是“点动成线”，故本选项符合题意；
B、打开折扇是“线动成面”，故本选项不合题意；
C、汽车雨刷的转动是“线动成面”，故本选项不合题意；
D、旋转门的旋转是“面动成体”，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，主要是考查学生立体图形的空间想象能力及分析问题，解决问题的能力．
【变式2】（2023上·甘肃兰州·七年级统考期中）将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面动成体结合常见立体图形的形状解答即可.
【详解】解：根据面动成体结合常见立体图形的形状得出只有A选项符合，
故选A.
【点睛】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，掌握常见几何体的形成是解题的关键.
【变式3】（2023·山东青岛·七年级校联考期中）下列现象，能说明“线动成面”的是（ ）
A．天空划过一道流星
B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹
C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线
D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
【答案】B
【分析】本题是一道关于点、线、面、体的题目，回忆点、线、面、体的知识；
【详解】解：∵A、天空划过一道流星说明“点动成线”，
∴故本选项错误.
∵B、汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹说明“线动成面”，
∴故本选项正确.
∵C、抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线说明“点动成线”，
∴故本选项错误.
∵D、旋转一扇门，门在空中运动的痕迹说明“面动成体”，
∴故本选项错误.
故选B.
【点睛】本题考查了点、线、面、体，准确认识生活实际中的现象是解题的关键.点动成线、线动成面、面动成体.
考点5：平面的旋转
典例5：（2023上·山东滨州·七年级统考期末）下列平面图形绕直线旋转一周，所得的图形与其名称对应不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据面动成体，直角三角形绕直角边旋转是圆锥，矩形绕边旋转是圆柱，直角梯形绕直角边旋转是圆台，半圆案绕直径旋转是球，可得答案．
【详解】直角三角形绕直角边旋转是圆锥，故A正确；
矩形绕边旋转是圆柱，故B正确；
三角形绕一边旋转是两个同底的圆锥，故C错误；
半圆案绕直径旋转是球，故D正确；
故选：C
【点睛】本题考查了点线面体，熟记各种图形旋转得出的立体图形是解题关键．
【变式1】（2023·七年级单元测试）将图中的平面图形绕虚线旋转一周，所得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面动成体可得直角梯形绕底边边旋转可得答案．
【详解】平面图形绕虚线旋转一周，可以得到图A，
故选A.
【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握一些常见的立体图形是由什么平面图形旋转得来的是解题的关键.
【变式2】（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是几何图形的旋转和三视图，要熟记把一个直角三角形绕其直角边所在的直线旋转一周所得的几何体是一个圆锥，则一个直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，旋转后的几何体应该是两个圆锥，而且还是底面对着底面的圆锥，所以它的俯视图是一个圆，且有圆心．
【详解】解：以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体，如图所示：
∴俯视图是
故选：B．
【变式3】（2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查点、线、面、体的问题，解决本题的关键是得到所求的平面图形是得到几何体的主视图的被纵向分成的一半．
从正面看得到的平面图形是从上到下为等腰三角形，长方形．由此可得出答案．
【详解】解：面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，
那么所求的图形是下面是圆柱，上面是圆锥的组合图形．
故选：D．
考点6：截一个几何体
典例6：（2023上·山东青岛·七年级校考期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截的截面有可能是长方形的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据正方体，圆柱，长方体，三棱锥，圆锥，三棱柱的形状特点，截面的角度和方向，逐一进行判断即可得．
本题考查了截一个几何体，所截的截面形状．解决问题的关键是熟练掌握被截的几何体形状，截面的角度和方向．
【详解】解：用一个平面去截正方体，所截的截面可能是长方形，
用一个平面去截圆柱体，所截的截面可能是长方形，
用一个平面去截长方体，所截的截面可能是长方形，
用一个平面去截三棱锥，所截的截面可能是长方形，
用一个平面去截圆锥体，所截的截面不可能是长方形，
用一个平面去截三棱柱，所截的截面可能是长方形，
∴所截的截面可能是长方形的由5个．
故选：D．
【变式1】（2024上·辽宁阜新·七年级统考期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了几何体的截面图，根据题意进行排除即可，解题的关键是正确理解几何体的截面图
【详解】根据几何体的截面可知，
、圆锥的截面图为圆，三角形，此选项不符合题意；
、正方体的截面图如图，此选项不符合题意；
、球的截面图为圆，此选项不符合题意；
、圆柱的截面图为圆，长方形，此选项不符合题意；
故选：．
【变式2】（2023上·四川成都·七年级校考期末）一个正方体的截面不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形
【答案】D
【分析】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，据此判断即可．
【详解】用平面去截正方体，得的截面可能为三角形、四边形、五边形、六边形，不可能为七边形，
故选D．
【点睛】本题考查正方体的截面，正方体有六个面，截面与其六个面相交最多得六边形，不可能是七边形或者多于七边形．
【变式3】（2023上·陕西宝鸡·七年级校考期中）如图，用平面截一个几何体，该几何体的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据截几何体所得截面的形状的判断方法进行判断即可．
【详解】解：根据判断，该几何体的截面形状是矩形，
故选：B．
【点睛】本题考查截一个几何体，熟知判断方法是解题的关键，用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状．
考点7：七巧板的应用
典例7：（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
【答案】C
【分析】本题考查了七巧板的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据七巧板的拼法进行判断即可．
【详解】解：如图所示，
由图可得，七巧板既能拼成长方形，也能拼成平行四边形，
故选：C．
【变式1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
【答案】D
【分析】根据仍要拼得正方形求解即可得到答案．
【详解】解：依题意可得，
∵剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，
∴取下来的是⑤，
故选D．
【点睛】本题考查正方形的分割图，解题的关键是根据题意，确保剩下的四块板仍然能拼成一个正方形．
【变式2】（2023上·浙江丽水·七年级统考期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“七巧板”的分割方法，得出各个部分各占正方形面积的几分之几即可．
【详解】解：根据“七巧板”的分割方法可知， ，，
∴这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是 ，
故选：B
【点睛】本题考查了七巧板，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图（1）是一副七巧板，其中最小正方形的边长是1，取其中六块拼成如图（2）的形状，沿图形外围构造矩形（虚线部分），则该矩形的面积是（ ）
A．35 B．35.5 C． D．
【答案】B
【分析】分三步：第一步计算出原七巧板中各个图形中对应边的边长，第二步求出七巧板中平行四边形对应边的边长，第三边求出矩形的长和宽，最后根据矩形面积公式求解即可．
【详解】解：第一步，由图（1）可计算出原七巧板中各个图形中相应边的长度，如下图所示：
第二步：可求出七巧板中平行四边形对应的边的长度，如下图所示；
第三步：可以计算出图（2）中矩形的长和宽，如下图所示：
∴矩形的长为，矩形的宽为，
∴矩形的面积为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，七巧板拼接图形，正确求出各图形中边的长度是解题的关键．
考点8：直线、射线、线段
典例8：（2024上·河北保定·七年级统考期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（ ）个
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据射线是不可度量的，以及直线、线段和射线的定义即可判断，解题的关键是掌握直线、线段和射线的定义．
【详解】解：（）两点确定一条直线，错误；
（）射线是不可度量的，错误；
（）线段和线段是同一条线段，正确；
（）射线和射线是不同的射线，错误；
（）直线和直线是同一条直线，正确；
∴错误的有个，
故选：．
【变式1】（2022下·山东烟台·六年级统考期中）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【答案】D
【分析】根据线段、射线、直线的特点判断即可．
【详解】线段和线段是同一条线段，
故A正确；
直线和直线是同一条直线，
故B正确；
图中以点A为端点的射线有两条，
故C正确；
射线和射线不是同一条射线，
故D错误；
故选D．
【点睛】本题考查了线段、射线、直线的特点，熟练掌握各自的特点是解题的关键．
【变式2】（2023上·河南平顶山·七年级校联考阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
【答案】C
【分析】本题考查了直线、射线、线段的定义，正确掌握三者的概念是解题的关键．直线向两方无限延伸，不需要延长，射线向一方无限延伸，不需延长，但可以反向延长；而线段不延伸，既可以延长，也可以反向延长．
【详解】解：A．如图1所示，应为射线经过点，故不符合题意；
B．如图2所示，射线不经过点，故不符合题意；
C．如图3所示，直线和直线相交于点，符合题意；
D．如图4所示，射线和线段有交点，故不符合题意；
故选C．
【变式3】（2024上·天津河东·七年级统考期末）如图， 观察图形， 下列说法正确的有（ ）个
①直线 和直线是同一条直线，
②射线和射线是同一条射线，
③
④ 图中一共有5 条线段．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了直线、射线、线段相关知识，两点之间，线段最短，掌握线段、射线、直线的表示方法是解题的关键．根据直线的表示方法对①进行判断；根据射线的表示方法对②进行判断；根据线段的性质对③④进行判断．
【详解】解：①直线和直线是同一条直线，直线没有端点，此说法正确；
②射线和射线是同一条射线，都是以A为端点，同一方向的射线，正确；
③，根据两点之间，线段最短，可得此说法正确；
④图中有线段，线段，线段，线段，线段，线段，6条线段．故原说法不正确；
所以共有3个正确．
故选：C．
考点9：两点确定一条直线
典例9：（2023上·河北沧州·七年级统考期中）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了直线的性质，熟练掌握直线的性质是解题的关键．有直线的性质即可得到答案．
【详解】解：木匠弹墨线，打靶瞄准，拉绳插秧都可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，
弯曲公路改直利用的是两点之间，直线最短，故不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：C．
【变式1】（2023上·河北沧州·七年级统考期中）在平面上有三个点，可以确定的直线的条数为（ ）
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无法确定
【答案】C
【分析】本题考查两点确定一条直线，分三点共线和三点不共线两类讨论根据任意三点不共线的点确定直线公式代入求解即可得到答案．
【详解】解：当三点共线时，能确定一条直线，
当三点不共线时，直线条数为：，
故选：C．
【变式2】（2023上·安徽宿州·七年级统考阶段练习）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查了直线的性质以及线段的性质，直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．
【详解】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故选：C．
【变式3】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面；
B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线．
【答案】D
【分析】本题考查直线的性质．根据两点确定一条直线，进行判断即可．
【详解】解：A、钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面；说明线动成面，不符合题意；
B、把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；说明点动成线，不符合题意；
C、把弯曲的公路改直，就能缩短路程；是因为两点之间，线段最短，不符合题意；
D、木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线；是因为两点确定一条直线，符合题意；
故选D．
考点10：线段和与差的计算
典例10：（2023上·山东青岛·七年级校考阶段练习）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且．
(1)图中共有______条线段；
(2)求______；
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【答案】(1)6，详见解析；
(2)，详见解析；
(3)4或，详见解析．
【分析】本题考查了线段的应用，线段的中点，线段的和（差）等知识点，
（1）固定A为端点，数线段，依次类推，最后求和即可；
（2）根据，计算即可；
（3）分点E在点A左边和右边两种情形求解；
熟练掌握线段的中点，灵活运用线段的和，差是解题的关键．
【详解】（1）以A为端点的线段为：；
以C为端点的线段为：；
以B为端点的线段为：；
共有（条）；
故答案为：6；
（2）∵点B为的中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（3），
当点E在线段上时，
，
当点E在线段的延长线上时，
，
∴的长是4或．
【变式1】（2023上·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
(1)若，，求线段的长．
(2)若，请直接写出的长．
(3)若把（2）小题中“点在线段上”改为“点在直线上”，试探究、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
(3)当点在线段上时，；当点在点的右侧时，；当点在点的左侧时，
【分析】本题考查两点之间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．
（1）由点分别是、的中点．可知，，从而可求得的长度；
（2）由点分别是、的中点，；
（3）由于点在直线上，所以要分三种情况进行讨论计算的长度．
【详解】（1）解：∵点分别是、的中点，，，
∴，，
∴；
（2）解：∵点分别是、的中点，
∴，，
∴；
（3）解：当点在线段上时，
由（2）可知：；
当点在线段外时，若点在点的右侧，
∵点分别是、的中点，
∴，，
；
当点在线段外时，若点在点的左侧，
∵点分别是、的中点．
∴，，
；
综上所述，当点在线段上时，；当点在点的右侧时，；当点在点的左侧时，．
【变式2】（重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，点、D是线段上两点，，点D为的中点．
(1)如图1所示，若，求线段的长；
(2)如图2所示，若E为的中点， ，求线段的长．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题考查了与线段中点的有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．
（1）由题意可得，，，根据，计算求解即可；
（2）由题意得，，，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，，点D为的中点，
∴，，
∴，
∴线段的长为2；
（2）解：∵，点D为的中点，E为的中点，
∴，，，
∴，
解得，，
∴线段的长为．
【变式3】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图，点C是直线上一点，点M是线段的中点．
(1)若，点在线段上，且，则的长为 ___________．
(2)若，，求的长（用含a的代数式表示）．
【答案】(1)3
(2)或
【分析】本题主要考查线段中点有关的线段和差倍分的计算，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键．
（1）由题意得，，，可求得，，结合点是线段的中点，即可求得的长；
（2）分两种情况讨论：当点在点，之间，，得到，结合点是线段的中点，求得，即可求得的长；②当点在点左侧，，结合点为中点，，即可求得的长．
【详解】（1）解：，
，
又，
，
，，
点是线段的中点，
．
（2）解：分两种情况：①当点在点，之间，
，
，
点为中点，
，
，
②当点在点左侧，
，
又点为中点，
，
．
综上：或．
考点11：线段的中点问题
典例11：（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知点、、分别为线段上的点（在点左边），且满足．
(1)如图1，若，，为中点时，求的长；
(2)若点为的中点，，试探究线段与之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查线段的和差，中点的定义，运用了方程的思想．
（1）如图，设，根据，可得，得到，，由中点的定义得出，最后将数据代入计算即可；
（2）如图，设，，由中点的定义得到，所以，从而得到，最后利用和可得到关于、等量关系式，从而问题得解．
【详解】（1）解：如图，设，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴．
∴的长为．
（2）如图，设，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴线段与之间的数量关系为．
【变式1】（2024上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，，是线段上的两个点，且，点是线段的中点，．
(1)求线段的长；
(2)若是线段上一点，满足，求线段的长．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，线段中点的性质，线段的和差计算；
（1）根据题意，设，得出，根据线段中点的性质得出，进而根据，即可求解；
（2）先求得，然后分①当在点左侧时；②当在点右侧时，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解： ，
设，
，
是的中点，
，
，
，
，
解得，
；
（2），
，
，
，
，
①当在点左侧时，
，
②当在点右侧时，
，
综上：的长为或．
【变式2】（2022上·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，线段，，点M是线段的中点．
(1)则线段的长度为 ；
(2)在线段上取一点N，满足．求线段的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图示,利用线段加减关系求解即可；
（2）根据中点的定义可知，由，可知，然后根据求解即可．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：．
（2）解：，
，
又点M是AC的中点，，
,
．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的定义是解答本题的关键．
【变式3】（2022上·湖南长沙·七年级统考期末）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
【答案】(1)7
(2)3或5
【分析】（1）由，，可求出，．再根据E为BC中点，即得出，从而可求出CD的长，进而可求出AD的长；
（2）分类讨论：当点E在点F的左侧时和当点E在点F的右侧时，画出图形，根据线段的倍数关系和和差关系，利用数形结合的思想即可解题．
【详解】（1）∵，，，
∴，，
如图，
∵E为BC中点，
∴，
∴，
∴；
（2）分类讨论：①如图，当点E在点F的左侧时，
∵，，
∴点F是BC的中点，
∴，
∴，
∴；
②如图，当点E在点F的右侧，
∵，，
∴，
∴，
∴．
综上所述：AD的长为3或5；
【点睛】本题考查线段中点的有关计算，线段n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
考点12：线段的动点问题
典例12：（2023上·全国·七年级期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．
(1)求线段的长；
(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；
(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8
(2)16或8
(3)当时，为定值，定值为6
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论；
（2）若6秒后，在点左边时，若6秒后，在点右边时，根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意分类讨论于是得到结果．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
即线段的长是4，线段的长是8；
（2）解：∵，，
∴，，
设运动后点M对应点为，点N对应点为，分两种情况，
若6秒后，在的左侧时：，
∴，即，
解得．
若6秒后，在的右侧时：，
∴，
即，
解得．
即线段的长为16或8；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，
∴运动t秒后，，，
当时，；
当时，；
当时，；
故当时，为定值，定值为
【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想．
【变式1】（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．
(1)______，______，______．
(2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）
(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)，1，7
(2)点Q的运动速度是或者
(3)不变，值为2
【分析】（1）根据绝对值的非负性以及平方的非负性，得，的值，结合b是最小的正整数，即可得的值；
（2）先求出点Q，此时，再进行分类讨论，当点P在上时或当点P在上时，根据线段之间的和差关系以及路程等于时间乘速度等知识进行列式，即可作答；
（3）易得，，根据线段之间的和差关系得，再代入，化简即可作答．
【详解】（1）解：因为
所以，
因为b是最小的正整数，
所以；
（2）解：∵点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点，
∴点Q表示的数是，此时，
由，可分两种情况：
①当点P在上时，得，
此时；
∴点P运动的时间为，
∴点Q的运动速度；
②当点P在上时，得，
此时，
∴点P的运动时间是，
∴点Q的运动速度，
综上，点Q的运动速度是或者；
（3）解：不变，理由如下：
设运动时间为t秒，此时，，
∵点E是的中点，
∴，
∵点F是的中点，，
∴，
∴， ．
∴．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性以及在数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，线段之间的和差关系等知识内容，涉及分类讨论，难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式2】（2022上·河北廊坊·七年级统考期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是，．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；
②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；
(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长
【答案】(1)①12；②
(2)
【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得；
②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得；
（2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得．
【详解】（1）解：①依题意得：，
，点仍在线段上，
∴，
故答案为：；
②设运动时间为，则，
∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：设运动时间为，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键．
【变式3】（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】（1）①先计算，再计算；②利用中点的性质求解；
（2）将用其它线段表示即可．
【详解】（1）解：①由题意得：，．
．
②点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，设运动时间为t，
则：，，
．
（2）解：设运动时间为，则，，
，
．
．
【点睛】本题考查线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是求解本题的关键．
考点13：两点之间线段最短
典例13：（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键．
【详解】解：将棱柱展开如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴，
故选：．
【变式1】（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，下列情境中用到“两点之间，线段最短”的原理的是（ ）
A．景区入口处排队时用护栏设置成S形
B．工人师傅砌墙时在两端拉一条绳
C．连通两山之间盘旋公路改为笔直的大桥
D．阅兵时军人向右看齐
【答案】C
【分析】本题考查了直线的性质，线段公理等知识，根据概念逐项判断即可，将实际问题数学化是解决问题的关键．
【详解】解：A、景区入口处排队时用护栏设置成S形，是将距离拉长，没有用到两点之间线段最短，故本选项错误；
B、工人师傅砌墙时在两端拉一条绳，用到的知识是两点确定一条直线，不是两点之间线段最短，故本选项错误；
C、连通两山之间盘旋公路改为笔直的大桥，用到的数学知识是：两点之间线段最短，故本选项正确；
D、阅兵时军人向右看齐，没有用到两点之间线段最短，故本选项错误；
故选：C．
【变式2】（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）如图，已知工厂A，B在铁路两侧，在上找一点建立货站，使该货站到工厂A与B的距离之和最小，则这个点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【答案】B
【分析】本题主要考查“两点之间，线段最短”，根据“两点之间，线段最短”解答即可．
【详解】解：根据图中连线知线段和线段在同一条直线上，依据“两点之间，线段最短”可得点N建立货站，到工厂A与B的距离之和最小．
故选：B．
【变式3】（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 D．两点之间，线段最短
【答案】D
【分析】本题考查了线段的性质，根据线段的性质，可得答案．
【详解】解：由于两点之间线段最短，
剩下树叶的周长比原树叶的周长小，
故选：D．
考点14：两点之间的距离
典例14：（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）已知两根木条分别长，，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查了两点间的距离，主要利用了线段的中点定义，熟练掌握线段的中点定义是解题的关键．分类讨论进行解得即可．
【详解】解：设，，点分别是的中点，
∴，
①不在上，
．
．
②在上，
．
，
故选D．
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·七年级阶段练习）已知点A，，在同一条直线上，点、分别是、的中点，如果，，那么线段的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键，根据线段中点的性质，线段的和差，可得出答案．分类讨论点在上，点在的反向延长线上，根据线段的中点的性质，可得、的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：当点在线段上，如图：
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
；
当点在线段的反向延长线上，如图：
点是线段的中点，点是线段的中点，
，，
．
故选：D．
【变式2】（2023上·河北保定·七年级统考期末）如果线段，线段，那么A，C两点之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
【答案】D
【分析】本题考查了两点间的距离，关键是分类讨论：当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况讨论；当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离有多种可能；
【详解】解： 当A，B，C三点在一条直线上时，分点B在A、C之间和点C在A、B之间两种情况．
若B在A、C之间，；
若点C在A、B之间，．
所以A、C两点间的距离是或．
当A，B，C三点不在一条直线上时，A，C两点之间的距离大于，小于，有多种可能；
故选：D．
【变式3】（2023上·陕西西安·七年级阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（ ）
A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间
【答案】A
【分析】设、间的路程为，分类讨论，当点在点的左侧和点在点的右侧，用含的代数式表示车站到三个村庄的路程之和，就可以得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
设、间的路程为，
如图，当点在点的左侧，
车站到三个村庄的路程之和为：；
如图，当点在点的右侧，
车站到三个村庄的路程之和为：；
综上所述：车站到三个村庄的路程之和为；
∴当时，路程之和最小为，
∴当车站建在村庄处，车站到三个村庄的路程之和最小．
故选： A．
【点睛】本题考查了分类讨论思想的运用，代数式的运用，解答时求得车站到三个村庄的路程之和是关键．
考点15：最短路径问题
典例15：（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：
则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
即的最小值为．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，勾股定理，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
【变式1】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点P关于直线l的对称点，连接交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选：D．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
【变式2】（2023下·江西南昌·八年级校考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，确定直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】因为直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，
所以，，，，
作点D关于x轴的对称点，
则
连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线解析式为，
当时，
，
解得，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图：长方体的长、宽、高分别是，，，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，连接，可知的长就是小虫爬的最短路线，利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：如图展开，连接，
由图可知的长就是小虫爬的最短路线，
在中，，，
由勾股定理得：，
故选：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，几何表面的最短路径，正确展开几何图形找到最短路径是解答本题的关键．
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专题01 图形的初步（1）
考点类型
知识一遍过
（一）立体图形的认识
（1）立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
（2）平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。
常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等
（二）点、线、面、体的关系
（1）几何图形的组成
点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。
线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体也简称体。
（2）点动成线，线动成面，面动成体。
（三）几何体展开图
（四）正方体展开图
（五）直线、线段、射线的相关概念
直线 射线 线段
图形
端点个数 无 一个 两个
表示法 直线a
直线AB（BA） 射线AB 线段a
线段AB（BA）
作法叙述 作直线a
作直线AB 作射线AB 作线段a
作线段AB（BA）
延长叙述 两端可无限延伸 延长射线AB 延长线段AB
反向延长线段BA
（六）直线与线段的性质
①经过一点有无数条直线
②经过两点有且只有一条直线
③经过不共线的三点画不出直线；经过共线的三点有且只有一条直线
④两点之间，线段最短。线段的长度表示两点之间的距离。
（七）线段的中点性质
线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点；
如图：M为线段AB的中点，则AM=BM=AB
考点一遍过
考点1：认识立体图形
典例1：（2023上·河南周口·七年级统考阶段练习）下列几何体中，是圆柱的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024上·广东清远·七年级统考期末）如图是我国航天载人火箭的实物图，可以看成的立体图形为（ ）
A．棱锥与棱柱的组合体 B．圆锥与圆柱的组合体
C．棱锥与圆柱的组合体 D．圆锥与棱柱的组合体
【变式2】（2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示的图形中，属于棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2022上·安徽滁州·七年级校考阶段练习）下列图形：圆锥、圆柱、圆、球中平面图形有m个，立体图形有n个，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D． 2
考点2：立体图形展开图
典例2：（2023上·全国·七年级课堂例题）如图所示均为几何体的展开图，则从左到右的图形对应的几何体分别为（ ）
A．圆锥、三棱锥、圆柱、正方体 B．圆锥、四棱锥、圆柱、正方体
C．圆锥、四棱柱、圆柱、正方体 D．圆锥、三棱柱、圆柱、正方体
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·七年级统考期末）下列不是三棱柱展开图的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·云南昆明·九年级统考期末）要制作一个带盖的圆柱形礼品盒，下列设计的展开图中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022上·河南周口·七年级期末）下列图形不能作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
A．B．C． D．
考点3：正方体展开图
典例3：（2024上·江苏无锡·七年级期末）如图，下列图形不属于正方体的表面展开图的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2】（2022上·四川成都·七年级校考期中）在下面的图形中是正方体的展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2022上·山东烟台·六年级统考期中）图中是正方体的展开图的有（ ）个
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
考点4：点、线、面、体的联系
典例4：（2023上·河南平顶山·七年级统考期中）下列说法正确的有（ ）
①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面；
②点动成线，线动成面，面动成体；
③圆锥的侧面展开图是一个圆；
④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·湖北咸宁·七年级统考期末）几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现象中可以反映“点动成线”的是（ ）
A．流星划过夜空 B．打开折扇 C．汽车雨刷的转动 D．旋转门的旋转
【变式2】（2023上·甘肃兰州·七年级统考期中）将下面四个图形绕着虚线旋转一周，能够得到如图所说的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023·山东青岛·七年级校联考期中）下列现象，能说明“线动成面”的是（ ）
A．天空划过一道流星
B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹
C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线
D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹
考点5：平面的旋转
典例5：（2023上·山东滨州·七年级统考期末）下列平面图形绕直线旋转一周，所得的图形与其名称对应不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023·七年级单元测试）将图中的平面图形绕虚线旋转一周，所得到的几何体是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·河南郑州·七年级校考期中）如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2024上·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图所示的平面图形绕直线旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
A． B． C． D．
考点6：截一个几何体
典例6：（2023上·山东青岛·七年级校考期中）如图所示，用一个平面分别去截下列水平放置的几何体，所截的截面有可能是长方形的有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1】（2024上·辽宁阜新·七年级统考期末）截一个几何体可以得到不同的平面图形，下面四个平面图形均可由哪一个几何体截得（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·四川成都·七年级校考期末）一个正方体的截面不可能是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．七边形
【变式3】（2023上·陕西宝鸡·七年级校考期中）如图，用平面截一个几何体，该几何体的截面形状是（ ）
A． B． C． D．
考点7：七巧板的应用
典例7：（2023上·福建宁德·九年级福鼎市第一中学校考期中）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它由七个板块组成，用如图所示的七巧板拼图，下列说法正确的是（ ）
A．能拼成平行四边形，不能拼成矩形
B．不能拼成平行四边形，能拼成矩形
C．既能拼成平行四边形，也能拼成矩形
D．既不能拼成平行四边形，也不能拼成矩形
【变式1】（2023·福建宁德·统考模拟预测）五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由正方形分割而成．按如图方式分割的一幅五巧板，若从中拿走一块，使得剩下的四块板仍然能拼成一个正方形，则拿走的那块板的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．⑤
【变式2】（2023上·浙江丽水·七年级统考期末）2016年第七届世界历史文化名城博览会在南京举办．以“多元，开放，创造”为定位，其会徽是运用“七巧板”(如图1)元素组合成的“一件云锦嫁衣”图案．如图2，若七巧板的总面积为2S，则这件云锦嫁衣顶部的两块的面积和是( )
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图（1）是一副七巧板，其中最小正方形的边长是1，取其中六块拼成如图（2）的形状，沿图形外围构造矩形（虚线部分），则该矩形的面积是（ ）
A．35 B．35.5 C． D．
考点8：直线、射线、线段
典例8：（2024上·河北保定·七年级统考期末）下列说法：（）两点确定一条线段；（）画一条射线，使它的长度为；（）线段和线段是同一条线段；（）射线和射线是同一条射线；（）直线和直线是同一条直线．其中错误的有（ ）个
A．个 B．个 C．个 D．个
【变式1】（2022下·山东烟台·六年级统考期中）如图，点A，B在直线l上，下列说法错误的是（ ）
A．线段和线段是同一条线段
B．直线和直线是同一条直线
C．图中以点A为端点的射线有两条
D．射线和射线是同一条射线
【变式2】（2023上·河南平顶山·七年级校联考阶段练习）下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段到点
B．如图2所示，射线经过点
C．如图3所示，直线和直线相交于点
D．如图4所示，射线和线段没有交点
【变式3】（2024上·天津河东·七年级统考期末）如图， 观察图形， 下列说法正确的有（ ）个
①直线 和直线是同一条直线，
②射线和射线是同一条射线，
③
④ 图中一共有5 条线段．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点9：两点确定一条直线
典例9：（2023上·河北沧州·七年级统考期中）在下列现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·河北沧州·七年级统考期中）在平面上有三个点，可以确定的直线的条数为（ ）
A．1条 B．3条 C．1条或3条 D．无法确定
【变式2】（2023上·安徽宿州·七年级统考阶段练习）在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2023上·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期中）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
A．钟表的秒针旋转一周，形成一个圆面；
B．把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
C．把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
D．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两个点弹出一条墨线．
考点10：线段和与差的计算
典例10：（2023上·山东青岛·七年级校考阶段练习）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且．
(1)图中共有______条线段；
(2)求______；
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【变式1】（2023上·全国·七年级专题练习）如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
(1)若，，求线段的长．
(2)若，请直接写出的长．
(3)若把（2）小题中“点在线段上”改为“点在直线上”，试探究、、之间的数量关系．
【变式2】（重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，点、D是线段上两点，，点D为的中点．
(1)如图1所示，若，求线段的长；
(2)如图2所示，若E为的中点， ，求线段的长．
【变式3】（2023上·浙江温州·七年级统考期末）如图，点C是直线上一点，点M是线段的中点．
(1)若，点在线段上，且，则的长为 ___________．
(2)若，，求的长（用含a的代数式表示）．
考点11：线段的中点问题
典例11：（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知点、、分别为线段上的点（在点左边），且满足．
(1)如图1，若，，为中点时，求的长；
(2)若点为的中点，，试探究线段与之间的数量关系．
【变式1】（2024上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，，是线段上的两个点，且，点是线段的中点，．
(1)求线段的长；
(2)若是线段上一点，满足，求线段的长．
【变式2】（2022上·湖南岳阳·七年级统考期末）如图，线段，，点M是线段的中点．
(1)则线段的长度为 ；
(2)在线段上取一点N，满足．求线段的长．
【变式3】（2022上·湖南长沙·七年级统考期末）已知点C在线段AB上，，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧．若，，线段DE在线段AB上移动．
(1)如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
(2)点F（异于A，B，C点）在线段AB上，，，求AD的长．
考点12：线段的动点问题
典例12：（2023上·全国·七年级期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．
(1)求线段的长；
(2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长；
(3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内．
【变式1】（2023上·江西抚州·七年级校联考期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．
(1)______，______，______．
(2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）
(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【变式2】（2022上·河北廊坊·七年级统考期末）如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点C，D的速度分别是，．
①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm；
②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________；
(2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长
【变式3】（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．
(1)若点，的速度分别是，．
①若，当动点，运动了时，求的值；
②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求；
(2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度．
考点13：两点之间线段最短
典例13：（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·贵州遵义·七年级校联考期末）如图，下列情境中用到“两点之间，线段最短”的原理的是（ ）
A．景区入口处排队时用护栏设置成S形
B．工人师傅砌墙时在两端拉一条绳
C．连通两山之间盘旋公路改为笔直的大桥
D．阅兵时军人向右看齐
【变式2】（2024上·河北邯郸·七年级校考期末）如图，已知工厂A，B在铁路两侧，在上找一点建立货站，使该货站到工厂A与B的距离之和最小，则这个点是（ ）
A．M B．N C．P D．Q
【变式3】（2023上·河南周口·七年级校考阶段练习）如图，某同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．经过一点有无数条直线 B．两点之间，直线最短
C．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 D．两点之间，线段最短
考点14：两点之间的距离
典例14：（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）已知两根木条分别长，，将它们的一端重合，放在同一条直线上，此时两根木条的中点间的距离是（ ）
A． B． C． D．或
【变式1】（2023上·辽宁沈阳·七年级阶段练习）已知点A，，在同一条直线上，点、分别是、的中点，如果，，那么线段的长度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式2】（2023上·河北保定·七年级统考期末）如果线段，线段，那么A，C两点之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．以上答案都不对
【变式3】（2023上·陕西西安·七年级阶段练习）如图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B间的路程为，A、C间的路程为，现要在A、B之间建一个车站P，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在何处？（ ）
A．点C处 B．线段之间 C．线段的中点 D．线段之间
考点15：最短路径问题
典例15：（2023上·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考期中）如图，在中，，如果点分别为上的动点，那么的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．
【变式1】（2022上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如下图，直线是一条河，是两个村庄．欲在上的某处修建一个水泵站，向两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023下·江西南昌·八年级校考期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·广东深圳·八年级校考阶段练习）如图：长方体的长、宽、高分别是，，，在中点处有一滴蜜糖，一只小虫从处爬到处去吃，有无数种走法，则最短路程是（ ）
A． B． C． D．
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