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专题02 图形的初步（2）
考点类型
知识一遍过
（一）角的相关概念
（1）角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。
（2）角的分类：
∠ɑ 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠ɑ＜90° ∠ɑ=90° 90°＜∠ɑ＜180° ∠ɑ=180° ∠ɑ=360°
（3）角的表示法（四种）：
①角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间，如∠ABC（B为顶点）
②用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如∠A
③用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字，如∠1
④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如∠ɑ
（二）角平分线及其性质
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：AC是∠BCD的角平分线，则
∵AC平分∠BCD
∴∠ACD=∠ACB=∠ACD
（三）角度制
（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
（2）角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
（四）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（五）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（六）三线八角
（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。
（七）平行公理及其推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
（八）平行线的判定与性质
（1）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
考点一遍过
考点1：角的概念
典例1：（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可．
【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为；
图2表示正确；
图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角；
图4表示正确．
所以表示正确的个数为
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
【变式1】（2023上·北京房山·七年级统考期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】根据角的表示方法和图形选出即可．
【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误；
B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误；
C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确；
D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力．
【变式2】（2023下·六年级课时练习）若为钝角，为锐角，则是（ ）
A．钝角 B．锐角
C．直角 D．都有可能
【答案】D
【分析】根据题意找到范围值钝角是大于90°小于180°的角，锐角是大于0°小于90°的角，然后找到对应的差的范围值为大于0°小于180°，然后对照选项即可．
【详解】解：因为为钝角，为锐角，
所以，，
所以,
所以锐角，直角，钝角均有可能．
故选D．
【点睛】考查范围的求解，学生必须熟悉锐角、直角、钝角的范围，并能够求差所对应的范围值，此为解题的关键．
【变式3】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示进行分析即可．
【详解】A项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意；
B项，可以用表示，也可以表示∠1，故该选项符合题意；
C项，不能表示，故该选项不符合题意；
D项，可以用表示，但没有办法表示任何角，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
考点2：钟面角
典例2：（2023下·山东烟台·六年级统考期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）度．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别计算时针、分针旋转的角度，再根据角的和差关系计算即可．
【详解】解：14时20分时，时针指向2和3之间，分针指向4，
时针从12时到14时20分旋转的角为：，
分针从14时到14时20分旋转的角为：，
因此时针与分针的夹角为，
故选B．
【点睛】本题考查钟面角，解题的关键是求出时针、分针旋转的角度．
【变式1】（2022上·江苏淮安·七年级校考期末）下列时刻中，时针和分针所成的角为的是（ ）
A．11点20分 B．3点 C．10点10分 D．9点30分
【答案】B
【分析】钟表里，时钟的时针与分针互相垂直的时刻有若干个，本题需要根据所给时间，逐一判断即可．
【详解】点分分针与时针夹角为，时钟的时针与分针互相垂直，即时针与分针的夹角是，三点，时针指向3，分针指向12，钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为，因此三点整分针与时针的夹角为，点分时针与分针的夹角为，点分时针与分针夹角为．
故选B．
【点睛】本题考查了钟面角，把时针与分针所成的角分成所夹的大格子的度数和小格子的度数两部分进行求解是解题的关键．
【变式2】（2023上·天津东丽·七年级统考期末）钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（ ）
A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分
【答案】A
【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份是，根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
【点睛】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以乘以每份的度数是解题关键，属于中考常考题型．
【变式3】（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据钟面，每小时一个大格，每个度数为，即可得出图①钟面的角的度数，从而列式求解即可得到答案．根据钟面，的时针与时针之间间隔度数为，即可得出时的时针与分针之间间隔度数．
【详解】解：图①钟面的角的度数为：；
的时针与时针之间间隔度数为，
∴时的时针与分针之间间隔度数为，
∴图②钟面的角的度数为：．
故选：C．
【点睛】本题考查钟面角的应用，掌握钟面每一个大格的角度是解决问题的关键．
考点3：方向角
典例3：（2024上·北京海淀·七年级统考期末）如图，在正方形网格中有，两点，点在点的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】B
【分析】本题考查的是方位角的判定，理解方位角的含义是解本题的关键；先画出图形，结合网格特点可得：，，在的东北方向，在的南偏东的方向，再画等边三角形，从而可得答案．
【详解】解：如图，
由网格特点可得：，，在的东北方向，
在的南偏东的方向，
在网格中画等边三角形，，连接并延长，
∴，
∴点可能的位置是图中的，
故选B
【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期中）利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表100，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为轴、轴的正方向，并且景点和景点的坐标分别是和．嘉嘉、淇淇分别对景点的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：景点的坐标是；
淇淇：景点在景点的南偏东方向，相距处
A．只有嘉嘉说得对 B．只有淇淇说得对
C．两人说得都对 D．两人说得都不对
【答案】A
【分析】根据景点和景点的坐标确定平面直角坐标系的原点，即可判定嘉嘉的说法；根据方位角的知识判定淇淇的说法．
【详解】解：根据景点和景点的坐标分别是和，可知平面直角坐标系的原点在景点处，故嘉嘉的说法正确；
根据所规定的正东、正北方向，可知景点在景点的南偏西方向，相距处，故淇淇的说法不对．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系和方位角的知识，理解并掌握相关知识是解题关键．
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走到达l；从P出发向北走也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．公路l走向是南偏西
B．公路l走向是北偏东
C．从点P向北走后，再向西走到达l
D．从点P向北偏西走到达l
【答案】D
【分析】先作出图形，根据勾股定理和等腰直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过P点作AB的垂线PC，
由题意可得是腰长的等腰直角三角形，
则，,
∵，，
∴，
则从点P向北偏西走到达l，选项D错误；
则公路l的走向是南偏西或北偏东，选项A，B正确；
则从点P向北走后到达中点D，此时为的中位线，故，故再向西走到达l，选项C正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【变式3】（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以海里时的速度由西向东航行在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．己知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面个数据，错误的是（ ）
A．海里
B．
C．海里
D．过点向的延长线引垂线，垂足为，求得，小明得出结论有触礁危险
【答案】D
【分析】本题主要考查方位角与直角三角形的综合，先根据题意可得，，海里，根据等腰三角形的性质和角所对直角边是斜边的一半逐项判断即可，掌握方位角的角度知识，直角三角形角所对直角边是斜边的一半和勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∴（海里），则选项正确，
∵，，
∴，，
∴（海里）
在中，由勾股定理得：，
∴没有有触礁危险，故选项判断错误，符合题意，
故选：．
考点4：角的单位与角度制
典例4：（2024上·广东揭阳·七年级统考期末）如图，一副三角板(直角顶点重合) 摆放在桌面上，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角的计算的理解和度与度分秒的换算，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解，解题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系和掌握度与度分秒的换算．
【详解】解：由，，
则，
又由，
故，
所以，
故选：．
【变式1】（2023上·山西运城·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用求出的度数，再用求出的度数．
【详解】解：由图可知：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查三角板中角的计算．根据图形，理清角的和差关系，是解题的关键．
【变式2】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，OC是的平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线定义得出∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．
【详解】解：∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC=26°18′，
∴∠AOB=2∠AOC=26°18′×2=52°36′，
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线定义，根据定义得出∠AOB=2∠AOC是解题的关键．
【变式3】（2023上·内蒙古乌海·七年级统考期末）已知∠,∠,则∠和∠的大小关系是（ ）
A．∠∠ B．∠∠ C．∠∠ D．无法确定
【答案】C
【分析】一度等于60′,知道分与度之间的转化,统一单位后比较大小即可求解．
【详解】解：∵∠α=21′,∠β==21.6′,
∴∠∠．
故选：C．
【点睛】考查了度分秒的换算,熟练掌握角的比较与运算,能够在度与分之间进行转化．
考点5：角的大小比较
典例5：（2022上·山东枣庄·七年级校考期末）已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将转化为，即可得出答案．
【详解】由，
又因为，
所以．
故选：C．
【点睛】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度、分、秒之间的转化是解题的关键．
【变式1】（2022下·山东烟台·六年级统考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先∠1、∠2已经是度、分、秒的形式，故将∠3化为度、分、秒的形式；再根据三个角的度数进行大小比较，即可得到结论．
【详解】∵，，=25°，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角的大小比较，熟练掌握同一角的单位比较角的大小并灵活运用是解决本题的关键．
【变式2】（2023上·七年级课时练习）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B
【答案】B
【分析】根据小单位化成大单位除以进率，可得答案．
【详解】解：∠A=25.12°，∠B=25°12′=25.2°，∠C=1518′=25.3°，
∠A＜∠B＜∠C，
故选B．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，利用不过小单位化大单位除以进率是解题关键．
【变式3】（2023上·北京通州·七年级统考期末）已知，， 那么( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案．
【详解】∵∠B=20.5°=20°30′，
∴，
故选A．
【点睛】此题考查了角的大小比较，先把∠B的度数化成度、分、秒的形式，再进行比较是本题的关键．
考点6：角度制运算
典例6：（2023上·七年级课时练习）下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据1°=60′，1′=60″进行计算即可．
【详解】解：A、83.3°=83°18ˊ，故A错误；
B、26°12ˊ15″≈37.2°，故B错误；
C、15°18ˊ18″=15.31°，故C错误；
D、41.15°=41°9ˊ，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键．
【变式1】（2023上·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．（）°＝118″ B．38°15′＝38.15°
C．24.8°×2＝49.6° D．90°－85°45′＝4°55′
【答案】C
【分析】根据1°=60′，1′=60″，结合各选项进行判断即可．
【详解】解：A、()°=30′，故本选项错误；
B、38゜15′=38.25°，故本选项错误；
C、24.8°×2=49.6°，计算正确，故本选项正确；
D、90°-85°45′=4°15′，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了度分秒的换算，解答本题的关键是掌握1°=60′，1′=60″．
【变式2】（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据角度的运算法则，以及角的换算，即可得到答案.
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、故D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了角度的加减运算，以及角的单位换算，解题的关键是掌握角度的运算法则和角度的60进位制.
【变式3】（2023下·山东东营·六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】按照角的度量单位进行转化即可判断．
【详解】解：A. ，不符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了角的单位转化，解题关键是明确．
考点7：角平分线计算
典例7：（2023上·全国·七年级专题练习）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
【答案】(1)
(2)平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的有关计算；
（1）根据直角的性质，可得，根据补角的定义得，再由，即可求解；
（2）根据，，可得，再由，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴，
的度数为；
（2）平分，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
平分．
【变式1】（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，为钝角，射线平分，射线在内部，射线平分．
(1)若，．求的度数．
(2)请写出与度数之间的等量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是角的计算、角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
（1）根据角平分线的定义求出，同理求出，利用计算得到答案；
（2）根据角平分线的定义求出，，根据计算即可得到结论．
【详解】（1）解： 平分，，
，
，
，
平分，
，
；
（2）解：，理由如下：
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
．
【变式2】（2024上·江苏·七年级校考周测）已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．
(1)若平分，求的度数；
(2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
(3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值．
【答案】(1)
(2)正确，理由见解析
(3)或
【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差．
（1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案；
（2）正确，按照（1）的思路计算即可；
（3）分和两种情况，再利用角的和差计算即可．
【详解】（1）∵，平分，
∴，
∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，
∴，
，
∴；
（2）小明是说法正确，
∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，
∴，，
∴；
（3）①当时，
∵，，
∴，
∵射线是的三等分线，
∴，
∴；
②当时，
∵，，
∴，
∵射线是的三等分线，
∴；
综上，的度数是或．
【变式3】（2022上·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
(1)如图1，若，则 ；
(2)如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏．
（1）根据，则，由此可得出结论；
（2）①根据，是的三分线，且，可得，，据此可得的度数；
②分两种情况：当是的三分线，且时，；当是的三分线，且时，，分别求得的值．
【详解】（1），
，
，
故答案为：；
（2）①如图2，是的一条三分线，且，
，，
；
故答案为：；
②分两种情况：
当是的三分线，且时，则，
，
，
；
当是的三分线，且时，，
，
；
综上所述，或．
考点8：余角和补角
典例8：（2023上·江苏苏州·七年级统考期末）若互为补角，且，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了互为补角的和等于，互为余角的和等于的性质．根据互为补角的和得到的关系式，再根据互为余角的和等于表示出的余角，然后把常数消掉整理即可得解．
【详解】解：根据题意得，，
∴的余角为：
．
故选：C．
【变式1】（2024上·陕西商洛·七年级统考期末）若与互为余角，与互为补角，则下列选项，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余角和补角的定义可判断A选项和D选项，将和用表示出来代入B选项和C选项中计算即可判断B选项和C选项．
本题主要考查了余角和补角的定义．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
【详解】A、∵与互为补角，
∴，
故A选项正确，不符合题意；
B、∵与互为余角，与互为补角，
，，
，
故B选项正确，不符合题意；
C、∵与互为余角，与互为补角，
，，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
D、∵与互为余角，
∴，
故D选项错误，符合题意．
故选：D
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）已知：如图，，，，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，利用同角的余角相等求出，再利用“”证明，根据全等三角形对应边相等，对应角相等，即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，则错误；
∵，
∴，
∴，则正确；
在和中，
，
∴，
∴，，，则、错误；
故选：．
【变式3】（2023上·北京房山·九年级统考期中）已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：
①；②；③；④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】根据和平分，平分推出即可证明，可证明①正确；根据推出，根据推出，从而推出，即可推出，可证明②正确；根据两角分别相等的两个三角形相似判定后根据相似三角形的对应边成比例得到比例式再推出可证明③正确，④不正确；即可选出正确答案．
【详解】∵，
∴
∵平分，平分
，
∴，
∴；
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵
，
，
，故③正确；
故④不正确；
正确的有①②③.
故选: C.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质，角平分线定义，同角的余角相等和相似三角形的判定方法与性质定理是解决问题的关键.
考点9：三线八角
典例9：（2024上·江苏南京·七年级校联考期末）如图，，相交于点，，射线平分，下列结论中错误的是（ ）
A．与互为补角 B．与互为余角
C．与互为补角 D．与为对顶角
【答案】D
【分析】本题主要考查了垂直、角平分线、补角和余角、对顶角等知识，根据角平分线的定义、垂直的定义、对顶角的定义以及补角和余角的定义逐项分析判断即可，熟练掌握角平分线的定义、补角和余角的定义是解题关键．
【详解】解：A. 因为，所以与互为补角，该选项结论正确，不符合题意；
B.因为射线平分，
所以，
又因为，
所以，
所以，即与互为余角，
该选项结论正确，不符合题意；
C.因为，，
所以，
即与互为补角，该选项结论正确，不符合题意；
D. 与为对顶角，该选项结论错误，符合题意．
故选：D．
【变式1】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，根据垂线的定义可得，由结合邻补角的性质求得，再根据角平分线的性质即可求得．
【详解】解： ，
，
，
，
平分，
，
故选：C．
【变式2】（2022下·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条线所截．也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线．
【详解】解：（1）∠A与∠1是同位角，正确，符合题意；
（2）∠A与∠B是同旁内角．正确，符合题意；
（3）∠4与∠1是内错角，正确，符合题意；
（4）∠1与∠3不是同位角，错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了三线八角，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到三线八角的基本图形，进而确定这两个角的位置关系．
【变式3】（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ．
【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ．
①和是同位角， 即①正确；
②和是内错角， 即②正确；
③和是内错角， 即③不正确；
④和是同位角， 即④正确；
⑤和是同旁内角， 即⑤正确 ．
故选：D．
考点10：垂线的应用
典例10：（2023下·七年级课时练习）如图，已知AO⊥OB，CO⊥DO，∠BOC＝β°，则∠AOD的度数为（ ）
A．β°－90° B．2β°－90° C．180°－β° D．2β°-180°
【答案】C
【解析】略
【变式1】（2023·广东清远·统考三模）如图所示，直线，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线直线c，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得：，由垂直的定义可求出的度数，即可求得．熟记平行线的性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵直线c，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【变式2】（2023上·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再根据等角的余角相等可得，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A选项不符合题意；
∵，
∴，
∴，故选项C不符合题意；
又∵，
∴，
∴不一定成立，故B选项符合题意；
∵，，
∴，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查直角三角形的性质、余角的性质，利用直角三角形的性质和等角的余角相等得出，，是解题的关键．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据，结合垂直的定义，可求出，再根据邻补角，即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了角的计算，垂线，邻补角，解决本题的关键是利用角之间的和与差进行解答．
考点11：垂线段最短
典例11：（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（ ）
A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大
【答案】C
【分析】过点A作直线l，根据勾股定理表示出的长，从而表示出的长，在转动过程中，先变小再变大，根据固定不变，于是先变小再变大，从而得出先变大再变小．
【详解】解：过点A作直线l，垂足为H，设与直线l交于点E，
点A和直线l的位置固定，
点A到直线l的距离不变，即的长不变，
设直线l下方木条长度为，
，
在中，由勾股定理得：，
，且，在转动过程中长度始终不变，
①当木条从点B往H点方向转动时，不断减小，
则不断减小，即AE不断减小，
所以不断变大；
②当木条从H点往C点方向转动时，不断增大，
则不断增大，即不断增大，
所以不断变小；
综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在转动过程中，长度始终不变，观察出的变化，从而得出的变化是解题的关键．
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）点是直线外一点，、、三点在直线上，又已知，，，那么点到直线的距离（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
【答案】D
【分析】本题考查了点到直线的距离；根据点到直线的距离定义及垂线段最短，即可求解．
【详解】在，，中最小，
若垂直于，则是垂线段，
到的距离就是，
若不垂直，
则大于垂线段的长度，
到的距离不大于．
故选D．
【变式2】（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图2，平分，，D是上的动点，若，则长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段定理，掌握定理是解题的关键．过作交于，当于重合时，最小，即可求解．
【详解】解：如图，过作交于，如图所示：
∵垂线段最短，
当于重合时，最小，
平分，，
，
的最小值为，
故选：C．
【变式3】（2023上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接，由题意可得，将转化为，当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小，此时的长度为的最小值．
【详解】解：如图：连接，
是等边三角形，是中线，
垂直平分，
，
，
当点C，点E，点F三点共线，且时，值最小，即的值最小．
此时：是等边三角形，，，
，
即的最小值是6，
故选A．
考点12：点到直线的距离
典例12：（2024上·江苏南京·七年级校考期末）如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【答案】C
【分析】本题考查点到直线的距离、垂线段的性质，根据定义“点到这一直线的垂线段的长度叫作点到这条直线的距离”以及垂线段最短，逐项判断即可．
【详解】解：由可知，线段的长是点到的距离，故A选项说法正确；
由垂线段最短可知，、、三条线段，最短，故B选项说法正确；
由可知，线段的长是点到的距离，故C选项说法错误；
由可知，线段的长是点到直线的距离，故D选项说法正确；
故选C．
【变式1】（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，若，，平分，则点D到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离，角平分线的性质定理，解题关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，由已知条件，得到，再由角平分线的性质定理，得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作于点，
，，
，
，
平分，，，
，
即点D到的距离等于2，
故选：C．
【变式2】（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）如图，，，垂足为D，，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【答案】D
【分析】先用三角形的面积公式，求出的长，再根据点到直线的距离的定义求解即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴点A到线段的距离是的长．
又∵，，，，
∴，
∴，
∴点A到线段的距离是．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的概念，三角形的面积的计算，解题的关键在于能够熟练掌握点到直线的距离的定义．
【变式3】（2023下·安徽宿州·七年级统考期中）如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】根据垂线定义可判断①②；根据点到直线距离的定义可判断③；根据直角三角形的性质和余角的性质可判断④．
【详解】解：①∵，∴，故①正确；
②∵，∴与不互相垂直，故②错误；
③线段的长度是点到的距离，故③正确；
④∵∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的定义，余角的性质，点到直线的距离，对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义，要善于区分不同概念之间的联系和区别．
考点13：对顶角与邻补角
典例13：（2024上·重庆渝中·七年级统考期末）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，根据平角的定义得到，进而推出，由此求出，则由对顶角相等得到．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【变式1】（2024上·广东深圳·七年级统考期末）如图，是一个平角，平分．请根据量角器的读数，分析并计算的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了角平分线的性质．根据角平分线的性质可求出，再根据平角的定义计算即可．
【详解】解：根据量角器的读数，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
【变式2】（重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知直线相交于点O，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线，邻补角互补．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由角平分的定义可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
∴，
故选：C．
【变式3】（2023上·四川达州·七年级统考期末）如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，垂直的定义，邻补角的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．先求出，再由平分，，再根据垂直的定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
考点14：平行线的判定
典例14：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【答案】证明；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．先根据垂直定义可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用同角的补角相等可得，进而可得，最后利用平行线的性质可得，即可解答．
【详解】证明：∵，（已知）
∴（垂直的定义）
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（同角的补角相等）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
【变式1】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，．求证：．
证明： ，（已知）
________________（________），
________（________）
（已知）
________（等量代换）．
（已知）
，
即________ ________
________（等量代换），
（________）．
【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．先证明，得到，进而得到，再根据，得到，从而得出，即可证明结论．熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键．
【详解】证明： ，（已知）
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（已知）
（等量代换）．
（已知）
，
即，
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
故答案为：；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行．
【变式2】（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质；
（1）由，，得出，利用“同旁内角互补，两直线平行”可证出；
（2）由得出，由得出，利用“内错角相等，两直线平行”可证出，进而可得出．
【详解】（1）证明：，，
，
；
（2）解：，
，
又，
，
，
．
【变式3】（2023下·山东青岛·七年级校联考期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中
(1)若，求的度数；
(2)试猜想与的数量关系，请说明理由：
(3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究当等于多少度时，，并简要说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)当或时，，理由见解析
【分析】（1）依据，可得的度数，即可得到的度数；
（2）依据，即可得到的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当或时，．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
；
（3）解：当或时，，．
如图1所示，
根据同旁内角互补，两直线平行，
当时，，
此时；
如图2所示，
根据内错角相等，两直线平行，
当时，．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．
考点15：平行线的性质
典例15：（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（1）先根据平行线的性质得到，再根据证得，根据同位角相等，两直线平行证得结论；
（2）已知，可求得，进而求得，再利用证得结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式1】（2022下·湖北十堰·七年级校考期中）如图，已知，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题的关键是掌握平行线的性质与判定定理．
（1）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解；
（2）由（1）得：，，从而得到，再由垂直的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴；
（2）解：由（1）得：，，
∵，，
∴，
∵，即，
∴．
【变式2】（2022下·北京海淀·七年级人大附中校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；
（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；
（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【详解】（1）解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
【变式3】（2023下·福建泉州·七年级校考期中）我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题：
(1)阅读理解：如图1，，，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．
解：过点作
∴______
∵
∴____________
∴______
∴
即．
(2)方法掌握：如图2，已知，，交于点．请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分，平分．若，求度数．（用含的式子表示）
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）如图所述，过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解；
（2）如图所示，过点作，根据两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等的知识即可求解；
（3）根据三角形的内角和定理，角平分线的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所述，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为：，，．
（2）解：如图所示，过点作，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
（3）解：在中，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
在中，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，及角的和差关系，三角形的内角和定理的综合，掌握平行性的判定方法，平行性的性质，三角形内角和定理的运用是解题的关键．
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专题02 图形的初步（2）
考点类型
知识一遍过
（一）角的相关概念
（1）角的概念：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图。
（2）角的分类：
∠ɑ 锐角 直角 钝角 平角 周角
范围 0＜∠ɑ＜90° ∠ɑ=90° 90°＜∠ɑ＜180° ∠ɑ=180° ∠ɑ=360°
（3）角的表示法（四种）：
①角可以用三个大写字母表示,但表示顶点的字母一定要写在中间，如∠ABC（B为顶点）
②用一个字母表示角, 必须是以这个字母为顶点的角，而且只有一个，如∠A
③用一个数字表示角,在靠近顶点处画上弧线,写上数字，如∠1
④用一个希腊字母表示,在靠近顶点处画上弧线,写上希腊字母，如∠ɑ
（二）角平分线及其性质
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
如图：AC是∠BCD的角平分线，则
∵AC平分∠BCD
∴∠ACD=∠ACB=∠ACD
（三）角度制
（1）时针和分针所成的角度：钟表一周为360°，每一个大格为30°，每一个小格为6°.（每小时，时针转过30°，即一个大格，分针转过360°，即一周；每分钟，分针转过6°即一个小格）
（2）角的度量：1°=60′；1′=60″；
1直角=90°；1平角=180 °；1周角=360°
（四）相交线所形成的角
两条直线相交所成的四个角中：
（1）相邻的两个角叫做邻补角，特点是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线，性质是邻补角互补；
①邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线。具有这种关系的两个角，互为邻补角。如：∠1、∠2。
（2）相对的两个角叫做对顶角，特点是它们的两条边互为反向延长线。性质是对顶角相等。
②对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。如：∠1、∠3。对顶角相等。
（五）垂线及其性质
（1）垂直：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；交点叫垂足；垂直是特殊的相交。
（2）垂线特点：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
（3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
（六）三线八角
（1）同位角：形如“F”型；在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。如：∠1和∠5。
（2）内错角：形如“Z”型；在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。如：∠3和∠5。
（3）同旁内角：形如“U”型；在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。如：∠3和∠6。
（七）平行公理及其推论
（1）平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
（2）平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
几何描述 ：∵∥，∥
∴∥
（八）平行线的判定与性质
（1）平行线的判定
判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行
简称：同位角相等，两直线平行
判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
简称：内错角相等，两直线平行
判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行
简称：同旁内角互补，两直线平行
几何符号语言：
∵ ∠3＝∠2
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∵ ∠1＝∠2
∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠4＋∠2＝180°
∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）
（2）平行线的性质
性质1：两直线平行，同位角相等；
性质2：两直线平行，内错角相等；
性质3：两直线平行，同旁内角互补.。
几何符号语言：
∵AB∥CD
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）
∵AB∥CD
∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∵AB∥CD
∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
考点一遍过
考点1：角的概念
典例1：（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）下列各图中有关角的表示正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】（2023上·北京房山·七年级统考期末）下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B．C． D．
【变式2】（2023下·六年级课时练习）若为钝角，为锐角，则是（ ）
A．钝角 B．锐角
C．直角 D．都有可能
【变式3】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）下列四个图中的也可以用,表示的是（ ）
A．B．C．D．
考点2：钟面角
典例2：（2023下·山东烟台·六年级统考期中）已知本学期某学校下午上课的时间为14时20分，则此时刻钟表上的时针与分针的夹角为（ ）度．
A． B． C． D．
【变式1】（2022上·江苏淮安·七年级校考期末）下列时刻中，时针和分针所成的角为的是（ ）
A．11点20分 B．3点 C．10点10分 D．9点30分
【变式2】（2023上·天津东丽·七年级统考期末）钟面上，下列时刻分针与时针构成的角是直角的是（ ）
A．3点整 B．12点15分 C．6点45分 D．1点20分
【变式3】（2022上·重庆·七年级重庆一中校考阶段练习）图①钟面的角与图②钟面的角分别是（ ）度
A． B． C． D．
考点3：方向角
典例3：（2024上·北京海淀·七年级统考期末）如图，在正方形网格中有，两点，点在点的南偏东方向上，且点在点的东北方向上，则点可能的位置是图中的（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【变式1】（2023下·河北邢台·七年级校考期中）利用平面直角坐标系画出的某景区示意图如图所示（图中每个小正方形边长代表100，每个小正方形的对角线长为），规定正东、正北方向为轴、轴的正方向，并且景点和景点的坐标分别是和．嘉嘉、淇淇分别对景点的位置进行了描述，则下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：景点的坐标是；
淇淇：景点在景点的南偏东方向，相距处
A．只有嘉嘉说得对 B．只有淇淇说得对
C．两人说得都对 D．两人说得都不对
【变式2】（2023上·江苏·八年级专题练习）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走到达l；从P出发向北走也到达l．下列说法错误的是（ ）
A．公路l走向是南偏西
B．公路l走向是北偏东
C．从点P向北走后，再向西走到达l
D．从点P向北偏西走到达l
【变式3】（2023上·河北石家庄·九年级校考期中）对于题目∶“如图所示，一艘渔船以海里时的速度由西向东航行在处看见小岛在船北偏东的方向上．后，渔船行驶到处，此时小岛在船北偏东的方向上．己知以小岛为中心，海里为半径的范围内是多暗礁的危险区，如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？”小明同学在求解这个题过程中，求出了下面个数据，错误的是（ ）
A．海里
B．
C．海里
D．过点向的延长线引垂线，垂足为，求得，小明得出结论有触礁危险
考点4：角的单位与角度制
典例4：（2024上·广东揭阳·七年级统考期末）如图，一副三角板(直角顶点重合) 摆放在桌面上，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2023上·山西运城·七年级统考期末）如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·广东广州·七年级统考期末）如图，OC是的平分线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·内蒙古乌海·七年级统考期末）已知∠,∠,则∠和∠的大小关系是（ ）
A．∠∠ B．∠∠ C．∠∠ D．无法确定
考点5：角的大小比较
典例5：（2022上·山东枣庄·七年级校考期末）已知，下面结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2022下·山东烟台·六年级统考期中）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·七年级课时练习）已知∠A=25.12°，∠B=25°12′，∠C=1518′，那么的大小关系为（ ）
A．∠A＞∠B＞∠C B．∠A＜∠B＜∠C C．∠B＞∠A＞∠C D．∠C＞∠A＞∠B
【变式3】（2023上·北京通州·七年级统考期末）已知，， 那么( )
A． B．
C． D．
考点6：角度制运算
典例6：（2023上·七年级课时练习）下列关于度、分、秒的换算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2023上·山东枣庄·七年级校联考阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A．（）°＝118″ B．38°15′＝38.15°
C．24.8°×2＝49.6° D．90°－85°45′＝4°55′
【变式2】（2023上·四川眉山·七年级统考期末）下面等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（2023下·山东东营·六年级校考阶段练习）下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
考点7：角平分线计算
典例7：（2023上·全国·七年级专题练习）如图，直线、相交于点，射线在内部，且．过点作．
(1)若，求的度数；
(2)若，那么平分吗？为什么？
【变式1】（2024上·重庆沙坪坝·七年级重庆一中校考期末）如图，为钝角，射线平分，射线在内部，射线平分．
(1)若，．求的度数．
(2)请写出与度数之间的等量关系，并说明理由．
【变式2】（2024上·江苏·七年级校考周测）已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．
(1)若平分，求的度数；
(2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
(3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值．
【变式3】（2022上·河北·七年级校联考期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1:2两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
(1)如图1，若，则 ；
(2)如图2，若，，是的两条三分线，且．
①则 ；
②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ．
考点8：余角和补角
典例8：（2023上·江苏苏州·七年级统考期末）若互为补角，且，则的余角是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·陕西商洛·七年级统考期末）若与互为余角，与互为补角，则下列选项，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2023上·湖南长沙·八年级湖南师大附中博才实验中学校考期中）已知：如图，，，，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·北京房山·九年级统考期中）已知：在四边形中，，，点是线段上一点，且平分，平分，给出下面四个结论：
①；②；③；④
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
考点9：三线八角
典例9：（2024上·江苏南京·七年级校联考期末）如图，，相交于点，，射线平分，下列结论中错误的是（ ）
A．与互为补角 B．与互为余角
C．与互为补角 D．与为对顶角
【变式1】（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，点O在直线上，，、分别平分和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2022下·上海·七年级期中）如图，下列判断中正确的个数是（ ）
（1）∠A与∠1是同位角；（2）∠A和∠B是同旁内角；（3）∠4和∠1是内错角；（4）∠3和∠1是同位角．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式3】（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角；⑤和是同旁内角；其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
考点10：垂线的应用
典例10：（2023下·七年级课时练习）如图，已知AO⊥OB，CO⊥DO，∠BOC＝β°，则∠AOD的度数为（ ）
A．β°－90° B．2β°－90° C．180°－β° D．2β°-180°
【变式1】（2023·广东清远·统考三模）如图所示，直线，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线直线c，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（2023上·广东东莞·八年级东莞市东华初级中学校考阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，直线、相交于点，，，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
考点11：垂线段最短
典例11：（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（ ）
A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大
【变式1】（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校联考期中）点是直线外一点，、、三点在直线上，又已知，，，那么点到直线的距离（ ）
A．8 B．10 C．大于8 D．不大于8
【变式2】（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）如图2，平分，，D是上的动点，若，则长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式3】（2023上·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）如图，在等边三角形中，边上的中线，E是上的一个动点，F是边上的一个动点，在点E，F运动的过程中，的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
考点12：点到直线的距离
典例12：（2024上·江苏南京·七年级校考期末）如图．，，垂足分别为、．下列说法中错误的是（ ）
A．线段的长是点到的距离
B．、、三条线段，最短
C．线段的长是点到的距离
D．线段的长是点到直线的距离
【变式1】（2023上·河南驻马店·八年级统考阶段练习）如图，在中，，若，，平分，则点D到的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】（2023下·山东菏泽·七年级统考期中）如图，，，垂足为D，，，，则点A到直线的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．
【变式3】（2023下·安徽宿州·七年级统考期中）如图所示，，则下列结论中：①；②与互相垂直；③线段的长度是点到的距离；④，其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点13：对顶角与邻补角
典例13：（2024上·重庆渝中·七年级统考期末）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024上·广东深圳·七年级统考期末）如图，是一个平角，平分．请根据量角器的读数，分析并计算的大小是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（重庆市渝北区2023-2024学年七年级上学期期末数学试题）如图，已知直线相交于点O，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2023上·四川达州·七年级统考期末）如图，O是直线上一点．，射线平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
考点14：平行线的判定
典例14：（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知，，垂足分别为D、F，．
求证：．
（ ）：∵，（已知）
∴（ ）
∴（ ）（同位角相等，两直线平行）
∴（ ）
∵（ ）
∴（ ）
∴（ ）
∴（ ）
【变式1】（2023上·福建泉州·八年级校考期中）请把下列证明过程补充完整．
已知：如图，、、三点在同一直线上，、、三点在同一直线上，，．求证：．
证明： ，（已知）
________________（________），
________（________）
（已知）
________（等量代换）．
（已知）
，
即________ ________
________（等量代换），
（________）．
【变式2】（2024上·广东梅州·八年级统考期末）如图，已知，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【变式3】（2023下·山东青岛·七年级校联考期末）将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图），其中
(1)若，求的度数；
(2)试猜想与的数量关系，请说明理由：
(3)若按住三角板不动，绕顶点C转动三角板，试探究当等于多少度时，，并简要说明理由．
考点15：平行线的性质
典例15：（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，在三角形中，点D在上，交于点E，点F在，．
(1)试说明：；
(2)若，求的度数．
【变式1】（2022下·湖北十堰·七年级校考期中）如图，已知，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求度数．
【变式2】（2022下·北京海淀·七年级人大附中校考期中）已知，，点C在上方，连接、．
(1)如图1，若，，求的度数；
(2)如图2，过点C作交的延长线于点F，直接写出和之间的数量关系______
(3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【变式3】（2023下·福建泉州·七年级校考期中）我们发现平行线具有“等角转化”的功能，通过添加平行线可将不同位置的角“凑”在一起，得出角之间的关系．根据平行线的“等角转化”功能，解答下列问题：
(1)阅读理解：如图1，，，相交于点，请说明．阅读并补充下面推理过程．
解：过点作
∴______
∵
∴____________
∴______
∴
即．
(2)方法掌握：如图2，已知，，交于点．请写出，，之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展运用：如图3，已知，点在直线上，平分，平分．若，求度数．（用含的式子表示）
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