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专题02 图形的初步（2）（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022下·四川成都·七年级成都市第十八中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫平行线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
2．（2022·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
3．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考模拟预测）如图，已知AB∥CD，∠2＝100°，则下列正确的是( )
A．∠1＝100° B．∠3＝80° C．∠4＝80° D．∠4＝100°
4．（2023上·陕西西安·七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）如图，，是内任意一条射线，，分别平分，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022下·河北邢台·七年级校考期末）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
6．（2023·福建厦门·统考一模）如图，在四边形中，，点在边上，平分．下列角中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·山东滨州·统考一模）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西方向上，在海岛B的北偏西方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
8．（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有A，，C三地，地在A地北偏西36°方向上，，则地在C地的（ ）
A．北偏东44°方向 B．北偏东54°方向
C．南偏西54°方向 D．南偏西90°方向
9．（2023下·福建福州·七年级统考期中）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠DAB＝∠BCD；③∠ADC+∠BCD＝180°；④∠2＝∠4，其中能判定的有( )
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
10．（2022下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
11．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，把小河里的水引到田地处，可以过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖引水沟即可，这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
12．（2022·辽宁沈阳·统考一模）如图，已知点A，B，C，D在上，平分，，，则（ ）
A．60° B．50° C．70° D．80°
13．（2023下·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
14．（2023·广东梅州·统考二模）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
15．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．（2023·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 ．
17．（2023下·河北保定·七年级统考期末）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=72°，那么∠5 = °
（1）若∠2=72°，则a与b的关系是 ．
（2）若ab，若∠3=68°，那么∠4的度数是 °．
18．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 海里．
19．（2023下·云南玉溪·七年级统考期中）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
20．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，．假设，那么的大小为 ．
21．（2023·广西贺州·统考一模）比较大小： （用、、填空）．
22．（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）如图，直线，，则的度数为 °．
23．（2023上·广东深圳·八年级深圳市沙井中学校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为 ．
24．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．
25．（2012下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ．
三、解答题
26．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知：，，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
27．（2023下·湖南怀化·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
（1）求证△ABE≌△CDF．
（2）证明四边形EBFD是平行四边形．
28．（2022·江苏·统考一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且．
求证：
(1)；
(2)．
29．（2023下·重庆·八年级统考期末）如图，中，点在上，．
（1）利用直尺和圆规作出的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是平行四边形．
30．（2023上·贵州遵义·八年级统考期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
31．（2023·浙江温州·统考二模）如图，平分，，且，点在线段上，的延长线交于点，连接.
（1）求证：.
（2）当，时，求的度数.
32．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在中，点E，F分别在，上，且，．
求证：．
33．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图，点在一条直线上，与交于点 ，，
(1)求证：；
(2)若，直接写出的值．
34．（2023下·浙江·七年级统考阶段练习）如图所示，射线、被直线所截，交点分别是、，连接、，若,，平分.
（1）证明.
（2）平分吗？为什么？
【能力提升】
35．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”．
(1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数．
(2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”．
36．（2023上·河北保定·七年级统考期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；
【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；
①若，，求的度数；
②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．
37．（2024上·湖南衡阳·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分別交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．
(1)
证明：；
(2)如图2，点是上一点，射线交直线于点，．
①若，则直接写出的度数是______．
②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明．
38．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）【问题情境】已知，，平分交于点G．
【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
39．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图（1），直线与直线，分别交于点，，为钝角，．
(1)求证：；
(2)如图（2），点分别在直线上，点（不在直线上）是直线之间一点，连接．若，求等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点．若，求的度数．
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专题02 图形的初步（2）（分层训练）
分层训练
【基础训练】
一、单选题
1．（2022下·四川成都·七年级成都市第十八中学校校考阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．不相交的两条直线叫平行线
B．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离
C．平面内两条直线的位置关系有相交、平行和垂直
D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】D
【分析】根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可．
【详解】解：A：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意；
B：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意；
C：平面内两条直线的位置关系有相交和平行，故C说法不符合题意；
D：同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．
2．（2022·山东济南·统考一模）如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1=54°，则∠2的度数是（ ）
A．154° B．126° C．116° D．54°
【答案】B
【分析】由平行线的性质得到∠2与∠3的关系，再根据对顶角的性质得到∠1与∠3的关系，最后求出∠2．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠2+∠3=180°．
∵∠3=∠1=54°，
∴∠2=180°-∠3
=180°-54°
=126°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握“对顶角相等”和“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
3．（2023·广东珠海·珠海市文园中学校考模拟预测）如图，已知AB∥CD，∠2＝100°，则下列正确的是( )
A．∠1＝100° B．∠3＝80° C．∠4＝80° D．∠4＝100°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质逐个判断即可.（平行线的性质 1.两直线平行，同位角相等．2.两直线平行，内错角相等．3.两直线平行，同旁内角互补．）
【详解】根据平行线的性质可得：A 错误，两直线平行，同旁内角互补，所以∠1=；B 错误，两直线平行，内错角相等，所以∠3=100°；C 错误，两直线平行，同位角相等，所以∠4＝100°；D 正确，两直线平行，同位角相等，所以∠4＝100°故选D.
【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于识别同旁内角，同位角，内错角.
4．（2023上·陕西西安·七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）如图，，是内任意一条射线，，分别平分，，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】考查角平分线的定义、互为余角的意义，根据角平分线的定义，互余的意义和等量代换，逐个结论进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵，分别平分，，
∴，
∴，
即：，因此A正确，不符合题意；
，因此B正确，不符合题意；
∵，
∴，因此C正确，不符合题意；
∵是内任意一条射线，
∴ 不一定会等于，即 不一定会等于，因此D不正确，符合题意；
故选：D．
5．（2022下·河北邢台·七年级校考期末）如图，下列推理过程及括号中所注明的推理依据正确的是（ ）
A．∵，∴（内错角相等，两直线平行）
B．∵，∴（两直线平行，内错角相等）
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补）
D．∵，∴（两直线平行，同位角相等）
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及平行线的判定定理解答．
【详解】解：A．∵，∴（内错角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
B．∵，∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），故选项正确，符合题意；
C．∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），故选项错误，不符合题意；
D．∵，∴（同位角相等，两直线平行），故选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查平行线的性质定理及平行线的判定定理，熟记定理是解题的关键．
6．（2023·福建厦门·统考一模）如图，在四边形中，，点在边上，平分．下列角中，与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出．
【详解】解：
∵平分，
故选：
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，熟练平行线的性质和角平分线的定义是解此题的关键．
7．（2023·山东滨州·统考一模）一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，2小时后到达海岛B处．灯塔C在海岛A的北偏西方向上，在海岛B的北偏西方向上，则海岛B到灯塔C的距离是（ ）
A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．60海里
【答案】C
【分析】根据题意作图，根据三角形外角性质求出，根据等角对等边得出，进而可得结果．
【详解】解：根据题意作图如下：
根据题意得：，
∴，
∴，
∵（海里），
∴（海里），
∴海岛B到灯塔C的距离是30海里．
故选：C．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的判定和三角形的外角性质．解题的关键在于作图，数形结合求解．
8．（2022·河北石家庄·校考二模）如图，有A，，C三地，地在A地北偏西36°方向上，，则地在C地的（ ）
A．北偏东44°方向 B．北偏东54°方向
C．南偏西54°方向 D．南偏西90°方向
【答案】B
【分析】如图，过点B作BE//CD，根据方向角的概念及平行线的性质求出∠DCB的度数即可得答案．
【详解】如图，过点B作BE//CD，
根据题意得：CD//AF，
∴CD//BE//AF，
∴∠ABE=∠BAF=36°，
∵，
∴∠CBE=90°-∠ABE=54°，
∴∠DCB=∠CBE=54°，
∴地在C地的北偏东54°方向上，
故选：B．
【点睛】本题考查方向角的概念、平行线的性质及角度的计算，熟练掌握相关知识是解题关键．
9．（2023下·福建福州·七年级统考期中）如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠DAB＝∠BCD；③∠ADC+∠BCD＝180°；④∠2＝∠4，其中能判定的有( )
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
【答案】A
【分析】依据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可．
【详解】①由∠1＝∠3可判定ADBC，不符合题意；
②由∠DAB＝∠BCD不能判定ABCD，不符合题意；
③由∠ADC+∠BCD＝180°可判定ADBC，不符合题意；
④由∠2＝∠4可判定ABCD，符合题意．
其中能判定的有1个，
故选：A．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
10．（2022下·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，在ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADB的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
【答案】A
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
【详解】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
11．（2022下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，把小河里的水引到田地处，可以过点向河岸作垂线，垂足为点，沿挖引水沟即可，这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．点到直线的距离 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】B
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【详解】解：根据题意，把小河里的水引到田地A处，则作AB⊥1，垂足为点B，沿AB挖水沟，可知理由是：垂线段最短．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段最短，读懂题意是解决问题的关键．
12．（2022·辽宁沈阳·统考一模）如图，已知点A，B，C，D在上，平分，，，则（ ）
A．60° B．50° C．70° D．80°
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质可求得，再根据同圆中，同弧所对的圆周角相等可求得，再根据三角形内角和即可求得答案．
【详解】解： 平分，，
，
，
（同弧所对的圆周角相等），
，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、圆周角定理和三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质及圆周角定理是解题的关键．
13．（2023下·福建福州·九年级福建省福州屏东中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），当四边形ABCD的周长最小时，则m的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】首先证明四边形ABCD是平行四边形，再根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：点A（2，5），B（5，1），C（m，﹣m），D（m﹣3，﹣m+4），
∴AB＝，
即AB＝CD＝5，
∵点B向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A，
点C向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D，
由平移的性质得：BC//AD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当BC⊥CD时，BC的值最小，
∵C（m,﹣m)
∴点C在直线y＝﹣x上运动，
∵BC⊥直线y＝﹣x，
∴直线BC平行直线y＝x,
∴直线BC的解析式为y＝x+b，
把B（ ，1）代入y＝x+b得：
1＝5+b，
解得：，
∴,
联立方程组得：,
解得:
∴C（2,﹣2），
∴m＝2，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（2023·广东梅州·统考二模）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等于（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【答案】D
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补，计算的补角，利用平角的定义计算的大小即可
【详解】∵直尺的两边平行，
∴∠α+∠1=180°，
∵∠2+∠β+∠1=180°，
∴∠α=∠2+∠β，
∴145°=60°+∠β，
∴β=85°，
故选D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，补角的性质，平角的定义，灵活运用平行线的性质和补角的性质是解题的关键．
15．（2022下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，点是中斜边不与，重合上一动点，分别作于点，作于点，点是的中点，若，，当点在上运动时，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明四边形BMPN是矩形，得BP=MN，由勾股定理求出AC=15，当BP⊥AC时，BP最小，然后由面积法求出BP最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
，于点，于点，
四边形是矩形，，
，与互相平分，
点是的中点，
，
当时，最小
∵
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理及面积法等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
二、填空题
16．（2023·宁夏银川·银川唐徕回民中学校考一模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若CG＝1，P为AB上一动点，则GP的最小值为 ．
【答案】1
【分析】根据尺规作图可得BG平分∠ABC，再利用角平分线的性质定理即可求解．
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AB于H．
由作图可知，GB平分∠ABC，
∵GH⊥BA，GC⊥BC，
∴GH＝GC＝1，
根据垂线段最短可知，GP的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂线段最短，解题的关键在于能够准确判断出BG是∠ABC的角平分线．
17．（2023下·河北保定·七年级统考期末）直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=72°，那么∠5 = °
（1）若∠2=72°，则a与b的关系是 ．
（2）若ab，若∠3=68°，那么∠4的度数是 °．
【答案】 72 平行 112
【分析】利用对顶角相等可得结论；
（1）利用同位角相等，两直线平行可以判定结论；
（2）利用平行线的性质和平角的意义可求结论．
【详解】解：∵∠1与∠5是对顶角，
∴∠5=∠1=72°．
故答案为：72；
（1）∵∠1=72°，∠2=72°，
∴∠1=∠2．
∴ab（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：平行；
（2）∵ab，
∴∠6=∠3（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3=68°，
∴∠6=68°．
∴∠4=180°-∠6=112°．
故答案为：112．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平角的意义，对顶角的性质．正确使用平行线的性质是解题的关键．
18．（2023·上海奉贤·统考二模）如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°的方向，继续向东航行40海里后到B处，测得灯塔P在北偏东30°的方向，此时轮船与灯塔之间的距离是 海里．
【答案】40
【分析】根据已知方向角得出∠P＝∠PAB＝30°，进而得出对应边关系即可得出答案．
【详解】解：如图所示：由题意可得，∠PAB＝30°，∠DBP＝30°，
故∠PBE＝60°，
则∠P＝∠PAB＝30°，
可得：AB＝BP＝40海里．
故答案为：40．
【点睛】此题主要考查了方向角及等腰三角形的判定，正确得出∠P＝∠PAB＝30°是解题关键．
19．（2023下·云南玉溪·七年级统考期中）如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝70°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 ．
【答案】20°/20度
【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a旋转的度数．
【详解】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是∠1-∠AOC =70°﹣50°＝20°．
故答案是：20°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后∠2的同位角的度数是解题的关键．
20．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）如图，．假设，那么的大小为 ．
【答案】/度
【分析】根据可以推理得出，从而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，正确推出是解题的关键．
21．（2023·广西贺州·统考一模）比较大小： （用、、填空）．
【答案】
【分析】把两个度数统一即可判断．
【详解】解：，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角的度数的表示，正确记忆度、分、秒是60进制是解题关键．
22．（2022·江苏苏州·苏州市第十六中学校考一模）如图，直线，，则的度数为 °．
【答案】
【分析】根据邻补角求得，根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，邻补角，掌握平行线的性质是解题的关键．
23．（2023上·广东深圳·八年级深圳市沙井中学校考期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，点E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m＋n的最大值为 ．
【答案】2.5
【分析】连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，首先根据中线的性质和三角形面积公式得出，然后证明出当的长度最小时，m＋n的值最大，然后根据垂线段最短和等面积法求出CD的最小值，即可求出m＋n的最大值．
【详解】解：连接CE，CF，作，分别交CD于点M和点N，
∵点E是AD的中点，点F是BD的中点，
∴CE是中AD边上的中线，CF是中BD边上的中线，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当的长度最小时，m＋n的值最大，
∴当时，的长度最小，此时m＋n的值最大，
∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴，解得：，
∴将代入得：．
故答案为：2.5．
【点睛】此题考查了勾股定理，中线的性质，三角形面积的应用，垂线段最短等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，正确分析出当时m＋n的值最大．
24．（2023·广西防城港·统考三模）如图，在中，，，，点O是的中点，点D是线段上任意一点（不含端点），连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】作构造，再过点O作交于点D，，所以最小，根据含直角三角形的性质即可求得的长．
【详解】解∶∵，，
∴，
∴.
如图，过点C作，过点O作交于点D，
∴，
∵，，
∴
∴，，
∴根据垂线段最短可知：
的最小值为：，
故答案为3．
【点睛】本题考查了最短路径以及含30度角的直角三角形，解决本题的关键是构造适当的辅助线．
25．（2012下·江苏无锡·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，P为直线AB，CD外一点，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延长线交DE于点E，若∠FED＝a，试用a表示∠P为 ．
【答案】∠P＝360°﹣2a
【分析】根据角平分线的性质得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，平行线的性质得出∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，进而根据三角形内角和得出∠5、∠FED，再得到∠P和a的关系，然后即可用 a表示∠P．
【详解】解：延长AB交PD于点G，延长FE交CD于点H，
∵BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠5，∠6＝∠PDC＝2∠3，
∵∠PBG＝180°﹣2∠1，
∴∠PBG＝180°﹣2∠5，
∴∠5＝90°﹣∠PBG，
∵∠FED＝180°﹣∠HED，∠5＝180°﹣∠EHD，∠EHD＋∠HED＋∠3＝180°，
∴180°﹣∠5＋180°﹣∠FED＋∠3＝180°，
∴∠FED＝180°﹣∠5＋∠3，
∴∠FED＝180°﹣（90°﹣∠PBG）＋∠6＝90°＋（∠PBG＋∠6）＝90°＋（180°﹣∠P）＝180°﹣∠P，
∵∠FED＝a，
∴a＝180°﹣∠P
∴∠P＝360°﹣2a．
故答案为：∠P＝360°﹣2a．
【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关系是关键．
三、解答题
26．（2023下·江苏宿迁·七年级统考期中）如图，已知：，，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)探索与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)；理由见解析
(2)；理由见解析
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）利用三角形内角和定理，即可得出结论．
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
（2）∵，，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和三角形的内角和定理．熟练掌握内错角相等，两直线平行，三角形内角和是，是解题得关键．
27．（2023下·湖南怀化·八年级统考期末）如图，在平行四边形ABCD，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．
（1）求证△ABE≌△CDF．
（2）证明四边形EBFD是平行四边形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再根据已知条件，利用角平分线的性质可得，根据ASA，即可证明．
（2）由（1）可得，即可直接证明四边形EBFD是平行四边形．
【详解】（1）四边形是平行四边形，
，，，
BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
，
，
，
；
（2） ，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
四边形EBFD是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
28．（2022·江苏·统考一模）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，点M、N在对角线BD上，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据平行四边形的性质易得，，在根据已知条件，最后利用边角边即可完成求证．
（2）根据全等三角形的对应角相等，可得，最后根据内错角相等，两直线平行即可完成求证．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质、平行线的判定，关键是灵活运用这些知识．
29．（2023下·重庆·八年级统考期末）如图，中，点在上，．
（1）利用直尺和圆规作出的平分线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于点；②分别以为圆心，大于为半径作弧交的内部于点，作射线，交于点 ；
（2）根据（1）的作图，利用等量代换求得四边形对角相等，再根据平行线的性质与判定求得另一组对边也平行，从而得证
【详解】（1）如图：①以为圆心，任意长度为半径作弧，交于点
②分别以为圆心，大于为半径作弧交的内部于点，作射线，交于点；
（2）证明：四边形是平行四边形
平分
四边形是平行四边形
【点睛】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的定义，平行线的性质与判定，平行四边形的性质与判定，熟练作图及掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．
30．（2023上·贵州遵义·八年级统考期末）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC．
（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝8，求DE的长；
（2）如图2，若DE平分∠ADC，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝9，求DF的长．
【答案】（1）DE＝4；（2）DF＝3．
【分析】（1）由角平分线的性质得到∠BCD＝∠ACD，再由两直线平行内错角相等得到∠EDC＝∠BCD，继而解得∠EDC＝∠ACD，再由等角对等边解得ED＝EC，最后根据线段中点性质解题；
（2）由两直线平行同位角相等结合角平分线性质解得∠B＝∠BCD，再由等角对等边解得DB＝DC，作DG⊥BC于点G，由等腰三角形三线合一性质解得GB＝4.5，最后根据含30°角的直角三角形性质解题即可．
【详解】解：（1）∵DC平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE//BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ACD，
∴ED＝EC，
∵点E是边AC的中点，AC＝8，
∴ECAC＝4，
∴DE＝4；
（2）∵DE//BC，
∴∠ADE＝∠B，∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∴DB＝DC，
如图，作DG⊥BC于点G，
∵DB＝DC，DG⊥BC，
∴GBBC9＝4.5，
∵∠ABC＝30°，BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∴∠DFG＝∠B+∠BDF＝60°，
∴∠FDG＝30°，
∴BF＝DF＝2FG，
∴GF＝1.5，
∴DF＝2FG＝3．
【点睛】本题考查角平分线性质、平行线性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
31．（2023·浙江温州·统考二模）如图，平分，，且，点在线段上，的延长线交于点，连接.
（1）求证：.
（2）当，时，求的度数.
【答案】（1）见解析；（2）36°
【分析】（1）根据SAS推出全等；
（2）由（1）中三角形全等以及平行的性质可以求得度数.
【详解】（1）证明：∵平分
∴
∵，
∴
（2）∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定的应用，应熟练掌握并灵活运用.
32．（2022·陕西西安·校考三模）如图，在中，点E，F分别在，上，且，．
求证：．
【答案】证明见解析
【分析】由题意知，，则，可证四边形是平行四边形，则，，，进而结论得证．
【详解】解：由题意知，，，，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，平行线的判定，全等三角形的判定等知识．解题的关键在于找到证明三角形全等的条件．
33．（2023·湖北武汉·武汉市卓刀泉中学统考模拟预测）如图，点在一条直线上，与交于点 ，，
(1)求证：；
(2)若，直接写出的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据条件证，再结合，由平行线的性质得出与，，分别相等的角后即可证得．
（2）证明，得到的值，再求证，得到的值，由即可解答．
【详解】（1），
，
，
又∵，
，
故．
（2）∵，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，相似三角形的判定及性质，关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
34．（2023下·浙江·七年级统考阶段练习）如图所示，射线、被直线所截，交点分别是、，连接、，若,，平分.
（1）证明.
（2）平分吗？为什么？
【答案】（1）见解析；（2）平分，理由见解析
【分析】（1）证明∠1=∠CDB，利用同位角相等，两直线平行即可证得；
（2）先证明AD∥BC，再证∠FDA=∠A=∠CBE，∠ADB=∠CBD，即可得结论.
【详解】（1）证明：
∵∠1+∠2=180°，∠2+∠CDB=180°，
∴∠1=∠CDB，
∴AE∥FC
（2）平分.理由如下：
∵AE∥CF，
∴∠C=∠CBE(两直线平行,内错角相等)，
又∵∠A=∠C，
∴∠A=∠CBE，
∴AD∥BC
∵DA平分∠BDF，
∴∠FDA=∠ADB，
∵AE∥FC,AD∥BC，
∴∠FDA=∠A=∠CBE，∠ADB=∠CBD，
∴∠EBC=∠CBD，
∴BC平分∠DBE.
【点睛】本题主要考查平行线的判定及性质、角平分线得到性质，熟练掌握判定定理是关键.
【能力提升】
35．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”．
(1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数．
(2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”．
【答案】(1)或或；
(2)当t为或12或20时，射线是的“妙分线”
【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义；
（1）根据妙分线定义即可求解；
（2）分3种情况：当时，当时，当时，根据妙分线定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，且射线在的“妙分线”，
∴或或，
∴或或；
（2）解：根据题意得：
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
，
解得．
故当t为或或时，射线是的“妙分线”．
36．（2023上·河北保定·七年级统考期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；
【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；
①若，，求的度数；
②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．
【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】
【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差；
【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题．
【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证．
【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解．
【特例感知】∵，，，
∴，
∵点和点分别是，的中点，
∴，
∴．
∴．
故答案为：21．
【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，
；
②．理由如下：
∵射线和射线分别平分和，
∴．
∴，
；
【类比探究】∵，
∵，
∴，
，
．
37．（2024上·湖南衡阳·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分別交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．
(1)
证明：；
(2)如图2，点是上一点，射线交直线于点，．
①若，则直接写出的度数是______．
②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可；
（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；
②证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，．
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，
；
②或，
证明：，
，
又，
，
，
．
38．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）【问题情境】已知，，平分交于点G．
【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
【答案】（1），理由见解析（2）（3）见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质:
（1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故与的位置关系是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即的度数为．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
39．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图（1），直线与直线，分别交于点，，为钝角，．
(1)求证：；
(2)如图（2），点分别在直线上，点（不在直线上）是直线之间一点，连接．若，求等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点．若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由结合对顶角相等得出，即可得出；
（2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出；
（3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：过点作，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作交于点，
，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
平分，平分，
∴，
∴，
∴．
35．（2023上·江苏南通·七年级校联考阶段练习）定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”．
(1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数．
(2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”．
【答案】(1)或或；
(2)当t为或12或20时，射线是的“妙分线”
【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义；
（1）根据妙分线定义即可求解；
（2）分3种情况：当时，当时，当时，根据妙分线定义即可求解．
【详解】（1）解：∵，且射线在的“妙分线”，
∴或或，
∴或或；
（2）解：根据题意得：
当时，
，
解得；
当时，
，
解得；
当时，
，
解得．
故当t为或或时，射线是的“妙分线”．
36．（2023上·河北保定·七年级统考期末）【特例感知】如图1，已知线段，，点和点分别是，的中点．若，则__________；
【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，射线和射线分别平分和；
①若，，求的度数；
②请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由．
【类比探究】如图3，在内部转动，若，，，，求的度数．（直接写出结果，用含有的式子表示）．
【答案】【特例感知】21；【知识迁移】①；②，理由见解析；【类比探究】
【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义和角的和差；
【特例感知】欲求，需求．则需求．根据点C和点D分别是，的中点，得，进而解决此题．
【知识迁移】①欲求，需求．已知，需求．由射线和射线分别平分和，可求出，进而解决此题．②与①同理可证．
【类比探究】由，可得，，从而得到，再根据，即可求解．
【特例感知】∵，，，
∴，
∵点和点分别是，的中点，
∴，
∴．
∴．
故答案为：21．
【知识迁移】①∵射线和射线分别平分和，
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴，
；
②．理由如下：
∵射线和射线分别平分和，
∴．
∴，
；
【类比探究】∵，
∵，
∴，
，
．
37．（2024上·湖南衡阳·七年级统考期末）如图1，直线与直线、分別交于C、D两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．
(1)
证明：；
(2)如图2，点是上一点，射线交直线于点，．
①若，则直接写出的度数是______．
②点在射线上，满足，连接，如图3所示情况，探究与满足的等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)①；②，证明见解析
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质与判断，掌握平行线的性质和判断方法是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义、三角形内角和定理以及平行线的判定进行解答即可；
（2）①根据平行线的性质，角平分线的定义以及三角形的外角性质进行计算即可；
②证明，即可得出结论．
【详解】（1）证明：平分，
，
又，．
，
；
（2）解：①，
，
平分，
，
又，
；
②或，
证明：，
，
又，
，
，
．
38．（2024上·陕西汉中·七年级统考期末）【问题情境】已知，，平分交于点G．
【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由；
【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，试说明．
【答案】（1），理由见解析（2）（3）见解析
【分析】本题考查了平行线的判定和性质:
（1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行；
（2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论；
（3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系．
【详解】解：（1），理由如下：
∵，
∴，
∴，
又，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故与的位置关系是．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
即的度数为．
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
39．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）如图（1），直线与直线，分别交于点，，为钝角，．
(1)求证：；
(2)如图（2），点分别在直线上，点（不在直线上）是直线之间一点，连接．若，求等于多少度？
(3)如图（3），在（2）的条件下，平分交直线于点，平分交于点，交直线于点．若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由结合对顶角相等得出，即可得出；
（2）过点作，则，，从而得到，由得出，由平行线的性质可得，最后得出；
（3）过点作交于点，则，设，则，由，得出，从而得到，最后再根据角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴；
（2）解：过点作，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作交于点，
，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
平分，平分，
∴，
∴，
∴．
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